2014-2015年江西省吉安市新干中学高一(上)数学期末试卷与答案

江西省吉安市高一数学上学期期末教学质量检测试题（含解析）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列集合中与{2，3}是同一集合的是（ ）A. {}{}{}2,3B. (){}2,3C. (){}3,2D. {}3,2【答案】D【解析】【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】与{2，3}是同一集合的是{3，2}．故选：D ．【点睛】本题考查同一集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数()1lnx f x x =-的定义域为（ ） A. [)()0,11,⋃+∞B. ()()0,11,⋃+∞C. [)0,+∞D. ()0,+∞【答案】B【解析】【分析】 根据函数f （x ）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可． 【详解】函数ln ()1x f x x =-， ∴010x x >⎧⎨-≠⎩， 解得x ＞0且x≠1，∴f（x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B ．【点睛】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．3.在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，那么满足条件的△ABC（）A. 无解B. 有一个解C. 有两个解D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，代入题中数据化简得c2c+9=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得△ABC有两个解．【详解】∵在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得16=25+c2-10ccos30°，得c2（*）∵△=（2-4×1×9=39＞0，且两根之和、两根之积都为正数，∴方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边c满足题中的条件，由此可得满足条件的△ABC有两个解故选：C．【点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数．着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．4.已知角α是第四象限角，且满足()3312sin cosπααπ⎛⎫+--=⎪⎝⎭，则tan（π-α）是（）B. D. -【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．详解】由()3sin3cos12πααπ⎛⎫+--=⎪⎝⎭，得-cosα+3cosα=1，即1cos2α=，∵角α是第四象限角，∴sin α==．∴tan（π-α）=-tanα= sin cos αα-= 故选：A ．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5.已知tanα=3，则2162cos cos αα+=（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可．【详解】∵tanα=3， ∴22222222216cos sin 7cos tan 7372cos 2cos sin 1tan 13αααααααα++++====----． 故选：B ．【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.已知向量()13a =，，向量()3b x ，=，若向量b 在向量a 方向上的投影为数x 等于（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】 【分析】 根据方向投影的概念列式：3a b a⋅=-可求得x=-3．【详解】∵()1,3a =，132a ∴=+= ，∴向量b 在向量a 方向上的投影为13a b a ⋅⨯+==解得x=-3， 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．7.若f （x ）=2sin2x 的最小正周期为T ，将函数f （x ）的图象向左平移12T ，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin2y x =B. 2sin2y x =-C. 2cos2y x =D. 2cos2y x =-【答案】B【解析】【分析】由三角函数的周期的公式得：T=22ππ=，由函数图象的平移得：g （x ）=2sin2（x+2π）=-2sin2x ，得解．【详解】由f （x ）=2sin2x 可得：此函数的最小正周期为T=22ππ=， 将函数f （x ）的图象向左平移12T ，所得图象对应的函数为g （x ）=2sin2（x+2π）=-2sin2x ， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的周期、函数图象的平移，属简单题．8.已知125a log =-，b =log 827，51()c e=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b >>B. b a c >>C. c a b >>D. a b c >>【答案】D【解析】【分析】可以得出12822log 5log 5,log 27log 3-==，并且5221log 5log 31,()1e>><，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】122log 5log 5-=，2822log 27log 27log 3log 8==，log 25＞log 23＞1，5011()()1e e <=； ∴a ＞b ＞c ．故选：D ．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，对数的换底公式，以及增函数和减函数的定义．9.已知向量a b ，满足3a =，4b =，14a b +=，则a b -=（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模即可求出． 【详解】∵3,4,14a b a b ==+=， ∴2222a b a b a b +=++⋅， 即14=9+16+2a b ⋅，∴2a b ⋅=-11． ∴2222a b a b a b -=+-⋅=9+16+11=36， ∴6a b -=，故选：C ．【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题．10.已知函数()232m f x m m x （）=-是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ） A. 13-B. 1-C. 1D. 13-或1 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】函数f （x ）=（3m 2-2m ）x m 是幂函数，则3m 2-2m=1，解得m=1或m=-13， 又f （x ）为增函数，则m=1满足条件，即m 的值为1．故选：C ．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．11.设正实数a ，b 满足3a =7b ，下面成立的是（ ） A. 102b a << B. 112b a << C. 12b a << D.23b a<< 【答案】B【解析】【分析】设3a =7b =t ，（t ＞0），则a=log 3t ，b=log 7t ，从而b a =log 7t×log t 3=log 73，根据对数函数的单调性即可比较b a 与12和1的大小. 【详解】∵正实数a ，b 满足3a =7b ，∴设3a =7b=t ，（t ＞0），则a=log 3t ，b=log 7t ， ∴b a=log 7t×log t 3=lg lg3lg3lg7lg lg7t t ⨯==log 73，∴771log =log 3log 712b a=<<=． 故选：B ．【点睛】本题考查两数比值的范围的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.已知定义在R 上的奇函数f （x ）且满足f （1+x ）=-f （3-x ），且f （1）≠0，若函数g （x ）=x 6+f （1）cos4x-3有且只有唯一的零点，则f （2018）+f （2019）=（ ）A. 1B. 1-C. 3-D. 3【答案】C【解析】【分析】根据题意，由f （1+x ）=-f （3-x ）变形可得f （x ）=-f （4-x ），由函数的奇偶性可得f （x ）=-f （-x ），综合可得-f （-x ）=-f （4-x ），即f （x ）=f （x+4），即函数f （x ）为周期为4的周期函数，据此可得f （2）=f （-2），且f （-2）=-f （2），分析可得f （2）=-f （-2）=0；对于g （x ）=x 6+f （1）cos4x-3，由函数奇偶性的定义可得函数g （x ）为偶函数，结合函数零点个数分析可得g （0）=f （1）-3=0，则f （1）=3，结合f （x ）的周期性可得f （2018）与f （2019）的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）且满足f （1+x ）=-f （3-x ），则有f （x ）=-f （4-x ）， 又由f （x ）为奇函数，则有f （x ）=-f （-x ），则有-f （-x ）=-f （4-x ），即f （x ）=f （x+4），即函数f （x ）为周期为4的周期函数，则有f （2）=f （-2），且f （-2）=-f （2），分析可得f （2）=-f （-2）=0，对于g （x ）=x 6+f （1）cos4x-3，有g （-x ）=（-x ）6+f （1）cos4（-x ）-3=x 6+f （1）cos4x-3=g （x ），即函数g （x ）为偶函数，若函数g （x ）=x 6+f （1）cos4x-3有且只有唯一的零点，则必有g （0）=f （1）-3=0，则f （1）=3，f （2018）=f （2+2016）=f （2）=0，f （2019）=f （3+2016）=f （3）=f （-1）=-f （1）=-3，则f （2018）+f （2019）=-3；故选：C ．【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，关键是求出f （1）的值，属于综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A ={2，3，6}，则集合A 的真子集的个数是______．【答案】7【解析】【分析】根据含有n 个元素的有限集合的真子集有2n 个，容易得出集合A 的真子集个数为3217-=个，得到结果．【详解】因为集合A 中有3个元素，所以集合A 的真子集有3217-=个，故答案为：7．【点睛】考查列举法的定义，真子集的概念，组合的概念及组合数公式．14.已知函数()002x f x x sin x ⎧⎪=⎨≤⎪⎩＞，，则()2[]f f π=______． 【答案】1-【解析】【分析】推导出f （π2）=π=-，从而f[f （π2）]=f （-π）=sin ()2π-，由此能求出结果．【详解】∵函数0()sin ,02x f x x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩， ∴f （π2）=π=-，f[f （π2）]=f （-π）=sin ()2π-=-sin 2π=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查函数值求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知()()321f x a x bx =-+是定义在[2]b b ，+上的偶函数，则a +b 等于______．【答案】0【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义域的性质可得b+2+b=0，解可得b=-1，进而可得f （-x ）=f （x ），即（a-1）（-x ）3-（-x ）2=（a-1）x 3-x 2，分析可得a 的值，将a 、b 的值相加即可得答案．【详解】根据题意，已知f （x ）=（a-1）x 3+bx 2是定义在[b ，2+b]上的偶函数，有b+2+b=0，解可得b=-1，则f （x ）=（a-1）x 3-x 2，若f （x ）为[-1，1]上的偶函数，则有f （-x ）=f （x ），即（a-1）（-x ）3-（-x ）2=（a-1）x 3-x 2，分析可得：a=1，则a+b=0；故答案为：0．【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义．16.已知向量()125125a sin cos ，=︒︒，()7575b cos sin =︒︒，，()()23450c m n n =+≠，．若a c ，则b 与c 的夹角为______．【答案】70【解析】【分析】 由向量共线的运算得： c a λ==（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ=b c b c ⋅=(sin125cos 75cos125sin 75)λλ+-=-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解．【详解】因为(sin125,cos125),(cos 75,sin 75)a b ==，2(34,5)(0)c m n n =+≠． 又a c ∥，则不妨设c a λ==（λsin125°，λcos125°）（λ＜0）， 设与的夹角为θ，则cosθ=b c b c ⋅=(sin125cos 75cos125sin 75)λλ+-=-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°，故答案为：70°【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U =R ，A ={x |2≤x ＜10}，集合B 是函数()296y x lg x =--的定义域．（1）求集合B ；（2）求A ∩∁U B ．【答案】（1）{|336}x x x 或≤-≤<；（2）{|23610}x x x ≤<≤<或【解析】【分析】（1）求函数y 的定义域即可得出集合B ；（2）根据补集与交集的定义，计算即可．【详解】（1）由函数()296y x lg x =--，则29060x x ⎧-≥⎨->⎩， 解得336x x x ≤-≥⎧⎨<⎩或， ∴集合B={x|x ≤-3或3≤x ＜6}；（2）由全集U=R ，∴∁U B={x|-3＜x ＜3或x ≥6}，又A={x |2≤x ＜10}，∴A ∩∁U B={x |2≤x ＜3或6≤x ＜10}．【点睛】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．18.已知函数()()2202m f x sin x x n m =+＞． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）设02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，f （x ）的最小值是13，求实数m ，n 的值． 【答案】（1）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2,1m n == 【解析】【分析】（1）利用边角公式结合辅助角公式进行化简，结合单调性的性质进行求解即可；（2）求出角的范围，结合函数的单调性和最值关系建立方程进行求解即可．【详解】（1）()()2202m f x sin x x n m =+＞=2m sin2x +2m （2cos 2x -1）+n=m （12sin2x+2cos2x ）+n =msin （2x+π3）+n ， ∵m ＞0，∴由2k π+π2≤2x+π3≤2k π+3π2，k ∈Z ， 即k π+π12≤x ≤k π+7π12，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为[k π+π12，k π+7π12]，k ∈Z ． （2）当πx 02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2x+π3∈[π3，4π3]，则-2≤sin（2x+π3）≤1，∵f （x ）的最小值是1-3，∴f （x ）的最大值为m+n=3，最小值为3-m+n=1-3， 得m=2，n=1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为f （x ）=Asin （ωx+φ）是解决本题的关键．19.设,a b 是两个不共线的非零向量．（1）设OA a b =-，OB tb =，1()()4OC a b t R =+∈，那么当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线； （2）若||2a =，2b =且a 与b 的夹角为60°，那么实数x 为何值时2a xb -的值最小？最小值为多少？ 【答案】（1）12,43t λ==；（2）92 【解析】【分析】 （1）由A ，B ，C 三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），代入，，可得λ=，t=； （2）•=||||cos60°=，∴|-2x |2=2+4x 22-4x •=2+16x 2-4=16x 2-4+4，利用二次函数求最值可得．【详解】（1）由A ，B ，C 三点共线知：存在实数λ使OC =λOA +（1-λ）OB ， 则14（a +b ）=λ（a -b ）+（1-λ）t b 则λ=14，t =23， （2）a •b =|a ||b 2，∴|a -2x b |2=a 2+4x 2b 2-4x a •b =2+16x 22x=16x 22x +4，∴当x |a -2x b |的最小值为92． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．20.已知函数f （x ）=()()()33133(1)a x x a x x --≥⎧⎪-++<⎨⎪⎩（x ∈R ）． （1）证明：当a ＞3时，f （x ）在R 上是减函数；（2）若函数f （x ）存在两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()0,3【解析】【分析】（1）根据题意，由分段函数的解析式依次分析f （x ）的两段函数的单调性以及最值，结合函数单调性的定义分析可得答案；（2）根据题意，函数的解析式变形可得f （x ）=3|x-1|-a ，分析可得若函数f （x ）存在两个零点，即函数f （x ）=3|x-1|与函数y=ax 有2个不同的交点，结合函数y=3|x-1|的图象分析可得答案．【详解】（1）证明：根据题意，函数f （x ）= ()()()()33,133,(1)a x x f x a x x ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩， 若a ＞3，则当x ≥1时，f （x ）=（3-a ）x-3，有（3-a ）＜0，此时f （x ）为减函数，且f （x ）≤f （1）=-a ，当x ＜1时，f （x ）=-（3+a ）x+3，有-（3+a ）＜0，此时f （x ）为减函数，且f （x ）＞f （1）=-a ，故当a ＞3时，f （x ）为减函数；（2）根据题意，f （x ）= 3333x a x a --⎧⎨-+-⎩=3|x -1|-a ， 若函数f （x ）存在两个零点，即函数f （x ）=3|x-1|与函数y=ax 有2个不同的交点，则有0＜a ＜3，即a 的取值范围为（0，3）【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，涉及分段函数的单调性，属于基础题． 21.已知在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A （cosα，sinα），B （2，0），C （0，2），α∈（0，π）．（1）若AB AC =，求α的值；（2）若13AB AC ⋅=-，求2221sin sin tan ααα++的值． 【答案】（1）4π；（2）59- 【解析】【分析】（1）先求出和，然后根据向量模的坐标公式列式可解得tanα=1，再得α=；（2）根据•=-可得sin2α=-，再根据原式=sin2α=-． 【详解】（1）AB =（2-cosα，-sinα），AC =（-cosα，2-cosα），由|AB |=|AC |得|AB |2=|AC |2，∴5-4c osα=5-4sinα，即tanα=1，又α∈（0，π），∴α=4π． （2）AB •AC =（2-cosα）（-cosα）+（-sinα）（2-sinα）=cos 2α-2cosα+sin 2α-2sinα=2-2（sinα+cosα）=-13， ∴sinα+cosα=23，sin2α=（sinα+cosα）2-1=-59， ∴2221sin sin tan ααπ++=()2sin cos sin cos sin cos αααααα++=sin2α=-59 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及三角函数化简求值问题，属中档题．22.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数且f （-2）=-3，当x ≥0时，f （x ）=a x -1，其中a ＞0且a ≠1． （1）求3322f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求函数f （x ）的解析式；（3）已知g （x ）=log 2x ，若对任意的x 1∈[1，4]，存在)2226x ⎡∈⎣，使得f （mx 1）+1≥g （x 2）（其中m ≥0）成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0；（2）()()21,021,(0)x x x f x x -≥-⎧⎪=-+<⎨⎪⎩；（3）2[log 31-+∞，） 【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得=0，即可得答案；（2）根据题意，由函数的奇偶性可得f （2）=3，结合函数的解析式可得f （2）=a 2-1=3，解可得a=2，解可得当x≥0时，f （x ）=2x -1，当x ＜0时，结合函数的奇偶性与解析式分析可得f （x ）=-f （-x ）=-2-x +1，综合可得答案；（3）根据题意，由函数的解析式分析可得x 1∈[1，4]时，f （mx 1）的取值范围和当时，g （x 2）的取值范围，结合题意可得2m ≥，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】（1）根据题意，f （x ）为奇函数，即有f （x ）+f （-x ）=0，则3322f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0， （2）根据题意，f （x ）是定义在R 上的奇函数且f （-2）=-3，则f （2）=3，又由当x ≥0时，f （x ）=a x -1，则f （2）=a 2-1=3，解可得a =2，则当x ≥0时，f （x ）=2x-1，当x ＜0时，-x ＞0，f （-x ）=2-x -1，则f （x ）=-f （-x ）=-2-x +1，故f （x ）=()21,0{21,(0)?x x x x -≥--+<； （3）任意的x 1∈[1，4]，当m ＞0，有mx 1＞0，则f （mx 1）+1=12mx ，则有2m ≤f （mx 1）+1≤24m ，当)26x ⎡∈⎣时，则g （x 2）=log 2x 2，则有32≤g （m ）≤1+log 23，若对任意的x 1∈[1，4]，存在)2x ⎡∈⎣使得f （mx 1）+1≥g （x 2）， 则有2m ≥32，解可得m ≥log 23-1， 即m 的取值范围为[log 23-1，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值问题，属于基础题．。

2014-2015高一上学期期末数学模拟试卷（时间：120分钟，分值：150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为80分，试卷Ⅱ分值为70分。

第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==，则有 （ ） A 、M N ⊆ B 、N M ⊆ C 、{1,2,3}M N ⋂= D 、{1,2,3}M N ⋃= 2．若函数()f x =则(2)f = （ ）A 、2B 、4C 、0D 3．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 4．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（ ）(A)1∶3 (B)1 (C)1∶9 (D)1∶815．下列命题：(1)平行于同一平面的两直线平行; (2)垂直于同一平面的两直线平行;(3)平行于同一直线的两平面平行; (4)垂直于同一直线的两平面平行; 其中正确的有 （ ） A. (1) (2)和(4) B. (2)和(4) B. (2) (3)和(4) D. (3)和(4) 6．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）(A)y x = (B)2log y x = (C)13y x = (D)0.5xy = 7．函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ ）A 、(2,1)-B 、(2,1]-C 、[2,1)-D 、[2,1]-- 8．已知幂函数)()(322Z ∈=--m x x f m m为偶函数，且在),0(+∞上是单调递减函数，则m 的值为（ ）A ． 0、1、2B ． 0、2C ． 1、2D ． 19．若直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,则a 值为 （ ） A . 0 B .1 C .10或 D .10-或 10．已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图像如右图所示： 则b a x g x+=)(的图像是（ ）11．已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ． )1,0(B ． )31,0( C ． )31,71[ D ． )31,71(12．如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，F E ,分别是SC SA ,上的动点，则三角形BEF 的周长的最小值为a 2侧棱SC SA ,的夹角为 （ ）A .300B . 600C .200D .900二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．132264()log 83--+= ．14．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1f x x =+，则(1)f -的值为 ．15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为______. 16．设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，真命题是第Ⅱ卷（解答题 满分70分）三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分10分）若}06|{},065|{2=-==+-=ax x B x x x A ,且A ∪B =A ,求由实数a 组成的集合C.S ACE F18．（本小题满分12分）已知直线1l ：310x y --=，2l ：30x y +-=，求：（1）直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）过点P 且与1l 垂直的直线方程．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面⊥PBD 平面PAC .20.（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程C:04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆。

2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤ 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1AC 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）11．函数2log (1)y x =-的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合{(,)A x y y ==，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ． 15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分 又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分 （2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分 ② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分 解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分 此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为d ==分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去．∴2()f x x =． ……………………6分 （2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分 由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数， 所以12a -≤或13a -≥， ………11分 即3a ≤或4a ≥． …………12分 19．（本小题满分12分） 解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5， 则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分由于MN =12MN =，有2221()2r d MN =+，,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为511532122122-<-=++⨯-=c cd ， …………10分解得5254+<<-c ． …………13分 21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x axx ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分（2）由（1）得：11log )(21-+=x xx g ， 下面证明函数11log )(21-+=x xx g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分 （3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，xx x a ⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414．xx x xa ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立．minmax 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴xxx x a ……………………10分设t x=2，t t t h 14)(--=，tt t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>，()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<,所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分)(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。

江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={y|y=2﹣x，x＜0}，集合B={x|x≥0}，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）2．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．3．（5分）设f：x→ln|x|是集合M到集合N的映射，若N={0，1}，则M不可能是（）A．{1，e} B．{﹣1，1，e} C．{1，﹣e，e} D．{0，1，e}4．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离5．（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（）①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n．A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（5分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2C．﹣3或2 D．3或﹣28．（5分）已知函数f（x）=ln，则函数f（x）的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称9．（5分）如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为（）A．16+12πB．48+12πC．64+12πD．64+16π10．（5分）已知函数f（x）=，（其中a＞1），则f[f（a2）]=（）A．0B．1C．2D．l og a211．（5分）直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）①三棱锥P﹣AA1Q的体积为定值；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当＜CQ＜1时，S为六边形；④当CQ=1时，S的面积为．A．①④B．①②③C．②③④D．①②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程是．14．（5分）函数f（x）=的定义域为．15．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是．16．（5分）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=5，过动点P（a，b）分别作圆C1，圆C2的切线PM，PN（M、N分别为切点），若PM=PN，则（a﹣5）2+（b+1）2的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R．（1）若a=0，求A∪B的值；（2）若（∁R A）∩B≠∅，求a的取值范围．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）．（1）求直线BC的方程；（2）求线段BC的中垂线方程．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，求实数a的取值范围．21．（12分）如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点（1，）处切线的斜率为，圆C与y 轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．（1）求圆C的方程；（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【选做题】（请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）22．（10分）求函数y=（2x）2﹣2x+1+5，x∈[﹣1，2]的最大值和最小值．23．已知函数f（x）=log a（x+1）是定义在区间[1，7]上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数f（x）的最大值和最小值．24．已知函数f（x）=﹣+5，x∈[2，4]，求f（x）的最大值及最小值．江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={y|y=2﹣x，x＜0}，集合B={x|x≥0}，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中y的范围确定出A，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中y=2﹣x，x＜0，得到y＞1，即A=（1，+∞），∵B=[0，+∞），∴A∩B=（1，+∞），故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线的斜率．专题：计算题．分析：根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．解答：解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣．故选B点评：此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．3．（5分）设f：x→ln|x|是集合M到集合N的映射，若N={0，1}，则M不可能是（）A．{1，e} B．{﹣1，1，e} C．{1，﹣e，e} D．{0，1，e}考点：映射．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知|x|=1，|x|=e；从而解得．解答：解：∵N={0，1}，∴|x|=1，|x|=e；故A，B，C正确，D不正确；故选D．点评：本题考查了映射的概念与应用，属于基础题．4．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．5．（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（）①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、面面平行以及线面垂直、面面垂直的性质对选项分别分析解答．解答：解：对于①，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n或者异面；故①错误；对于②，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面平行、线面垂直的性质，可得m与n平行或异面；故②不正确；对于③，若m⊥α，n∥β，且α∥β，利用线面平行、线面垂直，面面平行的性质，可得m⊥n；正确对于④，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面垂直、面面垂直的性质可得m⊥n．正确故正确的有2个；故选B．点评：本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直的性质，熟练掌握定理是解答的关键．6．（5分）函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）是R上的连续函数，且f（﹣1）•f（0）＜0，根据函数的零点的判定定理得出结论．解答：解：∵函数f（x）=e x+x是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，故函数f（x）=e x+x的零点所在一个区间是（﹣1，0），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7．（5分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2C．﹣3或2 D．3或﹣2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：直线l1：ax+3y+1=0，的斜率存在，斜率为﹣，l2：2x+（a+1）y+1=0，斜率为﹣∵直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行∴﹣=﹣解得：a=﹣3或2当a=2时，两直线重合，∴a=﹣3故选：A．点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题．8．（5分）已知函数f（x）=ln，则函数f（x）的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意先求定义域，再判断f（﹣x）与f（x）的关系．解答：解：∵函数f（x）=ln的定义域为（﹣1，1）；又∵，∴f（x）是奇函数，故选C．点评：本题考查了函数的性质的判断，属于基础题．9．（5分）如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为（）A．16+12πB．48+12πC．64+12πD．64+16π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，根据三视图判断圆柱的高与底面半径，判断正四棱锥的高及侧面上的斜高，求出正四棱锥的底面边长，把数据代入圆柱与棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，圆柱的高为3，底面直径为4，∴圆柱的体积为π×22×3=12π；正四棱锥的高为3，侧面上的斜高为5，∴正四棱锥的底面边长为2=8，∴四棱锥的体积为×82×3=64．故几何体的体积V=64+12π．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．10．（5分）已知函数f（x）=，（其中a＞1），则f[f（a2）]=（）A．0B．1C．2D．log a2考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由a＞1可得a2＞a，然后依次代入分段函数解析式求得答案．解答：解：∵a＞1，∴a2＞a，∴f（a2）=1，则f（f（a2））=f（1）=log a1=0，故选：A．点评：本题考查了分段函数的函数值的求法，考查了对数的运算性质，是基础题．11．（5分）直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．解答：解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）2+y2=1相交于B，C两点，，，，∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，∴0，故选A．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的数学思想，比较基础．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）①三棱锥P﹣AA1Q的体积为定值；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当＜CQ＜1时，S为六边形；④当CQ=1时，S的面积为．A．①④B．①②③C．②③④D．①②④考点：棱柱的结构特征．专题：立体几何．分析：①通过计算点P到平面AA1Q的距离，利用体积公式计算即可；②通过条件可得PQ∥AD1，从而得出结论；③当时，S为五边形，故③错误；④通过条件可知S为平行四边形APC1R，利用面积计算公式即得结论．解答：解：①点P到平面AA1Q的距离，∴，故①正确．②当时，PQ∥AD1，S为等腰梯形APQD1，故②正确．③当时，S为五边形，故③错误．④设A1D1的中点为R，当CQ=1时，S为平行四边形APC1R，易得S的面积为，故④正确．故选：D．点评：本题考查点到直线的距离公式，棱锥的体积公式，面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程是2x﹣y+1=0．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：由两条直线垂直斜率之积为﹣1，求出所求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，最后需要化为一般式方程．解答：解：由题意知，与直线x+2y﹣1=0垂直的直线的斜率k=2，∵过点（1，3），∴所求的直线方程是y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣y+1=0．点评：本题考查了直线垂直和点斜式方程的应用，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线斜率的值，代入点斜式直线方程，从而得到直线的方程；14．（5分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分母不为0，偶次方非负，对数的真数为正数，得到不等式组，求解即可．解答：解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]．故答案为：（0，2）∪（2，3]．点评：本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．15．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是﹣1．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m．解答：解：由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，则m=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=5，过动点P（a，b）分别作圆C1，圆C2的切线PM，PN（M、N分别为切点），若PM=PN，则（a﹣5）2+（b+1）2的最小值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据条件PM=PN，求出P的轨迹方程，（a﹣5）2+（b+1）2的几何意义为P到定点（5，﹣1）的距离的平方，即可得到结论．解答：解：∵过动点P（a，b）分别作圆C1，圆C2的切线PM，PN（M、N分别为切点），若PM=PN，∴|PC1|2﹣1=|PC2|2﹣5，即a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣4）2﹣5，即a+2b﹣4=0，即动点P（a，b）在直线x+2y﹣4=0上，（a﹣5）2+（b+1）2的几何意义为P到定点（5，﹣1）的距离的平方，则点（5，﹣1）到直线x+2y﹣4=0的距离为，故（a﹣5）2+（b+1）2的最小值为，故答案为：点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，利用距离的几何意义是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R．（1）若a=0，求A∪B的值；（2）若（∁R A）∩B≠∅，求a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）若a=0，求出集合A，B即可求A∪B的值；（2）根据集合关系进行求解即可．解答：解：（1）若a=0，则A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x2﹣2x=0}={0，2}，则A∪B={x|﹣2＜x≤2}（2）∁R A={x|x≥a+2或x≤a﹣2}，且a∉∁R A，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}={x|x=2或x=a}，若（∁R A）∩B≠∅，∴2∈C R A，2≤a﹣2，2≥a+2，∴a≤0或a≥4．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD可证明PA⊥CD，在△ACD中，由已知可得AC2+CD2=AD2，即CD⊥AC，又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，从而证明CD⊥平面PAC．（2）先求S四边形ABCD=AB×AC=，从而由V P﹣ABCD=S四边形ABCD×PA，即可求解．解答：（本小题满分12分）解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴PA⊥CD…（2分）在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=，∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°，即CD⊥AC…（4分）又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC…（6分）（2）∵S四边形ABCD=AB×AC=…（9分）∴V P﹣ABCD=S四边形ABCD×PA=…（12分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的解法，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．19．（12分）如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）．（1）求直线BC的方程；（2）求线段BC的中垂线方程．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）求出点A（2，1）关于x轴的对称点A′（2，﹣1），点D（1，2）关于y轴的对称点D′（﹣1，2），然后由直线方程的两点式求得直线BC的方程；（2）由（1）求得B，C的坐标，进一步求得BC的中点坐标，再求出直线BC的斜率，得到BC的中垂线的斜率，代入直线方程点斜式得答案．解答：解：（1）点A（2，1）关于x轴的对称点为A′（2，﹣1），点D（1，2）关于y轴的对称点为D′（﹣1，2），根据反射原理，A′，B，C，D′四点共线．∴直线BC的方程为，即x+y﹣1=0；（2）由（1）得B（1，0），C（0，1）．∴BC的中点坐标为（），k BC=﹣1．∴线段BC的中垂线方程为，即x﹣y=0．点评：本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的两点式与点斜式，是基础题．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，求实数a的取值范围．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）先求出函数f（x）的定义域为R，再可判断f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x）；从而判断．（2）易知函数f（x）在R上单调递增，从而化函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点为，从而解得．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x）；则函数f（x）为奇函数．（2）易知函数f（x）在R上单调递增，∵函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，∴，解得﹣1＜a＜1；故实数a的取值范围为（﹣1，1）．点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．21．（12分）如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点（1，）处切线的斜率为，圆C与y 轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．（1）求圆C的方程；（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程；（2）根据条件求出直线MN的斜率，即可得到结论．解答：解：（1∵点在圆C：x2+y2=r2上，∴．故圆C的方程为x2+y2=4．（2）设P（x0，y0），则x02+y02=4，直线BD的方程为x﹣y﹣2=0，直线AP的方程为y=+2联立方程组，得M（，），易得N（0，），∴k MN=2X===，∴直线MN的方程为y=x+，化简得（y﹣x）x0+（2﹣x）y0=2y﹣2x…（*）令，得，且（*）式恒成立，故直线MN经过定点（2，2）．点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力．【选做题】（请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）22．（10分）求函数y=（2x）2﹣2x+1+5，x∈[﹣1，2]的最大值和最小值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可．解答：解：设t=2x，∵x∈[﹣1，2]，∴t=2x∈[，4]），则函数等价为y=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4，当t=1时，y取最小值4，当t=4时，y取最大值13．点评：本题主要考查复合函数性质的应用，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．23．已知函数f（x）=log a（x+1）是定义在区间[1，7]上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由对数函数的单调性可得f（7）+f（1）=2，运用对数的运算性质解得a=4，再由对数函数的单调性即可得到最值．解答：解：∵函数f（x）在区间[1，7]上是单调函数，∴f（x）最大值与最小值之和是f（7）+f（1）=2，即log a8+log a2=2，解得a=4，∴函数f（x）=log4（x+1）在区间[1，7]上单调递增，∴，．点评：本题考查对数函数的单调性和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．24．已知函数f（x）=﹣+5，x∈[2，4]，求f（x）的最大值及最小值．考点：对数函数的值域与最值；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：利用换元法，把函数变为闭区间上的二次函数，然后求出函数的最值．解答：解：因为函数，设t=，t∈[﹣1，﹣]．函数化为：g（t）=t2﹣t+5，t∈[﹣1，﹣]．函数g（t）的开口向上，对称轴为t=，函数在t∈[﹣1，﹣]．上是减函数，所以函数的最小值为：g（）=5．最大值为：g（﹣1）=7．所以函数f（x）的最大值及最小值为：7；5．点评：本题是基础题，考查换元法的应用，二次函数闭区间上的最值的求法，考查计算能力．。