中考数学善⽤隐形圆、巧解最值题
近年来，⼏何中因动点⽽产⽣线段最值问题⼴泛出现，成为中考的热点和难点。
此类题型⼀般都会以选择或填空的压轴形式出现，其中⼜以构造“隐形圆”来解决最值问题，条件隐藏较深，学⽣难以把握哪些题型需要构造“隐形圆”处理。
今天笔者想通过本篇⽂章与⼤家分享构造“隐形圆”的常见题型，以便学⽣掌握出题者的套路，灵活运⽤“隐形圆”解题。
【知识储备】
最值问题的解决⽅法通常有两⼤类：
（1）应⽤⼏何性质：
①三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外⼀点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长。
（2）运⽤代数证法：
①运⽤配⽅法求⼆次三项式的最值；
②运⽤⼀元⼆次⽅程根的判别式。
动态图在此！⼀⽬了然！
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写在最后：⼏何中的动态题是难点也是重点，很多时候我们要抓住问题的不变量，并对不变量进⾏追问。
⼀招长江三叠浪：定点是谁？定长（⾓）有吗？轨迹如何？
最值问题就会信⼿拈来！。
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。
该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。
以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。
在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。
求这个圆的最大半径。
解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。
根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。
根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。
由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。
代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。
在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。
通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。
重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。
隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。
最值模型之隐圆模型模型一隐圆之定点定长型1、借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个：①定圆的所有弦中，直径最长；②圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.2、圆外的定点A与圆上动点B的距离AB的最值问题：当A、B、O三点共线时，AB有最大值或最小值。
如图2，AB最大值=OA+半径；如图3，AB最小值=OA-半径；定长模型(共顶点的三条等线段)若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长例题解析1如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可，答案为7-1．2如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．【答案】11-2【思路点拨】根据折叠的性质得出B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，∴BC=AD=7，AC=BC2+AB2=7+4=11，如图所示，当点P在BC上时，∵AB =AB=2∴B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，当A,B ,C三点共线时，CB 最短，此时CB =AC-AB =11-2，当点P在DC上时，如图所示，此时CB >11-2当P在AD上时，如图所示，此时CB >11-2综上所述，CB 的最小值为11-2变式训练1如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？【答案】4【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则AP+PG=A P+PG，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为A 为固定点，G在圆上运动，可知当A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F 点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.3如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，6)，C为坐标平面内一点，BC=22，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．【答案】4,4【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=22，∴C在⊙B上，且半径为22，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=62，∴CD=62+22=82，且C(2,8),∴OM=1CD=42，即OM的最大值为42，2∵M是AC的中点，则M(4,4)，故答案为：(4,4)．4如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【详解】解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形=SΔEDG+SΔBCG+SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-55如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF=2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为．【答案】73-5 3提示：连接AC交EF于点O，连接OA'、OD，作OH⊥AD于H则△AOE∽△COF∵CF=2AE，∴CO=2AO，∴A'O=AO=13AC=53∴AH=45AO=43，OH=35AO=1∴DH=AD-AH=4-43=83，OD=OH2+DH2=733∴A'D≥OD-OA'=73-5 3模型二隐圆之定长定角型(1)直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角解题技巧：若定角为90°，取定长AB的中点O为圆心，AB的一半为半径画辅助圆。
