第课时数列求和
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数列求和PPT课件
1 2n-1
-
1 2n+1
)]
=
3n 2n+1
.
11.已知 {an} 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C20-a2C12+a3C22, a1C03-a2C13+a3C23-a4C33 ; (2)由(1)的结果归纳概 括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q≠1, Sn是{an} 的前 n 项和, 求 S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+ … +(-1)nSn+1Cnn.
n+1 项
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a.
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1y1+2+3+…+(n-1)+n],
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
7.求证: Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.
-nn2+,1 2
,
n 为偶数时, n 为奇数时.
将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互
抵消, 剩下首尾若干项.
例
求和
Sn=
1×1 2+
1 2×3
+…+
1 n(n+1)
.
n n+1
2020版高考数学浙江专用二轮课件：2.3 数列部分 解答题 1 数列的求和问题
【拓展提升】分组转化法求和的常见类型
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用
分组求和法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an= cbnn，，nn为为偶奇数数，的数列,其中数列{bn}, {cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn=
(1
1 22
)
5. 64
【拓展提升】 1.用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发 现被消去项的规律为止. (2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边 剩第几项,后边就剩倒数第几项.
2.裂项相消法求数列和的步骤 (1)求通项:利用求通项的常见方法求出数列的通项公 式. (2)巧裂项:对数列的通项公式准确裂项,表示为两项之 差的形式.
(3)消项求和:把握消项的规律,求和时正负项相消,只 剩下首尾若干项,准确求和.
1 2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
考向二 错位相减法求和 【例2】(2019·温州一模)设数列{an}的前n项和为Sn. 已知2Sn=3n+3①. 世纪金榜导学号 (1)求{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足anbn= log3an②,求{bn}的前n项和Tn.
式.
(2)求证:
Sn＞
1 2
4n 1 1 ②,n∈N*.
【题眼直击】
题眼
思维导引
①
将点的坐标代入函数解析 式,构造新数列求解.
②
数列求和方法专题课ppt课件
数列求和方法专题
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
数列求和的常用方法完整版课件
解 设等比数列{an}的公比为q(q>1)，
则由 a2＋a4＝90，a3＝27，得aa11qq＋ 2＝a21q7，3＝90，
解得aq1＝＝33，
a1＝243， 或q＝13
(舍去)，
故an＝3×3n－1＝3n. 因为 bn＋1＝bnb＋n 1(n∈N*)， 所以bn1＋1＝b1n＋1，
又 b1＝1，所以b1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列. 于是，b1n＝1＋(n－1)×1＝n，故 bn＝1n.
√A.1 011
B.1 008
C.1 009
D.1 010
解析 由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1， 两式相减得an＋1－an＋2an＝1⇒an＋1＋an＝1⇒S2 021＝a1＋(a2＋a3)＋… ＋(a2 018＋a2 019)＋(a2 020＋a2 021)＝1 010×1＋1＝1 011.
②
②－①得2an＋1＝2(n2＋2n＋2)an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an，
所以2(n＋1)2an＋1＝(n＋1)2an＋2＋(n＋1)2an，
化简得2an＋1＝an＋2＋an，
所以{an}是等差数列.
由2S1＝(1＋1)2a1－a2可得a2＝4，
所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，
故an＝2＋2(n－1)＝2n.
由 b1＝a1，nbn＋1＝anbn 以及 an＝2n 可知，b1＝2，bbn＋n 1＝2，所以数列{bn} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 故bn＝2×2n－1＝2n.
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
＝2n＋1－2＋n－2 1－n
＝2n＋1－n2－52. ∴Tn＝22nn＋＋11－＋2n2n－－252，，nn为为奇偶数数，.
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
第讲数列的求和精选课件
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以 考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说 的分组求和．
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
数列求和的基本方法和技巧(.第一课时)doc
数列求和的基本方法和技巧(一)研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等差数列和等比数列一.公式法： 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得n nn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 练习：已知lg(xy)=a ，求S ，其中S=nn n n y y x y x x lg )lg()lg(lg 221+∙∙∙+++--解: 将和式S 中各项反序排列，得n n n n x y x y x y s lg )lg()lg(lg 221+∙∙∙+++=--将此和式与原和式两边对应相加，得 2S=n xy )lg(+n xy )lg(+ · · · +n xy )lg( (n+1)项 =n(n+1)lg(xy)∵ lg(xy)=a ∴ S=21n(n+1)a。
数列求和奇偶求和法
数列求和
第一课时 奇偶求和法
教学目标：
通过观察发现数列(通项)的特点(题目中 含有奇偶数要求)，寻找合适的求和方法，用
奇偶求和法求数列的前 n 项和.
重点：会用奇偶求和法求数列的前 n 项和．
难点：会用奇偶求和法求数列的前 n 项和.
一、奇偶求和法
数列中的项分成奇偶两类，或者不考虑奇
偶情况不能求解，则使用分类讨论的方法求 和.
(1
1 3n
1 1
)
；
3
n为偶数时,an
1 2
(
1
)
n 2
3
,
Sn
9 (1 2
1 3n
).
三、课堂练习
练习 4 设等差数列{an }的前n项和为Sn ，
数列{bn }的前n项和为Tn，且Tn 2bn 3 0，
n N.
(1)求数列{an },{bn }的通项公式.
(2)设 cn
abnn
, ,
二、典型例题
例 1 已知数列{an }，且an 2[n (1)n ]， 求该数列前n项和 Sn.
例2
已知数列{an
}的通项an
6n 5(n奇)
2n (n偶)
，
求其前n项和 Sn．
二、典型例题
例 3 求和 1 5 9 13 ... (1)n1(4n 3)(n N ).
解析：
① 当n为偶数时，
n为奇数时,
Sn
n(n 1) 2
n
1；
n
为偶数
时, Sn
n(n 1) 2
n
三、课堂练习
练习 3 已知an , an1数为方程 x2 Cn x
( 1 )n 3
0的两实数根(n N ),a1
第一课时 奇偶求和法
教学目标：
通过观察发现数列(通项)的特点(题目中 含有奇偶数要求)，寻找合适的求和方法，用
奇偶求和法求数列的前 n 项和.
重点：会用奇偶求和法求数列的前 n 项和．
难点：会用奇偶求和法求数列的前 n 项和.
一、奇偶求和法
数列中的项分成奇偶两类，或者不考虑奇
偶情况不能求解，则使用分类讨论的方法求 和.
(1
1 3n
1 1
)
；
3
n为偶数时,an
1 2
(
1
)
n 2
3
,
Sn
9 (1 2
1 3n
).
三、课堂练习
练习 4 设等差数列{an }的前n项和为Sn ，
数列{bn }的前n项和为Tn，且Tn 2bn 3 0，
n N.
(1)求数列{an },{bn }的通项公式.
(2)设 cn
abnn
, ,
二、典型例题
例 1 已知数列{an }，且an 2[n (1)n ]， 求该数列前n项和 Sn.
例2
已知数列{an
}的通项an
6n 5(n奇)
2n (n偶)
，
求其前n项和 Sn．
二、典型例题
例 3 求和 1 5 9 13 ... (1)n1(4n 3)(n N ).
解析：
① 当n为偶数时，
n为奇数时,
Sn
n(n 1) 2
n
1；
n
为偶数
时, Sn
n(n 1) 2
n
三、课堂练习
练习 3 已知an , an1数为方程 x2 Cn x
( 1 )n 3
0的两实数根(n N ),a1
人教A版高中数学必修五课件：数列求和
3、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公 式时所用的方法，这种方法主要用于求
数列{an· bn}的前n项和，其中{an}、{bn}
分别是等差数列和等比数列.
4、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，即数列每一项 都可按同样的方法拆成两项之差，在求和时 一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成 首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂 项相消法.（见到分式型的要往这种方法联想 ）
数列求和的方法：
1、公式法：主要用于特殊数列的求和，如 等差数列或等比数列 等差数列前n项和公式：
当q=1时， 等比数列前n项和公式：
当
时，
2、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比
数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，
再将其合并即可。 思路: 将数列的一项分成两项(或多项)，然后重新 组合，再利用等差、等比数列的前n项和公 式进行求解。
裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中
的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项
（通项）分解，然后重新组合，使之能消去
一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂
项）如：
①② ③；；源自；④⑤2、数列
的通项公式是 ，则n=. 120
，若
3、若
10 则n的值为.
4、
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
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(1 )求a 2,a 3, a 4地值； (2)求数列｛a .｝地通项a .;第3课时 数列求和3.已知S 是数列｛a n ｝地前n 项和，且 a i =1，na n 中=2S n (n 忘 N ).考点目标：掌握求数列前n 项和地常用方法 (错位相减) 例1 已知数列｛a n ｝地前n 项和为S n ，且S n=2a n —2 ；数列｛b n ｝满足b 1=1， b n4 =b n +2. n W N * . (I)求数列｛a n ｝, ｛0｝地通项公式; (n)记 G = a n b n , n 亡N * .求数列｛q ｝地前n 项和人. 练习1 .已知正项数列｛a n ｝ 地前n 项和为S n ，a 1T ,当nX2且nE 时，点 (S nj S n ) 1 1 * y = 2x + — 、 b n = log — a n (n 壬 N ). 在直线 2上，数列｛b n ｝满足 2｛西 (2)设数列a n 地前n 项和为T n .求T n. (1)求数列｛a n ｝地通项公式a(列项相消) 例2已知等差数列｛a n ｝地公差为2,前n 项和为S n ，且0，翁0成等比数列. (1)求数列｛a n ｝地通项公式； —彳 4 n ⑵令b n = ( — 1)n ，求数列｛b n ｝地前n 项和T n . a n a n + 1 练习2 等差数列｛a n ｝地前n 项和为S n .已知a 1= 10, a ?为整数，且S 4. (1)求｛a n ｝地通项公式； 1 ⑵设b n = ------ ，求数列｛b n ｝地前n 项和T n . a n a n +1 课外练习 1.已知递增数列｛a n ｝满足a 1 + a 2 + 83+…+ a n = + n).版权文档，请勿用做商业用途 (1)求a 1及数列｛a n ｝地通项公式； (a n +1，n 为奇数，⑵设C n = 5 斗/由彩. 求数列｛ C n ｝地前2n 项和T 2n .版权文档，请勿用做商业用 I a n -1 • 2a n — 1 + 1，n 为偶数， 途 2.已知数列｛a n ｝地各项均为正数，前 n项和为S n ，且& = 一 (n 忘N ), (I)求证数列t a j 是等差数列;1⑴设b nW b1计…f 求T n.2(3)设数列｛b n ｝满足b n = --------------- ，求数列｛b n ｝地前n 项和T1(n +2)a n解: (I). S n =2n+-2>2 时，S n 」=2n-2得，a n =2n( n >2 ).二数列｛a n ｝是以2为首项，公比为2地等比数列, 二数列｛a n ｝地通项公式为a n=2・2n」=2n•又由题意知，4=1, b n* =bn +2，即 bnH1-b n=2 二数列｛b n ｝是首项为1,公差为2地等差数列,二数列｛b n ｝地通项公式为b n =1 + (n- 1)X2 =2n-1 • (□)由(I)知，C n =(2n —1)2n••• T n =1 天2 +3咒 2^^ 23H + (2n -3) / + (2n -1) 2n1 咒 22+3x 2］卜I +(2n-5) 2^^ +(2n-3)2n +(2n- 1)2n * ④由—④得订n =2+2^22 +2x 23 +1+2・2n 4+2 2n-(2n- 1)”2n +-T n =2(1+22+2卄 I +2n"*2n)-(2 n-1)”尹2 — 2n2丄•2=52•- h n =2 2n+—4-2n 2n+ +2n+ 即一T n =(3-2n) ^2n^-4••• T n =(2 n-3)2n ++4二数列｛c n ｝地前n 项和T n =(2n-3)2"十+4...当心时,总=侖=2，且心•第3课时数列求和答案练习1【解析】（1）当科＞2且《£何*时，点甦）在直线y = 2x+-上_ . 2^^, =45, +KHeA ・） ②与加= 25>2«eN*） 2分 a_由 2^2 =+1得2（% + 幻）=钳 +1» 又卫］=—二应2 =1,/-数列4｝是限专为首项，2为公比的等比数列■二住耗=円⑵•"严log ］碍=蘇［2"=2— - 乞171 0 -1 -T = — +— + — …n1 12 2_2 -0=n ”2用做商业用途当n 为偶数时，Tn= £+3〉（11+1）+…+ 魚+盘〕—加+孟】=1—2^=盘.版权文档，请勿用做商业用途当n 为奇数时,3-n 丄 2 -n 2^^ 2^^-13-nF 2n」由③-④得:1 2 22-2 -n _2 -n-尹例2解：（1）因为S , = a 1,2 X 1S2 = 2a 1 + —2~ X 2 = 2a 1 + 2,4 X 3 S 4= 4a 1 + —2 — X 2= 4a 1 +12, 由题意得（2a 1 + 2）2所以a n = 2n — 1.⑵由题意可知，./ 4\0-1 4n=a 1（4a 1 +12），解得 a 1= 1,4n a n a n +1=（-1）"1 （ 2n - 1）4n （2n + 1） =（-1）"^^-1 +肃丿版权文档，请勿95〕+…-（2^+ 册）+ g n 士+*!〕=1+ 花=賠.版权文档，请勿用做商业用途1 f 1 1 、 1(2)bn= (13 - 3n )( 10-3n ) = 3 110 - 3n - 13-3n / 于是 Tn= b1+ b2+ …+ bn= 3（7-（4- 7》…+ （^—n -石—n 卜3肚n -w 〕= 10（ 10—3n ）.版权文档，请勿用做商业用途课外练习1.解：（1）当n = 1时，a 1= 2（a 2 + 1），解得a 1 = 1.版权文档，请勿用做商业用途1 2当n >2时，a 1+a 2+a 3+…+ a n -1 = ［（a n -1 + n — 1），版权文档，请勿用做商业用途1 2a 1 + a 2+a 3+…+ an = 2（a n + n ）.所以a n = 1（a 2 — a 2-1 + 1），版权文档，请勿用做商业用途 即（an— 1）2— a2-1 = 0，所以 a n — a n -1= 1 或 a n + a n -1= 1（nA2）. 又因为数列｛an ｝为递增数列，所以a n - an -1 = 1， 所以数列｛ a n ｝是首项为1，公差为1地等差数列， 所以a n = n.[a n + 1，门为奇数，(2)由C n = 5 版权文档，请勿用做商业用途 (2)由 C l a n -1 • 2a n -1 + 1, n 为偶数，j n + 1，n 为奇数，得C n= 1 n t,心丄匚 版权文档，请勿用做商业用途 nl (n - 1) 2n -1+ 1，n 为偶数，则 T 2n = (2 + 4 + …+ 2n) + [1 X 21+ 3X 23+…+ (2n — 1)X 22n -1] + n= n(n+ 1) + [1 x 21+ 3X 23+…+ (2n — 1) X 22nT] + n.版权文档，请勿用做商业用途记 S n = 1 X 21+ 3 X 23+…+ (2n — 1) X 22n -1，① 贝U 4S n = 1X 23+ 3X 25+…+ (2n — 1) X 22n +1.② 由①一②，得-3S n = 2 + 24+ 26+…+ 22n- (2n — 1)22n +1， =22+ 24+ 26+…+ 22n- (2n — 1)22n +1-2， 所以一3S n =4( 1-萃)-(2n — 1)22n + 1-2，1 - 44 ( 1 4门) (2n 1) 22n +1 2所以S n = (-一)+ 一_1 --------------- + 2，版权文档，请勿用做商业用途9 3 3卄- (6n -5) 22n +110 「_ (6n - 5) 22n +12 10 「 即 S n= ---------- ------- + "9， 故 T 2n= -------- 9 + n 2+2n +-9.版权文档，请勿用做商 9 9 9『2n + 2._ —，n 为奇数，n -1所以 T n =|2n + 1（或T n =2n + 1+（-1） I 上L ，n 为偶数.' i-2n + 1练习218.解：（1）由a 1= 10，a 2为整数知，等差数列 又 S n < S 4，故 a 4> 0，a 5< 0，2n + 1）反权文档，请勿用做商业用途｛a n ｝地公差d 为整数.于是 10+ 3d > 0, 10 + 4d < 0,10 5解得一d W — 2，因此d =— 3.版权文档，请勿用做商业用途故数列｛a n ｝地通项公式为a n = 113 — 3n.故 T 2n = T n = 1 +业用途a （a +1）2.试题解析：（I）S n = —（n壬N*）S n丄二邑冬旦（n>2）2 2①-②得：a n =n n njL n」（门> 2 ）整理得：（a* + N n」）临一玄心）=⑶+玄心）打数列^a n ｝地各项均为正数，二a n +a n」H0,a n —a n」=1（n >2）n =1时，a^V.数列t a n ｝是首项为1公差为1地等差数列22、 n . n2（n ）由第一冋得 S n = ------- /. b n = 2n 2+n 2=2<1 1 n 2+nn （n+1） 5 n +1 丿V 3~4J 也…中（1 ―三）n n+1、-n+1 丿 n + 13.试题解析：（1 ）由 a i=1, na n 十=2S n （ N”）得 a 2 = 23-^ = 2 , （1 分）a s =S 2 p +a 2 =3，（2 分） 由 3a 4 =2S 3 =2（a 1 +a 2 +a 3）得 a 4 =4（3 分） （2）当 n >1 时，由 nan+ =2S n ①，得（n -1）a^2S n^ ②（4 分）①-②得 na n+ -（n-1）a n= 2（S n -S nj ），化简得 na n 十=（n+1）a n . （5 分）.a n 十 n +1 a n（nA 1）.（6 分）a 2 2a nn（7 分）a n4以上（n -1）个式子相乘得a n =2x …= n （ n >1）2 n —1（8 分） 又印=1 ,••• a n = n （n N*）（9 分）（3厂 bn=（n+2）a n（n+2）n n n+2（11 分）...T J —1+1—1+1—1 州汁丄 一1+二 n1 32 43 5 n-2 n nT n 中1 n n+2（12 分）T+D_丄-?2n+3 (14 分)2 n+1 n+2 2 (n+1)( n+2)of this article, and shall bear legal liability such ascop yright. 版权文档，请勿用做商业用途版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 版权为个人所有This article in eludes some parts,in clud ing text,p ictures,and desig n. Cop yright is personal own ersh ip.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏，以及其 他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律 地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面 许可，并支付报酬.版权文档，请勿用做商业用途Users may use the contents or services of this articlefor personal study, research or app reciati on, and other non-commercial or non-pr ofit purpo ses, but at the same time, they shall abide by the pro visi ons of cop yright law and other releva nt laws, and shall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and its releva nt obligees. In additi on, whe n any content or service of this article is used for other purp oses, writte n p ermissi on and remun erati on shall be版权文档，请勿用做商业用途转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改, 并自负版权等法律责任.版权文档，请勿用做商业用途Rep roducti on or quotatio n of the content of this articlemust be reas on able and good-faith citati on for the use of n ews or in formative p ublic free in formatio n. It shall not misi nterpret or modify the orig inal inten ti on of the contentobta ined from the person concerned and the releva nt obligee.版权文档，请勿用做商业用途of this article, and shall bear legal liability such ascop yright. 版权文档，请勿用做商业用途版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 版权为个人所有This article in eludes some parts, in clud ing text, p ictures, and desig n. Cop yright is personal own ersh ip.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏，以及其 他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律 地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面 许可，并支付报酬.版权文档，请勿用做商业用途Users may use the contents or services of this articlefor personal study, research or app reciati on, and other non-commercial or non-pr ofit purpo ses, but at the same time, they shall abide by the pro visi ons of cop yright law and other releva nt laws, and shall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and its releva nt obligees. 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