北京邮电大学601数学分析2017年考研真题试题

解 X的概率密度
(
叶了） )+o.2s
;tl :�-�tlx�::二:
厂 『 (2) = 0.5
00
oo x)dx+0.25
X平x-4 dx
平
-oo
『00 = o+o.s
(2t+4)中Ct)dt
勹平 二平 = o.s[ 2 f
t)dt+4 I Ct)dt]
= 2.
三、解答题
f (15)解因为y = (ex 'cosx)'所以
M
= JI9妇+
2
y
+z2 dS.
又S在xOy 面上的投影区域为D = {(x , y ) lx 2 + y 2 ::(2x}, 所以
( ）（ ,-) M = 9Jf 互x三万 l+
X
2
+
y
D
J 立了
厂
dxdy
厂 = 13ff
dxdy
叫厂 =18J�f
,or• rdr
= 48J i �cos3 0d0 = 64.
(ll) -1
— ay
解
令
P (x ,y)
=x 2
+沪—
, 1
Q(x ,y) =:1· 2 +y 2 -•'
f 则曲线积分 Pdx + Qdy 在区域 D = { (x,y) I :尸＋沪<l} 内与路径无关的条件是
而 a—P-=
— 2xy
— aQ
切
(x z +_v z -1) 2 '扣
故应填 — 1.
ax
ce�千o + 2ax 2a

4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2

12017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当lim sin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为2（A ）22(cos2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos2)cos2,(cos2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B3【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ）（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+【答案】 B 【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。

x2 y2
围成立体表面的外侧.
（1）分析该曲面积分能否用 Gauss 公式计算；
（2）求 I 的值.
科目代码：601 科目名称：数学分析 第 2 页 共 2 页
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考研专业课初试真题
硕士研究生入学考试专业课初试真题
2
（2）求 '(0) .
10.（12 分）计算三重积分 x2
域.
x2 y2 dV ，其中 为曲面 z
x2 y2 和 z x2 y2 围成的有界区
11.（12 分）设函数 f (x, y) 在 xoy 平面上二阶连续可微， Lt 是从点 (0, 0) 到点 (1,t) 的光滑曲线.
科目代码：601 科目名称：数学分析 第 1 页 共 2 页
9.（13 分）设二元函数 f (x, y) 在点 (0,1) 的邻域内存在一阶连续偏导数，且 f (0,1) 0, fy '(0,1) 0 ，
y
令 g(x, y) f x, sin tdt . 0
（1）根据隐函数定理验证方程 g(x, y) 0 在点 (0, ) 的邻域内能确定一单值函数 y (x) ；
ln x dx ,
a a2 x2
(a 0) 在变换 x a2 下的形式； t
（2）计算反常积分 I
0
ln x a2 x2
dx(a

0)
.
7.（13 分）若 fn (x) xnkenx 在 [0, ) 上一致收敛，求 k 的取值范围.
8.（12 分）设二元函数 f (x, y) x y g(x, y) ，其中 g(x, y) 连续且 g(0,0) 0 . （1）求 fx '(0, 0) 和 fy '(0, 0) ； （2）判断 f (x, y) 在 (0, 0) 点的可微性.

北京邮电大学2008——2009学年第一学期《工科数学分析》期末考试试题(B 卷)参考评分标准一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 极限2220lim x t x x t e dt xe →+∞=⎰. 解答： 122.0x →= . 解答：523. 已知211d f dx x x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 则1'2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .解答：1-4. 极限10lim 1nx n x dx e →∞=+⎰ .解答：05.设由方程2200sin 1y x t e dt tdt +=⎰⎰确定y 为x 的函数, 则dydx = .解答：222sin y xe x -- 6. 2tan 13cos xdx x =+⎰ .解答： 2221113cos ln(4tan )ln 22cos xx C C x +++=+7.已知2cos '(),(0)0,1sin xf x f x ==+则()f x = .解答：arctan(sin )x8. 设()y x 是微分方程2(1)x y x y x y e '''+-+=满足(0)0y =, (0)1y '=的解，则20()lim x y x x x →-= . 解答：19.= .解答：2ln 1x C ⎫-+⎪⎪⎭C =-+ 10.20arctan 1x dx x +∞=+⎰_____________________________. 解答： 28π 二、(6分)求证方程0=++x cos q p x 有且只有一个实数根, 其中常数q p ,满足10<<q .证:令()cos f x x p q x =++ , 则'()1sin f x q x =-.由于 110≤<<x s i n ,q ,所以'()0f x >,所以()f x 是单调增函数.又显见 l i m (),l i m ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞,由此该方程只有一个实数根.三、(8分)设函数()f x 在[0,1]上二阶可导, (0)(1),f f =且 |"()|2,f x ≤证明|'()| 1.f x ≤证明：对任意[0,1]x ∈，由Taylor 公式212(0)()()(0)()(0)(0)f f x f x x f x x ξη'''=+-+-<<, 212(1)()()(1)()(1)(1)f f x f x x f x x ηη'''=+-+-<<. 两式相减得2211220()()(1)()f x f x f x ηξ'''''=+-- 故221122()()(1)() f x f x f xηξ'''''=--221122()(1)()f x f xηξ''''≤-+ 22 (1)12(1) 1.x x x x ≤-+=--≤ 四、(10分)求通过点(0,0),(1,2)的抛物线，它具有以下性质：（1）对称轴平行于y 轴；（2）图形向上凸；（3）与x 轴所围图形面积最小.求该抛物线方程.解：设所求的抛物线方程为：2y ax bx c =++. 由所求抛物线过点(0,0)，知0;c =过点(1,2)，知2.a b =- 又2y ax bx =+与x 轴的交点分别为(0,0),(,0)b a-,于是曲线与x 轴所围图形的面积为 332220()()66(2)b a b b S b ax bx dx a b -=+==-⎰. 23(6)'().6(2)b b S b b -=-令'()0S b =知126,0b b ==,对应的124,2a a =-=.由于图形向上凸可知22a =该舍去. 故246y x x =-+. 五、(7分)设)(x f 可导，且满足方程00()()x xf t dt x tf x t d t =+-⎰⎰，求 )(x f 的表达式.解：设,u x t =-则 000()()(),x x x tf x t d t x f u d u uf u d u -=-⎰⎰⎰ 故原方程为 000()()()xx xf t dt x x f u d u uf u d u =+-⎰⎰⎰, 两边对x 求导, 得0()1(),xf x f u d u =+⎰ 且(0) 1.f = 再对x 求导, 得'()(),f x f x = 解此微分方程知()x f x Ce =.又由(0)1,f = 知1C =, 于是所求函数为()x f x e =.六、(7分)2220d 2.x x e x e -≤≤⎰证明：令2(),x x f x e -=则2'()(21).x x f x x e -=- 令'()0,f x =得12x =. 又212(0)1,()(2)f f f e ===, 因此2[0,2][0,2]min (),max ().f x f x e == 2220d 2.x x e x e -≤≤⎰七、(12分) (本大题共两个小题，每小题6分)(1)求摆线第一拱(sin ),(0,02)(1cos )=-⎧>≤≤⎨=-⎩x a t t a t y a t π的长度.解:20=⎰Lπ20π=⎰202sin 8.2t a dt a π==⎰(2) 讨论积分1+∞⎰的敛散性.解： 因为1=x的奇点，所以1+∞⎰212+∞=+⎰⎰.1lim 0,+→=≠x 且⎰-211d xx 收敛，所以21⎰收敛. 又1→∞=x 且12∞-⎰x dx 发散，所以2+∞⎰发散.综上所述，知1+∞⎰发散.八、(10分) 求微分方程2223cos2x x y y y xe e x '''-+=-的通解, 以及满足条件0)0(,0)0(='=y y 的特解.解：(1)特征方程0222=+-λλ，特征根i i -=+=1,121λλ，故所对应的齐次线性方程的通解为.sin cos 21x e C x e C y x x += 注意到自由项的形式，由线性方程特解的叠加原理，先设方程特解为***12y y y =+, 其中**12,y y 分别为方程 (1) 222xy y y xe '''-+=(2) 223cos2,x y y y e x '''-+=- 的特解。

位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 t0 （单位：s），则（ ）
(A)t0 10 (B)15 t0 20 (C)t0 25 (D)t0 25
【答案】B
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
0
2
1ln(1 x)dx2 1 (ln(1 x) x2
0
2
1 0
1 x2 11 dx) 1
0 1 x
4
（17）（本题满分 10 分）
已知函数 y(x) 由方程 x3 y3 3x 3y 2 0 确定，求 y(x) 的极值
【答案】极大值为 y(1) 1 ，极小值为 y(1) 0
【解析】 两边求导得：
22
2
2
x(x)dx EX 0 。令 x 4 t ，则 x( x 4)dx = 2 4 2t (t)dt 8 1 4 t(t)dt 8
2
2
因此 E( X ) 2 .
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
（14）设随机变量 X 的分布函数为 F (x) 0.5(x) 0.5( x 4) ，其中 (x) 为标准正态分布函数，则 2
EX _________
【答案】2
【解析】 F(x) 0.5(x) 0.5 ( x 4) ，故 EX 0.5 x(x)dx 0.5 x( x 4)dx
n i 1
Xi
，则下列结论中不正确
的是（ ）
n
( A) ( X i )2 服从 2分布 i 1 n

l、证明： !�Xn 存在． 2、若In➔imoo xn =c'证明： c=f(c).
九、(15分）证明题
证明： In�I ne-nx在[a,+ao) (a> 0)上一致收敛，而在(O,+oo)上非 一致收敛
十、(15分）综合题
J。i an = tan"xdx,n=1,2,…．
1.
求fan n=I
+an n
（其中k 为常数）．
三、(10分）计算题
t 求积分 I=
(3y-x)dx+ (y-3x)dy (x+ y)3
，其中
l
为曲线
y=巴 2
cosx
上
考试科目： 601 数学分析
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从A(巴2 ,0)到B(O,!2!_)的弧段
四、 (10分）证明题
f(x)在[a,b]上可积，[a,/J] c [a,b]. 证明： f(x)在[a,/3]上也 可积．
七、(10分）证明题 设f(x)在[a,b]上连续、 不恒等千常数， 且 f(a) = minf(t) = f(b).
a匀t,<;b
证明： 括 E (a,b), 使得
r f(x)dx =(; -a)庶）． a
考试科目： 601 数学分析
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八、(15分）证明题
设f(x)在[a,b]上单 调上升，且f(x)的值域为[a,b] . 对 欢 E[a,b], 由递推公式Xn+I =f(xn ) (n=1,2…)产生序列{xn }'
k=O I-x
求 nli今 mOO a旷
— 3.
讨论正项级数区
n=I
Inn nP
(p

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1））若函数1cos ,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ()2x x xf x ax ax a ++→→-== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当lim sin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++（C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022iλλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x xf x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),xx y y y Aexe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f <【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+【答案】B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。

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2020年硕士研究生招生考试试题
考试科目：601数学分析
请考生注意：CD 所有答案（包括选择题和填空题）一律写在答题纸上，否则不计成绩。

＠不允许使用计算器
一、计算题(8分）
求极限lim
1-(c o s x )'i n x 二、计算题(8分）
判断尸sin(x 2)dx 的符号．
三、计算题(8分）
设f(x)存在连续导数，f(O)= 0, f'(O) * 0, F(x) = ,b (x 2 -!2订(t)dt I 且x ➔0时，F'(x)与X k
为同阶
无穷小量，求k的值．四、计算题(8分）
判别积分r;11nx 『d x 的敛散性．
五、计算题(8分）
1 p 判别级数区(e-(1+-r)的敛散性．n
六、计算题(10分）
求级数2(-lf(n 2 -n+l)n=O 2n 的和
七、证明题(10分）
I 设a n =I+—+ .. ·+上-2✓n ,nEN 十，证明：包｝收敛．五五
八、证明题(10分）
n oo a 设a n > 0 , n = I, 2, …·La n 发散，凡=Ia k , n=I,2, …证明：级数I.....!!.收敛．s2 考试科目：601数学分析k=I n=I n 第1页共2页。

结论：
dy dx
= f1' (1,1)
x =0 '' = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) x =0
d2y dx 2
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5
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（16） （本题满分 10 分）求 lim
n ®¥
ån
k =1
æ1 0 0ö ç ÷ 因为 3 - r (2 E - A) = 1，∴A 可相似对角化，且 A ~ 0 2 0 ç ÷ ç0 0 2÷ è ø
由
l E - B = 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 - r (2 E - B) = 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C （7）设 A, B 为随机概率，若 0 < P( A) < 1,0 < P( B) < 1 ，则 P ( A B) > P( A B) 的充分必要条件是（
1 2 (C )ab = 0 ( A)ab =
【答案】A
）
( B ) ab = ( D ) ab = 2
1 2
1 x 1 1 1 - cos x 1 2 【解析】 lim = lim = ,! f ( x) 在 x = 0 处连续\ = b Þ ab = . 选 A. + + x ®0 x ®0 ax 2a 2 ax 2a
( A)12
【答案】D 【解析】 选 D.(BLeabharlann 6(C)4( D)2
gradf = {2 xy, x 2 , 2 z}, Þ gradf

f1'ex f2' sin x
x0
f1' (1,1) 1
f
' 2
(1,1)
0
f1' (1,1)
d2y dx2
f1'1' e2x
f1'2' ex ( sin x)
f
e''
21
x
(
sin
x)
f
'' 22
sin
2
x
f1'e x
f2' cos x
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
( A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf
{2xy, x2 , 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
|
u u
|
{4,1, 0}{13 ,
2 3
,
32}
2.
选 D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t)（单 位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追
【答案】 y ex (c1 cos 2x c2 sin 2x) ，（ c1, c2 为任意常数）
【解析】齐次特征方程为 2 2 3 0 1,2 1 2i
故通解为 ex (c1 cos 2x c2 sin 2x)
(11)
若曲线积分

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育 数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xx f x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学 自强不息位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）0510********()s (/)v m s 10200000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。