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学生课堂2019年06月新教育时代194 发散思维教学法在高中数学课堂中的应用宋聪敏（山西省大同市第三中学校 山西大同 037034）摘要：随着我国新课程改革的深入，“人文教育”理念深入人心。
高中数学作为高中教学中非常重要的学科，传统的教学模式已经不在适应教学的发展，有助于学生思维拓展和释放的发散思维教学法应运而生。
本文阐述发散思维教学法的概念和特点，分析发散思维教学法在高中数学教学中的意义，探究发散思维教学法在高中数学课堂中的应用。
关键词：发散思维发散思维教学法高中数学数学是一门抽象、逻辑思维非常强的学科，不仅仅是靠教师的灌输和学生背诵就能理解和掌握。
尤其是到了高中，数学中抽象思维也逐渐加强，在高中数学教学中，相对于知识的传授，学生发散性思维能力的培养也是至关重要的。
一、发散思维教学法概述和特点发散思维法也被称为辐射思维法，指的是人的思维从一个起点或者一个目标出发，但是又沿着不同的方向和角度进行思维发展，在此过程中提出各种摄像、探寻各种途径，最终能够解决问题的思维方式。
发散思维教学法具有流畅性、灵活性、独创性和精致性的特点。
二、发散思维教学法在高中数学教学中的优势高中数学是一门逻辑性非常强的学科，而且数学知识紧密衔接。
我们常说“授之以鱼不如授之以渔”，与其灌输学生数学知识，不如培养学生思维，引导学生利用发散性思维解决数学问题，提高数学学习效率。
发散思维教学法在高中数学教学中的应用，引导学生从不同的角度看待数学问题，激发学生学习兴趣和积极性；其次，发散思维教学法在高中数学教学中的应用，改变了学生在高中数学解题中的思维定式，从而促进学生思维想象力和创造力的提升。
三、发散思维教学法在高中数学教学中的应用（一）发散思维教学法在课前导入中的应用有效的课前导入可以吸引学生注意力，提高学生学习兴趣。
鉴于高中数学是一门抽象、逻辑思维强的学科，尤其是一些数学概念，学生往往不能正确的理解和认识。
所以在高中数学教学的课前导入中，教师要利用发散思维为学生创设开放性的问题探究环境，引导学生充分发挥自身的想象力和思维创造力，积极发表自身的看法和想法，并且要及时和教师、同学沟通，从而强化对知识的理解。
初中数学解题技巧指导与运用探析顾雪凡(江苏省南通市如东县洋口港实验学校㊀２２６４００)摘㊀要:初中生在学习数学知识的过程中ꎬ只有充分的掌握好了相应的解题技巧ꎬ才能够将所学习到的数学知识充分地运用起来ꎬ从而在解决数学问题的过程中发挥这些数学知识的作用.围绕初中数学解题技巧的指导和运用展开了讨论ꎬ并提出了相关的建议ꎬ希望能够为相关的数学教育工作者提供参考意见.关键词:初中数学ꎻ解题技巧ꎻ运用探析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０５－００２９－０２㊀㊀一㊁有效地指导学生运用知识链接对数学题进行解题的过程实际上就是对知识体系进行有效链接的过程ꎬ在这个过程中ꎬ学生需要从已经学习过的数学知识中找到解决数学题目的思路ꎬ并将以往数学知识点进行迁移ꎬ让已经掌握的数学知识转移到当下所学习的数学知识中去ꎬ从而找出其中的知识链接ꎬ并在知识连接中寻找到旧知识与新知识之间存在的联系ꎬ并在这个基础上构建出一个整体的数学知识体系ꎬ以便于有效地激发以前的数学知识ꎬ让新旧知识能够相互影响㊁相互促进ꎬ以帮助学生进行新的思维连接.在这种创新思维中ꎬ学生便能够获得学习数学知识和解决数学问题的灵感ꎬ让学生能够在深入思考的过程中提高自身解决数学问题的能力.比如说ꎬ数学老师给学生出了一道数学题目: 已知二次函数图象的顶点坐标为(－４ꎬ－５)ꎬ并且经过点(－２ꎬ３)ꎬ由此求出二次函数的解析式. 在学生解答这道数学题目之前ꎬ老师应该先让学生分析好题目中给出的条件ꎬ并引导学生正确地选用解析式.考虑到题目中所给出的条件顶点坐标为(－４ꎬ－５)ꎬ我们应该选择顶点式ꎬ这样一来ꎬ能够让计算的环节得到有效地简化ꎬ因此ꎬ数学老师在对学生进行教学的过程中ꎬ应该重视培养学生对数学知识点的联想思维ꎬ让学生能够灵活地运用起自身所积累的数学知识ꎬ使得学生能够将新知识与旧知识进行有效地连接ꎬ以此来帮助自身更有效地解答数学题目.㊀㊀二㊁巧妙运用代入法在当前情况下ꎬ我国新课程改革正在不断的推进ꎬ学生的素质教育受到了整个教育界的充分关注ꎬ因此ꎬ初中数学老师在教学的过程中也应该充分重视起对学生综合素质的培养.在解题方法之中ꎬ代入法是非常有效的.在解决相关问题的过程中ꎬ首先需要掌握好题目中所给出的条件ꎬ并快速地找出题目中所蕴藏的相关信息ꎬ将问题与条件及所需知识点紧密的联系起来ꎬ形成一个 问的是什么? 我们需要什么条件? 题目给了我们什么条件? 这个条件说明了什么情况? 用什么知识能解决这个问题? 这样的解题构图.另外ꎬ可以用未知数来代替题目中微给出的数值.比如说ꎬ学生在解决这样一个实际问题时: 有二十四人的旅游团ꎬ到某风景区旅游ꎬ在当天入驻的酒店中ꎬ酒店的三楼客房要比二楼客房少两间ꎬ如果旅游团的人全部住在三楼ꎬ那么就会有两个人要住在同一间房间ꎬ三楼的客房也会出现不够的情况ꎬ但如果由三人住在同一个房间ꎬ那么三楼的客房就会被全部住满ꎻ如果所有人全部都住在二楼ꎬ其中有一个人单独住一间房ꎬ那么客房就无法进行分配ꎬ但是如果有两个人住同一个房间ꎬ那么二楼的客房又无法住满.从题目中所给出的条件ꎬ求出二楼的客房数量. 在对题目进行分析之后ꎬ学生可以用代入法来解答这道数学题目.解:设三楼有ｘ间房ꎬ二楼有ｙ间房ꎬ可推导出ｘ＋２＝ｙꎬ２ｘ<２ｙꎬ３ｘ>２４ꎬｙ<２４ꎬ２ｙ>２４ꎬ解得ｘ＝１１ꎬｙ＝１３.㊀㊀三㊁通过面积来获得良好成效关于面积的问题在数学学习中是非常常见的.面积的概念和原理中包含着非常多的数学思想ꎬ如果学生能够将这些数学思想充分地掌握起来ꎬ就能够在其他的数学问题中利用面积来解决问题.比如说在矩形ＡＢＣＤ中ꎬＥ㊁Ｆ分别是边ＡＢ和ＣＤ的中点ꎬ并且矩形ＡＢＣＤ与矩形ＥＦＤＡ相似ꎬ则矩形ＡＢＣＤ的宽与长的比是多少.从题目中所给出的相关信息中可以了解到ꎬ矩形ＡＢＣＤ的宽与长的比其实就是矩形ＥＦＤＡ的宽与长的比.解:设矩形ＥＦＤＡ与矩形ＡＢＣＤ的相似比为ｘꎬ因为ＥꎬＦ分别为矩形ＡＢＣＤ的中点ꎬ所以Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝２Ｓ矩形ＥＦＤＡꎬ即Ｓ矩形ＥＦＤＡ:Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝１:２＝ｘ２ꎬ因此ꎬｘ＝２２ꎬ即矩形ＡＢＣＤ的宽与长之比为２２.在这道数学题目中ꎬ学生可以通过典型的面积来构建出自身的速路ꎬ让学生能够以此来积极地转化的学习思维ꎬ另外ꎬ这也说明了很多数学题目的解题方式不是唯一的ꎬ而是存在着多种的解题方式.从上述内容来看ꎬ解决数学问题中所运用到的解题技巧是非常重要的ꎬ因此ꎬ数学老师在对学生进行教学的过程中一定要注重对学生数学解题技巧的教学ꎬ让学生能够切实地掌握好数学解题过程中会经常使用到的解题技巧ꎬ并培养学生的数学思想ꎬ让学生能够将自身的创新思维进行有效地拓展ꎬ使得学生的思维创新能力能够得到有效地提高.㊀㊀参考文献:[１]闫霞霞.信息技术支持下的初中数学差异教学研究 以成都市某中学八年级数学学科差异教学为例[Ｄ].兰州:西北师范大学ꎬ２０１３.[２]庄晓蕙ꎬ刘庆欢ꎬ何雪萍ꎬ等.我国个性化作业研究:现状㊁问题与展望 基于读秀学术搜索数据库与中国知网期刊全文数据库的数据分析[Ｊ].教育学术月刊ꎬ２０１４.[３]骆莎.信息化环境下多样化作业的设计与实践 以七年级语文学科为例[Ｄ].上海:上海师范大学ꎬ２００８.[责任编辑:李克柏]探讨农村初中数学分层教学的实践研究连斌慧(福建省惠安辋川中学㊀３６２１００)摘㊀要:在目前的初中数学教学中ꎬ实施素质教育就需要做到以人为本ꎬ充分调动学生的学习积极性ꎬ激发学生的潜能ꎬ由于初中生的数学知识和学习能力是不同的ꎬ因此在当前的初中数学教学中ꎬ教师要利用分层教学来满足不同学生的学习需要ꎬ进行因材施教.本文阐述了分层教学的一些方法和策略.关键词:农村初中ꎻ数学分层教学ꎻ实践研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０５－００３０－０２㊀㊀一㊁研究的意义和背景随着新课程改革的不断推进ꎬ在当前的初中数学教学中ꎬ以学生为本的教学理念已经逐渐的被教师所接受.而在班集体中ꎬ每一个人的学习能力和认知水平都是不同的ꎬ加上农村初中的生源比较差ꎬ一些优秀的学生都离开了农村去城里上学ꎬ大部分家长对于孩子的学习成绩并不十分的关心ꎬ学困生在班里占到了大多数.同时学习好的学生往往感到课堂学习没有挑战性ꎬ而学习差的学生往往没有自己施展的平台ꎬ不敢表现自我ꎬ因此就会导致差生和优生产生两极分化的现象ꎬ这是与当前以学生为本的教学理念相悖的.在初中数学教学课堂上ꎬ利用分层教学的方法ꎬ能够有效地提高课堂的教学效率.初中阶段的数学教学以培养学生的数学素养为主.在这个过程。
海南省澄迈县第三中学初中数学教师论文如何提高学生数学学习兴趣时，我设计了这样一段话：同学们，你们知道为什么现在的交通事故发生的频率如此高吗？交警为什么总是提醒大家要慢行？说到这里，有些学生在想说：“这与我们的数学课有什么关系？”就在学生疑惑不解的时候，我用多媒体出示刹车距离与一次函数应用题。
学生明确了要学习的内容，而且还怀着急切的心情想知道答案，必然会积极思考，跟老师的思路走，收到了很好的课堂效果，教学效率明显得到提升。
（二），由学生的动手操作，激发、调动学习数学的兴趣新课程要培养学生创造精神、创造能力, 以“探索尝试”为核心, 让学生在“做中学”, 在“练中悟”。
如在“平行四边形的特征”教学中, 教师不是直接把平行四边形的特征归纳出来, 而是让学生先通过折纸( 给每位学生一张长方形纸, 裁剪成一个平行四边形) 猜想平行四边形的特征, 学生一旦提出猜想, 就非常迫切地想知道自己的猜想是否正确, 从而激发了学生自主学习和探究的热情。
然后学生小组讨论, 最后把各组的结论汇总到黑板上。
在此基础上, 教师指导学生修改、选择、补充, 并一一加以验证, 从而得出平行四边形的特征。
这种教学, 通过学生自主研讨、自主分析, 使学生体验到了获取知识的过程, 领悟到了数学中解决问题的方法（三）打破传统的教学方法，尝试不同的教学方法，激发学生的学习兴趣。
在新课程标准下教师的作用就是“导”，即巧妙地引导学生，给学生展示自己的思维能力和想象能力的机会，尽可能让学生自己发现、归纳、总结知识。
(四)教师要关爱、尊重学生，增强学习的自信心把热爱学生作为打造有效的数学课堂的前提.教师要充分地尊重学生、相信学生，尊重学生的人格，相信学生的能力，用教师无私的爱心去感化学生，建立起和清的师生关系。
“亲其师，爱其道’。
师生关系融洽了，学生自然会积极配合教师进行工作。
三、利用教学媒体激发学习兴趣教学媒体的最大优点是它可以跨时空、跨地域地展示事物的形成、演变、发展过程。
分类讨论思想在初中数学解题中的应用陈芳香(福建省莆田第二中学ꎬ福建莆田３５１１００)摘㊀要:分类讨论思想可以促进学生思维进阶ꎬ提升学生的解题能力.在初中数学教学中ꎬ教师应详细分析其应用方法ꎬ尤其是要结合例题具体阐述其应用技巧ꎬ保证学生熟练掌握分类讨论思想.文章结合例题详细阐述了分类讨论思想在代数㊁方程㊁不等式㊁函数㊁几何中的具体应用ꎬ在例题分析中进一步阐述了分类讨论思想的应用技巧.在初中数学学习中ꎬ教师要有意识渗透分类讨思想ꎬ增强学生的分类讨论意识ꎬ培养学生分类讨论能力ꎬ提升学生的数学核心素养.关键词:分类讨论思想ꎻ初中数学ꎻ解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２６－０００８－０３收稿日期:２０２３－０６－１５作者简介:陈芳香(１９９０.５－)ꎬ女ꎬ福建省仙游人ꎬ硕士ꎬ中学二级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀分类讨论思想的形成是一个长期的过程ꎬ所以ꎬ教师要树立正确的培养意识ꎬ采用有效的培养方法.尤其是要建立长效培养机制ꎬ一步步增强学生的分类讨论意识ꎬ直至形成分类讨论能力.这也意味着教师要改变现有教学模式ꎬ从分类讨论思想的内在规律入手ꎬ设计适合发展学生分类讨论思维的学习活动.尤其是要抓住解题教学时机ꎬ渗透分类讨论思想ꎬ进一步加强学生分类讨论思想的培养.１分类讨论思想在代数解题中的应用与代数有关的分类讨论题型比较简单.主要类型有绝对值㊁平方根㊁完全平方式等.这类题型所给条件比较清晰ꎬ且计算难度也不大[１].可以说ꎬ这是最简单的分类讨论.学生只要熟练掌握绝对值㊁平方根㊁完全平方式的概念和性质ꎬ就可以完成解题.１.１与绝对值有关的代数问题实数是初中数学的主要内容之一.实数分为正实数㊁负实数㊁０.无理数包括正无理数㊁负无理数.与绝对值有关的代数问题本身就具有明显的分类思想ꎬ在解题时需进行分类讨论.例１㊀若ａ＝１ꎬｂ＝４ꎬ且ａｂ<０.求ａ＋ｂ的值.解析㊀本题主要考查与绝对值有关的实数的运算ꎬ其主要解题方法就是分类讨论.本题的主要解题步骤为:第一步ꎬ确定分类对象.题干只给出了两个参数ａꎬｂꎬ且已知ａꎬｂ的绝对值ꎬ所以分类对象就是参数ａꎬｂ.第二步ꎬ分类.根据题干ａｂ<０ꎬ可知ａꎬｂ异号.若ａ<０ꎬ则ｂ>０ꎻ若ａ>０ꎬ则ｂ<０.第三步ꎬ计算.当ａ<０ꎬｂ>０时ꎬａ＝－１ꎬｂ＝４ꎬ所以ａ＋ｂ＝３.当ａ>０ꎬｂ<０时ꎬａ＝１ꎬｂ＝－４ꎬ所以ａ＋ｂ＝－３.第四步ꎬ总结.综合上述两种情况ꎬ可知ａ＋ｂ＝３或－３.１.２含有平方的代数式问题一个数的平方是定值ꎬ但是一个数的平方根有两个互为相反数的值.所以ꎬ在含有平方的代数式问题中需要分类讨论开方得到的数.例２㊀若实数ｘ满足ｘ２＋１ｘ２＋ｘ＋１ｘ＝０ꎬ求ｘ＋１ｘ的值.分析㊀这道题目的难度并不大ꎬ主要考察平方数的计算.首先ꎬ确定分类对象.根据题干所给式子ｘ２＋１ｘ２＋ｘ＋１ｘ＝０ꎬ可将ｘ＋１ｘ看作一个整体ꎬ所以８需要分类的对象就是ｘ＋１ｘ.其次ꎬ计算㊁分类.若题目直接给出平方数ꎬ则可直接分类.若没有ꎬ则要进行适当地运算ꎬ得到平方数之后再进行分类.针对这道题目来说ꎬ需要先进行计算再分类讨论.解㊀因为(ｘ＋１ｘ)２＝ｘ２＋１ｘ２＋２ꎬ所以(ｘ＋１ｘ)２＋(ｘ＋１ｘ)－２＝０.易得(ｘ＋１ｘ－１)(ｘ＋１ｘ＋２)＝０.当ｘ＋１ｘ－１＝０时ꎬｘ＋１ｘ＝１ꎻ当ｘ＋１ｘ＋２＝０时ꎬｘ＋１ｘ＝－２.综合上述ꎬｘ＋１ｘ＝１或－２.２分类讨论思想在方程中的应用在求解与一元一次方程㊁二元一次方程㊁分式方程方程有关的某些应用题时都需要分类讨论[２].例３㊀ 五一 假期期间ꎬ某商城推出了一项购物优惠活动:一次性购物不高于１００元时不享受优惠ꎻ高于１００元但低于３００元时ꎬ享受９折优惠.不低于３００元则享受８折优惠.李某到该商场购物ꎬ总共付款两次.一次是８０元ꎬ一次是２５２元ꎬ那么如果改为在商场一次性购买ꎬ则需要支付多少钱?解析㊀本题需分类讨论求解.第一步ꎬ确定分类对象.按照题干给出的信息ꎬ需要对一次性购物的金额进行分类:一次性购物不高于１００元ꎬ高于１００元但低于３００元ꎬ不低于３００元.第二步ꎬ分类.假设一次性购物金额为ｘꎬ付款金额为ｙ.当ｘɤ１００时ꎬｙ＝ｘꎻ当１００<ｘ<３００时ꎬｙ＝０.９ｘꎻ当ｘȡ３００时ꎬｙ＝０.８ｘ.第三步ꎬ计算.题干指出李某到该商场购物ꎬ总共付款两次.一次是８０元ꎬ一次是２５２元.按照分类来看ꎬ在ｘɤ１００时ꎬ付款金额的范围为０<ｙɤ１００元.当１００<ｘ<３００时ꎬ付款金额范围为９０<ｙɤ２７０元.当ｘȡ３００时ꎬ付款金额范围为ｙȡ２４０.当李某的实际付款为８０元时ꎬ其购买金额应在１００元之内ꎬ购买金额与实际付款金额满足关系式ｙ＝ｘꎬ即第一次购买金额为８０元.当李某的实际付款金额为２５２元时ꎬ则分为两种情况.一是购买金额在１００<ｘ<３００之间ꎬ则购买金额与实际付款金额满足关系式ｙ＝０.９ｘꎬ那么购买金额为２５２ː０.９＝２８０(元).即李某两次总购买金额为２８０＋８０＝３６０(元).此时ꎬ一次性付款的金额应为３６０ˑ０.８＝２８８(元).二是购买金额大于３００元ꎬ则购买金额与实际付款额满足关系式ｙ＝０.８ｘꎬ那么购买金额为２５２ː０.８＝３１５(元)ꎬ则李某两次总购买金额为３１５＋８０＝３９５.此时ꎬ一次性付款的金额应为３９５ˑ０.８＝３１６(元).第四步ꎬ总结.综上所述ꎬ如果改为一次性付款ꎬ则付款金额为２８８元或３１６元.从本题求解过程可以看出ꎬ利用分类讨论思想解题的关键是准确找到分类对象ꎬ并能够精准分类计算.只有这样才能得到准确的计算结果ꎬ否则就会出现错误.简而言之ꎬ利用分类讨论思想解题时一定要准确确定分类对象和分类标准.３分类讨论思想在不等式中的运用在解决不等式问题时ꎬ当遇到不等式条件不明确㊁结论不确定㊁题干所含参数范围不确定等情况时ꎬ就需要进行分类讨论[３].３.１不含参数的不等式问题在不含参数的不等式问题中ꎬ若不等式中含有绝对值或平方ꎬ在解题时必须进行分类讨论.例４㊀解不等式ｘ－４－２ｘ－３ɤ１.解析㊀本题可利用零点法进行分类㊁计算.第一步ꎬ确定分类对象.显然ꎬ需对ｘ的取值范围进行讨论.第二步ꎬ分类.当ｘ－４＝０时ꎬｘ＝４.当２ｘ－３＝０时ꎬｘ＝３２.按照零点值可将ｘ取值范围划分为三段.即ｘɤ３２ꎬ３２<ｘɤ４ꎬｘ>４.第三步ꎬ计算.当ｘɤ３２时ꎬ原不等式可化为－ｘ－４()＋２ｘ－３()ｘɤ１ꎬ化简㊁计算可得ｘɤ０ꎬ此时原不等式的解集为ｘɤ０.当３２<ｘɤ４时ꎬ原不等式可化简为－ｘ－４()－２ｘ－３()ɤ１ꎬ计算可知ｘȡ２ꎬ此时原不等式的解集为２ɤｘɤ４.当ｘ>４时ꎬ原不等式可化简为ｘ－４()－２ｘ－３()ɤ１ꎬ计算可知ｘȡ－２ꎬ此时原不等式的解集为ｘ>４.第四步ꎬ总结.综上所述ꎬ９原不等式解集为ｘɤ０或ｘȡ２.从本题的求解过程可以看出ꎬ含绝对值的不等式问题ꎬ分类情况比较多ꎬ很容易出现分类错误或计算错误.所以在解决这类问题时ꎬ一定要清晰地罗列出分类标准ꎬ这样才能准确求解.３.２含参数的不等式问题利用分类讨论思想解决含参数的不等式问题的关键是要分析参数ꎬ对参数进行分类.例５㊀已知关于ｘ的不等式组ｘ>－５ꎬ３ｘ＋ｍ<０{的所有整数解的和为－９.求ｍ的取值范围.解析㊀第一步ꎬ确定分类对象.题干已经给出了不等式组所有解ｘ的和为－９ꎬ那么需要分类讨论的就是参数ｍ.第二步ꎬ分类.可采用列举法罗列出所有整数解的和为－９的解集.但在这之前要先根据不等式确定ｘ的大致取值范围.由不等式组易得－５<ｘ<－ｍ３.那么和为－９的整数解为－４ꎬ－３ꎬ－２或－４ꎬ－３ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１.从而可知－２<－ｍ３ɤ－１或１<－ｍ３ɤ２.第三步ꎬ计算.在得到关于参数ｍ的不等式组之后ꎬ就可以计算得到ｍ的取值范围３ɤｍ<６或－６ɤｍ<－３.从本题的求解过程可以看出ꎬ对于一些复杂的含参数的不等式问题ꎬ在解题时一定要从题干出发ꎬ依据自变量范围准确确定参数范围.４分类讨论思想在函数中的应用在解决与函数有关的数学问题时ꎬ当分析变量之间的函数关系是否满足条件或计算结果是否符合实际情况时ꎬ一般情况下需利用分类讨论思想.例６㊀如果一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ的自变量ｘ的取值范围为－２ɤｘɤ６ꎬ对应的函数值ｙ的范围为－１１ɤｙɤ９.求该函数的解析式.解析㊀显然ꎬ这道题目之所以需要分类讨论就是因为参数大小不确定ꎬ自变量㊁变量之间的对应关系也无法确定.第一步ꎬ确定分类对象.题干已经给出了自变量㊁因变量的取值范围ꎬ所以需要分类讨论是参数ａ和ｂ.第二步ꎬ分类.根据一次函数性质ꎬ若此函数为增函数ꎬ则因变量随自变量的增大而增大.反之ꎬ若此函数为减函数ꎬ则因变量随自变量的增大而减小.题干虽然给出了自变量㊁因变量的取值范围ꎬ但并未确定两者对应关系.所以ꎬ要对函数的增减性进行分类讨论ꎬ从而确定自变量与因变量之间的对应关系.当ａ>０时ꎬ该函数为增函数ꎬ则当ｘ＝－２时ꎬｙ＝－１１ꎻ当ｘ＝６时ꎬｙ＝９.当ａ<０时ꎬ该函数为减函数ꎬ则当ｘ＝－２时ꎬｙ＝９ꎻ当ｘ＝６时ꎬｙ＝－１１.即存在两种情况.第三步ꎬ计算.当ａ>０时ꎬ将(－２ꎬ－１１)ꎬ(６ꎬ９)分别代入ｙ＝ａｘ＋ｂꎬ易得－２ａ＋ｂ＝－１１ꎬ６ａ＋ｂ＝９ꎬ{解得ａ＝５２ꎬｂ＝－６.{.即函数的解析式为ｙ＝５２ｘ－６.当ａ<０时ꎬ将(－２ꎬ９)ꎬ(６ꎬ－１１)分别代入ｙ＝ａｘ＋ｂꎬ易得－２ａ＋ｂ＝９ꎬ６ａ＋ｂ＝－１１ꎬ{解得ａ＝－５２ꎬｂ＝４.{即函数的解析式为ｙ＝－５２ｘ＋４.第四步ꎬ总结.综上所述ꎬ该函数的解析式为ｙ＝５２ｘ－６或ｙ＝－５２ｘ＋４.总之ꎬ分类讨论思想在初中数学解题中有着极其重要的应用.因此ꎬ教师在平时教学中要重视分类讨论思想ꎬ在解题教学中有意识渗透分类讨论思想ꎬ强化学生的分类讨论意识ꎬ提高学生解题能力ꎬ从而提升学生数学核心素养.参考文献:[１]祁永前.初中数学分类讨论思想在解题中的应用体会[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１３(７５):２.[２]赵敏.新课标下初中数学分类讨论思想教学的几个着力点[Ｊ].数学教学通讯:教师阅读ꎬ２０１０(６):３.[３]纽曼曼.初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨[Ｊ].教育现代化ꎬ２０１６(０８):２４０－２４２.[责任编辑:李㊀璟]０１。
数学分析原理和方法在中学数学中的应用论文数学分析原理和方法在中学数学中的应用论文随着中学数学教育改革的进行，中学数学课外活动蓬勃开展,在中学活动课程中,学生常常接触一些中学数学课本以外的知识,数学奥林匹克在中学活跃了学习空气,同时也对中学数学教师提出了更新、更高的要求,数学分析和其他一些高等数学的知识在其中发挥着更加突出的作用。
如集合的拆分,组合计数,递归数列,利用极限推证不等式,用介值定理求方程的近似解等。
许多课外活动的数学问题,其内容有高等数学的背景,现代数学的观点,有高等数学的思想方法,但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是对数学分析课程在中学数学教学中的应用作简要探讨。
1微分学原理、方法在中学数学中的应用在中学数学中,要作出函数的图形,除了利用极易判断出来的函数的单调性以及可明显看出的一些极值点等性质外,最主要的还是依靠描点法作函数的图形，如此作出的图形究竟是不是该函数的真正图形是无法肯定的。
而在数学分析中，利用导数判断出函数的单调性、凹凸性,求出极值点和拐点,再利用极限求渐近线，就能精确地画出函数的草图,所以可用微分学原理和方法指导中学数学教学。
(1)讨论函数的单调性中学数学讨论函数的单调性一般只能根据定义,计算很繁琐,对某些函数甚至无法判别,而根据微分学中严格单调的充分条件的定理“若/对乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),则函数f(X在(a,b内严格增加或严格减少)。
”则可使解法简化,并能使问题得以深化和拓展。
(2证明不等式。
不等式在中学数学中占据着重要地位,这体现于它在解方程（如解不定方程、三角方程、对数方程等)和有关函数的问题、三角证明题、极值、条件极值、几何证明题等诸方面的应用。
不等式的证明方法多种多样,没有一个统一的模式。
初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式,其中进行巧妙的恒等变形,形成非负的项或者凑成可利用的重要不等式洳Vb等)是极有生命力和创造力的方法,但这里往往要有较高的技巧。
化繁为简,从形象到抽象——初中数学函数教学方法的几点思考发布时间：2022-11-28T02:31:04.240Z 来源：《教学与研究》2022年第14期第56卷作者：高松叶[导读] 初中数学一直是老师家长比较关心的一门科目，随着年级的提升，数学题的难度也在逐渐增加高松叶乐清市翁垟第一中学，325606。
摘要：初中数学一直是老师家长比较关心的一门科目，随着年级的提升，数学题的难度也在逐渐增加，然而对于现阶段的学生来说，在困难面前是会轻易放弃的年纪，这也就导致了有相当一部分学生数学成绩不好，说好了努力学习总是会三分钟热度，没有坚持不懈的恒心与决心。
大部分初中数学教师考虑到中考复习的进度，在教学过程中会采用多媒体视频教学的模式帮助学生理解数学解题步骤，但是这种只依靠眼睛观看的方式会导致学生理解记忆不够深刻，在以后解决数学问题时就会遇到各种各样的阻碍。
关键词：初中数学；函数教学；方法策略引言：正处于初中阶段的学生或多或少地都在面对着未来的中考，尤其是初三备考的同学更是身体上和心灵上受到了双重压力，所以大部分学生都在绞尽脑汁地想要将成绩在短时间内飞速上升，这种急迫的心情使得学生越来越重视刷题，固执地认为只要坚持长时间地刷题，学习成绩就能快速提升。
其实不然，学生应该做的还是要打好基础，将自己不懂的问题通过探究合作来解决才是最正确的方法。
一、传统数学课堂教学模式存在的问题1.灌输式教学，学生的学习兴趣不足应试教育的深入开展使得家长无时无刻都在担心自家孩子的学习成绩问题，想法设法地把孩子成绩提上去，给孩子报名作业辅导班就成了家长一贯的做法，虽然这样的方法可以让孩子在短时间内提高成绩，但是一旦遇见没有做过的习题，孩子就会立马陷入被动，成绩下降飞速。
传统的教育观念影响了新型教育模式的发展，一些教师仍在传统教育观念的影响下固步自封，墨守陈规，不想冲破自己的教育舒适圈，采用新的教学模式开展教学内容，这也就导致了学生眼中数学这一学科一直是呆板枯燥的形象，影响了学生继续探索数学奥秘的好奇心。
海南省澄迈县第三中学初中数学教师论文课堂有效教学的探索与实践有效教学关注学生的进步和发展，教师的教是以学生学得好不好为标准。
教师必须确立学生的主体地位，关注每一个学生，树立"一切为了学生的发展"的思想，其实从发展的观点看，随着一个人不断地受教育，学生越来越不成为对象，而越来越成为学习的主体，教学也就越来越变成了学习。
强调关注学生同时也意味着要重视教师与学生“学习共同体”关系的建设——老师和学生是“同学”。
有效的数学教学更应体现数学的本质，以挖掘数学知识的内在联系、揭示数学规律的形成过程、提炼数学的思想方法、体验数学的理性精神为核心，强调对更多学生适度紧张的智力活动的关注，数学课堂的学习活动应充分体现数学味道，以智力活动反对形式主义，已有经验的简单再现和低水平重复很难促进学生的智力发展。
学生的进步不能仅限于知识的掌握，任何一个有效教学必定要促进学生当下发展，同时对学生长远发展也会有影响，有效的课堂教学活动沉淀下来的是一种思维方式和精神。
二、应采取有针对性的措施来实施有效教学，设计和创设出有效的数学课堂活动，促进学生形成有效的数学学习。
（一）创设有效的数学情境教学数学如此抽象，人们在小学时或许还感受得到数学之美，但接触到更加抽象复杂的领域后，往往望而却步，所以初中学生的心理发展特点决定了其数学学习在很长一个时段需要相对具体形象的材料来支撑。
有效的数学教学情境并不只指多媒体影像，它可以是多方面的。
1、有的教学情境与生活背景相联，从生活到数学；通过大量的生活中常见的实物实例，让学生感受数学与生活的紧密联系；“概率初步”“生活中的图形”等内容，都可以通过实验记录、图形设计等对实际问题的解决，让学生感受概率的概念与应用及学习图形的必要性。
2、有的教学情境与带挑战性的问题相联，从问题到数学，建立在学生最近发展区上，且能够用本节课所学知识与方法解决，很好地激发了学生的学习兴趣和求知欲望。
3、有的教学情境与实践活动相联，从活动到数学：如“用频率估计概率”这节课，我通过学生设计统计表、整理数据、填写统计表、绘制统计图、进行决策等一系列的活动情境来让学生在实践与操作中发现问题、提出问题、解决问题；很多课题都可以通过学生动手制作、观察发现、小组活动等情境引导学生动手实践、合作交流。
小组合作学习模式在初中数学教学中的运用王海芬发布时间：2023-05-31T05:10:16.544Z 来源：《中国教师》2023年6期作者：王海芬[导读] 随着新课程教学理念的提出，初中数学教学中也要不断的改革创新。
小组合作学习模式在初中数学教学中的应用，能够让学生更加积极主动的融入知识所学，提升学生的学习效率。
为此，在初中数学教学中，要能够基于学生实际的基础上，采用小组合作学习方式方法，让学生融入知识所学，促进学生学习效率的提升。
黑龙江省七台河市第四中学黑龙江省七台河市 154600摘要：随着新课程教学理念的提出，初中数学教学中也要不断的改革创新。
小组合作学习模式在初中数学教学中的应用，能够让学生更加积极主动的融入知识所学，提升学生的学习效率。
为此，在初中数学教学中，要能够基于学生实际的基础上，采用小组合作学习方式方法，让学生融入知识所学，促进学生学习效率的提升。
关键词：初中数学；合作学习；策略初中数学教学中，通过小组合作学习方式方法的应用，不仅能够极大的提升学生参与到知识学习的主观能动性，也能够提升教育教学质量，这也就需要教师不断的更新自身的教学理念，优化教学方式方法。
基于学生实际，科学合理的实用小组学习，让学生融入知识学习当中，深化对知识的理解，提升教育教学效率。
一、提供充足时间，开展小组学习初中数学教学中所涉及的知识内容相对比较复杂，对于学生来说可能存在一定的困难。
通过小组合作学习的形式，让学生以小组为单位参与到知识学习中，为学生提供更多的思考机会和方式，能够让学生对知识的学习有更加深层次的思考。
通过引导学生对问题的分析思考，便于学生知识学习效率的提升，学生以小组为单位进行知识的合作，也能够强化学生之间的沟通交流，有效的落实知识教学。
但是也有一些教师认为，小组合作学习形式，过于浪费教学时间。
依然会采用传统的方式方法进行知识的讲解，导致学生对知识的理解认知不足。
为此，在当前初中数学教学中，教师要能够在基于知识内容的基础上，引导学生进行合作探究，便于学生深化对知识的认知，构建相对完善的知识体系。
方法在数学学习中的意义初探一、方法的重要性众所周知，数学不仅是我国而且也是世界基础教育中的一门主课，数学是打开科学大门的钥匙，是引导人们进行理性探索的工具，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分…，因此，我们要认真把握好这把打开科学大门的钥匙。
而要真正地把握好，就需要掌握其中的真谛，这就是——“数学方法”，良好的方法可以让你在学习时达到事半功倍的效果，反之将是收效甚微、事倍功半。
所以又有人说：掌握一种数学方法，比做一百道题更重要。
下面就是笔者从教育教学实践活动中总结出的几种数学方法。
二、具体的数学方法（一）转化法所谓转化法，就是将难的转化为容易的，将未学过的转化为学过的，将复杂的转化为简单的方法。
我们在学习三角形、梯形、平行四边形、圆形的面积计算时，我们就利用到转化的方法，让它们先通过割补的方法转化为学过的图形，从而发现其中的规律，推导出计算公式。
它不仅在数学领域中广泛使用，在其他行业里也屡见不鲜，因此，转化的思想应该在学生的心灵中生根发芽。
（二）联想法联想的方法又分为很多种，现主要介绍三种：＜１＞归纳联想法，就是进行由点到面的联想猜测的方法。
如我们在学习５的倍数特征时，我们就是这样联想：①先想一下我们知道的５的倍数有哪些？②再把它们按顺序排列起来，５，１０，１５，２０，２５…，③最后仔细观察这些数，归纳出规律：一个数的个位上是０或５的数就是５的倍数．２和３也是这样联想的．＜２＞类似联想法，即由一个事物想到另一个和它相似事物过程的方法。
如我们在学习梯形的面积时，我们就先复习以前三角形面积的推导过程，２个完全一样的三角形可能拼成一个平行四边形，这个三角形的面积就等于这个平行四边形面积的一半。
梯形的面积也可以这样推导吗？这就是情不自禁想到了。
＜３＞对比联想法，它是由一个事物引起和它具有相反特点事物的联想猜测法。
如我们在学习“负数”时，就可以采用对比联想，上海今天的气温是4℃，表示为+4℃，而北京的气温是零下4℃，应该怎样表示呢？可以用—4℃吗？对比联想，非常正确！如果有意识地灵活运用各种联想法，那学习效果是可想而知的，让我们插上联想的翅膀，在数学的世界里自由飞翔吧。
例谈“分类讨论思想”在总复习中的落实内容摘要：分类讨论思想是初中阶段基本的数学思想之一，它既能考查学生的综合解决问题的能力，也能考查学生思维的严谨性、条件性，是中考不可或缺的思想和方法．因此，初三总复习阶段，应关注学生“分类讨论思想”的培养．全文主要运用具体事例说明分类思想的落实手法和基本策略，展示日常教学中渗透分类思想的具体过程，培养学生优良的思维品质，不断提高教学实效．关键词：分类讨论思想；初三；数学；落实分类讨论思想，是一种重要的思想方法，是近年来全国各地中考卷数学卷中必考的数学思想方法，它是根据数学对象本质属性的异同点，将数学对象区分为不同种类，然后逐类进行研究与解决，最后整合得到完整的答案．分类，既是一种数学思想，也是一种数学方法，故称分类讨论的思想方法．以此为考查目标的中考试题，小到选择、填空，大到基本解答，无处不在，无时不在．这类试题，只要学生稍不留神就会因“考虑不周”而漏解，究其原因主要是日常教与学的过程中，尤其是初三总复习阶段，对该思想渗透不够，思想落实手法不够科学．本文主要通过具体事例说明分类讨论思想的落实手法和基本策略，展示日常教学中渗透分类思想的具体过程，培养学生优良的思维品质，不断提高教学实效．1以学生解题的认知局限为契机，培养分类讨论的思维意识皮亚杰认为：学习是建构内部心理表征的过程，学习者并不是把知识从外部“搬”到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外部环境的相互作用来建构新的图式．进入初三复习阶段，学生已接触过分类讨论的问题，但在具体解题过程中仍存在着不会分类讨论、分类讨论意识不强等认知局限．因此，在教学中要遵循循序渐进、适时渗透、逐步深化的原则，使学生逐步养成分类讨论的思维意识．1.1在充分展示思维过程中培养在遇到分类讨论问题时，教师要从学生已有经验入手，引导学生用自己的语言说出解决问题的过程与策略，给足学生说话的机会，鼓励学生积极地说，大胆地说，充分暴露他们的思维过程，以便了解学生在分类讨论上存在的不足与缺陷，为教师渗透分类讨论思想提供契机．例1已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边是 .生（直接回答）：是5.师：请说说你的解题思路好吗？你是如何得到这个结果的？生：根据勾股数组3，4，5，得到这个直角三角形的第三边是5.师：有不同意见吗？生：有．因为勾股数组3，4，5中的3，4是直角边，而题中的3，4是直角三角形的两边长，此时4即可以是直角边，也可以是斜边，所以这个直角三角形的第三边为5或7. 师：很好．题中直角三角形的两边长分别为3和4，我们不能确定3，4两条边都是直角边，或是一条是直角边、一条是斜边．当一个问题遇不确定因素时，往往需要对此种对象进行分类，只有这样才能避免漏解．1.2在引导学生自我探究中培养进入初三阶段，要根据学生的年龄特征、认识水平和知识结构，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括等自我探究，逐步培养分类讨论思想．例2 已知点P 是反比例函数2y x图像上的一个动点，⊙P 的半径为1，当⊙P 与坐标轴相交时，点P 的横坐标x 的取值范围是 .图1分析：先让学生自己学会审题，若学生被已知图形所思 维定势，我们可提醒学生再理解“点P 是反比例函数xy 2 图像上的一个动点”这句话．此时，学生可能会发现点所在象限具有不确定性，即点P 可能在第一象限的图像上，也可能在第三象限的图像上，这样引导学生自己审题就能有效避免遗漏现象，同时在无形之中培养学生分类讨论意识．上述所举例子启示我们，在教学中遇到分类讨论题目时，要让学生在独立思考的基础上引导学生遇到不确定的对象时，需对所讨论的对象进行合理分类，帮助学生在解题中形成分类意识．试想如果教师不去问，不去让学生说出自己的思考过程，或不引导学生主动去探究知识的形成过程，自然而然就很难在学生的脑海中形成分类讨论意识．2 以遵循学生的认知规律为基础，掌握分类讨论的正确方法数学教学不只是教知识，更重要的是教会学生思维．俗语说“授之以鱼，不如授之以渔”．因此在实施分类讨论的教学过程中，教师应遵循学生的认知规律，根据学生的认知规律开展教学活动，关注知识的生成、发展过程．在此基础上让学生掌握合理的分类方法．2.1确定分类对象当题目中出现等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、梯形、等腰梯形等图形的一些边长或角，我们往往将能确定的线段或角作为分类对象．如例1中，我们将直角三角形中的能确定的两边长作为分类对象．对运动型问题，我们往往将点、线运动到不同的位置作为分类对象，或将两个图形在运动过程中重合部分不同形状的图形作为分类对象等等．2.2选择分类标准确定分类对象是分类的前提．当分类对象确定时，我们就要开始选择分类标准．如例1中，我们将直角三角形中能确定的两边长作为分类对象后，我们选择3，4两条边都是直角边或一条是直角边、一条是斜边分类标准．涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、梯形、等腰梯形等图形，我们往往将能确定的线段或角作为分类对象后，我们可选择图形的腰或底或直角顶点作为分类标准等等．2.3做到不重不漏确定分类的对象是分类的前提，选择分类的标准是分类的关键，确定分类的结果是分类的终结．如例1，当选择分类标准后，4既可以是直角边，也可以是斜边，所以这个直角三角形的第三边为5或7等等．3 以专题性系统性训练为手段，提升分类讨论的能力水平分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握．这就要求我们在了解学生已初步形成分类思想，并基本掌握分类讨论方法的基础上，再加强专题性系统性的训练，从而使学生在巩固深化不断提升分类讨论的能力．3.1 借助不确定的字、词、句，捕捉题中隐含的分类信息许多题目往往在字里行间隐含了分类讨论的信息，其中不确定的字词句是佐证，教师需要引导学生学会解读与捕捉．3.2借助动手操作，减少分类讨论的难度运动型问题、折叠问题，在运动、折叠的过程中会产生不同形状的图形，情形较复杂，需要进行分类讨论．而要寻找出不同形状的图形，需要较强的空间想象力，学生往往对不同形状的图形找不完整．此时，学生若剪一个与题中全等的图形，进行平移或旋转或折叠等符合题意的操作，就能很大程度地避免漏解，同时对分类讨论问题的解决更有把握与信心，进一步增强了成就感，极大地激发了学生对分类讨论问题的兴趣．3.3借助分析问题，让学生感受分类思想是一种数学美作为教师，最重要是教会学生如何分析问题．在学生掌握了分类讨论方法后，若题中需运用分类去解题，并使解题速度更快、更准确，那就需更强的分析问题能力，让学生真切地感受到运用分类去解决数学问题，可谓真美啊．（如下例题）例7 一副三角板按右图所示叠放在一起，若固定△AOB ，将△ACD 绕着公共顶点A ，按顺时针方向旋转α度（1800<<α），当△ACD 的一边与△AOB 的某一边平行时，相应的旋转角α的值是 .图7分析:很多学生拿到此题，不经过分析，就立即拿出一副三角板按图示方法进行旋转，结果得出的答案既有遗漏的也有错的，而有的学生就会边审题边分析．一个注意到角α的范围、另一个题中出现与某一边平行具有不确定性需分类、最后借助一副三角板放在桌面上进行操作．在操作的过程中因使△ACD 的一边与△AOB 的某一边平行，据平行的定义与性质，经分析不难知道在旋转过程中AC 、AD 始终与AO 、AB 相交，所以AC 、AD 只能与OB 平行，此时 α为45°与135°，而CD 边可与△AOB 的三边平行，经分类可知α为30°、75°、165°．通过这种分析，让学生感受到数学原来如此美啊！只要学会分析，再加上分类，这么多得答案也能轻而易举得满分．参考文献：[1] 胡兴余. 中学数学教学思想与方法[M].上海:上海社会科学院出版社，2007, 75-76.[2] 易良斌. 分类讨论问题[J]. 中学数学教学参考，2008（3）: 49-50.。
数学学习方法及其指导北郭一中------宋海芬近几年来，旨在教会学生会学习、提高学生自学能力的学法指导的研究和实践已是基础教育改革的一个热门课题。
这一课题的提出和研究，不仅对当前提高基础教育质量、实施素质教育具有现实意义，而且对培养未来社会发展所需要的人才、促进科教兴国具有历史意义。
随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。
不仅如此，数学教育的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的提高具有巨大的影响。
因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。
可目前由于受“应试教育”的影响，数学教学中违背教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。
在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。
一对数学教学如何实施数学学习方法的指导，人们进行了许多有益的探索和实验。
首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒散，不肯动脑；不订计划，惯性运转；忽视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；死记硬背，机械模仿；不懂不问，一知半解；不重基础，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，轻视复习”［１］等等。
针对这些问题，提出了相应的数学学法指导的途径和方法，如数学全程渗透式（将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学习总结、课外学习等各个学习环节之中）［２］；建立数学学习常规（课堂常规———情境美，参与高，求卓越，求效率；课后常规———认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑；作业常规———先复习，后作业，字迹清楚，表述规范，计算正确，填好《作业检测表》，重做错题）［３］等等。
诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质，采劝对症下药”的策略，开展对学习常规的指导，无疑会收到较好的效果。
但是，数学学习方法的指导，决不能忽视数学所特有的学习方法的指导。
可以说，这才是数学学法指导之内核和要害。
也就是说，数学学法指导应该着重指导学生学会理解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交流、学会用数学解决实际问题等。
有鉴于此，笔者主要从“数学”、“数学学习”出发，来阐释数学学习方法，论述数学学法指导。
二从数学的角度出发，就是要考察数学的特点。
关于数学的特点，虽仍有争议，但传统或者说比较科学的提法仍是３条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。
１．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。
比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。
因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。
而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。
２．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。
比如，“三角形内角和为１８０°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。
在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。
事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其主要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。
探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。
从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式”［４］。
又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严谨性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。
三从数学学习的角度出发，就是要通过对数学学习过程的考察，引申出数学学法指导的内容和策略。
关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构的改变（顺应），于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”［５］。
通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下３点：１．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。
由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号（主要是语言）活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作（可要求学生尽可能多地制作学具，操作学具）；二要重视学生的言语表达（给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流）。
２．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。
所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。
因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。
在数学学法指导中，须注意如下几点：①加强数学知识间联系的教学。
无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，都要从知识间的联系出发。
②重视数学思想的挖掘和渗透。
由于数学思想是对数学的本质的认识，因而数学思想是数学知识结构建立的基础。
常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形结合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。
③注重数学方法的明晰教学。
数学方法作为解决问题的手段，是建立数学知识结构的桥梁。
常见的数学方法有：化归法、构造法、参数法、变换法、换元法、配方法、反证法、数学归纳法等。
３．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。
而这种学习机制主要就是对学习新知过程的监控和调节，即所谓的元学习。
实质上，能否会学，关键就在于这种学习是否建立起来。
于是，元学习的指导又成为数学方法指导的重要内容。
为此，在数学学法指导中，需要注意：①要传授程序性知识和情境性知识。
程序性知识即是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。
情境性知识即是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种情境性知识。
②尽可能让学生了解影响数学学习（数学认知）的各种因素。
比如，学习材料的呈现方式是文字的、字母的，还是图形的；学习任务是计算、证明，还是解决问题，等等。
这些学习材料和学习任务方面的因素，都对数学学习产生影响。
③要充分揭示数学思维的过程。
比如，揭示知识的形成过程、思路的产生过程、尝试探索过程和偏差纠正过程。
④帮助学生进行自我诊断，明确其自身数学学习的特征。
比如：有的学生擅长代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而理解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。
⑤指导学生对学习活动进行评价。
如评价问题理解的正确性、学习计划的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。
⑥帮助学生形成自我监控的意识。
如监控认知方向意识、认知过程意识和调节认知策略意识等等。
四根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等５类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这５类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈谈自己的认识。
１．根据学生的学情安排例题。
如前所述，学习新知必须建立在已有的基础之上，从内容上讲，这个基础既包括知识基础，又包括认知水平和认知能力，还包括学习兴趣、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统方面的准备。
因此，无论是选配例题，还是安排例题，都要考虑到学生的学习情况，尤其是要考虑激发学生认知兴趣和认知需求的原则（称之为动机原则）。
在例题选配和安排中，可采取增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。
所谓增，即根据学生的认知缺陷增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。
所谓删，即根据学生情况，删去比较简单的例题或要求过高的难题。
所谓调，即根据学生的实际水平，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。
２．根据学习目标和任务精选例题。
例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识，应用知识，巩固知识；莫过于训练数学技能，培养数学能力，发展数学观念。
为发挥例题的这些基本作用，就要根据学习目标和任务选配例题。
具体的策略是：增、删、并。
这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技能、某种数学能力等重点内容而增补强化性例题，或者根据联系社会发展的需要，增加补充性例题。
这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。
所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的联系打破单元界限而把不同内容的例题综合在一起。
３．根据解题的心理过程设计例题教学程序。
按照波利亚的解题理论，一般把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾等４个阶段。
这是针对解题过程本身而言的。
但就解题教学来说，还应当增加一个步骤，也是首要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生一种认知的需要。
对于“进入问题情境”环节，要求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标，明确学习任务，激起认知冲突。
而对其余４个环节，教师的行为可按波利亚的“怎样解题表”中的要求去构思。
一般教师和学生都能够注意做到做好前３个环节，却容易忽视“回顾”环节。
４．根据数学方法指导的目的和内容适度调整例题。
对于“开放性题”，由于它的结论不唯一，对培养学生数学思维有着至关重要的作用。
对于“数学应用题”，则由于它的解决要用数学模型法，因而对培养学生运用分析问题和解决问题的方法是十分重要的。
从数学学法指导的角度来说，适度调整例题很有必要。
调整的策略有二：一是改，即将已有的题型变换为别的题型；二是增，即增加与知识点有关的“开放性题”和“数学应用题”。
５．注重对例题的全方位反思。
例题的作用是多方面的，除上文提到的几点外，例题教学还具有传授新知识，积累数学经验，完善数学认知结构。
数学学习方法及其指导宋海芬北郭一中。
