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半导体中电子和空穴的统计平衡分布作者：侯博伟来源：《硅谷》2010年第08期摘要: 半导体的电导率直接依赖于导带中电子和价带中的空穴的多少。
电子在半导体中各能级上如何分布的问题是个基本的问题。
在热平衡的半导体中,电子和空穴依赖于热激发产生。
平衡时电子在各能级上的分布服从一定的统计规律,它与激发电子和空穴的具体过程无关。
讨论包括有杂质在内的平衡的半导体中电子和空穴的数目及其随温度的变化。
关键词: 半导体;统计;分布;载流子;导带电子;价带空穴中图分类号:TN3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2010)0420037-011 费米分布波尔兹曼分布1.1 费米分布。
半导体中的电子数目是很大量的,在某一温度下,这数目众多的电子一方面做共有化运动,另一方面又做无规则的热运动。
所以,每个电子都有不同的能量状态,就对每一个电子来说其能量也是不断变化的。
因此,必须从大量电子的整体来找出其各种参数的统计规律。
费米分布函数描述了热平衡状态下,在一个费米粒子系统中能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率。
在费米分布中,EF是一个很重要的物理参数,称为费米能级或费米能量。
EF 与温度、电子系统的性质有关,它可以由系统被所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于系统中电子的总数N来决定,即∑f(Ei)=N晶体中作共有化运动的电子的量子能态分裂成能带,能带与能带之间隔着禁带。
通常对金属晶体而言,价电子只能部分地填满最外的异带,因而费米能级的位置在异带中。
而半导体的价电子却填满了价带,而最外的导带是空的,其费米能级的位置在禁带的范围内,而且随着掺杂浓度以及温度的不同而改变了导带和价带的电子浓度,则改变了共有化能量状态被电子占据的概率。
1.2 波尔兹曼分布。
在统计物理中波尔兹曼-麦克斯韦分布是针对非常稀薄的微粒子系统而统计得到的结果。
它与费米粒子系统的最大区别是:当粒子系统中的微粒子非常稀少时,粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去了意义。
热平衡时的能带和载流子浓度在半导体物理学中，我们经常涉及到热平衡状态下的能带结构和载流子浓度。
热平衡指的是系统达到了一个稳定的状态，其中能量的输入和输出保持平衡。
热平衡的能带和载流子浓度对于理解半导体材料的电学特性至关重要。
能带结构能带结构描述了半导体中电子和空穴的能量分布情况。
在热平衡状态下，半导体能带结构可由两个重要的能带：价带和导带来描述。
价带价带是位于较低能量的能带，其能量由半导体的原子结构决定。
在半导体中，价带被填满着电子，电子处于能量最低的态。
价带中的电子无法自由移动，因为它们的能量较低，受到原子核的束缚。
导带导带是位于较高能量的能带，其能量介于价带和禁带之间。
禁带是价带和导带之间的能量间隔，代表了半导体中电子由价带跃迁至导带所需的最小能量。
在热平衡状态下，半导体内的导带中可能存在填充的电子，这些电子具有足够的能量来从价带跃迁至导带。
因此，热平衡时的能带结构可看作价带中填充满电子，导带中存在一定浓度的自由电子。
载流子浓度载流子是指能够在半导体中传递电荷的带电粒子，包括电子和空穴。
电子浓度在热平衡状态下，半导体中的电子浓度可以由费米-狄拉克分布来描述。
费米-狄拉克分布指明了电子在能带中处于不同能量态的概率。
电子浓度的准确计算需要考虑诸多因素，包括材料的能带结构、温度和掺杂等。
在半导体中，电子的浓度通常由以下公式给出：$n_e = N_c \\exp \\left(\\frac{-E_{c}-E_{F}}{kT}\\right)$其中，N c为有效载流子状态密度，E c为导带底的能量，E F为费米能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
空穴浓度空穴浓度指的是热平衡时价带中待填充的状态数。
与电子浓度类似，空穴浓度也可以由费米-狄拉克分布来计算。
在热平衡状态下，空穴浓度可以用以下公式表示：$p_h = N_v \\exp \\left(\\frac{E_{F} - E_v}{kT}\\right)$其中，N v为价带顶的有效载流子状态密度，E v为价带顶的能量。
半导体物理第一章半导体中的电子状态单电子近似：即假设每个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场及其他电子的平均势场中运动。
该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。
1.1半导体的晶格结构和结合性质1.大量的硅、锗原子组合成晶体靠的是共价键结合，他们的晶体结构与碳原子组成的一种金刚石晶格都属于金刚石型结构。
2.闪锌矿型结构（见课本8页）1.2半导体中电子的状态和能带1.Φ(r,t)=Ae i(k.r−wt) k为平面波的波数2.k=|k|=2л/λ波的传播方向为与波面法线平行3.在晶体中波函数的强度也随晶格周期性变化，所以在晶格中各点找到该电子的概率也具有周期性变化的性质。
这反映了电子不再完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中某一点自由运动到其他晶胞内的对应点，因而电子可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子在晶体内的公有化运动。
1.3半导体中的电子的运动有效质量1.导带低电子的有效能量1h2(d2Edk2)k=0=1m n∗2.引进有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中的电子外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。
3.能量带越窄二次微商越小，有效质量越大。
内层电子的能量带越窄，有效质量大；外层电子的能量带宽，有效质量小。
1.4本征半导体的到点机构空穴1.可以认为这个空状态带有正电。
2.正电荷为空状态所有，它带的电荷是+q。
3.空穴：通常把价带中空着的状态看成是带正电的粒子，称为空穴。
.空穴不仅带有正电荷+q，而且还具有正的有效质量。
4引进空穴概念后，就可以把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表达出来。
半导体中除了导电带上电子导体作用外，价带中还有空穴的导电作用，这就是本征半导体的导电机构。
1.6 硅和锗的能带结构硅和锗的禁带宽度是随温度变化的，在T=0K时，硅和锗的禁带宽度E g分别趋近于1.70eV和0.7437eV.随着温度的升高，E g按如下规律减小E g（T）=E g（0）- -aT2T+β,式中E g（T）和E g（0）分别表示温度为T和0K时的禁带宽度，a,β为温度系数。
