D导数的概念求导法则

Δx → 0
Δx
或 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) .
h→0
h
注意: f ′( x0 ) = f ′( x) . x=x0 f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x)在点 x0的导数f ′( x0 )是因变量 在点 x0处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x0 ) = a ⇔ f−′( x0 ) = f+′( x0 ) = a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导. 直接用定义;
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解 ∵sin 1 是有界函数 , ∴ lim x sin 1 = 0
x
x→0
x
∵ f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
x→0
但在x = 0处有
Δy
=
(0 + Δx)sin 1 0 + Δx
注意 导数的几何意义与物理意义
（1）几何意义
y
f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角)o
y = f (x)
T
M
α

lim
x0
f (x) x
f (0)
(x 1) 1
lim
1.
x0
x
所以 f(0) f(0) 1，由定理 3.1.1 知，函数 f (x) 在点
x 0 处可导，并且 f (0) 1.
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续解 当 x 0 时， f (x) ex , f (x) (ex ) ex;
lim y x x0 x
lim
x0
y x
lim x x0
f
(x0 ) 0 0,
即表明函数 y f (x) 在点 x0 点连续.
2023/4/22
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注 1（逆否命题） 如果函数 y f (x) 在点 x0 处不连续，则 函数 y f (x) 在点 x0 处不可导.
lim f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x0
x
当 x 0, f (0) 0,
y y x
o
x
f ' (0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f
'
(0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f (0) 不存在.
即
(|
x
|)
1 1
x0 .
x0
例
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.

§2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：x x x f cos sin )(1+=x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅=)sin()(2ax x g = xxx f a log cos )(3=x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4=xx g arccos )(4=一、导数的四则运算问题1 设,求.x x x f cos sin )(±=)('x f 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,.)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== 即)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明 令 )()()(x g x f x y +=。

§ 2求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识 ，要求大家：深刻理解导数概念 ，能准确表达其定义；明确其物理、几何意义，会求曲线上一点的切线方程 ；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的区别和联系 ；明确导数与单侧导数，可导与连续的关系•特别要注意，要学 会从导数定义出发求某些导数的导数•例如，我们上节课已计算出左边所列的导函数，并且我们知道，计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算 •因此，从理论上来讲给了一个函数(不管它是简单函数，还是复杂函数)，总可用定义求其导数 (只要极限存在)但从我们计算左边几个函数的经验知道 ，用定义计算函数的导数是比较繁琐的•试想对基本初等函数的导数计算(用定义求导)都如此繁琐，对一般的初等函数更是不可想象•因此，我们不能满足于只用导数定义求导数，而应去寻找一些求导数的一般方法 ，以便能较方便地求出初等函数的导数 •在给出较一般的方法之前，先看以下函数如何求导数：f 1(x) si nx cosxg 1(x) si n 2x f 2(x) sin x cosx g 2(x) sin (ax) cosxg 3(x) arcsinx log a x、导数的四则运算即(sin x cosx)' (sin x)' (cosx)'一般地，有如下和的导法则：定理i (和的导数) 设f(x)，g(x)在x 点可导，则[f(x) g(x)] f (x) g (x)(求导是线性运算) 证明令 y(x) f (x) g(x)y [f(x x) g(x x)] [f(x) g(x)] xx f(xX ) f(x) g(x x) g(x)xxf (x)g (x) 当 x 0 时。

_xxx问题 2 设 f (x) sinx a ,则 f'(x) (sinx)'(a )' cosx a ln a 对吗? 分析 一般地，有如下乘积的求导法则:f 3(x) f 4(x)csin x g 4(x) arccosx问题1设f(x) sin x cosx ，求 f '(x).分析利用导数的定义及极限的四则运算知f' (x) cosx sin x(sin x)' (cosx)'.定理2 (积的导数)设f (x), g(x )在x 点可导，则 f (x) g(x) f(x) g(x)(它导它不导，它不导它导，然后加起来) 令 y(x) f(x[f(x) g(x)] 证明f(x) g(x) x) g(x x) f(x) g(x)X(分子 f(x) g(x f(x x) f(x) / g(xX) f(x) g(x X))x) f(x)g(X X) g(X)xxf (X) g(x) f (X) g(x)当 x0时。