精品课件-8商务统计学-.7无交互作用双因素方差分析假设检验
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方差分析
X ijk i j ij ijk
观测值
总平均
的效应
试验误差
因素A 的效应
交互作用 的效应
有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型
X ijk i j ij ijk
1 a b 其中 ij 所有期望值的总平均 ab i 1 j 1 1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1
i 1 j 1 k 1
a
b
n
2
可分解为： SST SS A SS B SS AB SS E
SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验
指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平 方和，反映试验误差对试验指标的影响。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij
j 1
b
X i. Ti. b
A1 ... Aa
a i 1
T1. ... Ta .
a b i 1 j 1
线性统计模型 X ij i j ij
1 a b 所有期望值的总平均 其中 ij ab i 1 j 1 1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
方差分析法PPT课件
计算各样本平均数 y 如i 下:
表 6－2
型号
ABCDE F
yi
9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
•5
引言 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
y 1与 y ,2 与y 1 ,…y 3 与 y ,1 与y 6 ,…y ,2 与y 3 ,共有y (5
6.3 显著性检验
利用(6-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给定的显著水
平,可以从F分布表查出临界值
A的值.
F(k1,k(再m根1)据),样本观测值算出F
当 FAF(k1,时k(m ,拒1绝))H0,
当 FAF(k1,,时k(m ,接1 受))H0。
即：如果H0成立，F应等于1；相反应大于1，而且因素的影响越大， F值也越大
m
km
T Tj Yij
•38
j1
作统计假设：6种型号的生产线平均维修时数无显 著差异，即
H0： i=0（i=1,2,…,6）,H1:i不全为零
•37
6.3 显著性检验
计算SA及SE
k
SA
k
m
i1
(Yi
Y)2
Ti2
i1
m
T2 km
k
km
km
Ti2
SE i1
(Yij Yi)2
j1
i1
j1Yij2i1m
m
Ti Yij
j 1
相当于检验假设
H0 : i 0 (i=1,2,…,k) , H1 : αi不全为零
•29
6.3 显著性检验
可以证明当H0为真时,
ST
2
~2(k
商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验
i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中， 鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值 下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt
交互作用双因子方差分析
交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。
在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。
交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。
与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。
在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。
然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。
主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。
交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。
显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。
双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。
通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。
然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。
首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。
此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。
总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。
通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。
双因素方差分析实例
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❖ 因素“化验员”的平方和、自由度、均方、F值和sig。 值分别为0.028、2、0.014、0.548和0.587；因素“酒罐 号”的平方和、自由度、均方、F值和sig。值分别为 26.759、9、2.973、115.452和0.000。
❖ 因素“酒罐号”的sig.＜0.01，说明不同酒罐内的葡萄 酒酒精度存在极显著差异；因素“化验员”的sig.＞ 0.05，说明3个化验员的检验(jiǎnyàn)技术没有显著差 异。
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❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著 (xiǎnzhù)；
❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著(xiǎnzhù)。
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双因素(yīn sù)方差分析（有重 复）
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为了提高某产品的得率，研究了 提取温度（A）和提取时间（B）对产 品得率的影响。提取温度（A）有3个 水平，A1为80℃、A2为90℃、A3为 100℃；提取时间B有3个水平，B1为 40min，B2为30min，B3为20min，共 组成9个水平处理组合，每个水平组 合含3个重复。实验(shíyàn)结果如 表所示，试分析提取温度和提取时间 对该产品得率的影响。
贮酒罐编号
化验
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
பைடு நூலகம்
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
A2
11.78 10.70 12.50 12.35 10.32 12.93 13.81 12.48 11.60 12.65
❖ 因素“化验员”的平方和、自由度、均方、F值和sig。 值分别为0.028、2、0.014、0.548和0.587；因素“酒罐 号”的平方和、自由度、均方、F值和sig。值分别为 26.759、9、2.973、115.452和0.000。
❖ 因素“酒罐号”的sig.＜0.01，说明不同酒罐内的葡萄 酒酒精度存在极显著差异；因素“化验员”的sig.＞ 0.05，说明3个化验员的检验(jiǎnyàn)技术没有显著差 异。
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❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著 (xiǎnzhù)；
❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著(xiǎnzhù)。
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双因素(yīn sù)方差分析（有重 复）
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为了提高某产品的得率，研究了 提取温度（A）和提取时间（B）对产 品得率的影响。提取温度（A）有3个 水平，A1为80℃、A2为90℃、A3为 100℃；提取时间B有3个水平，B1为 40min，B2为30min，B3为20min，共 组成9个水平处理组合，每个水平组 合含3个重复。实验(shíyàn)结果如 表所示，试分析提取温度和提取时间 对该产品得率的影响。
贮酒罐编号
化验
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
பைடு நூலகம்
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
A2
11.78 10.70 12.50 12.35 10.32 12.93 13.81 12.48 11.60 12.65
统计7：方差分析
11
三. 检验Ho的统计量 检验H
可以证明，当H 可以证明，当Ho为真时，统计量
∴在给定显著性水平α下，若 F > Fα(a-1, N-a) (a- N就拒绝H 说明各水平 A 的效应间存在显著差异， 就拒绝 Ho ， 说明各水平Ai 的效应间存在显著差异 ， 或称因素A的作用是显著的。 或称因素A的作用是显著的。 由于 SA /(a-1)和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内 /(a/(N数据的样本方差， 数据的样本方差 ， 故称这种基于检验样本方差比 的方法为方差分析 的方法为方差分析。 方差分析。
催化剂 温度 A1(60 A2(70 A3(80 A4(90
O
B1 66 81 97 79
B2 73 96 79 76
B3 70 53 66 88
4
C) O C) O C) O C)
案例2 案例2要研究的问题
1.温度是否对该产品的得率有显著影响?若确有显 温度是否对该产品的得率有显著影响? 著影响， 著影响 ， 应将温度控制在什么范围内可使得率最 高? 2.催化剂是否对该产品的得率有显著影响?若确有 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 有显著影响？如确有显著影响，哪种温度和催 化剂的组合可使得率最高？
促销方式 A 1 (通 常 销 售 ) A 2 (广 告 宣 传 ) A 3 (有 奖 销 售 ) A 4 (特 价 销 售 ) A 5 (买 一 送 一 ) 12.5 13.1 15.6 17.9 18.2 月 销 售 额 (万 元 ) 15.4 11.8 14.7 12.3 16.5 13.4 19.6 21.8 17.1 16.5 13.2 13.6 13.1 20.4 16.2
三. 检验Ho的统计量 检验H
可以证明，当H 可以证明，当Ho为真时，统计量
∴在给定显著性水平α下，若 F > Fα(a-1, N-a) (a- N就拒绝H 说明各水平 A 的效应间存在显著差异， 就拒绝 Ho ， 说明各水平Ai 的效应间存在显著差异 ， 或称因素A的作用是显著的。 或称因素A的作用是显著的。 由于 SA /(a-1)和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内 /(a/(N数据的样本方差， 数据的样本方差 ， 故称这种基于检验样本方差比 的方法为方差分析 的方法为方差分析。 方差分析。
催化剂 温度 A1(60 A2(70 A3(80 A4(90
O
B1 66 81 97 79
B2 73 96 79 76
B3 70 53 66 88
4
C) O C) O C) O C)
案例2 案例2要研究的问题
1.温度是否对该产品的得率有显著影响?若确有显 温度是否对该产品的得率有显著影响? 著影响， 著影响 ， 应将温度控制在什么范围内可使得率最 高? 2.催化剂是否对该产品的得率有显著影响?若确有 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 有显著影响？如确有显著影响，哪种温度和催 化剂的组合可使得率最高？
促销方式 A 1 (通 常 销 售 ) A 2 (广 告 宣 传 ) A 3 (有 奖 销 售 ) A 4 (特 价 销 售 ) A 5 (买 一 送 一 ) 12.5 13.1 15.6 17.9 18.2 月 销 售 额 (万 元 ) 15.4 11.8 14.7 12.3 16.5 13.4 19.6 21.8 17.1 16.5 13.2 13.6 13.1 20.4 16.2
8.7无交互作用双因素方差分析假设检验
得出检验结论
将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F 进行比较，作出对原假设H0的决策 根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临
界值 F
若FA>F(k-1,(k-1)(r-1))，则拒绝原假设H0 ，表明
所检验的行因素对观察值有显著影响
若FB>F (r-1,(k-1)(r-1))，则拒绝原假设H＇0，表明
提出假设
检验假设 H0 : a1 a2 ... ak 0
H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设 H0 : b1 b2 ... br 0
H1 : b1,b2 ,..., br不全为零
构建检验统计量
kr
总离差平方和 SST
( X ij X )2
F (k 1, (k 1)(r 1)) F (r 1, (k 1)(r 1))
(k 1)(r 1) —
—
—
总计 SST kr 1
—
—
—
小结
1.提出假设 2.构建检验统计量 3.得出检验结论
思考练习
无交互作用双因素方差分析问题研究时构建的 检验统计量服从什么分布？相应的自由度是多少？
总离差平方和分解公式：
kr
证明：SST
( X ij X )2
i1 j 1
kr
(( X i X ) + ( X j X ) + ( X ij X i X j X ))2
i1 j1
kr
kr
kr
( Xi X )2
所检验的列因素对观察值有显著影响
得出检验结论
表 无交互作用双因素方差分析表
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
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其中，X
均值
1 kr
k i 1
r
X ij
j 1
是数据的总平
其中，X i
本均值
1 r
r
X ij
j 1
其中，X j
本均值
1 k
k i 1
X ij
为水平 为水平
kr
随机误差平方和 SSE
( X ij X i X j X )2
i1 j 1
下的样 下的样
构建检验统计量
令
kr
SST
较，作出对原假设H0的决策
▪ 根据给定的显著性水平
界值 F
在F分布表中查找相应的临
▪ 若FA>F (k-1,(k-1)(r-1))，则拒绝原假设H0 ，表明
所检验的行因素对观察值有显著影响
▪ 若FB>F (r-1,(k-1)(r-1))，则拒绝原假设H＇0，表
明所检验的列因素对观察值有显著影响
得出检验结论
( X ij X )2
i1 j 1
kr
kr
X
2 ij
2
X
xij krX 2
i1 j1
i1 j1
kr
X
2 ij
krX
2
i1 j 1
k i 1
r j 1
X
2 ij
T2 kr
构建检验统计量
总离差平方和分解公式：
kr
证明： SST
( X ij X )2
i1 j 1
kr
(( X i X ) + ( X j X ) + ( X ij X i X j X ))2
(k 1)(r 1) —
—
—
总计 SST kr 1
—
—
—
小结
1.提出假设 2.构建检验统计量 3.得出检验结论
思考练习
无交互作用双因素方差分析问题研究时构建的检验统 计量服从什么分布？相应的自由度是多少？
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
知识就是力量，感谢支持 ！
----谢谢大家！！
方差分析假设检验无交互作用双因素
1.提出假设 2.构建检验统计量 3.得出检验结论
无交互作用双因素方差分析假设检验
在双因素方差分析中，若两个因素 和 A 的效B 应之间是相 互独立的，不存在相互关系，即因素 和 放在一起A对因B变量
取值的影响恰好等于它们各自对因变量取值影响的和，则为无交 互作用双因素方差分析。
i1 j1
kr
kr
kr
( Xi X )2
( X j X )2 +
( X ij X i X j X )2
i1 j1
i1 j1
i1 j1
构建检验统计量 检验假设 成立时，有 检验假设 成立时，有
相互独立 相互独立
构建检验统计量 ，
构建统计量
FA
SSA
2
SSE
2
((k
(k 1) 1)(r 1))
表 无交互作用双因素方差分析表
差异来源 离差平方和 自由度
F值
F 临界值
P值
因素 A 因素 B
误差
SSA SSB SSE
k 1 r 1
SSA/(k 1)
FA SSE / ((k 1)(r 1))
SSB /(r 1)
FB SSE / ((k 1)(r1)) F (r 1, (k 1)(r 1))
提出假设
检验假设
H0 : a1 a2 ... ak 0 H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设
H0 : b1 b2 ... br 0 H1 : b1,b2 ,..., br不全为零
构建检验统计量
kr
总离差平方和 SST
( X ij X )2
i1 j 1
组间离差平方和
SSA/(k 1) SSE / ((k 1)(r 1))
MSA MSE
~
F (k
1, (k
1)(r
1))
FB
SSB
2
SSE
2
((k
(r 1) 1)(r 1))
SSB/(r 1) SSE / ((k 1)(r 1))
MSB MSE
~
F (r
1, (k
1)(r
1))
得出检验结论
将统计量的值F与给定的显著性水平 的临界值F 进行比