明光一中2017-2018学年度高二数学（理科）1月月考卷注意事项：1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将第I 卷（选择题）答案用2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I 卷（选择题 60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.已知条件:p k =条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p ¬是q ¬的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件2.命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则 D. 若，则3.已知直线PQ 的斜率为将直线绕点P 顺时针旋转60，所得的直线的斜率是（ ）A ．0 BC D ．4.有下列命题：①若0xy =，则0x y +=；②若a b >，则a c b c +>+；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.直线2+=kx y 与双曲线194922=-y x 右支交于不同的两点, 则实数k 的取值范围是（ ）A ．21-<k B ．2165-<<-k C ．65-<k D ．5162k k <->-或6.如果方程22143x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,4 B ．()(),34,-∞+∞C ．()4,+∞D ．(),3-∞7.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两支分别交与点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D. 78.设曲线2y x =上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()()cos h x g x x =的部分图像可以为（ ）9.直线230x y --=与圆()()22239x y -++=交于,E F 两点，则EOF ∆（O 是原点）的面积为（ ）A.32 B. C. D. 34 10.已知函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20fx af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦B. 1ln6,3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. 1ln6,ln23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ln62,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心， b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ， N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( )A. 3B.C. 2D.12.已知函数在上单调递减，则a 的取值范围是( )A. ［0，4］B.C. ［0，］D. (0,] 第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知3()2'(1)f x x xf =+，则'(1)f =________.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于Q 点， P 是l 上一点（不与Q 重合），若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，则PF 的最小值是__________． 15.动点(),M x y 分别到两定点()3,0,- ()3,0连线的斜率之乘积为169，设(),M xy 的轨迹为曲线C ， 1F ， 2F 分别为曲线C 的左右焦点，则下列命题中： （1）曲线C 的焦点坐标为()15,0F -， ()25,0F ;（2）若01290F MF ∠=，则12F MF S ∆ 32=; （3）当0x <时， 12F MF ∆的内切圆圆心在直线3x =-上；（4）设()6,1A ，则2MA MF +的最小值为其中正确命题的序号是__________．16.椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ， B 两点，则2ABF 的周长是__________；若2ABF 的内切圆的面积为π， A ， B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则21y y -的值为__________． 三、解答题(共5小题 ,共70分)17. （本小题满分10分）已知右焦点为() 0F c ，的椭圆()222:103x y M a a +=>关于直线x c=对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点()4 0，且不垂直于y 轴的直线与椭圆M 交于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为E ，证明：直线PE 与x 轴的交点为F .18. （本小题满分12分）已知()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-．（1）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：对一切()0,x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立． 19. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y E a b+= (0)a b >>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q .求证：以PQ 为直径的圆恒过一定点M .并求出点M 的坐标.20. （本小题满分12分）在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点．（1）若为边上的高，求直线的方程； （2）若为边的中线，求的面积．21.（本小题满分12分）已知）x f (是定义在[]1,1- 上的奇函数，且1)1(=f ，当∈b a ,[]1,1-,0≠+b a 时，有0)()(>++ba b f a f 成立．（Ⅰ）判断）x f (在[]1,1- 上的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若12(2+-≤am m x f ）对所有的[]1,1-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1.D2.B3.C4.B5.B6.B7.A8.A9.B 10.A 11.C 12.C13.3- 14.2 15.(1)(3) 16. 16717.3a ≤102:≤≤-x p ，令A=[-2,10]； 2分:11q a x a -≤≤+,令B=[1-a,1+a]Q p 是q 的必要不充分条件，,B A A B ∴⊂⊄, 4分 012110a a a ≥⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩或0a < 解得：03a ≤≤或0a < 故3a ≤ 10分18.（1）解：由题意得椭圆M 的焦点在x 轴上………………………………1分∵椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，∴2a c =，………………………………3分∵223a c =+，∴2334a =，解得24a = (4)分∴椭圆M 的方程为22143x y +=.………………………………………………5分（2）证明：易知直线PQ 的斜率必存在，设直线PQ 的方程为()()40y k x k =-≠，代入22143x y +=得()2222343264120k x k x k +-+-=，由()()()22223243464120k k k ∆=--+->得，11 22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.…………………………7分 设()()1122 P x y Q x y ，，，，()22 E x y -，，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，……………………………………8分 则直线PE 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得：()()()122112122111121212448x k x x k x x x x y x y x y x y y y y k x x ⋅-+⋅--+=-⋅+==+++- ()222212122122641232242434341328834k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅⋅-+++===+--+，∴直线PE 过定点()1 0，，又M 的右焦点为()1 0，，∴直线PE 与x 轴的交点为F .…………12分19.（1）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++， 设()32ln (0)h x x x x x =++>，则()()()231x x h x x+'-=， ()()()0,1,0,x h x h x <'∈单调递减，②()()()1,,0,x h x h x '∈+∞>单调递增，所以()()m i n14h x h ==，对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以()min 4a h x ≤=；（2）问题等价于证明()()2ln 0,x x x x x e e>-∈+∞， 由（1）可知()()()ln 0,f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到， 设()()()20,x x m x x e e =-∈+∞，则()1xxm x e='-，易知 ()()max 11m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切()0,x ∈+∞，都有12ln x x x e e>-成立.20.（1）∵228AB AF BF ++=,即11228AF BF AF BF +++=. 又12122AF AF BF BF a +=+=，所以48,2a a ==. 又因为12e =，即12c a =，所以1c =，所以b =. 故椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）法一：由22{ 143y kx mx y =++=消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点()00,P x y ，所以0m ≠，且0∆=，即()()2222644434120k m k m -+-=，化简得22430k m -+=.此时024443km k x k m =-=-+， 003y kx m m =+=，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由4{x y kx m==+得()4,4Q k m +从而以线段PQ 为直径的圆的方程满足()434,4,0k x y k m x y m m ⎛⎫---⋅+-= ⎪⎝⎭，化简得 223441430k k x x y k m y m m m ⎛⎫⎛⎫+-+-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由对称性知，点M 必在x 轴上.而当0y =时， 244130k k x x m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,易得1x =，此式恒成立.故命题成立.定点坐标为()1,0M .法二：由22{ 143y kx mx y =++=消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点()00,P x y ，所以0m ≠，且0∆=，即()()2222644434120k m k m -+-=，化简得22430k m -+=.此时024443km k x k m =-=-+， 003y kx m m =+=，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由4{x y kx m==+得()4,4Q k m +.因为存在定点M 满足条件，由图形对称性知：点M 必在x 轴上.取0,k m ==此时((,,P Q 以PQ 为直径的圆的方程为()(2224,x y -+=交x 轴于()11,0M ,()23,0M ;取1,22k m =-=，此时()31,,4,02P Q ⎛⎫⎪⎝⎭，以PQ 为直径的圆的方程为2253452416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，交x 轴于点()()341,0,4,0M M .所以满足条件的点存在，其必为()1,0.下面证明点()1,0M 满足条件.因为所以，故恒有MP MQ ⊥,故点()1,0M 恒在以线段PQ 为直径的圆上. 21. （1）由解得，即，分又，所以，因为为边上的高，所以，为边上一点，所以，所以直线的方程为．（2）设点的坐标为，由为的中点，得点的坐标为，又点与点分别在直线和上， 所以，解得，所以点的坐标为，由（1）得，又，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，又，所以，又为的中点所以.22.（Ⅰ）任取12,x x ∈[－1, 1]，且12x x <，则－2x ∈[－1，1]．因为f （x ）为奇函数． 所以()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-,由已知得()()()1212f x f x x x +-+- ＞0，120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <． 所以f （x ）在[－1, 1]上单调递增．（Ⅱ）因为f （1）＝1, f （x ）在[－1, 1]上单调递增， 所以在[－1, 1]上，f （x ）≤1．问题转化为2211m am -+≥，即22m am -≥0，对a ∈[－1，1]恒成立．下面来求m 的取值范围． 设g （a ）＝22am m -+≥0．①若m ＝0，则g （a ）＝0，对a ∈[－1, 1]恒成立。
