安徽省六安市2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题

设此户居民本月的用水量为 x ，12 < x £ 20 ，
则12´ 2.3 + ( x -12)´ 2.8 = 38.8 ，解得 x = 16 ，
所以此户居民本月的用水量为16m3 . 故选：C. 7．D
【分析】利用五点作图法求得 f ( x) ，进而得到 g ( x) ，再利用三角函数平移变换的性质即
B． log23 + log3 2
1
1
( ) ( ) C． 2 + 3 2 × 2 - 3 2
1
1
( ) ( ) D． 2 + 3 2 + 2 - 3 2
10．下列说法正确的是（ ） A．命题“ "x > 1， x2 > 1 ”的否定是“ $x„ 1 ， x2„ 1”
B．命题“ $x Î (-2, +¥) ， x2„ 4 ”的否定是“ "x Î (-2, +¥) ， x2 > 4 ”
f
( x1 ) -
x1 -
f ( x2 )
x2
>
0 ，又函数 g ( x) = lg
x
，则函数
试卷第21 页，共33 页
h ( x) = f ( x) - g ( x) 的零点个数为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
二、多选题 9．下列各选项中，值为 1 的是（ ）
A． log2 3× log3 2
面积一半，则直角三角形中较小的锐角a 的大小为 .
四、解答题
试卷第41 页，共33 页
17．已知集合
A
=
{x∣a
-1
£
x
£
a
+

2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题 1．计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【答案】B【详解】试题分析：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+ 【解析】复数运算2．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ）A ．2021年我国独角兽企业共有170家B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D ．各行业独角兽企业数量的中位数为13 【答案】C【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可. 【详解】对于选项A ，将图中各行业数量加和， 可知2021年我国独角兽企业共有170家，故A 正确；对于选项B ，京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%，1700.7119⨯=家，故B 正确；对于选项C ，独角兽企业最多的三个行业为电子商务、汽车交通、人工智能， 共有73家，未超过一半，故C 错误；对于选项D ，将各行业的企业数量从小到大排列，中位数为13正确. 故选：C3．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）． ①αβ、都垂直于平面r ，那么αβ∥ ②αβ、都平行于平面r ，那么αβ∥ ③αβ、都垂直于直线l ，那么αβ∥④如果l 、m 是两条异面直线，且l α∥，m α，l β，m β，那么αβ∥ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误； 由平面平行的传递性可知②正确； 由线面垂直的性质可知③正确；过直线l 做平面γ与αβ、分别交于12,l l ，过直线m 做平面χ与αβ、分别交于12,m m ， 因为l α∥，l β，所以12,ll ll ，所以12l l ∥因为1l β⊄，2l β⊂，所以1l β同理，1m β又l 、m 是两条异面直线，所以12,l l 相交，且1l α⊂，1m α⊂ 所以αβ∥，故④正确. 故选：D4．已知4,62a a b =⋅=-，且向量a 在向量b 上的投影向量为22，则b 的模为（ ） A ．1 B ．22C ．3 D ．9【答案】C【分析】根据投影向量的公式计算即可 【详解】由题，设,a b 的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅=，故22623b b-=，解得3b = 故选：C5．已知一组数据m ，n ，2-，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【分析】根据已知可得4n m =-，再根据方差公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：由题意得21134667310m n +-+++++++=⨯，得4n m =-， 所以这组数据的方差2s =22(3)(3)254401991610m n -+-++++++++ 222(3)(1)68(2)357105m m m -+-+-+==≥，所以这组数据方差的最小值为7. 故选：C.6．在ABC ，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos cos a A B b A a A +=，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．.等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【分析】由正弦定理边角互化得2sin cos cos sin cos sin cos A A B B A A A +=，进而移项整理得()sin sin cos 0A B A A ⎡⎤+-=⎣⎦，再结合()()sin sin C A B π-=+得sin sin C A =或cos 0A =，进而得答案.【详解】解：根据正弦定理边角互化得2sin cos cos sin cos sin cos A A B B A A A +=， 所以()sin cos sin cos sin cos 0A B B A A A +-=， 所以()sin sin cos 0A B A A ⎡⎤+-=⎣⎦，所以()sin sin cos 0C A A π⎡⎤--=⎣⎦，即[]sin sin cos 0C A A -=， 所以sin sin C A =或cos 0A =， 所以c a =或2A π=，即ABC 的形状是等腰或直角三角形.故选：D7．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（ ）A ．13B ．74C ．34D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM ，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,3M -，所以()3,3,0AB =，()0,3,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ， 则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯===+⋅+. 故选：C .8．如图，在菱形ABCD 中，433AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为22，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面BCDB ．线段PQ 2C ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 14 D ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 6【答案】C【分析】取BD 的中点O ，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断A ；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ， ∵在菱形ABCD 中，43AB =60BAD ∠=︒， ∴2OA OC ==，又22AC = ∴222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥， 又易知,OA BD OC BD ⊥⊥， 因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O =，所以OA ⊥平面BDC ， 因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故A 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()2323,0,2,0,0,0,2,B C A D ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q ，3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 33PQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以点D 到直线PQ 的距离为121373PQ DP d PQ⋅===，故C 错误； 设(),0,0P a ，设()0,2,2CQ CA λλ==-，可得()0,22,2Q λλ-，()()222221222822PQ a a λλλ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭当10,2a λ==时，min 2PQ B 正确； 当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ =，232AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设PQ 与AD 所成的角为θ， 则6cos 1623PQ AD PQ ADθ⋅==⋅⨯，所以PQ 与AD 6D 正确； 故选：C.二、多选题9．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则（ ） A ．||2a b +=B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b +=【答案】BC【分析】对于A 和D ，利用向量模的坐标公式进行判断；对于B ，先利用a b +进行平方结合,a b 是单位向量可得到0a b ⋅=即可判断；对于C ，先算出a b -，然后利用向量夹角公式进行判断即可【详解】解：对于A 和D ，因为(1,1)a b +=-，所以(21a b +=+，故A 和D 错误；对于B ，因为()22222a b a b a b +=++⋅=，且1,1a b ==，所以0a b ⋅=，所以a 与b 垂直，故正确；对于C ，因为22222a b a b a b --=+⋅=，所以2a b =-，所以()21cos ,2a a ba ab a a b a a ba a b⋅--⋅-====⋅-⋅- 因为[],0,a a b π-∈，所以,4a ab π-=，故正确，故选：BC10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ） A ．甲与乙互斥 B ．乙与丙互斥 C ．甲与乙独立 D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项. 【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次. 基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误. 事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件. 故选：BC11．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ）A ．若30,5,2A b a ===，则ABC 有2解；B ．若A B >，则cos cos A B <；C ．若cos cos cos 0A B C >，则ABC 为锐角三角形；D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【答案】BCD【分析】利用正余弦定理都每项逐一判断即可【详解】对于A ，由正弦定理可得：sin sin a b A B= ，15sin 52sin 124b A B a ⨯∴===>， 此时ABC 无解，A 错误；对于B ，A B > ，sin sin A B ∴> ，根据同角三角函数基本关系式可知cos cos A B <，故B 正确；对于C ，cos cos cos 0A B C >，cos 0cos 0cos 0A B C >⎧⎪∴>⎨⎪>⎩ ，可知,,A B C 均为锐角，故ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D ，cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，由余弦定理可得：22222222a c b b c a a b c cac bc+-+--=-, 整理得：222()()0a b a b c -+-=，0a b ∴-=或2220a b c +-= 即a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故D 正确故选：BCD12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（ ）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACDD ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B, 如图所示, 以D 为坐标原点, DA 为x 轴, DC 为y 轴, 1DD 为z 轴, 建立空间直角坐标系, 则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D , ()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以 ()12,2,2AC =-，()2,2,0AC =-，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=---，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确 对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z = 则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得 ()11,1,1n =设平面 EFG 的法向量 ()2222,,n x y z =, 则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩ 取 21x =, 得 21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭, 平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n 设 12n kn =, 即 ()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭, 解得 451,k λ==，01λ≤≤，不合题意∴ 线段1B C 上不存在点G , 使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n = 则2sin 8FG n FG nθλ⋅==-因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以sin θ=≤=所以sin θ．故D 正确． 故选：ABD三、填空题13．若复数1213i,3i Z Z =+=-（其中i 为虚数单位）所对应的向量分别为1OZ 和2OZ ，则12OZ Z 的面积为_______．【答案】 5【分析】求出向量1OZ 和2OZ 的坐标，再利用向量模和垂直的坐标表示即可求解作答.【详解】依题意，1(1,3)OZ =，2(3,1)OZ =-，则21||1OZ =22||310OZ =，而1231(1)30OZ OZ ⋅=⨯+-⨯=，则12OZ OZ ⊥，所以12OZ Z 的面积为1212||11||1010522OZ Z OZ OZ S ==⨯=. 故答案为：514．如图所示，已知四面体顶点(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -和(5,4,8)D --，则从顶点D 所引的四面体的高h =__________．【答案】11【分析】求出,AB AC ，AD ，然后算出平面ABC 的一个法向量n ，通过点到面的距离公式即可得到答案【详解】解：因为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，(5,4,8)D -- 所以()()2,2,3,4,0,6AB AC =--=，()7,7,7AD =-- 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，所以2230460AB n x y z AC n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令3x =-，则2,6z y ==-，所以()3,6,2n =--， 所以D 到平面ABC 的距离为77117AD n d n⋅===，即从顶点D 所引的四面体的高11h =，故答案为：1115．己知数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为10，方差为2，则数据12321,21,21,,21n x x x x ---⋯-的平均数为a ，方差为b ，则a b +=___________．【答案】27【分析】利用平均数和方差的线性关系的性质直接求出a 、b ，即可求出a +b . 【详解】数据123,,,,n x x x x ⋯平均数为10，所以数据121x -，221x -，⋯，21n x -的平均数为2101=19⨯-，即a =19； 数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为2，所以数据12321,21,21,,21n x x x x ---⋯-的方差为222=8⨯，即b =8， 所以a b +=19+8=27. 故答案为：27.16．如图，四边形ABCD 为平行四边形，3,2,3AB AD BAD π==∠=，现将ABD △沿直线BD 翻折，得到三棱锥A BCD '-，若7A C ，则三棱锥A BCD '-的内切球与外接球表面积的比值为_____．【答案】115【分析】过A 作AE BD ⊥于E ，交CD 于F ，连,A E A F ''，利用余弦定理、面积定理求出点A '到平面BCD 的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接球半径作答.【详解】过A 作AE BD ⊥于E ，交CD 于F ，连,A E A F ''，如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，π94232cos 73BD =+-⨯⨯= 2sin 321ABD S AB AD BAD A E AE BD BD ⋅∠'====222232172()7DE AD AE --27cos cos BE BD DE CDB ABE AB AB -∠=∠===1cos 2DE DF CDB ==∠，EF==因7A C，则三棱锥A BCD'-的4个表面三角形全等，在A DF'△中，π3A DF'∠=，222111132cos4224224A F A D FD A D FD A DF''''=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，在A EF'△中，22222135cos29A E EF A FA EFA E EF+-''+-'∠==='⋅，sin A EF'∠因,A E BD EF BD'⊥⊥，A E EF E'=，,A E EF'⊂平面A EF'，则BD⊥平面A EF'，而BD⊂平面BCD，于是得平面A EF'⊥平面BCD，在平面A EF'内过A'作A H EF'⊥于H ，又平面A EF'平面BCD EF=，因此，A H'⊥平面BCD，sinA H A E A EF'''=∠==，设三棱锥A BCD'-的内切球半径为r，则11433A BCD BCD BCDVS r S A H'-'=⨯=⋅，解得4A Hr'==，因BCD△是锐角三角形，则三棱锥ABCD'-的外接球截平面BCD所得截面圆圆心在BCD△内，半径0r，则02sin sin3BDrBCD===∠0r=A BCD'-的外接球球心为O，显然，球O截三棱锥A BCD'-的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为0r，因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥A BCD'-内，必为三棱锥A BCD'-内切球球心，令三棱锥A BCD'-的外接球半径为R，则222175632R r r=+=+=，所以三棱锥A BCD'-的内切球与外接球表面积的比值为2214π1654π152rR==.故答案为：115【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V 满足：13V Sr =.四、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合． 【答案】(1)1a =± (2)312（，）【分析】（1）设方程的根为0x ，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案； （2）写出22(2)(23)i z m m m m =+-+--的共轭复数，根据z 对应的点在第一象限，列出不等式组，解得答案.【详解】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<， 故实数m 的集合为3(1,)2.18．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）； (3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7； (3)25.【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a ，b 的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.【详解】(1)()()20.0450.0201010.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=19．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)恰有1个人译出密码的概率；(3)若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？ 【答案】(1)112(2)512(3)17名【分析】记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且()13РА=，()14РB =．根据独立事件的概率公式即可求解. 【详解】(1)记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且()13РА=，()14РB =． 两个人都译出密码的概率为()()()1113412P A B P A РB ⋂=⨯=⨯=．(2)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为()()()()P A B A B P A B P A B ⎡⎤⎣⎦⋂⋃⋂=⋂+⋂ ()()()()P A P B P A P B =+ 1111511343412⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)假设有n 个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个人译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为()3114n nP B ⎛⎫-=- ⎤⎝⎣⎦⎪⎭⎡，即310.994n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 故30.014n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以342log 0.0116.012lg 2lg 3n ≥==-， 即至少有17名像乙这样的人，才能使译出密码的概率达到99%．20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点(1)求证：CF面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)90【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面SAB 的法向量，若CF 与平面SAB 的法向量的数量积为0，则可证明；（2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式cos ,BD CF BD CF BD CF⋅<>=⋅，即可求解.【详解】(1)证明：由SA ⊥面ABCD 建立如图所示的直角坐标系，以A 点为坐标原点，分别以AD ，垂直于AD 以及AS 为方向建立,,y x z 轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及22SA AD BC ===可知：(0,0,0)A ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,2)S33,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D 又由点F 为线段SD 中点，可知()0,1,1F31,02CF ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)AS =， 31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =为平面SAB 的法向量，故可知：200130022z n AS y x n AB =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得30y x z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，可知平面SAB 的法向量一个法向量为：()1,3,0n =- ()1331022n CF ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴根据线面平行的向量法判断法则可知CF 面SAB(2)解：由题意得：由（1）分析可知31,,122CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1333012222cos ,023BD CF BD CF BD CF⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭<>===⨯⋅ 可知向量,BD CF 互相垂直，故异面直线FC 与BD 所成角的大小为9021．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当33BC =时，求CD ； (2)当五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦时，求BC 的取值范围.【答案】33(2)3,33⎡⎣.【分析】（1）连接EB ，根据已知可得BCDE 为等腰梯形，进而得到ABE △为等腰三角形，应用余弦定理求得33BE =.（2）由题设可得153273BCDE S ⎡∈⎢⎣⎭，设BC x =得到BCDE S 关于x 的表达式，进而求x 的范围即可.【详解】(1)连接EB ，由五边形内角和得：120D C ∠=∠=︒， ∴//BE CD ，则四边形BCDE 为等腰梯形，则DEB CBE ∠=∠，又90B E ∠=∠=︒，120A ∠=︒，故30AEB ABE ∠=∠=︒，60DEB CBE ∠=∠=︒， 所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=， ∴33BE =，过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33cos604BM BC =⋅︒=， ∴3322CD BE BM =-=；(2)由193sin12024ABESAB AE =⋅⋅⋅︒=，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦， ∴153273,44BCDE S ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， 设BC x =，则()()1133333222BCDE S BE CD CM x x =⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤， 又2330DC BE BM x =-=->，即33x <， ∴BC 的取值范围是)3,33⎡⎣.22．已知正方形的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60︒的二面角，点M 在线段AB 上.(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒；若存在，求此时平面MEC 与平面ECF 的夹角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【分析】（1）根据面面位置关系判断点O 的位置，再根据线线平行证明线面平行； （2）设()1,,0M t ，利用坐标法根据线面夹角为60︒可得t 的值，再；利用坐标法求二面角余弦值.【详解】(1)证明：因为直线MF ⊂平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上(如图所示).因为//AO BF ，M 为AB 的中点，所以OAM FBM ≅，所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO =.连接DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点. 连接MN ，所以MN 为DOF △的中位线，所以//MN OD ， 又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线//OD 平面EMC .(2)解：存在.由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABFE ⊥平面ADE ,取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以()(()1,0,0,3,3,1(40),,E D C F --， 所以()(()1,0,3,,03,4,0EF ED EC ===设()1,,0M t （04t ≤≤），则()2,,0EM t =，设平面EMC 的法向量(),,m x y z =，则·0·0m EM m EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以20430x ty x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取2y =-，则,3x t z ==,3m t ⎛=- ⎝.第 21 页 共 21 页 因为DE 与平面EMC 所成的角为60︒，所以()228328243t t =-++ 所以2430t t -+=，解得1t =或3t =， 所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒.设平面CEF 的法向量为(),,n a b c =，则·0·0EC EF n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以43040a b c b ⎧++=⎪⎨=⎪⎩， 取1c =-，则3,0a b ==，所以()3,0,1n =-， 8,2,3t m t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角M BC F --的大小为θ. 所以2228323cos 4198243t t n mt n m t t t t θ--⋅-===⨯-+-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭.因为当2t =时，cos 0θ= ，此时平面EMC ⊥平面CDEF ，所以当1t =时， θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t =时， θ为锐角，所以1cos 4θ=。

2021-2022学年安徽省合肥市五校联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}1,2,3A =，集合{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅ 【答案】B【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，A B ={}1,2.故选：B2．cos420︒=（ ）A B ． C ．12 D ．12- 【答案】C【分析】根据诱导公式()cos 360cos ,k k αα+⋅︒=∈Z 化简即可. 【详解】1cos 420cos(36060)cos60.2︒︒︒︒=+== 故选：C3．命题p ：x ∃∈R ，20x +≤，则命题p 的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，20x +>B ．x ∀∈R ，20x +≤C ．x ∃∈R ，20x +≥D ．x ∀∈R ，20x +> 【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，20x +≤是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即x ∀∈R ，20x +>，故选：D4．函数()lg(21)f x x =-的定义域为（ ）A ．1(0,)2B ．(]0,1C ．1(,)2-∞D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据二次根式的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】要使函数有意义，需满足10210x x -≥⎧⎨->⎩， 解得112x <≤， 故选：D5．下列函数在定义域上是增函数的是（ ）A ．sin y x =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x【答案】B【分析】根据基本函数的性质即可判断.【详解】函数sin y x = 在R 上既有单调增区间又有减区间，A 不符合题意； 函数ln y x =在定义域()0+∞，上为增函数，B 符合题意； 函数1()2x y =是在R 上单调递减的指数函数，C 不符合题意； 函数2y x 的定义域为R ，在()0-∞，是减函数，在()0+∞，是增函数，故D 不符合题意. 故选：B6．“1x =”是“220x x +-=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解方程可求得220x x +-=的解，根据充分必要条件定义可得结论.【详解】由220x x +-=得：2x =-或1x =，“1x =”是“220x x +-=”的充分不必要条件.故选：A.7．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=；对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<；对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=.因此，a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题.8．已知关于x 的不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，则下列结论中正确的是（ ）A ．3,1a b ==B ．1,3a b =-=-C ．1,3a b ==-D ．3,1a b =-=-【答案】C【分析】由题意可知1和2是方程220ax bx ++=的两个根，代入方程求,a b 的值即可.【详解】因为不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，所以1,2x x ==是方程220ax bx ++=的两个根， 将1,2x x ==代入方程220ax bx ++=得204220a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得13a b =⎧⎨=-⎩， 故选：C二、多选题9．已知函数(),0,0x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则下列结论中正确的是( ) A ．函数()f x 有且仅有一个零点0B ．(2)2f =C ．()f x 在(),0∞-上单调递增D ．()f x 在(0,)+∞上单调递减【答案】ACD【分析】根据函数零点的定义可判断A ；根据分段函数解析式求出f (2)可判断B ；根据一次函数的单调性可判断CD ． 【详解】由函数(),0,0x x f x x x ⎧=⎨->⎩，可得函数()f x 有且仅有一个零点0，故A 正确； 由于()22f =-，故B 错误；当0x 时，()f x x =，∴()f x 在(),0∞-上单调递增，故C 正确；当0x >时，()f x x =-，∴()f x 在()0,∞+上单调递减，故D 正确．故选：ACD10．已知函数()sin(2),()sin 4f x xg x x π=-=，要得到函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象（ ） A ．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度 B ．先将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度 C ．先向右平移4π个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变 D ．先向右平移8π个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变 【答案】BC【分析】根据函数图像缩放平移的规则计算即可.【详解】先将横坐标缩小为原来的12 ，纵坐标不变，得到sin 2y x = ， 再向右平移8π 个单位长度得到函数()sin 2sin 284y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 的图象，A 错误，B 正确； 先向右平移4π 个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 再将横坐标缩小为原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()sin 24y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 的图象，C 正确，D 错误.故选：BC.11．已知函数()1f x x x=+，则下列结论中正确的是（ ） A ．当0x >时，()f x 最小值是2B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()0,1上单调递减D ．()f x 在()1,+∞上单调递增【答案】ABCD 【分析】由基本不等式可判断A ；由奇偶性的定义可判断B ；由单调性的定义可判断CD【详解】当0x >时，由基本不等式()12f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，取等号， 所以当0x >时，函数的最小值为2，故A 正确；因为函数的定义域为()(),00,∞-+∞， ()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，可得()f x 是奇函数，故B 正确；任取()12,0,1x x ∈，且12x x <()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=， 因为1201x x <<<，所以1212120,10,0x x x x x x -<-<>，所以()()12121210x x x x x x -->，即()()12f x f x >，所以函数()1f x x x=+在()0,1上为减函数，故C 正确； 同理可得函数()1f x x x =+在 ()1,+∞上为增函数，故D 正确； 故选：ABCD12．已知函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为2πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】CD 【分析】先根据图象求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确.根据图象得到的周期进行判定A ；求得23x π+的取值范围，然后利用正弦函数的单调性结合复合函数单调性法则判定B ；计算512f π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点从而判定是否为对称轴从而判定C ；利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断D .【详解】由图象可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴== ⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩，解得：3πϕ=， 故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 对于A ：T π=，故A 错误；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，因为[]0π-，上正弦函数sin y x =先减后增，不单调，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误； 对于C ：当512x π=- 时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴，故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：CD.三、填空题13．lg5lg 2+=___．【答案】1【分析】根据对数的运算法则计算可得；【详解】解：()lg5lg2lg 52lg101+=⨯==；故答案为：114．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则()1f -=______．【答案】2-【分析】求出()1f 的值，利用奇函数的性质可求得()1f -的值.【详解】由题意可得()1122f =⨯=，因为函数()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=-.故答案为：2-.15．若角α的终边过点1,2，则tan α=______.【答案】-2【分析】由正切函数定义计算.【详解】根据正切函数定义：2tan 21α==--. 故答案为－2. 【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.16．若0x >，0y >，且1x y +=，则11x y+的最小值为________． 【答案】4【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由题设，知：()()22241111y x y x x y x x x y x yy y +=++=++≥+⋅=当且仅当12x y ==时等号成立.故答案为：4.四、解答题17．设全集为R ，{}|A x x a =<，{}2|430.B x x x =-+<(1)当2a =时，求,A B A B ；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】(1){}12A B x x ⋂=<<，{}3A B x x ⋃=<(2){}|3a a ≥【分析】解一元二次不等式得B 集合，（1）由交运算、并运算可得结果；（2）由集合的包含关系列式可得结果.【详解】（1）2{|430}{|13}B x x x x x =-+<=<< ，当a =2时，{|2}A x x =< ，∴{|12}A B x x =<< ，{|3}A B x x =<；（2）∵B A ⊆ ，{|}A x x a =<，{|13}B x x =<<，如图所示，∴3a ≥故实数a 的范围为[3,)+∞.18．求解下列问题：(1)已知sin αα为第二象限角，求cos α和tan α的值； (2)已知3sin 5α=，5cos()13αβ+=，α，β为锐角，求sin β的值. 【答案】(1)cos α=1tan 2α=- (2)33sin 65β=【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.【详解】（1）由于sin αα为第二象限角，所以cos α=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. （2）由于α，β为锐角，所以0παβ<+<， 由于3sin 5α=，5cos()13αβ+=，所以()412cos ,sin 513ααβ+==， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=. 19．已知函数2,0,()log ,0,ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩且点(2,1)在函数()f x 的图像上.(1)求a ，并在如图直角坐标系中画出函数()f x 的图像；(2)求不等式()1f x <的解集；(3)若方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，图像见解析(2)(,1)(0,2)-∞-(3)(],2-∞【分析】（1）由(2)1f =得出a ，进而画出图像；（2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；（3）由函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m 的取值范围．【详解】（1） 点(2,1)在函数()f x 的图像上，(2)log 21a f ∴==，2a ∴=22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧∴=⎨>⎩， 函数()f x 的图像如图所示：（2）不等式()1f x <等价于20log 1x x >⎧⎨<⎩或021x x ≤⎧⎨+<⎩， 解得02x <<或1x <-，∴不等式()1f x <的解集为(,1)(0,2).-∞-⋃（3）方程()0f x m -=有两个不相等的实数根， ∴函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有两个不同的交点． 结合图像可得2m ，故实数m 的取值范围为(],2-∞ .20．已知函数π()sin()(0,0)6f x A x A ωω=+>>的最大值为2,函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求,A ω的值;(2)若()2f α=,π02α<<,求cos2α的值. 【答案】(1)2A =,2ω= (2)12【分析】(1)根据函数()f x 的最大值为2可得A ;由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =,结合2πT ω=即可求出结果;(2)根据()2f α=,可得πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,依据π02α<<可求出2α的值,即可求出cos2α的值.【详解】（1）由题意,函数()f x 的最大值为2,可得2A =, 由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,可得π22T =,πT ∴=,即2π2Tω==; （2）由(1)知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()2f α=,π2sin 226α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,即πsin 216α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α<<,ππ7π2666α∴<+<, ππ262α∴+=, ∴π23α=, 1cos 22α∴=.21．已知函数()sin cos 2.f x x x x = (1)求函数()f x 的最小正周期及函数的单调递增区间；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用倍角公式辅助角公式化简，根据公式求函数最小正周期，根据正弦函数的性质求得单调区间．（2）由题意可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的单调性求值域.【详解】（1）1π()sin cos 2sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期 2ππ2T ==；令 πππ2π22π(Z)232k x k k -+≤-≤+∈，解得： π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当 π02x ≤≤时， ππ2π2333x -≤-≤，∴πsin(2)13x -≤，∴()1f x ≤≤ ， 即 ()f x 在 π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=.又222()2121xx xf x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x x x f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+，所以，1a =.（2）由（1）知，2()121x f x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<. 又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.。

2020-2021学年高一上学期期末数学复习卷 (30)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列函数中是奇函数的为()A. y=x−1B. y=x2 C. y=|x|D. y=x2.已知集合A={−1,0，1}，B={x|−1<x<1}，则A∪B=()A. {−1,1}B. {−1,0，1}C. {x|−1≤x≤1}D. {x|x≤1}3.已知(−1,0)为圆心，且和y轴相切的圆的方程是()A. (x+1)2+y2=4B. (x+1)2+y2=1C. (x−1)2+y2=4D. (x−1)2+y2=14.已知a,b是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下列条件中能推出α//β的是()A. α⊥γ且β⊥γB. a⊂α，b⊂β，a//bC. a⊥α且a⊥βD. a⊂α，b⊂α，a//β，b//β5.函数f(x)=√2x−1+xln(3−x)的定义域为()A. (0,3)B. [0,3)C. [1,3)D. (1,3)6.直线l绕它与x轴的交点逆时针旋转60∘，得到直线√3x+y−3=0，则直线l的方程是()A. x−√3y−1=0B. √3x−y−3=0C. x+√3y−1=0D. √3x−y−1=07.三棱锥S−ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S−ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A. 84πB. 72πC. 60πD. 48π8.已知函数若方程|f(x)|−a=0有四个不同的解，则a的取值范围是()A. (0,4)B. [0,4)C. [ln2,4)D. (ln2,4]9.若P(2,−1)为圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A. x−y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−1=0D. 2x−y−5=0f(x)的图象大致是()10.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=log12A. B. C. D.11.若圆(x−3)2+(y−5)2=r2(r>0)上有且只有四个点到直线5x+12y=10的距离等于1，则半径r的取值范围是()A. (4,6)B. (6,+∞)C. (0,4)D. (4,6)12.某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50120150种植成本Q26005002600由表知，体现Q与t数据关系的最佳函数模型是()A. Q=at+bB. Q=at2+bt+cC. Q=ab tD. Q=a·log b t二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点A(−1,y.0)与点B(2,−3,4)之间的距离为5，则实数y的值是________．14.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为．15.已知集合A={1,2，3，4}，B={a,b，c}，f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有____．16.如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AD BC AB=234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）>0}17.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x−2x+3(1)分别求A∩B，(∁R A)∪(∁R B)；(2)若集合C={x|1<x<a}，A∩C=C，求实效a的取值范围．18.已知直线l1的方程为x+2y−4=0，若l2在x轴上的截距为3，且l1⊥l2．2(1)求直线l1和l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．19.已知二次函数f(x)满足：f(0)=1，且f(x+1)−f(x)=2x．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间[−1,m]上的最大值．20.17.已知圆C的圆心为(3,1)，且圆C与直线y=x相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线l:x−y+a=0(a≠0)交于A、B两点，且|AB|=2，求a 的值．21.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．求证：平面B1DC⊥平面B1DE．22.已知函数f(x)=log a(3−ax)，当x∈[0,2]时，函数f(x)有意义，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了函数单调性，属于基础题．根据函数奇偶性的性质分别进行判断即可．解：y=x−1为非奇非偶函数，y=x2 与y=|x|为偶函数，y=x为奇函数．故选D．2.答案：C解析：解：∵A={−1,0，1}，B={x|−1<x<1}；∴A∪B={x|−1≤x≤1}．故选：C．进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：B解析：本题主要考查了圆的标准方程及圆与直线相切的性质，属于中档题．根据(−1,0)为圆心，且和y轴相切知半径等于1，即可写出圆的标准方程．解：因为圆心为(−1,0)，且和y轴相切，所以r=1，故圆的方程为(x+1)2+y2=1，选B．4.答案：C解析：本题考查空间中的位置关系，属于基础题．根据选项逐项判断即可．解：A ．α⊥γ且β⊥γ，则α与β也可能相交，所以不符合题意；B .a ⊂α，b ⊂β，a //b ，α与β也可能相交，此时a 和b 都与交线平行，所以不符合题意；C .a ⊥α且a ⊥β，则α//β，所以符合题意；D .a ⊂α，b ⊂α，a //β，b //β，当a//b 时，α与β也可能相交，所以不符合题意．故选C ．5.答案：B解析：本题主要考查了函数的定义域，对数函数及其性质，属于基础题.二次根式的被开方数大于或等于零，对数的真数大于零．解：要使函数有意义，则{2x −1≥03−x >0, 解得0⩽x <3．故函数的定义域为[0,3)．故选B ．6.答案：B解析：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率是解题的关键．由题意可得所求直线的倾斜角，可得所求直线的斜率，用点斜式求直线方程．解：因为直线√3x +y −3=0与x 轴的交点为(√3,0)，且倾斜角为120∘，所以直线l 过点(√3,0)，且倾斜角为60∘，直线l 的方程为y −0=tan60∘(x −√3)，即√3x −y −3=0，故选B ．7.答案：D解析：解：由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形如图，取AC 中点F ，连BF ，则在Rt △BCF 中，BF =3√3，CF =3，BC =6．在Rt △BCS 中，CS =6，所以BS =6√2．设球心到平面ABC 的距离为d ，则因为△ABC 的外接圆的半径为2√3，所以由勾股定理可得R 2=d 2+(2√3)2=(6−d)2+(2√3)2，所以d =3，该三棱锥外接球的半径R =√21所以 三棱锥外接球的表面积是4πR 2=84π，故选：D ．由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，底面△ABC 为等腰三角形，SC =6，△ABC 中AC =6，取AC 中点F ，连BF ，求出BS =6√2，可得三棱锥外接球的半径，即可得到答案．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状是解答的关键．8.答案：C解析：本题主要考查由函数零点的个数求参数范围，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题．根据分段函数的表达式，作出|f(x)|的图象，利用数形结合进行求解即可．解：当x <0时，|f(x)|=|x 2+4x|={x 2+4x,x <−4,−x 2−4x =−(x +2)2+4,−4≤x <0,即当−4≤x <0时，|f(x)|≤4，当x ≥0时，|f(x)|=|ln(x +2)|=ln(x +2)为增函数，且此时|f(x)|≥ln2．若方程|f(x)|−a=0有四个不同的解，即|f(x)|=a有四个不同的解，作出函数y=|f(x)|与y=a的图象，则两函数图象有四个不同的交点，由图象知ln2≤a<4，即实数a的取值范围是[ln2,4)．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系，由圆心为O(1,0)，由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解：已知圆心为O(1,0)，=−1，根据题意：k OP=0+11−2∴k AB k OP=−1，k OB=1，∴直线AB的方程是x−y−3=0，故选A．10.答案：C解析：本题考查了函数图象的应用.由题意，结合选项中各图象，得到当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以，结合选项，得到结果．解：∵由函数y=f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，，∴结合选项知，选项C符合要求．故选C．11.答案：B解析：本题考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．先算出圆心(3,5)到直线5x+12y−10=0的距离，再结合圆与直线的位置关系列出不等关系．=5，解：圆心(3,5)到直线5x+12y−10=0的距离d=√25+144圆上有且只有四个点到直线5x+12y=10的距离等于1，所以r−d>1，即r>6．故选B．12.答案：B解析：本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．由题知函数不可能为单调函数，进而求解．解：由题意可得Q与t数据关系的最佳函数模型不可能是常数函数，也不可能是单调函数，故A，C，D均不可能，故答案为B．13.答案：−3解析：本题主要考查空间两点的距离.属于基础题．直接利用两点间距离公式得出关于y的方程，求解即可．解：√(−1−2)2+(y+3)2+(−4)2=5，解得y=−3．故答案为−3．14.答案：√(p+1)(q+1)−1解析：本题考查函数模型的应用，是基础题．设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，由题意(1+x)2= (1+p)(1+q)，解方程即可．解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，由题意(1+x)2=(1+p)(1+q)，所以x=√(p+1)(q+1)−1．故答案为：√(p+1)(q+1)−1．15.答案：7解析：本题考查函数的定义以及子集的个数的求解，首先根据函数的定义得到值域的可能情况，结合子集的概念即可求解．解：值域C可能为：只含有一个元素时，有{a}，{b}，{c};有两个元素时，有{a,b}，{a,c}，{b,c};有三个元素时，有{a,b，c}.所以共有7种．故答案为7．16.答案：②③解析：本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．①：因为BC//AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直；②：设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4可使条件满足；③：当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF．④：点D的射影不可能在FC上．解：①：因为BC//AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；②：设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4可使条件满足，所以②正确；③：当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确．④：因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立．故答案为②③．17.答案：解：(1)集合A={x|x2−4x+3≤0}=[1,3]，B={x|x−2>0}=(−∞,−3)∪(2,+∞)，x+3∴∁R A=(−∞,1)∪(3,+∞)，∁R B=[−3,2]∴A∩B=(2,3]，(∁R A)∪(∁R B)=(−∞,2]∪(3，+∞)，(2)由A∩C=C，所以C⊆A，当C为空集时，a≤1，当C为非空集合时，可得1<a≤3，综上所述：a的取值范围是a≤3．解析：(1)可解出A，B，再求出交集，然后进行补集的运算即可；(2)由A∩C=C，所以C⊆A，从而可讨论C是否为空集：C=⌀时，得出a≤1；C≠⌀时，得出1<a≤3，从而得出实数a的取值范围．本题考查不等式的解法，交集和补集的运算，以及子集的定义．18.答案：解：(1)∵l 1⊥l 2，∴k l 2=−1−12=2．∴直线l 2的方程为：y −0=2(x −32)，化为：y =2x −3．联立{x +2y −4=02x −y −3=0，解得{x =2y =1． ∴直线l 1和l 2的交点坐标为(2,1)．(2)当直线l 3经过原点时，可得方程：y =12x ，当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍，其方程为：x a +y 2a =1，把交点坐标(2,1)代入可得：2a +12a =1，解得a =52，可得方程：2x +y =5．综上可得直线l 3的方程为：x −2y =0，2x +y −5=0．解析：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用l 1⊥l 2，可得斜率k l 2.利用点斜式可得直线l 2的方程，与直线l 1和l 2的交点坐标为(2,1);(2)当直线l 3经过原点时，可得方程．当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍，其方程为：x a +y 2a =1，把交点坐标(2,1)代入可得a ．19.答案：解：(1)设二次函数f(x)=ax 2+bx +c ，∵f(0)=1，∴c =1．再由f(x +1)−f(x)=2x ，可得2ax +a +b =2x ，故有a =1，b =−1，故有f(x)=x 2−x +1．(2)二次函数f(x)=x 2−x +1的对称轴为x =12，故f(−1)=f(2)．当−1<m ≤2时，f max (x)=f(−1)=3．当m >2时，f max (x)=f(m)=m 2−m +1．解析：(1)设二次函数f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1，求得c =1.再由f(x +1)−f(x)=2x ，可得a =1，b =−1，从而求得f(x)的解析式．(2)二次函数f(x)=x 2−x +1的对称轴为x =12，故f(−1)=f(2).−1<m ≤2时，f max (x)=f(−1)，当m >2时，f max (x)=f(m)．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．=√2，20.答案：解：(1)由题意可知，半径r=√2则圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=2；=√2−1，(2)圆心到直线的距离d=√2解得a=−2±√2．解析：本题考查直线和圆的位置关系．(1)根据圆心到直线的距离等于半径建立关于a的方程，求出a值．(２)根据AB，借助弦长公式可求得圆心到直线的距离，从而利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，求出a值．21.答案：证明：连接BC1，AC1，由正方体可知，AC1与B1D交于点O，且DC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥DC，又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂平面B1DC，DC∩B1C=C，∴BC1⊥平面B1DC，∵O，E分别为AC1，AB的中点，∴BC1//OE，∴OE⊥平面B1DC，又OE⊂平面B1DE，∴平面B1DC⊥平面B1DE．解析：本题考查空间几何体中线面关系，面面垂直的判定，连结BC1，AC1，因为DC⊥平面BCC1B1，得到BC1⊥DC，结合BC1⊥B1C，得到BC1⊥平面B1DC，而BC1//OE，得到OE⊥平面B1DC，根据面面垂直的判定定理证明平面B1DC⊥平面B1DE．22.答案：略解析：解：由题意知，当x∈[0,2]时，3−ax>0.设g(x)=3−ax，∵a>0且a≠1，∴g(x)在[0,2].又a>0且a≠1，∴实数a的取值范围是上为减函数，∴g(x)的最小值为g(2)=3−2a>0.∴a<32).(0,1)∪(1,32。