2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.3二项式定理课后作业理

10.3 二项式定理[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·广东测试)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(2018·福建厦门联考)在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．120 答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2018＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C. 3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 由二项式定理得(1＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r，所以当r ＝2时，(1＋ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 25＋C 15·a ＝5，a ＝－1，故选D.4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为 ( )A ．600B ．360C ．－600D ．－360 答案 C解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.故选C.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1xr ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r.令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 答案 B解析 由题意知n ＝8，T r＋1＝Cr 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r＝(－1)r ·Cr 8·x 8－r28－r·＝(－1)r ·C r8·，由8－r －r3＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B.7．(2018·石家庄模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R)的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( )A ．1－cos2B ．2－cos1C ．cos2－1D ．1＋cos2答案 A解析 由题意得T r ＋1＝C r9·(x 2)9－r·(－1)r·⎝⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r ·1a r ，令18－3r ＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )20＝－cos2＋cos0＝1－cos2.故选A .8．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12 答案 D 解析 512018＋a ＝(52－1)2018＋a ＝522018＋C 12018·522017·(－1)＋…＋C 20172018×52×(－1)2017＋1＋a ，∵522018能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.9．(2018·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3答案 A解析 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.10．(2017·淮北模拟)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )A ．5项B ．4项C ．3项D ．2项 答案 C解析 T r ＋1＝C rn xn －r 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝C rn ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x ，由第6项为常数项 ，得当r ＝5时，n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r 3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，故k 应为偶数．又0≤r ≤10，故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.二、填空题11．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.答案 3解析 根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1n·1a＝3，C 2n ·1a 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.12．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式中x 3的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 因为二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6展开后第k 项为C k －16·(ax 2)7－k⎝ ⎛⎭⎪⎫b x k －1＝C k －16a 7－kb k －1x 15－3k ，所以当k ＝4时，可得x 3的系数为20a 3b 3，即20a 3b 3＝20，得ab ＝1.故a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时a 2＋b 2取得最小值2.13．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.答案 120解析 ∵(1＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h4y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h 4x r y h.∴f (m ，n )＝C m 6C n4.∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝20＋60＋36＋4＝120. 14．(2017·江西赣州十四县联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________．答案5627解析 易得A ＝1，B ＝n3，C ＝C 2n 9＝n n －18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r83r x 8－2r ，令8－2r＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627.三、解答题15．(2018·三亚模拟)已知f n (x )＝(1＋x )n. (1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值；(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数．解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n， 所以f 2019(x )＝(1＋x )2019，又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019，①f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2017－a 2019＝0，②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019)＝22019，所以a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019＝22018.(2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )， 所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8.g (x )中含x 6项的系数为C 66＋2C 67＋3C 68＝99.16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14. 当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0， ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，解得475≤k ≤525. ∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16896x 10.。