广东省广州市天河区2017届高三数学三模试卷(理科)

2017年广东省广州市天河区高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．162．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣ D．﹣ i3．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣104．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A． +B． +3 C． +D． +35．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．6．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．27．已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．720种B．520种C．600种D．360种9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是b，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是π，将f（x）图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增11．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（﹣∞，﹣1） D．（0，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若=m+n，则m+n= ．14．已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k= ．15．下面给出四种说法：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）=﹣p④回归直线一定过样本点的中心（，）．其中正确的说法有（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）16．已知数列{a n}与{b n}满足a n=2b n+3（n∈N*），若{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）且λa n ＞b n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S=（a2+c2﹣b2）．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求（﹣1）a+2c的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为AD的中点，异面直线AP与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：△PBE是直角三角形；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．19．随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为，分别有5个级别；T∈上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．四、选修4-4：坐标与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．2017年广东省广州市天河区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，则A∩B={1，3，4}，故A∩B的子集个数为23=8个，故选：C2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】83：等差数列；87：等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．4．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A． +B． +3 C． +D． +3【考点】67：定积分．【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．5．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；判断k＞10不成立，执行S=1++，k=3+1=4；判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5；…判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=．算法结束．故选B．6．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积．【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，△BDE面积，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，∴该四面体的体积：V==．故选：A．7．已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，且f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），则f（x+4）=﹣f（x），则f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），则函数f（x）的周期是8，且函数关于x=2对称，则f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣1）=1，f=f（0）=0，则f=0+1=1，故选：D8．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．720种B．520种C．600种D．360种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，第二类：甲、乙同时参加，利用加法原理即可得出结论．【解答】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有种．共有： +=600（种）．故选：C．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是b，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线x=﹣c，将x=﹣c代入双曲线方程，解得：y=±，即可求得=b，a=3b，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线x=﹣c，将x=﹣c代入双曲线方程，解得：y=±，则准线被该双曲线截得的弦长为，∴=b，a=3b，双曲线的离心率e===，则双曲线的离心率e=，故选D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是π，将f（x）图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据正弦函数的周期性求得ω，根据函数的图象经过定点求得φ，可得函数f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是=π，∴ω=2，将f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位长度后，可得y=sin（2x++φ）的图象，再根据所的图象过点P（ 0，1），∴sin（+φ）=1，∴φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣）．在区间上，2x﹣∈，函数f（x）在区间上单单调递增，故A错误，且B正确．在区间上，2x﹣∈，故函数f（x）在区间上没有单调性，故排除C、D，故选：B．11．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】LR：球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．12．已知函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（﹣∞，﹣1） D．（0，）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用数形结合的思想，做出函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），关于y轴对称的图象，利用g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）=sin x﹣1（x＞0有至少有3对，可得答案．【解答】解：函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），关于y轴对称的图象如下．g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）=sin x﹣1（x＞0）有至少有3对，那么：log a5＞﹣2，（0＜a＜1）．可得：a，∵0＜a＜1，∴a∈（0，）．故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若=m+n，则m+n= 1 ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．【解答】解： =+=+=+（﹣）=+，∵=m+n，∴m=，n=，∴m+n=1，故答案为：114．已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k= ﹣3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z的值等于6求得k的值．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域，当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域．由z=2x+4y，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A时，z最小．联立，得A（3，﹣k﹣3）．∴z min=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．15．下面给出四种说法：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）=﹣p④回归直线一定过样本点的中心（，）．其中正确的说法有②③④（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）【考点】BS：相关系数．【分析】①用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越大，模型的拟合效果越好；②根据特称命题的否定的全称命题，写出P的否定￢P即可；③根据正态分布N（0，1）的性质，由P（X＞1）=p求出P（﹣1＜X＜0）的值；④回归直线一定过样本点的中心（，）．【解答】解：对于①，用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越大，说明模型的拟合效果越好，∴①错误；对于②，命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，②正确；对于③，根据正态分布N（0，1）的性质可得，若P（X＞1）=p，则P（X＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜X＜1）=1﹣2p，∴P（﹣1＜X＜0）=﹣p，③正确；对于④，回归直线一定过样本点的中心（，），正确；综上，正确的说法是②③④．故答案为：②③④．16．已知数列{a n}与{b n}满足a n=2b n+3（n∈N*），若{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）且λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）求得b n，进一步得到a n，把a n，b n代入λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．【解答】解：由S n=（3n﹣1），得，当n≥2时，，当n=1时，上式成立，∴．代入a n=2b n+3，得，代入λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ，得λ（a n﹣3）＞b n+36（n﹣3），即2λ•3n＞3n+36（n﹣3），则λ＞+．由=，得n≤3．∴n=4时， +有最大值为．故答案为：（，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S=（a2+c2﹣b2）．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求（﹣1）a+2c的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可求出B，（Ⅱ）先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值【解答】解：（Ⅰ）∵S=acsinB，cosB=即a2+c2﹣b2=2accosB，∴S=（a2+c2﹣b2）变形得： acsinB=×2accosB，整理得：tanB=，又0＜B＜π，∴B=，（Ⅱ）∵A+B+C=π，∴0＜A＜，由正弦定理知a===2sinA，c==2sin（﹣A），∴（﹣1）a+2c=2（﹣1）sinA+4sin（﹣A）=2sinA+2cosA=2sin（A+）≤2，当且仅当A=时取最大值，故（﹣1）a+2c的最大值为2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PA B=90°，BC=CD=AD，E为AD的中点，异面直线AP与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：△PBE是直角三角形；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知证明PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE．再由已知证明四边形BCDE为平行四边形，得BE∥CD．结合CD⊥AD，得BE⊥AD．再由线面垂直的判定得BE⊥平面PAD，进一步得到BE⊥PE，得到△PBE是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角为45°，设BC=1，得AD=PA=2．在平面ABCD中，过A作Ay⊥AD．以A为原点，分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求得E，P，C的坐标，求出平面PEC与平面PAE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵AD∥BC，AD=2BC，∴四边形ABCD为梯形，则AB与DC相交．∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，又异面直线AP与CD所成的角为90°，∴PA⊥CD．∴PA⊥平面ABCD，则PA⊥BE．∵AD∥BC，BC=，∴四边形BCDE为平行四边形，则BE∥CD．∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴BE⊥AD．由BE⊥PA，BE⊥AD，PA∩AD=A，得BE⊥平面PAD，∴BE⊥PE，则△PBE是直角三角形；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角为45°，设BC=1，则AD=PA=2．在平面ABCD中，过A作Ay⊥AD．以A为原点，分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则E（1，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0）．．设平面PEC的一个法向量为．由，得，取z=1，得．由图可知，平面PAE的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值为．19．随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为，分别有5个级别；T∈时交通指数的中位数为5+1×．T∈时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1．（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=+．（3）由题意，所用时间x的分布列如下表，即可得出此人经过该路段所用时间的数学期望．【解答】解：（1）由直方图知：T∈时交通指数的中位数为5+1×=．T∈时交通指数的平均数 3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92．（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=+=．∴3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为．（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：则Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6．∴此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟．20．已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足=，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（I）利用椭圆的定义即可得出E的轨迹方程；（II）讨论直线l的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系得出M点坐标，根据平行四边形对角线互相平分得出R点坐标，代入椭圆方程化简即可得出直线l的斜率k．【解答】解：（I））∵|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=2＜4，∴点Q的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，设椭圆方程为=1，则2a=4，c=，∴a=2，b==1．所以点E的轨迹方程为： +y2=1．（II）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，显然四边形OARB是平行四边形；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M）．联立方程组，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，∵=，即M是AB的中点，∴x M==﹣，y M=kx M+m=，若四边形OARB是平行四边形，当且仅当AB，OR互相平分，∴R（﹣，），代入椭圆方程得： +=1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，又直线l：y=kx+m经过点（1，1），∴m=1﹣k，∴16k2（1﹣k）2+4（1﹣k）2=16k4+8k2+1，∴32k3﹣12k2+8k﹣3=0，即（4k2+1）（8k﹣3）=0．∴k=，m=，∴直线l的方程为y=x+时，四边形OARB是平行四边形，综上，直线l的方程为x=1或y=x+．21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最大值即可；（Ⅱ）设出M的坐标，分别求出直线AB的斜率k1，C在点N处的切线斜率k2，由k1=k2，得到即=﹣，得出矛盾．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，又x∈，则有如下分类：①当﹣≥2，即﹣≤a＜0时，f（x）在上是增函数，所以f（x）max=f（2）=2﹣ln2．②当1＜﹣＜2，即﹣＜a＜﹣时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．综上，函数f（x）在上的最大值为：f（x）max=；（Ⅱ）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1===a（x1+x2）+（1﹣2a）+，C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=﹣，所以ln=，不妨设x1＜x2，ln=t＞1，则lnt=，令g（t）=lnt﹣，（t＞1），g′（t）=＞0，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=不成立，所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．四、选修4-4：坐标与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，由此能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为，能求出直线l的参数方程．（Ⅱ）由曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，求出曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，把直线l的参数方程代入曲线C′，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，由此能求出|MA|+|MB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为，∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）．（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C′：（x﹣2）2+y2=4，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．…（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…2017年6月15日。