例.如图,已知Rt∠BAC在平面内, P,且∠PAB=∠PAC=60°. 求PA与平面所成角的余弦值. P E A 苏教版高中数学教材必修2 B O C
F第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 例.如图,两个全等的正方形ABCD, ABEF所在的平面相交于AB,M∈AC, N∈BF.若AM=FN. 1.2 点、线、面之间的位置关系 §3 直线与平面的位置关系 b c n a
m l 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 直线a与平面的位置关系: 有无数公共点 有一个公共点 a在内 a 没有公共点 a与平行 a a与相交 a A
a a∩=A a 苏教版高中数学教材必修2 第1章 D G ①求证:四边形EFGH 为平行四边形; ②求四边形EFGH的周长. B F 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 C 1.2 点、线、面之间的位置关系 思考. 求证:若一直线与两相交平面都平行,则这 条直线与两平面的交线平行 . a l 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 射影;垂足和斜足间的线段叫做这个点到平面 的斜线段在这个平面内的射影. 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 例.已知P 为正方形ABCD所在平面外一 点,且PB⊥平面ABCD,PB=AB=a. 求点P 到直线 AC 的距离. P a B a A O D 第1章 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 P A l 一条直线和一个 平面相交但是不 垂直,称这条直 线为这个平面的斜线; 斜线和平面的交点叫 做斜足;
R Q A’ 从平面外一点向平面引斜线,点与斜足间的线 段叫做点到平面的斜线段; 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的 1.2 点、线、面之间的位置关系 例1.求证:空间四边形相邻两边中点的连 线,平行于经过另外两边的平面. 已知:在空间四边形ABCD中,E,F 分别是AB,AD的中点. 求证:EF∥平面BCD. E B 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 A F D C 1.2 点、线、面之间的位置关系 练习.如图,P为平行四边形ABCD所在的 平面外一点. M, O N 分别是PD,AC PC的中点.试判 的中点. 断MN 判断 MO 与四棱锥 与平面PAB P-ABCD 的关系. 各面的位置 BC,并画出此平面与其他各面的交线. P R M B S A C第1章 N 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 1.2 点、线、面之间的位置关系 练习-判断. 7.若直线a∥b,则a平行于经过b的任何平 面. F 8.若直线和平面满足a∥,b∥, 则 a∥b. F 9.若直线a∥,那么在内可以找到无数 组直线与a 平行.T 10.若直线a∥,那么a与内任意一条直 线都平行.F —— 直线a的垂面;
P —— 垂足. a⊥,l⊂ a⊥l. 第1章 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 1.2 点、线、面之间的位置关系 过一点有 无数 条直线与已知直线垂 直; 过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直; 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直. 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 b 1.2 点、线、面之间的位置关系 直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行. a a∥b a a∥ b b * 线线平行 线面平行 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 一条直线与一个平面平行,直线上各点到 平面的距离相等. ——直线和平面的距离. * 线面距 点面距 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 直线到平面的距离 : ①平行于平面的直线和平面间的距离处处相 等; ②直线上有两点到平面的距离相等, 若此两点在平面同侧,则直线与平面平行; 若此两点在平面异侧,则直线和平面相交, 且交点是连结此两点的线段的中点; ③如果一个平面经过一条线段的中点, 那么线段的两个端点到平面的距离相等. 关系. P N L B 苏教版高中数学教材必修2 A 第1章 M N D O 立体几何初步 C 1.2 点、线、面之间的位置关系 练习-填空 1.过直线外一点与已知直线平行的直线有 ________ 条. 1 2.过直线外一点与已知直线平行的平面有 无数 个. ________ 3.过平面外一点与已知平面平行的直线有 无数 条. ________ 4.过平面外一点与已知平面平行的平面有 ________ 个. 1 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这 条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行. 已知:a∥,a,∩=l. a∥ 求证:a l. a∥l ∩ = l 1.2 点、线、面之间的位置关系 例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求:①A1D与平面ABCD所成的角; ②A1C与平面ABCD所成角的正弦. ③A1B与平面A1B1CD所成的角的余弦 . D1 C A1 1 B1 D C B 第1章 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 A 1.2 点、线、面之间的位置关系 A 直线CD⊥平面_____. D 苏教版高中数学教材必修2 B 第1章 C 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线同时垂直于一个平面, b’ b 那么这两条直线平行. a 已知:aa ⊥ ,b⊥. ⊥ a∥b ⊥ 求证:ab ∥ b . O * 线面垂直 线线平行 判断: 1.a∥b,b∥c,则a∥c. T 2.a⊥b,b⊥c,则a∥c. F 3.a⊥b,b∥c,则a⊥c. T 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直: 如果一条直线a与一个平面内的任意一 条直线都垂直. 记作:a⊥. a P l a —— 平面的垂线; C 苏教版高中数学教材必修2 1.2 点、线、面之间的位置关系 P l A 直线与平 面所成角:
R Biblioteka Baidu Q A’ {|0°≤≤90°} 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影 所成的锐角叫做这条斜线与这个平面所成的 角. {|0°<<90°} 特别的,直线与平面垂直,它们所成的角为 直角;直线在平面内,它们所成角为 0 °. 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 练习. 5.过两条异面直线中的一条有 ______ 1 个平面与另一条直线 平行. a M a’
b 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 练习. 6.P 为△ABC所在平面外一点,M、N分 别是PC、AC上的点,过MN作平面平行于 a∥ 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 求证:如果平面外一条直线和这个平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行. a 已知:a∥b,a,b. P 求证:a∥. 证明:假设a与不平行. 又a,所以设a∩=P. 因为a∥b,故a,b可确定一个平面. 又b,所以∩=b.因为P∈a,所以P∈, 又P∈,所以P∈b. 即a∩b=P,与a∥b矛盾. 求证:MN∥面BCE. A D M P B 第1章 N F C Q E 立体几何初步 苏教版高中数学教材必修2 K 1.2 点、线、面之间的位置关系 例.设P为正方形ABCD所在平面外的一点, PA⊥平面ABCD,AE⊥PB于点E. 求证:AE⊥PC. P ①异面直线所成角; E A ②线面垂直的性质. D C B 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 a l * 线面平行 线线平行 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 例.如图,∩=CD,∩=EF, ∩=AB,AB∥. 求证:CD∥EF. A D F E 立体几何初步 B C 第1章 苏教版高中数学教材必修2 1.2 点、线、面之间的位置关系 EF,则四边形BCFE为( C ) A.空间四边形 P E D F C B 第1章 立体几何初步 B.平行四边形 C.梯形 A 苏教版高中数学教材必修2 1.2 点、线、面之间的位置关系 例.在空间四边形ABCD中,AC=BD=a, 与直线AC,BD都平行的平面分别交 AB,BC,CD,AD于E,F,G,H. A E H 苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 从平面外一点A引这个平面的垂线, a 垂足P A ——点A在这个平面内的射影; P 点A与垂足P间的线段 垂线段AP的长度