四川省内江市2017届高三数学五模试卷(理科)

四川省成都市2017届高考模拟试卷（理科数学）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若（a 2+2a ﹣3）+（a+3）i 为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣3C ．﹣3或1D ．3或12．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x||x ﹣1|≤a ，a ∈R}，若N ⊆M ，则a 的取值范围为（ ）A ．0≤a ≤1B ．a ≤1C ．a ＜1D ．0＜a ＜13．设命题p ：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q ：若cosx=cosy ，则x=y ，则下列判断正确的是（ ）A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．￢p 为真D ．￢q 为真4．已知抛物线x 2=﹣2py （p ＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（ ）种．A ．14B ．18C ．12D ．166．执行如图所示的程序框图，输出P 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．0D ．20167．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．1024B ．256C ．8D ．48．已知O 为△ABC 内一点，且有，记△ABC ，△BCO ，△ACO 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3等于（ ）A ．3：2：1B ．3：1：2C ．6：1：2D ．6：2：19．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．B． C．D．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_______．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．18．如图所示，在三棱锥P ﹣ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ．（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；（Ⅱ）求异面直线DP 与BQ 所成的角；（Ⅲ）求直线AQ 与平面PDC 所成角的正弦值．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣4，数列{b n }满足b n+1﹣b n =1，其n 项和为T n ，且T 2+T 6=32． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且|A 1A 2|=4，上顶点为B ，若直线BA 1与圆M ：（x+1）2+y 2=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l ：x=2与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1、A 2的动点，直线A 1P 、A 2P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证：|DE|•|DF|为定值．21．设函数f （x ）=x 2﹣x+t ，t ≥0，g （x ）=lnx ．（Ⅰ）若对任意的正实数x ，恒有g （x ）≤x 2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t ，是否存在直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切？若存在，讨论直线l 的条数，若不存在，请说明理由．四川省成都市2017届高考模拟试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．综上可得：a的取值范围为a≤1．故选：B．3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真【考点】命题的否定．【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），故选：C．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．16【考点】计数原理的应用．【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2016【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2017＞2016时，满足条件，终止循环，输出P的值．【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，i=2，不满足条件i＞2016？，有P=﹣1+cos2π=0，i=3，不满足条件i＞2016，有P=0+cos3π=﹣1，，…，i=2016，不满足条件i＞2016，有P=﹣1+cos2016π=0，i=2017，满足条件i＞2016，输出P的值为0．故选：C ．7．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．1024B ．256C ．8D ．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x ﹣y ，令u=2x ﹣y ，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x ﹣u由图象可知当直线y=2x ﹣u 过点A 时，直线y=2x ﹣u 的截距最小，此时u 最大，由，解得，即A （5，2）．代入目标函数u=2x ﹣y ，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x ﹣y ，的最大值是28=256．故选：B ．8．已知O 为△ABC 内一点，且有，记△ABC ，△BCO ，△ACO 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3等于（ ）A ．3：2：1B ．3：1：2C ．6：1：2D ．6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC =2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC =2S△AOB．同理可得：S△ABC =3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．故选：C．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a 2=b 2+c 2＜5c 2，∴；由，得b+2c ＜2a ，再平方，b 2+4c 2+4bc ＜4a 2，∴3c 2+4bc ＜3a 2，∴4bc ＜3b 2，∴4c ＜3b ，∴16c 2＜9b 2，∴16c 2＜9a 2﹣9c 2，∴9a 2＞25c 2，∴，∴．综上所述，． 故选A ．10．已知函数，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f （x 1）=f （x 2），则x 1f （x 2）﹣f （x 2）的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】分段函数的应用．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f （x 1）=f （x 2），确定x 1的取值范围然后再根据x 1f （x 2）﹣f （x 2），转化为求在x 1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f （x 1）=f （x 2）∴0≤x 1＜，∵x+在[0，）上的最小值为；2x ﹣1在[，2）的最小值为，∴x 1+≥，x 1≥，∴≤x 1＜．∵f （x 1）=x 1+，f （x 1）=f （x 2）∴x 1f （x 2）﹣f （x 2）=x 1f （x 1）﹣f （x 1）2=﹣（x 1+）=x 12﹣x 1﹣，设y=x 12﹣x 1﹣=（x 1﹣）2﹣，（≤x 1＜），则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x 1f （x 2）﹣f （x 2）的取值范围为[﹣，）．故选：B ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为8，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的平均数为 15 ．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的平均数．【解答】解：∵样本数据x 1，x 2，…，x 10的平均数是10，∴=（x 1+x 2+…+x 10）=8；∴数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的平均数是：=[（2x 1﹣1）+（2x 2﹣1）+…+（2x 10﹣1）]=2×（x 1+x 2+…+x 10）﹣1=2×8﹣1=15．故答案为：15．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x 5的系数为 35 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，它的通项公式为Tr+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：35．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为 a ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1 D，∴AC⊥EN，∴△AEN≌△CEN，∴EA=EC，连接EC，∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，∴EC==a．故答案为： a．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆半径r=，a=﹣1时，r min ==1，a=1时，r max ==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a ∈R ）相切，∴圆半径r===， ∴a=﹣1时，r min ==1，最小圆面积S min =π×12=π，a=1时，r max ==，最大圆面积S max ==3π，∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．故答案为：2π．15．已知a ＞0，f （x ）=a 2lnx ﹣x 2+ax ，若不等式e ≤f （x ）≤3e+2对任意x ∈[1，e]恒成立，则实数a 的取值范围为 [e+1，] ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数可求得f （x ）的单调区间，由f （1）=﹣1+a ≥e 可得a ≥e+1，从而可判断f （x ）在[1，e]上的单调性，得到f （x ）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．【解答】解：f′（x ）=﹣2x+a=，∵x ＞0，又a ＞0，∴x ∈（0，a ）时f′（x ）＞0，f （x ）递增；x ∈（a ，+∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）递减．又f （1）=﹣1+a ≥e ，∴a ≥e+1，∴f （x ）在[1，e]上是增函数，∴最大值为f （e ）=a 2﹣e 2+ae ≤3e+2，解得：a ≤，又a ≥e+1，而e+1＜，∴a 的取值集合是[e+1，]，故答案为：[e+1，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+sinB）．∴=（cosB，﹣cosB+sinB），∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．∴≤|+|＜．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，∴至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，Eξ==．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，∴CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，∴CD∥平面EFQ，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，∴GH∥CD，又CD∥AB，∴GH∥AB．（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．∴=﹣，||=，||=1，∴cos＜＞=﹣．∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则， =0，∴，令z=1，得=（0，2，1）．∴=2，||=，||=，∴cos＜＞==，∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣4，数列{b n }满足b n+1﹣b n =1，其n 项和为T n ，且T 2+T 6=32． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系即可得出．（Ⅱ）S n =2×4n ﹣4．不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．【解答】解：（I ）∵S n =2a n ﹣4，∴n=1时，a 1=2a 1﹣4，解得a 1=4；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣4﹣（2a n ﹣1﹣4），化为：a n =2a n ﹣1． ∴数列{a n }是等比数列，首项为4，公比为2，∴a n =4×2n ﹣1=2n+1．∵数列{b n }满足b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，公差为1．∵T 2+T 6=32，∴2b 1+1+6b 1+×1=32，解得b 1=2．∴b n =2+（n ﹣1）=n+1．（Ⅱ）S n =2×2n+1﹣4．∴不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7，化为：λ≤，∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当n=2时，取得最小值3，∴实数λ的取值范围是λ≤3．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且|A 1A 2|=4，上顶点为B ，若直线BA 1与圆M ：（x+1）2+y 2=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l ：x=2与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1、A 2的动点，直线A 1P 、A 2P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证：|DE|•|DF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由条件可得到A 1（﹣2，0），B （0，b ），从而可以写出直线BA 1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b ，这便可得出椭圆C 的标准方程为；（Ⅱ）可设P （x 1，y 1），从而有，可写出直线A 1P 的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E 的坐标，同理可得到点F 的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得A 1（﹣2，0），B （0，b ）；∴直线BA 1的方程为；∴圆心（﹣1，0）到直线BA 1的距离为；解得b 2=3；∴椭圆C 的标准方程为；（Ⅱ）证明：设P （x 1，y 1），则，；∴直线A 1P 的方程为；∴；同理得，；∴；∴|DE|•|DF|为定值．21．设函数f （x ）=x 2﹣x+t ，t ≥0，g （x ）=lnx ．（Ⅰ）若对任意的正实数x ，恒有g （x ）≤x 2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t ，是否存在直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切？若存在，讨论直线l 的条数，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得lnx ﹣x 2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h （x ）=lnx ﹣x 2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F （x ）=ln x +﹣（t +1），利用导数求出函数F （x ）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．【解答】解：（1）对任意的正实数x ，恒有g （x ）≤x 2α成立，即为lnx ﹣x 2α≤0恒成立，当α≤0时，h （x ）=lnx ﹣x 2α递增，无最大值；当α＞0时，h′（x ）=﹣2α•x 2α﹣1，当x ＞时，h′（x ）＜0，h （x ）递减；当0＜x ＜时，h′（x ）＞0，h （x ）递增．即有x=时，h （x ）取得最大值，且为ln ﹣，由ln ﹣≤0，可得α≥，综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）； （2）记直线l 分别切f （x ），g （x ）的图象于点（x 1，x 12﹣x 1+t ），（x 2，ln x 2），由f′（x ）=2x ﹣1，得l 的方程为y ﹣（x 12﹣x 1+t ）=（2x 1﹣1）（x ﹣x 1），即y =（2x 1﹣1）x ﹣x 12+t ．由g′（x ）=，得l 的方程为y ﹣ln x 2=（x ﹣x 2），即y =•x +ln x 2﹣1．所以（*）消去x 1得ln x 2+﹣（t +1）=0 （**）．令F （x ）=ln x +﹣（t +1），则F′（x ）=﹣==，x ＞0．由F'（x ）=0，解得x =1．当0＜x ＜1时，F'（x ）＜0，当x ＞1时，F'（x ）＞0，所以F （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而F （x ）min =F （1）=﹣t ．当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t＞0时，F（1）＜0，由于F（e t+1）＞ln（e t+1）﹣（t+1）=0，故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；令k（x）=ln x+﹣1（x≤1），由于k'（x）=﹣=≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）=0，即ln x＞1﹣，从而ln x+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，又0＜＜1，故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．。

四川省内江市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下面三个命题:①0比-i大;②x+yi=1+i(x,y∈R)的充要条件为x=y=1;③a+bi为纯虚数的充要条件是a=0,b≠0.其中正确的命题个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x≥0}，则A∩B等于（）A . {x|x≤1}B . {x|1≤x＜2}C . {x|0＜x≤1}D . {x|0＜x＜1}3. （2分） (2017高一上·长宁期中) 若a1、b1、c1、a2、b2、c2∈R，且都不为零，则“ ”是“关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0的解集相同”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件4. （2分） (2016高一下·大同期中) 函数y=sin（2x+ ）•cos（x﹣）+cos（2x+ ）•sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（）A . x=B . x=C . x=πD . x=5. （2分）在公比q1的等比数列{an}中，若,则的值为（）A . pqn+1B . pqn-1C . pqnD . pqm+n-16. （2分） (2017高一下·晋中期末) 如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）A . 511B . 1023C . 2047D . 40957. （2分） (2018高二下·甘肃期末) 已知椭圆的左、右焦点为，，左、右顶点为，，过的直线交于，两点(异于、 )，的周长为，且直线与的斜率之积为，则的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·市北期中) 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·盐城月考) 已知函数是定义在区间上的偶函数，当，是减函数，如果不等式成立，则实数m的取值范围是（）．A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知实数x，y满足约束条件，目标函数z=x+y，则当z=3时，x2+y2的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）下列对应是从到的映射，且能构成函数的是（）A . ，，；B . ，，；C . ，，；D . ，，作矩形的外接圆．12. （2分） (2016高二下·惠阳期中) 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于1的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2016高二上·湖州期中) 过点（1，3）且渐近线为y=± x的双曲线方程是________，其实轴长是________14. （1分）已知四棱椎P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，且该四棱椎的体积为96，则点P到面ABCD的距离是________．15. （1分）由命题“ ，”是假命题，求得实数m的取值范围是(a ， )，则实数a＝________．16. （1分） (2017高一下·庐江期末) 已知数列{an}中，a1=2，an=an﹣1﹣（n≥2），则数列{an}的前12项和为________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （10分） (2020高一下·辽宁期中) 中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．18. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．19. （5分）(2017·浙江模拟) 如图，P﹣ABD和Q﹣BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．20. （5分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．求C2的方程；21. （5分）已知函数f（x）=﹣（a＞0）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=1﹣，判断g（x）的单调性，并用定义证明你的结论；（3）当x∈[0，ln4]，求函数h（x）=e2x+meax的最小值．22. （10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O 交于点F，连接DF．（1）证明：C，D，F，E四点共圆；（2）若EF=3，AE=5，求BD•BC的值．23. （10分）(2020·合肥模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.24. （10分） (2018高一上·铜仁期中) 若是定义在上的增函数，且．（1）求的值；（2）若，解不等式．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

高三（2017届）数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2） 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ）A. 1B. iC. -1D. - i{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0, |φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(3πx -6π Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π)Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ． f (x )=5sin(6πx +6π)6.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A.a b c >>B.a cb >>C.b ac >> D. b c a >>8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）x －5y O 5 2 5A ．433 B ．533 C ．23 D ．833x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．95 B. 75 C. 58 D. 6512、已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为/()f x ，满足/()f x <()f x ,且()(2)f x f x -=+，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A. ()2,-+∞B. (0，+∞)C.(1, +∞)D.(2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）. 13. (4y x 的展开式中33x y 的系数为 。

翔龙中学2016-2017学年度9月考试数学（理）试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知全集U=R ，N={x|x （x+3）＜0}，M={x|x ＜﹣1}则图中阴影部份表示的集合是（ ） A ．{x|﹣3＜x ＜﹣1} B ．{x|﹣3＜x ＜0} C ．{x|﹣1≤x＜0} D ．{x ＜﹣3}2.已知知足的实数x 、y 所表示的平面区域为M 、若函数y=k （x+1）+1的图象通过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3，5] B ．[﹣1，1] C ．[﹣1，3] D ．3.42()(1)x x x+-的展开式中x 的系数是 ( )4.已知非零向量m ，n 知足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–945. 若，且，则向量与的夹角为 ( )A 30°B 60°C 120°D 150°6. “平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（ ） A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.要取得函数y=sin(x+6π)的图像，只需要将函数y=cosx 的图像（ ） A 、向左平移3π个单位 B 、向左平移6π个单位 C 、向右平移3π个单位 D 、向右平移6π个单位8. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1, a n+1 =3S n (n ≥1),则a 6=( ) （A ）3 ×44 （B ）3 × 44+1 (C) 44 （D ）44+19.已知函数f(x)=2mx 3−3nx 2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则lg 2m+lg 2n 的最小值为 （ ） A 、 B 、19C 、D 、10.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知函数f(x)在实数集R 上具有下列性质：①f(x+2)=−f(x)；②f(x+1)是偶函数；③当x 1≠x 2∈时，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0，则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为（ ） A 、f(2011)> f(2012)> f(2013) B 、f(2012)> f(2011)> f(2013)C 、f(2013)>f(2011)>f(2012)D 、f(2013)> f(2012)>f(2011)12. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ),1(+∞- B. (]1,1- C. )1,(-∞ D. [)1,1-第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若12z a i =+，234z i =-，且12zz 为纯虚数，则实数a 的值等于 ．14.已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ． 15.已知点(1,22)A ,(0,0)B ,(1,0)C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，若是BC CE λ=，那么λ等于 ． 16. 若数列知足：存在正整数，关于任意正整数都有成立，则称数列为周 期数列，周期为．已知数列知足，有以下结论：① 若，则；② 若，则能够取3个不同的值；③若，则是周期为3的数列；④存在且，数列是周期数列．其中正确结论的序号是 __________。