数学辅助线做法技巧初中
数学辅助线是初中数学教学中常用的一种画图方法，可以帮助学生更好地理解和掌握各种数学概念和计算方法。
以下是数学辅助线做法技巧的一些要点：
1. 准确选择辅助线：在做题前，需要仔细分析题目要求和给定条件，准确选择适合的辅助线。
一般来说，辅助线的作用是使问题简化、明了，因此应当选择能够达到这一目的的辅助线。
2. 画图精细：辅助线的画法需要精细，尽量避免出现误差和混淆。
画线时建议使用铅笔轻轻勾画，检查无误后再用黑色笔进行加粗。
3. 辅助线的使用顺序：通常情况下，先画出重要的线条，如角平分线、垂线等，然后再考虑是否需要添加其他的辅助线。
4. 计算过程中注意标注：在使用辅助线进行计算时，需要注意清晰标注各个线段的长度、角度大小等信息，以方便后续的计算和验证。
5. 练习熟练度：数学辅助线是需要经验和技巧的，需要多进行练习和掌握。
可以通过做题、模拟考试等方式提高熟练度。
总之，数学辅助线是初中数学教学中重要的画图方法，能够帮助学生更好地理解和掌握各种概念和计算方法。
在使用辅助线时，需要准确选择、精细画图、注意标注、按顺序使用，同时也需要进行反复训练和提高熟练度。
例谈利用旋转变换作辅助线解题作者：邓朋伟来源：《科学大众·教师版》2014年第06期摘要：笔者在一次测验中发现，学生对于一道经典题的解答错误率极高。
笔者对学生的错误情况和原因进行了分析并反思自己的教学，从而产生了一些思考。
关键词：数学教学；几何题中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）06-011-002题目：已知正方形ABCD，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF一、错误分析1.基本思路未形成结论是一个不对称式，解决的思路是化成对称式。
方法有两种，①是将等式左边的EF分成两段分别证与等式右侧两段分别相等。
②是将等式右侧的两条线段合成一条线段与等式左侧相等。
解答中，学生选择①，在EF上取点G，使EG=BE。
然后认为一定能够能证明，麻醉自己，得证。
2.基本思维不能突破从心理学角度讲在原有图形上添设辅助线条件容易想到，拓展在图形外添设辅助线这一点很难突破，这也是学生为什么只是作AQLEF或EG=BE连AG的重要原因，基本思维学生有待突破。
二、教学反思上述出现的问题，对教师提出了一定的要求。
笔者在让学生突破上述两个问题时，除了加强对证明的思路的培养外，更要加强学生解决问题途径的拓展及思路的引导。
如何添设辅助线在此类问题中感觉到尤为的重要。
下面通过一些例题，谈谈如何利用旋转变换作辅助线解决此类问题。
通过添设适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。
旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分，绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转变换经常用在等腰三角形、等边三角形及正方形中。
1.用旋转变换添设辅助线在等腰三角形中应用例1：已知，如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上任一点。
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题基本知识把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点知识点睛中考要求第十二讲利用旋转添加辅助线【例1】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【解析】 ∵ABC ∆是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =．∴60BCD DCA ∠+∠=︒，同理60ACE DCA ∠+∠=︒，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ∆与ACE ∆ 中， BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌，∴BD AE =．【巩固】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．图6DECBA【解析】 31-．易知CDB ∆≌CDA ∆≌EDB ∆，从而2BC AC BE ===，2AB =， 由CDA CDB ∠=∠知CD 是ABD ∆一条高的一部分，不难算出答案为31-．【例2】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化MNCBAMDNCBA【解析】 如图，将CBN ∆绕点C 顺时针旋转90︒，得CAD ∆，连结MD ，则AD BN n ==，CD CN =，ACD BCN =∠∠，∴MCD ACM ACD =+∠∠∠ACM BCN =∠+∠904545MCN =-==∠． ∴MDC MNC ∆∆≌，∴MD MN x ==又易得454590DAM ∠=+︒=，∴在Rt AMD ∆中，有222m n x +=，故应选(B )例题精讲【例3】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE【解析】 ⑴ 222DE BD EC =+证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆ ∴AEC ABE '∆∆≌∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ∆中 ∵AB AC =∴45ABC ACB ∠=∠=︒ ∴90ABC ABE '∠+∠=︒ 即90E BD '∠=︒∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=︒∴45BAD EAC ∠+∠=︒ ∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒∴AED AED '∆∆≌ ∴DE DE '=∴222DE BD EC =+E'EDCBAFEDCB A⑵ 关系式222DE BD EC =+仍然成立证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌∴AF AB =，FD DB =FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒+∠ ∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ∆∆≌∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒ 180135AFD ABD ABC ∠=∠=︒-∠=︒∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt DFE ∆中222DF FE DE +=即222DE BD EC =+【例4】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BACH FEGD BA【解析】 延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =．再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BAGABC DEF【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ．因为ABCD 是正方形，所以在Rt ADF ∆和Rt ABG ∆中，AD AB =， 90ADF ABG ∠=∠=°，DF BG =． ∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ∆∆≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠． 又 ∵ AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAF BAE ∠=∠，∴DAF EAF BAG BAE ∠+∠=∠+∠． 即EAD GAE ∠=∠．∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =． 即AG BG BE =+．∴AF BG BE =+，得证．⑵ ADF ABE S S S ∆∆=+1122DF AD BE AB =⋅+⋅．∵1AD AB ==，∴()12S DF BE =+由⑴知，AF DF BE =+，所以12S AF =．在Rt ADF ∆中，1AD =，DF x =，∴AF =∴S 由上式可知，当2x 达到最大值时，S 最大．而01x ≤≤， 所以，当1x =时，S．【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90°，∠B =135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．N K DCB AFNKEDCB A【解析】 延长BC 至F ，使得CF =AB ，在CF 上取点E ，使得CE =AK ，连接BD 、DE 、DF ．∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ∴Rt △ADB ≌Rt △CDB ∴AD =CD∵AD =CD ，AK =CE ，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ∴△ADK ≌△CDE ∴DK =DE∵BK +BN +KN =2AB ，BF =BN +EF +EN =2AB ，EF =CF -CE =AB -AK =BK ∴KN =EN∴△NDK ≌△NDE∴∠KDN =∠EDN =∠CDE +∠NDC =∠CDE +∠ADK∵∠ABC =135° ∴∠KDN =12(180°-135°)=22．5° 点评：本题的辅助线可以看作是将△ADB 割下来，放到△CDF 处，从而将不规则的图形转化为规则的图形，进而利用线段之间的等量关系求解．【例5】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M ，N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边ABC ∆的周长L 的关系．图③图②图①ABCD MNABCD MNN M D CBA⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM =DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时LQ=__________⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =_________(用x ，L 表示)【解析】 B M +NC =MN ;32=LQ EABC DM N(2)猜想：仍然成立证明：如图，延长AC 至E ，使CE =BM ，连接DE ,120BD CD BDC =∠=︒且， 30DBC DCB ∴∠=∠=︒由ABC ∆是等边三角形，90MBD NCD ∴∠=∠=︒，()MBD ECD SAS ∴∆∆≌ ,DM DE BDM CDE ∴=∠=∠，60EDN BDC MDN ∴∠=∠-∠=︒ 在MDN ∆与EDN ∆中 DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴∆∆≌ MN NE NC BM ∴==+AMN ∆的周长Q AM AN MN =++=()()AM BM AN NC +++=2AB AC AB += 而等边ABC ∆的周长3L AB = 23Q L ∴= (3)223x L +【巩固】(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋FD ;FED CBA(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． FED CBAF EDCBA(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．GFED CBAGFEDCBA【解析】 证明：延长EB 到G ，使BG =DF ，联结AG ．∵∠ABG ＝∠ABC =∠D ＝90°， AB =AD ， ∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ， ∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ． 又AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG =EF ． ∵EG =BE +BG ． ∴EF = BE ＋FD(2) (1)中的结论EF = BE ＋FD 仍然成立．(3)结论EF =BE ＋FD 不成立，应当是EF =BE －FD 证明：在BE 上截取BG ， 使BG =DF ，连接AG ． ∵∠B +∠ADC ＝180°， ∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ． ∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG =EF ∵EG =BE -BG【例6】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OBEC F A 4321OB ECF A【解析】 连结OB 由上可知，1290+∠=︒∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=︒∠，OB OC =．∴OBE OCF ∆∆≌，∴BE FC =，∴BE BF CF BF BC a +=+==．【巩固】等腰直角三角形ABC ，90ABC =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =︒∠，试猜想，BE 、BF 、EF 三者的关系．OBE C FA OB EG C F A【解析】 如图，过点O 作OG OE ⊥，交BC 于G ，连结OB ，易知OGC OBE ∆∆≌，∵BE CG =，又∵EO OG =，45EOF FOG =∠=∠，OF OF =， ∴OEF OGF ∆∆≌，∴EF FG =∴BE BF EF CG BF FG AB a ++=++==又∵90B =︒∠，∴BE 、BF 、EF 又存在另一关系式222BF BE EF +=【例7】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．QRPOD CBA【解析】 欲证OP ⊥OQ ，即证明∠COP +∠COQ =90°．然而，∠COQ +∠QOD =90°，因此只需证明∠COP =∠DOQ 即可．这归结为证明△COP ≌△DOQ ，又归结为证明CP =DQ ，最后，再归结为证明△ADQ ≌△DCP 的问题．证 在正方形ABCD 中，因为AQ ⊥DP ，所以，在Rt △ADQ 与Rt △RDQ 中有∠RDQ =∠QAD ．所以，在Rt △ADQ 与Rt △DCP 中有AD =DC ，∠ADQ =∠DCP =90°，∠QAD =∠PDC ， 所以△ADQ ≌△DCP (ASA )，DQ =CP ．又在△DOQ 与△COP 中，DO =CO ，∠ODQ =∠OCP =45°， 所以△DOQ ≌△COP (SAS )，∠DOQ =∠COP ．从而∠POQ =∠COP +∠COQ =∠DOQ +∠COQ =∠COD =90°， 即OP ⊥OQ ．说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成45°角，及OA =OB =OC =OD 等均在推证全等三角形中被用到．(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧．【巩固】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DK G CFA【解析】 正方形ABCD 中，1245∠==︒∠，OA OB =而3490∠+=︒∠，4590∠+=︒∠ ∴35=∠∠，∴AOE BOF ∆∆≌∴AE BF =，∴AE FC BF FC BC AB +=+==【例8】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．D CBEFA【解析】 证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD =，90BAD ADE ABF ︒∠=∠=∠=．因为EA AF ⊥，所以90BAF BAE BAE DAE ︒∠+∠=∠+∠=，所以BAF DAE ∠=∠，故Rt ABF ∆≌Rt ADE ∆，故DE BF =．【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDC BAABCDEP【解析】 如图，过点D 作DE DP ⊥，延长BC 交DE 于点E ，容易证得ADP CDE ∆∆≌(实际上就是把ADP∆逆时针旋转90︒，得到正方形DPBE )∵正方形DPBE 的面积等于四边形ABCD 面积为16，∴4DP =．【例9】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．M D NEC BFA【解析】 ∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．【巩固】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBA【解析】 ∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ，C ，E 三点共线∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中 BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌， ∴CAN CBM ∠=∠∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒在BCM ∆与ACN ∆中 60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．【巩固】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF A【解析】 过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．【巩固】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌； DEC ∆为等边三角形．⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=， 进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【例10】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【解析】 ∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠ 又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形【巩固】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )PMBC DEAA ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【解析】 易得ACD BCE ∆∆≌．所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ∆是等边三角形，选C ．【例11】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 互相平分．FEDBCA【解析】 连接DE 与DF∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ∆与ABC ∆中 DB AB DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DBE ABC ∆∆≌ ∴DE CA FC == 在D FA ∆与BCA ∆中 DA BA DAF BAC AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DFA BCA ∆∆≌ ∴DF BC EC ==∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．【例12】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD ∆也是等边三角形．EKHCDBAMAB DCH KE【解析】 连结EB ，∵CE CD =，CE EA =，BE AD =，所以BE AD =，并且BE 与AD 的夹角为60︒， 延长EB 交AK 于M ，则360300EBH BHD HDE BED HDM MDE MED ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠-∠ ()180********HDM MDE MED HDM HDK =︒-∠+︒-︒-∠-∠=︒-∠=．又因为HK AD BE ==，BH HD =． 所以BEH DKH ∆∆≌． 所以HK HE =，EHD EHD DHK BHE ∠=∠+∠=∠．【例13】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =M EFHGD CBA【解析】 证明△ABH ≌△AFC ;(2)作P MD FP 于⊥，Q MD HQ 于⊥，先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM【巩固】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中 CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =【巩固】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE =BG ，且CE ⊥BG ．OGFEDCBA 【解析】 易证△AEC ≌△ABG ，故∠ACE =∠AGB ，又AC ⊥AG ，∠AOG =∠BOC ，故CE ⊥BG ．【例14】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．EDCBAF EDCBA【解析】 我们马上就会想到连接AC 、AD ，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断． 我们回到已知条件中去，注意到1BC DE +=，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC 拼接到DE 的一端且使EF BC =呢(如图所示)？据此，连接AF ，则发现ABC ∆≌AEF ∆，且1FD =，AF AC =，AE AB =，ADF ∆是底、高各为1的三角形，其面积为12，而ACD ∆与AFD ∆全等，从而可知此五边形的面积为1．【巩固】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2．求该五边形的面积．EDCBAFEDCBA【解析】 延长CB 至F ，使得BF =DE ，连接AF 、AC 、AD ．∵∠ABC =∠AED =90°，AB =AE ，BF =DE ∴△ABF ≌△AED ∴AF =AD∵CD = BC +DE =BC +BF =CF ，AC =AC ∴△ACF ≌△ACD ∵AB =CD =CF =2∴该五边形的面积为16．点评：本题可看作将五边形ABCDE 分割成三块，通过割补重新组合成一个规则的图形．【巩固】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBAFEDCBA【解析】 连接AC ．由于AB AE =，180ABC AED ∠+∠=．我们以A 为中心，将ABC ∆逆时针旋转到AEF ∆的位置．因AB AE =，所以B 点与E 点重合，而180AEF AED ABC AED ∠+∠=∠+∠=，所以D 、E 、F 在一条直线上，C 点旋转后落在点F 的位置，且AF AC =，EF BC =． 所以DF DE EF DE BC CD =+=+=． 在ACD ∆与AFD ∆中，因为AC AF =，CD FD =，AD AD =， 故ACD ∆≌AFD ∆，因此ADC ADF ∠=∠，即AD 平分CDE ∠．【例15】 (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．ABCDE FE DCBA【解析】 延长BE 交CD 延长线于点F ．E ∵是AD 中点，DE AE =∴，AB CD ∵∥，90A ∠=︒，90EDF EAB ∠=∠=︒∴，ABE DFE ∠=∠ 在AEB ∆和FED ∆中， ABE DFE EAB EDF AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ AEB FED ∆∆∴≌，FE BE =∴又2,3,1AB BC CD ===∵，CF BC =∴ 在FCE ∆和BCE ∆中， FC BC CE CE FE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∵ FCE BCE ∆∆∴≌，CE EB ⊥∴【习题1】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．EDCBA【解析】 ∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =∴AEC ADB ∆∆≌ ∴CE BD =又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+【习题2】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【解析】 ∵ADC EDF ∠=∠∴ADE CDF ∠=∠ 在ADE ∆和CDF ∆中 DAE DCF AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE CDF ∆∆≌ ∴DE DF =【习题3】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．Q P DCBAQP FDCBA【解析】 把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ =CF ．∵AQ +AP +QP =2，家庭作业又AQ +QD +AP +PB =2，∴QD +BP =QP ．又DQ =BF ，∴PQ =PF ．∴QCP FCP ∆∆≌．∴∠QCP =∠FCP ． 又∵∠QCF =90°，∴∠PCQ =45°．【习题4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM C BA【解析】 由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =．【备选1】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA NM ED C BA【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =．在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =．因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=． 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=．在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2．【备选2】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．月测备选APMCQ BAP MC QB【解析】 连接CM ．因为AC BC =且90ACB ∠=，所以45B ∠=．因为M 是AB 的中点，所以90AMC BMC ∠=∠=，45ACM ∠=且CM BM =，则ACM B ∠=∠． 因为MQ MP ⊥，所以90QMC CMP PMB ∠=-∠=∠，所以QCM PBM ∆∆≌， 所以QM PM =．因此MPQ ∆是等腰直角三角形，在P 的运动过程中形状不变． MPQ ∆的面积与边MP 的大小有关．当点P 从B 出发到BC 中点时，面积由大变小； 当P 是BC 中点时，三角形的面积最小；P 继续向点C 运动时，面积又由小变大．【备选3】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FED CBA FEDMCBA【解析】 延长CB 至M ，使得BM D F =，连接AM ．易证得：ABM ADF ∆∆≌，从而可得：AFD BAF EAF BAE BAM BAE EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， AM B EAM ∠=∠，故AE EM BE BM BE DF ==+=+．【备选4】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA【解析】 由条件1AE CF +=，且1DF CF +=，得AE DF =．因为AB DB =，60A BDF ∠=∠=，所以ABE DBF ∆∆≌， 因此BE BF =，ABE DBF ∠=∠．因为60EBF EBD DBF EBD ABE ABD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=， 所以BEF ∆为等边三角形．。
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
