弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。

此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xyC y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xyy yxx τστσ可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：y x xy xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ22222)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：y x xy xyx y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2222212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ； （2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。

5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为b yx 222=∂∂=ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕτ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；下边，2hy =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2===h y y y f σ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy y f τ；右边，2lx =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠a ）。

解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为022=∂∂=yx ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，a y x xy -=∂∂∂-=ϕτ2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；下边，2hy =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2)(τ；右边，2lx =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2)(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。

因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0=x σ。

由此可知022∂∂=yx ϕσ将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式())()(,21x f y x f y x +=ϕ将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414=+dxx f d dx x f d y 这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即0)(414dx x f d ， 0)(424=dx x f d 这两个方程要求I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=ϕ对应应力分量为022=∂∂=yx ϕσgy E Dx B Ax y xy ρϕσ-+++=∂∂=26)26(22C Bx Ax yx xy ---∂∂∂-=2322ϕτ以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有0)(0==-=C x xy τ右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00==⎰dx y bxyτ将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有0)23(2302302=--=--=--⎰Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b而00)(00=⋅=⎰dx y b xy τ自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00==⎰dx y byσ，0)(00==⎰xdx y byσ将y σ的表达式代入，则有02323)26(2020=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx dx E Dx b b022)26(23023=+=+=+⎰Eb Db Ex Dxxdx E Dx b b由此可得2bq A -=，b qB =，0=C ，0=D ，0=E 应力分量为0=x σ, gy b x b y q y ρσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312, ⎪⎭⎫⎝⎛-=23b x b x q xy τ虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为xVf x ∂∂-=，y V f y ∂∂-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V yx +∂∂=22ϕσ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-=ϕτ2，试导出相应的相容方程。

证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x σ，y σ，xy τ应当满足平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂00y V x yx V y x xy y yx x τστσ（1分） 还应满足相容方程()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ12222（对于平面应力问题）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ112222（对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1分）。

对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。

将其改写为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+-∂∂=∂∂+-∂∂00x V yy V xxy y yx x τστσ 这是一个齐次微分方程组。

为了求得通解，将其中第一个方程改写为()()yx x yV x τσ-∂∂=-∂∂根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得y A V x ∂∂=-σ，xAyx ∂∂=-τ 同样，将第二个方程改写为()()yx y xV y τσ-∂∂=-∂∂（1分） 可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得xBV y ∂∂=-σ，y B yx ∂∂=-τ由此得yBx A ∂∂=∂∂ 因而又一定存在某一函数()y x ,ϕ，使得y A ∂∂=ϕ，xB ∂∂=ϕ 代入以上各式，得应力分量V yx +∂∂=22ϕσ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-=ϕτ2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数()y x ,ϕ必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得()V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222221μϕϕ()V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂222222222222222212μϕϕ 简写为V 24)1(∇--=∇μϕ将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂22222222222211μϕϕ V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222222222112μϕϕ 简写为V 24121∇---=∇μμϕ9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求解。