第七章 概率与概率分布

第七章 概率分布方法在社会、生产、科研和生活实践中，许多问题的不确定现象都是由随机因素的影响造成的，即将这种现象可以视为已希望随机事件，而随机事件一般是按照一定的概率出现的。

与此有关的随机因素的变化往往都会服从于一定的概率分布。

在实际中，就是利用这些概率分布规律对问题进行研究，从而可以对所研究的实际问题做出估计、判断、预测和决策。

因此，概率分布方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用。

7.1 排列和组合7.1.1 排列选排列：从n 个不同的元素中，每次任取k (k n ≤)个不同元素按次序排成一列，称为选排列，其排列种数记为kn P ，即!(1)(2)...(1)()!k n n P n n n n k n k =---+=-.全排列：从n 个不同的元素中，每次取n 个不同元素按次序排成一列，称为全排列，其排列种数记为nn P ，即(1)(2)...2.1!nn P n n n n =--=.有重复的排列：从n 个不同的元素中，每次取k ()k n ≤个元素，可以重复，按次序排成一列，这种排列称为有重复的排列，其排列种数为()k kn P n k n =≤不尽相异元素的全排列：如果在n 个元素中，分别有12,,...m n n n 个元素相同，且12...m n n n n +++=，则这n 个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列，其排列种数为121!!!!n n n P n n n =.7.1.2 组合无重复组合：从n 个不同的元素中，每次任取k ()k n ≤个不同元素，不考虑其次序组合成一组，称为组合，其组合数记为kn C ，或()nk，即!()()!!!k k n np n C k n n k k k ==≤-并且规定01n C =多组组合：把n 个不同的元素分成()m m n ≤组，第i 组中有 (1,2,...,)i n i m =个不同元素，且 12...m n n n n +++=，这样的组合数为1,2, (12)!!...!mn n n n m n C n n n =.有重复的组合：从n 个不同的元素中，每次取出()k k n ≤个元素，可以重复，不考虑次序组合成一组，这种组合成为有重复的组合，其组合数为1()k k n n k C C k n +-=≤.7.2 事件与概率7.2.1 随机试验与事件实际中，把对自然现象进行一次观察或一次科学试验统称为试验。

内容安排高中课程中的概率内容，按知识发生发展的逻辑顺序分为两章，以使学生整体把握概率研究的一般路径，理解概率的思想方法，在必修中安排了如下内容：抽象概率的研究对象——随机现象，分析随机试验的可能结果并用数学符号表示，建立样本空间的概念；利用集合工具或语言刻画随机事件，理解事件的关系与运算的意义；建立古典概率模型，理解概率的意义；通过类比和由特殊到一般的方法，研究概率的基本性质；从直观经验出发归纳两个事件独立的定义，利用性质和独立性计算概率．在本章，首先结合古典概型，采用归纳的方法建立条件概率的概念，导出乘法公式和全概率公式，从而为计算复杂事件的概率提供有力工具．在此基础上，引入随机变量的概念，在更高的观点下，利用数学工具，采用统一的方式系统、全面地研究离散型随机变量取值的概率分布及数字特征，在函数的学习中，学习完函数的概念、表示、性质等一般知识后，通过学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且为我们奠定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础、与函数的学习类似，本章我们通过研究二项分布、超几何分布等重要离散型随机变量的分布，不仅进一步理解了离散型随机变量在描述随机现象中的作用，而且对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解．本章最后根据频率稳定到概率的原理，借助误差数据频率分布直方图，建立正态分布模型．71节是条件概率与全概率公式．条件概率是概率论的重要概念，由此导出的乘法公式彻底解决了积事件概率的计算问题．全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式，其基本思想是利用一组两两互斥的事件，将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件，再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率，它为计算某些事件的概率提供了有力的工具．在本节，教科书创设不同的情境，让学生先直观认识条件概率的意义，通过列举试验的样本空间，发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率，然后从特殊到一般，抽象出条件概率的定义．同样地，通过具体实例，提炼出求复杂事件概率的基本思路，将其一般化得到全概率公式．利用全概率公式计算概率，体现了分解与综合、化难为易的转化思想．72节是离散型随机变量及其分布列．现实世界中有各种各样的随机现象，它们的复杂性差异很大．从随机试验的样本空间看，有的包含有限个样本点，有的包含可列无限个样本点，有的包含不可列无限个样本点，定义于不同样本空间上的随机变量最基本的有离散型和连续型两类．本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量及其分布列．教科书通过创设具体的随机试验情境，引导学生归纳试验中的数值指标（变量）的共同特征，领悟随机变量是样本空间到实数集的映射，用分布列描述随机变量取值的概率规律，理解利用随机变量可以更好地刻画随机现象．73节是离散型随机变量的数字特征．对随机变量的研究，除了了解其可能取值及取值的概率外，在实际决策中，还需用一些“数值”刻画随机变量取值在某些方面的特征、例如，用均值刻画随机变量取值的平均水平，用方差刻画随机变量取值相对于其均值的离散程度．本节的主要内容为离散型随机变量均值和方差的意义、定义（计算公式）、性质及应用，教科书以比较两名运动员射箭水平为问题情境，根据频率稳定到概率的原理，使学生认识到观测值的频率分布稳定到分布列，观测值的平均数稳定到一个常数，由此引入离散型随机变量的均值的概念．这个过程揭示了随机变量均值的意义——观测值平均数的稳定值．以比较两名同学射击水平的稳定性为任务，类比一组数据方差的定义，以及随机变量均值的定义，引入随机变量方差的定义．本节例题的设计侧重随机变量均值和方差在实际决策中的应用．74节是二项分布与超几何分布．教科书通过具体的问题情境，归纳概括出n重伯努利试验的特征，由特殊到一般推导试验成功次数的分布列，探究二项分布的均值和方差；通过比较放回和不放回随机抽样中次品数的分布，抽象出超几何分布的特征，推导出超几何分布的均值，讨论二项分布与超几何分布的联系与区别，并进行简单应用．75节是正态分布．正态分布是概率论中最重要的连续型概率模型，由于《标准（2021年版）》不要求对一般的连续型随机变量及其分布进行讨论，因此教科书从一组误差数据出发，了解连续型随机变量，借助误差频率直方图描述误差分布，建立正态分布模型、本节的主要内容为正态密度曲线、正态密度函数、正态分布的特征、随机变量落入某个区域内的概率表示、正态分布的均值和方差、3σ原则及简单应用．本章中重要概念的得到、概率公式的推导、概率模型的建立都是从特殊到一般、从具体到抽象通过归纳得到的，这既是数学研究中经常使用的方法，也是数学教学应该遵循的原则．通过本章的教学，要使学生体会利用研究对象的性质探寻解决问题的方法、将复杂问题化归为简单问题的数学思想；掌握用随机变量及其分布列，将不同背景的概率问题转化为统一的数学问题，从而利用各种数学工具系统、全面地研究随机现象规律的一般方法；通过构建二项分布、超几何分布、正态分布概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力．进一步提升学生的数学抽象素养和逻辑推理素养．本章的重点为条件概率、乘法公式和全概率公式，事件的独立性与条件概率的关系；离散型随机变量的概念、分布列和数字特征，二项分布，超几何分布，正态分布．本章的难点为条件概率意义的理解，全概率公式的应用；在实际问题中抽象模型的特征，识别二项分布和超几何分布；描述服从正态分布的随机变量的概率分布．课时安排本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：71条件概率与全概率公式约2课时72离散型随机变量及其分布列约1课时73离散型随机变量的数字特征约2课时74二项分布与超几何分布约2课时75正态分布约1课时小结约2课时。

高一数学第七章概率知识点概率是数学中的一个重要概念，研究随机事件发生的可能性大小。

在高一数学课程的第七章中，我们将学习概率的基本概念、计算方法以及与概率相关的统计分布。

本文将介绍一些重要的概率知识点，使读者对概率有一个初步的了解。

一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的一种数值。

在实际问题中，随机事件可能有多个结果，每个结果发生的概率是不同的。

概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

二、事件的分类在概率问题中，我们可以将事件分为两类：互斥事件和不互斥事件。

当两个事件不能同时发生时，称这两个事件为互斥事件；当两个事件可以同时发生时，称这两个事件为不互斥事件。

三、概率的计算公式我们通过事件发生的次数与总次数之比来计算概率。

对于一个随机事件A，如果事件A发生的次数为n，总次数为N，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = n/N。

在计算概率时，我们需要注意事件的互斥性和相互独立性。

四、加法定理和条件概率加法定理是指对两个不互斥事件A和B，事件A或事件B发生的概率可以表示为P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。

条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B) = P(A且B)/P(B)。

条件概率是概率理论中一个重要的概念，常用于解决实际问题。

五、独立事件和相互依赖事件当事件A的发生与事件B的发生没有任何关系时，称事件A与事件B是独立事件；当事件A的发生与事件B的发生有关系时，称事件A与事件B是相互依赖事件。

对于独立事件，我们可以根据乘法定理来计算其概率。

六、排列组合与概率在概率问题中，我们常常需要考虑的是从一个集合中抽取若干个元素，形成一个子集合的问题。

这就涉及到排列和组合的问题。

排列是指从n个元素中取出m个元素，并且考虑元素的顺序；组合是指从n个元素中取出m个元素，但不考虑元素的顺序。

排列组合与概率密切相关，可以通过排列组合的方法来计算概率。

概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。

在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。

而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。

本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。

一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。

它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。

概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。

1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。

2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。

3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。

二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。

随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。

2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。

常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。

2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。

3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。

2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。

常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。

2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。