命题逻辑及命题演算

1.5 命题逻辑的推理演算数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。

推理就是由已知的命题得到新命题的思维过程。

任何一个推理都是由前提和结论两部分组成。

前提就是推理所根据的已知命题，结论则是从前提出发应用推理规则推出的新命题。

1.5.1 推理形式定义1.16设α1,α2,…,αn,β都是命题公式。

若(α1∧α2∧…∧αn)→β是重言式，则称由前提α1,α2,…,αn推出β的推理是有效的或正确的，并称β是α1,α2,…,αn的有效结论或逻辑结果，记为α1∧α2∧…∧αn⇒β或α1，α2，…，αn⇒β，记号α1∧α2∧…∧αn⇒β也称为重言蕴含或推理形式。

关于定义1.16还需做以下说明：（1）由前提α1,α2,…,αn推结论β的推理是否正确与各前提的排列次序无关，因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限公式集合。

若推理是正确的，则记为α1∧α2∧…∧αn⇒β，否则记为α1∧α2∧…∧αn≠>β。

（2）符号⇒与→是两个完全不同的符号，它们的区别与联系类似于⇔和↔的关系。

⇒不是命题联结词而是公式间的关系符号，而→是命题联结词。

这两者之间有密切的联系，即α⇒β的充要条件是公式α→β为重言式。

例1.18 写出下述推理关系的推理形式。

下午小王或去看电影或去游泳。

他没去看电影。

所以，他去游泳了。

解设P：小王下午去看电影；Q：小王下午去游泳。

前提：P∨Q，⌝P结论：Q推理形式为:(P∨Q)∧⌝P⇒Q1.5.2 推理规则在数理逻辑中，要想进行正确的推理，就必须构造一个逻辑结构严谨的形式证明，这需要使用一些推理规则。

下面就介绍人们在推理过程中常用到的几条推理规则。

1．前提引入规则(P)在推理过程中，可以随时引入已知的前提。

2．结论引用规则(T)在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的前提引用。

3．置换规则(R)在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。

3 命题逻辑形式系统（FSPC ）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz 提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL 提出了布尔代数。

布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。

把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。

1、 命题（Propositions ）：可以判断真假的陈述句。

不涉及任何联结词的命题称为原子命题。

2、 联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。

->如果A 成立则B 成立，<->如果A 成立则B 成立，并且如果B 成立则A 成立；A ∨B ，或者A 成立或者B 成立；A ∧B ，A 成立并且B 成立。

3、 真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。

True(⌝A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1；True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B));A->A4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。

A5、 赋值映射：命题变元集合到{0,1}上的函数。

如果公式A 对任意的赋值映射，取值为真，则称A 为永真式。

如果公式A 对于所有赋值映射为假，称为A 为矛盾式。

对于任意赋值映射，公式A 的真值等于公式B 的真值，成A 与B 等价。

True(A->A)＝1, True(⌝(A->A))＝0 A=1，True(⌝A->A)=1 A=0, True(⌝A->A)＝0命题逻辑有以下特点：1、 从语义角度研究逻辑命题之间真值变化规律。

命题逻辑的基本概念命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。

在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。

命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。

一、命题在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。

命题通常用字母表示，如p、q、r等。

下面是一些例子：1. p：今天是晴天。

2. q：明天会下雨。

3. r：1+1=2。

二、联结词联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。

常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。

1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。

例如，¬p表示命题p的否定。

2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。

例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。

3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。

例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。

4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q也必定成立。

例如，p→q表示命题p蕴含命题q。

5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相同的真值。

即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。

例如，p↔q表示命题p和命题q等价。

三、复合命题复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。

复合命题的真假取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。

例如：1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。

2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。

3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。

在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑推理和推断。

命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。

总结：命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑关系。

推理必背知识点总结一、命题推理1. 命题和命题演算命题是陈述语言的有真假性的陈述。

命题演算是对命题进行逻辑演算的方法。

常见的命题演算方法有合取、析取、条件命题和双条件命题。

2. 命题的连接词命题的连接词是逻辑运算符号，包括合取命题的∧、析取命题的∨、条件命题的→和双条件命题的↔。

3. 命题的混合连接当多个命题混合连接在一起时，需要注意连接词的优先级和括号的使用。

例如：(p∧q)∨r，先计算括号内的命题，再计算整个命题的值。

4. 命题的真值表真值表是对于给定的若干命题，列出所有可能情况下的真值的表格。

通过真值表可以判断复合命题在各种情况下的真假性。

5. 命题的推理基于命题演算的推理方法包括：简单推理、析取范式、合取范式、命题条件和德摩根定律等。

通过这些方法，可以得出结论，解决问题。

二、谬误推理1. 谬误的概念谬误是指在推理过程中出现的错误。

谬误分为形式谬误和实质谬误。

2. 形式谬误形式谬误是推理的结构不当或不完整，从而导致结论无法成立的错误。

如：偷换概念、假设不当、悖论等。

3. 实质谬误实质谬误是推断的前提不实或逻辑错误，导致结论不成立的错误。

如：抽象谬误、依据谬误、偷换概念等。

4. 谬误的检验和纠正检验谬误要对推理过程进行批判性思考，检查前提是否成立，结论是否合理。

纠正谬误需要重新分析问题，发现并修正推理过程中的逻辑错误。

三、数理逻辑1. 命题逻辑和谓词逻辑命题逻辑是处理命题间关系的逻辑。

谓词逻辑是对命题中的元素进行描述和关系的逻辑。

2. 命题逻辑的基本命题形式基本命题形式包括命题的合取、析取、条件命题和双条件命题。

3. 范式和析取范式范式是用合取命题和析取命题来表示一个复合的命题。

析取范式是用析取式来表示一个命题。

4. 命题逻辑的推理通过范式和析取范式，可以进行复杂命题的推理和逻辑演算。

5. 谓词逻辑的概念谓词逻辑是一种用来描述元素和关系的逻辑，主要包括：函项、量词、命题变元、量化和谓词符号等。

数学逻辑中的命题与命题演算数学逻辑是研究逻辑关系的数学分支，它的核心概念之一是命题。

命题是陈述性语句，要么是真，要么是假，而不会同时为真和假。

在数学逻辑中，命题可以通过不同的逻辑联结词组合成复合命题，并通过命题演算来推导出更复杂的逻辑关系。

一、命题的定义和性质在数学逻辑中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。

常见的形式包括简单命题和复合命题。

简单命题是由一个简单陈述性语句构成的命题，例如：“今天是星期六。

”或者：“2+2=4”。

复合命题由多个简单命题通过逻辑联结词连接而成，例如：“如果天下雨，那么路面湿滑。

”或者：“如果收到10000元，我会买一台新手机。

”命题具有以下性质：1. 真值性质：一个命题要么为真，要么为假。

2. 简单性质：简单命题不是其他命题的组成部分，它不能再分解为更小的命题。

3. 复合性质：复合命题由简单命题通过逻辑联结词组合而成。

二、命题联结词在数学逻辑中，命题联结词用于连接简单命题，构成复合命题。

常见的命题联结词有以下几种：1. 否定：用符号“¬”表示，表示一个命题的反义。

2. 合取：用符号“∧”表示，表示两个命题同时为真。

3. 析取：用符号“∨”表示，表示两个命题至少有一个为真。

4. 条件：用符号“→”表示，表示第一个命题为真，则第二个命题也为真。

5. 双条件：用符号“↔”表示，表示两个命题同时为真或同时为假。

三、命题演算命题演算是一种逻辑推理方法，通过逻辑推理规则和命题联结词的运算，来推导出更复杂的命题关系。

命题演算通常包括三个主要步骤：1. 确定前提：确定给定的命题和条件。

2. 运用逻辑规则：根据逻辑规则和命题联结词的定义，进行推理。

3. 得出结论：通过逻辑推理，得出最终的结论。

命题演算可以用来证明数学定理、推导数学结论以及验证数学论证的正确性。

它对于数学逻辑的研究和发展起到了重要的作用。

总结：数学逻辑中的命题和命题演算是研究逻辑关系的重要内容。

命题是陈述性语句，可以被判断为真或假。

逻辑与运算知识点总结一、命题1、命题的定义命题是陈述句，它要么是真，要么是假，不能既真又假。

2、命题的种类（1）简单命题：仅含一个命题变元。

（2）复合命题：由两个或者多个简单命题用逻辑连接词连接而成。

3、命题的真值一个命题的真假用真值表来表示，真值表的列代表命题的各种可能的真值，行代表简单命题组成的复合命题的各种可能情况。

4、命题的逻辑运算命题用逻辑连接词连接成复合命题后，可以进行逻辑运算，包括与、或、非、异或等。

二、逻辑等价式1、逻辑等价式的定义如果两个命题在真假上完全相同，则称它们是逻辑等价的。

2、逻辑等价式的性质（1）互反律：p∨¬p≡T（2）对偶律：¬(p∧q)≡¬p∨¬q（3）德摩根定律：¬(p∧q)≡¬p∨¬q3、逻辑等价式的应用逻辑等价式可以应用在化简命题公式、证明命题、构造逻辑电路等方面。

三、逻辑蕴涵与双条件语句1、逻辑蕴涵的定义如果p为真，则q为真，否则p为假。

2、逻辑蕴涵的性质（1）概率蕴含：p→q≡¬p∨q（2）逆命题：p→q≡¬q→¬p（3）逆否命题：p→q≡q→p3、双条件语句如果p成立，则q成立，反之亦然。

四、命题演算1、命题演算的定义命题演算是基于命题逻辑的推理法则。

2、命题演算的法则（1）合取析取范式（2）蕴涵消去律（3）假言推理律（4）假言三段论（5）构造性二重否定律（6）排中律（7）矛盾律五、真值表1、真值表的定义真值表是用来表示命题的真值情况的表格。

2、真值表的使用真值表可以用来检验命题的真值、化简复合命题、构造逻辑电路等。

综上所述，逻辑与运算是数学中的重要知识点，它包括命题、逻辑等价式、逻辑蕴涵与双条件语句、命题演算以及真值表等内容。

通过学习这些知识，我们可以更好地理解命题的逻辑关系，应用逻辑原理进行推理和证明，同时也可以应用在逻辑电路设计、编程语言设计等领域。

离散数学演算方法
离散数学的演算方法主要包括以下几种：
1. 命题逻辑演算：通过命题公式和命题逻辑规则，进行推理和计算。

其中，命题公式是命题逻辑的基础，它将命题符号化并进行等值演算。

2. 集合论演算：基于集合论的原理和方法，对集合进行推理和计算。

集合论是研究集合、集合之间的关系和集合的性质的数学分支。

3. 图论演算：利用图论的原理和方法，对图形进行推理和计算。

图论是研究图形的数学分支，主要研究图形的性质、分类、图形中的路径、连通性等问题。

4. 离散概率论演算：利用离散概率论的原理和方法，对离散随机事件进行推理和计算。

离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，主要研究离散随机事件的概率、期望、方差等性质。

5. 组合数学演算：利用组合数学的原理和方法，对组合问题、排列问题等进行推理和计算。

组合数学是研究离散排列组合问题的数学分支，主要研究组合计数、排列计数、组合优化等问题。

这些演算方法各有特点，应用范围也不同。

在实际应用中，需要根据具体的问题和场景选择合适的演算方法。

逻辑学概念逻辑学是研究思维、推理和认知行为的学科，它包含了许多重要的概念，下面我们将对一些常见的逻辑学概念进行解释。

1.前提：在逻辑学中，前提指的是逻辑推论的起点。

一个前提可以是一个简单的陈述、假设或者别人已经证明的事实等。

在逻辑学中，两个前提和一个结论组成了一个完整的逻辑推论。

2.结论：结论是在逻辑推论中得出的结果。

在逻辑学中，结论可以是一个简单的陈述，一个判断或者一个决定等。

3.命题：命题是逻辑推论中的一个基本单位。

一个命题可以是一个陈述、一个问题或者指令等。

命题被视为一个基本单位，是因为它们可以用来表达对世界的各种看法和意见。

4.推理：推理是逻辑学中的核心概念之一。

它是指根据前提得出结论的过程。

推理可以是演绎推理，也可以是归纳推理。

在演绎推理中，我们从已知的事实或者条件中得出新的结论，而在归纳推理中，我们观察和分析大量实例并从中得出结论。

5.演绎推理：演绎推理是逻辑学中最基本的推理形式之一。

它是一种从前提中得出结论的形式逻辑。

在演绎推理中，我们通过组合和调整逻辑命题来得出逻辑结论。

6.归纳推理：归纳推理是逻辑学中另一种基本的推理形式。

它是从特定的实例中得出普遍性结论的过程。

在归纳推理中，我们根据一组观察到的实例总结出某种规律或者模式，并将这种规律或者模式应用于其他情况中。

7.命题演算：命题演算是一种逻辑体系，它描述了命题之间的逻辑关系和命题之间的操作方法。

命题演算包含了一组符合逻辑结构和组合法则的运算符和规则。

通过使用这些规则，我们可以对命题进行推理和证明。

8.谬误：谬误是指错误的逻辑思维、推理过程或者结论。

在逻辑学中，谬误是一个重要的概念，因为它可以帮助我们识别和纠正错误的思考和推理过程。

10.二元逻辑：二元逻辑是一种逻辑形式，它描述了两个逻辑判断之间的逻辑关系。

在二元逻辑中，逻辑关系由否定、合取、析取和蕴含这四种本质操作组成。

11.真值：真值是一个命题或者命题逻辑表达式的真实或者假的价值。