乘法公式的推广

乘法公式

一、知识要点

1、乘法公式

平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2

完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2

立方和公式：(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3

立方差公式：(ab)( a2+ab+b2)=a3b3

2、乘法公式的推广

（1）(a+b)(ab)=a2b2的推广

由(a+b)(ab)=a2b2, (ab)( a2+ab+b2)=a3b3，猜想：

(ab)( )=a4b4

(ab)( )=a5b5

(ab)( )=anbn

（2）多项式的平方

由(ab)2=a22ab+b2，推出

(a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( )

猜想：(a1+a2+…+an)2=( )。

二、乘法公式的应用

例1、运用公式计算

(1) (3a+4b)(3a4b) (2) (3a+4b)2

例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。

（1）(2xy)2(2x+y)2 (2)49b2 (3)25(a2b) 64(b+2a)

例3、填空

(1) x2+y22xy=( )2 (2) x42x2y2+y4=( )2

(3) 49m2+14m+1=( )2 (4) 64a216a(x+y)+(x+y)2

(5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ;

(6) 已知ax26x+1=(ax+b)2，则a= ,b= ;

(7) 已知x2+2(m3)x+16是完全平方式，则m= .

例4、计算

(1) 2000021999920001 (2) 372+2637+132 (3) 3+100。

数学中常⽤的乘法公式有哪些及如何推倒出来？

我是中考数学当百荟，我来回答。

对初中⽣⽽⾔，乘法公式分两类：平⽅公式和⽴⽅公式。其中常⽤的是平⽅公式，现⾏《课标》中已经把⽴⽅公式不做要求了。平⽅公式包括：平⽅差公式和完全平⽅公式，⽴⽅公式包括：完全⽴⽅公式、⽴⽅和、⽴⽅差公式等。它们的推导主要有两种⽅式：代数法和⼏何法，两种⽅式相互印证，体现数形结合的思想。代数⽅法，主要运⽤整体思想和分配律，⼏何⽅法，主要运⽤图形的等（⾯）积变换。

01--乘法公式

平⽅公式

平⽅差(a-b)(a+b)=a²-b²

完全平⽅公式(a-b)²=a²+b²-2ab

(a+b)²=a²+b²+2ab

⽴⽅公式

⽴⽅差(a-b)(a²+b²+ab)=a^3-b^3

⽴⽅和(a+b)(a²+b²-ab)=a^3+b^3

完全⽴⽅公式(a-b)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3

(a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^3

02--乘法公式的推导

乘法公式是初中阶段务必掌握的基础内容，也是重点。对初学者⽽⾔，乘法公式太多了，容易犯死记硬背的⼤忌。死记硬背绝对是最后的选择，除⾮不能理解，学习没有章法（可想⽽知，死记硬背者，在公式运⽤阶段的那种痛苦和不堪状）。因⽽学习乘法公式必须弄清楚公式的来龙去脉，掌握公式的推导，推导包括代数法和⼏何法。理解了，你就会发现其中的规律，理解了，你就会巧妙记忆，将公式归类，在此基础上，你就会发现原来公式并不需要那么多，4个够了，甚⾄1个（分配律）⾜矣!

乘法公式的代数法推导，主要依据初中七年级所学的多项式乘法法则，追根溯源，初中所学的多项式的乘法法则，是⼩学所学乘法对加法分配律⽽来。乘法公式的⼏何法解释除了印证代数法推导的合理解释外，更重要的是其中涉及的数学思想：数形结合。

公式的推导1.平⽅差公式

(a-b)(a+b)=a²-b²

两数差与两数和的积等于这两数的平⽅差。

代数法推导(a-b)(a+b)=()(a+b)

=()a+()b

1 乘法公式的灵活运用

一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，xyyxx2y2

② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4

④ 系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤ 换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥ 增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2

xyzxyzxyzxyz

2x2y2z

4xy4xz

例1．已知2ba，1ab，求22ba的值。

解：∵2)(ba222baba ∴22ba=abba2)(2

∵2ba，1ab ∴22ba=21222

例2．已知8ba，2ab，求2)(ba的值。

解：∵2)(ba222baba 2)(ba222baba

乘法公式

一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2

要注意等式的特点：

（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；

（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．

值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．

例１ 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）．

A．（a－b）（－a－b） B．（a2－b2）（a2＋b2）

C．（a＋b）（－a－b） D．（b2－a2）（－a2－b2）

解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．

例２ 运用平方差公式计算：

（１）（ x2－y）（－y－ x2）；

（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．

解：（１）（ x2－y）（－y－ x2） ＝（－y ＋ x2）（－y－ x2）

＝(－y)2－（ x2）2

＝y2－ x4 ；

（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）

＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）

＝（a2－32）（a 2＋9）

＝（a2－9）（a2＋9）

＝a4－81 ．

例３ 计算：

（１）54.52－45.52 ；

（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．

分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．