一个数值积分公式的推广

绍兴师专学报(

自然科学版)一987

年第3期

一个二元函数的数值积分公式

夕游功强

〔l]中给出了矩形区域上的一个二维数值积分公式,

其中要用到所给函数在插值点的

导数值产文利用〔2]的结果也给出了矩形区域上的一个二维数值积分公式,

但其中只用

到所给函数在插值点的函数值,

且当m、

n

均为偶数时公式十分简捷。

一、

公式及推导

为了简明,

不妨将区域限制为O二〔0,

0,

1,

…,

m

n(m〔

(n右1;

0,

1]。

lN)

N)/

则△。0=x。

二1△y:

0=y。

…

=1

是对区间【O,

1〕的两组剖分,

而

、t,夕

n

尹今1

△x,

`一

{

。i一’一

{(x;,

yi

,一`一0,

`

m;

J一0

。*,,

}i

=

{(x,0,

1,

…,

m一1;J=0,1,

…,n一`

}

礴

=0,

1y)

}x!

`x

`x反+1;yj`y`y,·l

}

m一1;

j一0,

1,

…,n一1

构成对区域O的剖分。

史21已证得如下结果:

定理Y若f(x,

y)〔

C“

(

螂,

则存在唯一的满足下述插值条件:

s(xi,

yj),f(x。,

yj)会f。j

s(xi,

y工)=f(xi,

y工)全f1王

222(1

)

y,)一f(x

普,

yi)会

ft,

其中x

告一

饰,

y

贵1

2n,0,

1,

…,

m;

j=0,

1,

…,n

的二元二次样条函数s

(x,

y)。

S

;(0),

并有估计式:

口f(x,

y)一s(x,

y)

口`5

,理””3+

壳:

。·

器,

h,+“,

`旦址

ay3,

h)】hZ

(2)

这里h一max

、

洽,

告D3

`

卜maX

{.

纂。a3

f

a3

f

,

汤

孟右尹,

砚。

荡2

.,

纂,},

·

53。

“·

(f,

h)一”

;p“

(f(一y),

h);“y

(f,

h)一”

呈p“

(f(x,’

),

h)·

另外由〔2〕还可得上述插值样条s(x,

y)在区域。`j

上的表达式:

s。jaZ

+51+15

pZ+e。

22

+qi

当(x,5a

p+blay+bZ

p7

y)=as`j+ps;十1、

,一

、了C。〔。

{

8

}.,j(x,

y)=8。+:jaZ

+s。+xj+lpZ+e。

了2

+p`+1ja

p+bZa下+b3

日7

当(x,

第９卷第２期　２００７年４月　遵义师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｕｎｙｉ　ＮｏｒＢａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．９．Ｎｏ．２　Ａｐｒ．２００７　

关于Ｒｉｅｍａｎｎ积分分部积分公式的推广　

袁莉　

（习水一中，贵州习水５６４６００）　

，ｂ　摘要：本文利用和差变换公式，对分部积分公式进行了推广，得到函数ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在区间【ａ，ｂ］上可导且ｊ　ｕ（ｘ）ｄｖ（ｘ）存　

在的条件下分部积分公式仍然成立，并结合数学分析教材中所给出的可积函数类，得到相应的两个推论．　关键词：分部积分；可导；有界；单调　中图分类号：０１７２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９３５８３（２００７）一０２—００８７—０２　

Ａ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　Ｂｙ　Ｐａｒｔｓ　

ｌ，　Ｎ　Ｌｉ　

（Ｘｉｓｈｕｉ　Ｎｏ．１　Ｓｅｎｉｏｒ　ＳｃｈｏｏＩ，Ｘｉｓｈｕｉ　５６４０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｏｒｎｍｌａ　ｏｆ　ＳＵｎｌ—ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｉｍｐｒｏｖｅｓ　ｔｈｅ　ｆｏｒｎｍｌａ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｓ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｔ１　ｂｙ　ｐａｌ’ｔｓ　ｔｏ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｄｅｒｉｖａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌ【ａ，ｂ］　，ｂ　ａｎｄ　ｔｌｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆ　ｕ（ｘ）ｄｖ（ｘ）ｓｔｉｌｌ　ｅｘｉｓｔ．Ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｎｍｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｗｏ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ－　

ｉｎｇ　ｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ　ａｒｅ　ｏｂｌａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｓ；ｄｅｒｉｖａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　

4/(1+x*x)

0

1

2

#NAME?

#NAME?

说明：1.在B3格中输入被积函数f(x)，不要等号。

2.在B5、B7格中输入上下限，注意f(x)在上下限之间均应有效。

3.定义的名称如下

a=Sheet1!$B$5b=Sheet1!$B$7delta=(b-a)/100000fx=Sheet1!$B$3

fx_a=EVALUATE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(UPPER(fx),"X","a"),"EaP(","EXP("))

fx_b=EVALUATE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(UPPER(fx),"X","b"),"EbP(","EXP("))

fx_s=IF(n=2,EVALUATE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(UPPER(fx),"X","X_s"),"EX_sP(","EXP(")&"+0*X_s"),0)fx_t=EVALUATE(fx&"+0*x")数值积分的计算(Chenjun青牛在线)

请输入被积函数f(x)=

请输入积分下限

请输入积分上限

请选择方式

∫1

0#NAME?

00.20.40.60.811.2

00.10.20.3f(x)=4/(1+梯形公式，低精度

辛普生公式，高精度Integral_Fx=IF(n=1,SUM(fx_t,(fx_a-fx_b)/2)*delta,SUM(2*fx_t,4*fx_s,fx_a-fx_b)*delta/3)n=Sheet1!$B$10

X=IF(n=1,a+((ROW(Sheet1!$1:$10000)-1)*10+TRANSPOSE(ROW(Sheet1!$1:$10)))*delta,a+ROW(Sheet1!$1:$50000)*2*delta)

X_s=IF(n=2,a+(ROW(Sheet1!$1:$50000)*2-1)*delta,0)

Sheet1!x_tu=a+(ROW(Sheet1!$1:$1001)-1)*(b-a)/1000

第２４卷第９期　

２００８年９月　商丘师范学院学报　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＨＡＮＧＱＩＵ　ＴＥＡＣＨＥＲＳ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．９　

Ｓｅｐ．　２００８　

Ｃａｕｅｈｙ积分公式的一个推广　

郝建丽　，王远民　

（１．商丘师范学院数学系，河南商丘４７６０００；２．商丘职业技术学院图书馆，河南商丘４７６０００）　

摘　要：文［３］中的定理２给出了Ｃａｕｃｈｙ积分公式的一个推广，本文给出Ｃａｕｃｈｙ积分公式的另一个推广，即在　

一定条件下，我们建立了积分　』　计算的一个比较简便的公式，从而使Ｃａｕｃｈｙ积分公式作为它的　

一种特殊情况而得到证明．　

关键词：连续；Ｃａｕｃｈｙ定理；Ｃａｕｃｈｙ积分公式　

中图分类号：Ｏ１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—３６００（２００８）０９—０１２５—０２　

０　引　言　

目前的《复变函数》教材中的Ｃａｕｃｈｙ积分公式是　定理…　Ａ　设区域Ｄ的边界是周线（或复周线）Ｃ，函数＿厂（　）在Ｄ内解析，在Ｄ＝Ｄ＋Ｃ上连续，则有　

＝　』　

文［３］中的定理２给出了Ｃａｕｃｈｙ积分公式的一个推广，本文给出Ｃａｕｃｈｙ积分公式的另一个推广，即　

１　主要结论与证明　

定理　设区域Ｄ的边界是周线（或复周线）ｃ　）在Ｄ内解析，在Ｄ＝Ｄ＋Ｃ上连续，又　（　）在　上解析，且对于任　

意的　，，ｚ：∈Ｄ，当　，≠　：时，有　（　，）≠　（　），同时　（　）≠０（　∈Ｄ）（此条件可以省略，因单叶函数的导函数在其定义域　

内恒不为零），则对于Ｄ内的任意的　，有　

＝　．　㈩　２７ｒ　（　）一　（ｚ）　（　）’　、　

证明：任取点ｚ　ｅ　Ｄ，以　为心，以Ｐ为半径作小圆周　：Ｉ　

一　Ｉ＝ｐ，使　及其内部全含在Ｄ内（如右图），设Ｄ。是由Ｃ和　

Ｋ所围成的区域．因函数　在，Ｊ，内解析，在Ｄ．＝，Ｊ，　

＋Ｃ＋　上连续，所以，根据复周线的Ｃａｕｅｈｙ定理，有　

＝　／　

将ｆ２）改写成　，　

』　＝　｛　貉　＋　｛　

下面先证明