初中数学浙教版八年级下册第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法-章节测试习题(65)

章节测试题

1.【答题】已知x为实数，且满足（x2＋3x）2＋（x2＋3x）-6＝0，则x2＋3x的值为______．

【答案】2

【分析】根据因式分解法解方程即可．

【解答】

没有实数根．

故答案为：

2.【答题】方程x2﹣5x﹣6=0的解是______．

【答案】

【分析】根据因式分解法解方程即可．

【解答】

故答案为：

3.【答题】方程3x2=4x的根是______．

【答案】

【分析】根据因式分解法解方程即可．

【解答】

故答案为：

4.【答题】三角形两边的长分别是8cm和6cm，第三边的长是方程x²-12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的面积是______ cm2

【答案】24

【分析】根据因式分解法解方程即可．

【解答】把方程左边因式分解得到（x﹣10）（x﹣2）=0，再把方程化为两个一元一次方程x﹣10=0或x﹣2=0，解得x1=10，x2=2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10，根据勾股定理的逆定理可知该三角形为直角三角形，所以三角形的面积=×6×8=24cm2．

5.【答题】方程x（x-2）＝x的根是______

【答案】x1＝0，x2＝3

【分析】根据因式分解法解方程即可．

【解答】根据一元二次方程的解法，先移项得x（x-2）-x=0，再因式分解为x（x-2-1）=0，解得x=0或x=3．

故答案为：x1＝0，x2＝3

6.【答题】当______时，代数式与的值相等．

【答案】0或-2

【分析】根据因式分解法解方程即可．

【解答】根据题意可知2x2+2与x2-2x+2的值相等，可得到一元二次方程2x2+2=x2-2x+2，化简可得x2+2x=0，解得x=0或x=-2．

故答案为：0或-2．

7.【答题】若，则______．

【答案】4

【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣8=0，（a2+b2﹣4）（a2+b2+2）=0，∴a2+b2﹣4=0，∴a2+b2=4．

8.【题文】关于x的方程kx2+（k+1）x+=0有两个相等的实数根．求k的值，并求出此时一元二次方程的根．

【答案】；

【分析】根据一元二次方程的判别式求出k的值，代入后解方程即可．

【解答】由△=（k+1）2-4k·=0，

解得k=．

当k=时，原方程为x2+x-=0

解得：x1=x2=

9.【题文】已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数根．

（1）求m的值；

（2）解原方程．

【答案】（1）2，（2）x1=x2=-1． 【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m的方程并解答；

（2）利用直接开平方法解方程．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，

∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，

解得m=2；

（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，即（x+1）2=0，

解得x1=x2=﹣1．

10.【题文】已知方程x2-2x-m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0有无实数根．

【答案】有两个不等的实数根，理由见解答．

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．

【解答】∵x2-2x-m＝0没有实数根，

∴Δ1＝（-2）2-4·（-m）＝4＋4m＜0，即m＜-1．

对于方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0，

Δ2＝（2m）2-4·m（m＋1）＝-4m＞4，

∴方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0有两个不相等的实数根． 11.【题文】已知关于x的一元二次方程x2-2x-m＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若a，b是此方程的两个根，且满足，求m的值．

【答案】（1）m≥-1.（2）m=1

【分析】（1）由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；

（2）由a与b为方程的两根，代入方程得到a2-2a=m，b2-2b=m，将已知等式变形后代入得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

【解答】（1）∵x2-2x-m=0有实数根，

∴△=4+4m≥0，

解得：m≥-1；

（2）将a，b代入一元二次方程可得：a2-2a-m=0，b2-2b-m=0，

∴a2-2a=m，b2-2b=m，

又（a2-a+1）（2b2-4b-1）=，

∴（m+1）（2m-1）=，即（2m+5）（m-1）=0，

可得2m+5=0或m-1=0， 解得：m=1或m=-（舍去）．

12.【题文】已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．

【答案】m且m≠1

【分析】有题意可得解得的取值范围．

【解答】

关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根得，

解得：且．

当且时，关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根．

13.【题文】已知关于x的一元二次方程．

（1）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．

（2）选一个你认为合适的整数k代入原方程，并解此方程．

【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=（-2）2-4k≥0且k≠0，然后求出两不等式的公共部分即可；

（2）取k=1得到原方程为x2-2x+1=0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】（1）∵一元二次方程有实数根，

∴△=（-2）2-4k≥0且k≠0，

∴k≤1且k≠0；

（2）当k=1时，原方程为x2-2x+1=0

解得x1=x2=1．

14.【题文】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．

【答案】==4．

【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2-4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．

【解答】∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=0，

即b2﹣4a=0，b2=4a， ∵===，a≠0，

∴===4．

15.【题文】关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围

【答案】m≤3且m≠2

【分析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【解答】根据题意得m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，

解得m≥1且m≠2．

16.【题文】已知一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．

【答案】（1）k＜4且k≠2；（2）m=0或m=-

【分析】（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的值；

（2）结合（1）找出k的值，利用分解因式法求出方程x2-4x+k=0的根，再将x的值代入x2+mx-1=0中即可求出m的值．

【解答】（1）∵一元二次方程（k-2）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根， k−2≠0且△＝（-4）2-4（k-2）2＞0

解得：k＜4且k≠2．

（2）∵k＜4且k≠2

∴k=3，

∴方程x2-4x+k=x2-4x+3=（x-1）（x-3）=0，

解得：x1=1，x2=3．

当x=1时，有1+m-1=0，解得：m=0；

当x=3时，有9+3m-1=0，解得：m=-

17.【题文】关于x的一元二次方程（m-1）x2-x-2=0，

（1）若x=-1是方程的一个根，求m的值及另一个根；

（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．

【答案】（1）m=2，另一根是2（2）m＞且m≠1

【分析】（1）将x=-1代入原方程求出m值，将m的值代入原方程利用分解因式法解方程即可得出结论；

（2）根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非零即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】（1）将x=−1代入原方程，得：m−1+1−2=0，

解得：m=2， ∴原方程为x2−x−2=（x+1）（x−2）=0，

解得：x1=−1，x2=2．

∴m的值为2，方程的另一个根为2．

（2）∵方程（m−1）x2−x−2=0有两个不同的实数根，

∴，

解得：m＞且m≠1．

∴当m＞且m≠1时方程有两个不同的实数根．

18.【题文】已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-2=0

（1）若该方程有一个实数根为1，求a的值及方程的另一实根．

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【答案】（1）a=，方程的另一根为-；（2）证明见解答．

【分析】（1）、将x=1代入方程列出关于a的一元一次方程，从而得出a的值，然后根据方程的计算法则得出方程的解；（2）、首先将得出根的判别式，然后利用配方法得出判别式为非负数，从而得出答案．

【解答】（1）、把x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，解得：a= ∴原方程即是，

解此方程得：，

∴a=，方程的另一根为；

（2）、∵，

不论a取何实数，≥0，

∴，即＞0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

19.【题文】小明遇到这样一个问题：已知：.求证：．

经过思考，小明的证明过程如下：

∵，

∴.

∴.

接下来，小明想：若把带人一元二次方程（a0），恰好得到.

这说明一元二次方程有根，且一个根是.