小学数学五年级《奇数与偶数》 练习题(含答案)

《奇数与偶数》 练习题（含答案）

① 偶数±偶书=偶数；偶数±奇数=奇数；

奇数±偶数=奇数；奇数±奇数=偶数.

② 偶书×偶数=偶数；偶数×奇数=偶数；

奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数.

③偶数个偶数相加减还是偶数；偶数个奇数相加减也是偶数；

奇数个偶数相加减还是偶数；奇数个奇数相加减还是奇数；

【例1】（★）能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于28.

分析：因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.

[巩固]：能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？

分析：不能，奇数个奇数相加的和为奇数不可能为偶数.

【例2】是否存在自然数a、b、c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=27043？

分析：不存在.如果(a-b)、(b-c)中有一个偶数则原式不成立，如果（a-b）、（b-c）为奇数，那么a-c=(a-b)+(b-c)为偶数还是不成立.

[拓展]是否存在自然数a、b、c,使得（5a-3b）（5b-3c）（25a-9c）=36342？

分析：不存在，（25a-9c）=5（5a-3b）+3（5b-3c），所以如果（5a-3b）、（5b-3c）为奇数，那么（25a-9c）为偶数，所以（5a-3b）、（5b-3c）、（25a-9c）三个数中不可能都是奇数，所以不存在符合条件的a、b、c.

[拓展]是否存在自然数a、b、c、d,使得（a-b）（b-c）（c-d）（a-d）=36342？

分析：不存在.因为（a-d）=（a-b）+（b-c）+（c-d），所以如果（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）这四个数中有三个数是奇数，那么第四个数一定也是奇数，所以（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）中偶数不可能单独出现，所以这四个数的积要么是4的倍数，要么是奇数，而36342既不是4的倍数，也不是奇数，所以不可能存在自然数a、b、c、d使等式成立.

【例3】（★★★）用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=2001

a×b×c×d-b=2003

a×b×c×d-c=2005

a×b×c×d-d=2007

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在.

分析：a、b、c、d中如果有一个偶数，那么以偶数作为减数的等式等号左边值应该为偶数，与右边的奇数出现矛盾，如果a、b、c、d都是奇数，那么四条式子的等号左边都是偶数，四条等式都不成立.

【例4】（★★★）（圣彼得堡数学奥林匹克）沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．

分析：任何相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个，所以任何相邻两丛植物上所结浆果数目和都是奇数．这样一来，8丛植物上所结的浆果总数是4个奇数之和，必为偶数，所以不可能结有225个浆果．

[拓展] 能否将1～16这16个自然数填入4×4的方格表中(每个小方格只填一个数)，使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数?如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．

分析：不能．将所有的行和与列和相加，所得之和为4×4的方格表中所有数之和的2倍．即为(1＋2＋3＋…＋15×16)×2=16×17．

而8个连续的自然数之和设为

k＋(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋(k＋4)＋(k＋5)＋(k＋6)＋(k＋7)=8k＋28

若4×4方格表中各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数，应有

8k＋28=16×17，即2k＋7=4×17 ①

显然①式左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾．所以不能实现题设要求的填数法．

【例5】（★★★）有7只正立的茶杯，要求全部翻过来.规定每次翻动其中6只.试问此事能否办成？若茶杯是10只，每次只翻动7只，又能否把正立的茶杯全部翻过来？

分析：（1）每一次操作都只能改变偶数个茶杯的放置状态，被翻过来的茶杯永远是偶数，所以不能将所有正立的茶杯翻过来.（2）能，将10个杯子编号后，分四次将所有杯子全部翻过来.第一次翻编号为1、2、3、7、8、9、10的杯子，第二次翻编号为4、5、6、7、8、9、10的杯子，第三次翻编号为1、2、3、4、5、7、8的杯子，第三次翻编号为1、2、3、4、5、9、10的杯子.

[拓展] 有7面时钟，都指向12点，现在做一些操作，每次将其中六面钟往前或往后拨6小时，那么是否有可能将这7面钟都归于6点？

分析：这道题与原题无任何区别，过渡到下一拓展.

[拓展]有9面时钟，其中有3面指向12点，有三面指向3点，另外三面指向6点，现在做一些操作，每次将其中两面钟往前或往后拨3小时，那么是否有可能将这9面钟都归于6点？

分析：不可能,不妨将一面种往前或往后拨3小时称为一个操作，那么将这9面钟归于6点，需要经过奇数个操作，但是，每次都要进行两个操作，因此不可能经过若干次偶数个操作完成技术个操作.

【例6】（★★★奥数网原创）36盏灯排成6×6的方阵，这36盏灯中只有9盏灯是亮着的，现在作一些

操作，每次操作拉一下同一行或同一列灯的开关，请问能否经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.

分析：不能，每一次改变6盏灯的状态，无论这6盏灯原来的状态如何，等只能增加或减少偶数盏亮着的灯，所以无论拉多少次都不能将这36盏灯全部亮.

[拓展]如果36盏灯当中有两盏灯是亮着的，那么是否有可能经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.

分析：不能，如果两盏灯是亮着，而且经过若干次操作，使这36盏灯全部亮的话，那么原来亮着得灯要拉偶数下，原来不亮的灯要拉奇数下，两盏灯若在同一行（或同一列），那么该行（或该列）被拉的次数，与这两盏灯所在的列（或行）被拉的次数同奇偶，与其他列（或行）被拉的次数的奇偶性质相反，那么其他行（或列）被拉的次数无论是奇数还是偶数，都不能使该行所有灯同熄同亮，若两盏原来两着的灯不同行同列，分析法雷同.

【例7】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？

分析：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白

Ⅱ、奇偶数性质运用：

【例8】（★★★列宁格勒数学奥林匹克）圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．

分析：由于大家都说自己的右邻是化学家，所以每个物理学家的左邻都说了假话，而每个说假话的人的右邻都是物理学家．因此，说假话的人数等于物理学家的人数，即为k个．而物理学家和化学家中说假话的人数一样多，所以共有偶数个说假话的人，即k为偶数．

【例9】（★★★）一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏。每个儿童的左右相邻都恰好是一个男孩一个女孩.问：这队少年儿童最多有多少人？为什么？

①一些东西，如果能将它们两两配对，那么这些东西的数目为偶数；

②如果一些东西的数目为奇数；则它们不能两两配对

③正偶数当中只有2是素数，素数当中只有2是偶数.

分析：设n个少年儿童排成一圈，每个儿童的左右相邻的都是一个男孩子和一个女孩子，则一定是两个男孩子两个女孩子依次相邻，男男女女男男女女……地排成一圈，所以n是偶数，令n=2k.将相邻两个男孩子记为A，相邻两个女孩子记为B.则A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,……，共有k个相间排列成一圈，所以A，B的个数相等，于是k也是偶数，即k=2l，所以n=4l.也就是说n是4的倍数.由于n不超过50，所以这队少年儿童最多有48人.

[拓展]：一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？

分析：因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点，两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.

[拓展]：一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，n+1段线段中两端的端点为一黑一白的个数是奇数还是偶数？

分析：法一：线段有四种：左黑右黑、左白左白、左黑右白、左白右黑，两端的端点为一黑一白的线段有两种，一种左黑右白，一种左白右黑，对于每一段线段来讲，左黑的线段，左边的线段右必黑；左白的线段，左边的线段右边白；右黑的线段，右边的线段左必黑；右白的线段，右边的线段左必黑.所以，因此左黑右白和左白右黑的两种线段必定交替出现（中间只可能以左黑右黑或左白左白的线段相隔），并且靠左端的一定是左黑右白的线段，靠右边的一定是左白右黑的险段. 所以n+1段线段中两端的端点为一黑一白的个数是偶数.

法二：将黑点上标1，白点上标0，然后在每段线段上计算端点的和，易知左黑右黑、左白左白的线段上的端点和为偶数，左黑右白、左白右黑上的端点和为奇数，而这些端点和的总和为偶数（中间的端点每个都被计算了两次，两端的黑点计算了一次）所以，这些些端点和中奇数的个数为偶数.所以n+1段线段中两端的端点为一黑一白的个数是偶数.

【例10】（★★★）在ll张卡片上各写有一个不超过5的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数．

分析：如果在求和时发生进位现象，那么这只有在两个11位数的同一位数字都是5时才有可能发生．而在出现进位的最右面的位置上，和数的该位数字一定为0．如果在求和时不发生进位现象，那么只有在两个11位数的同～位数字的奇偶性不同时，其和的该位数字才为奇数．因此只有在卡片上奇数个数与偶数个数相同时，和数的各位数字全为奇数．然而卡片的张数11是奇数，不可能将11个数字奇偶配对，所以不可能出现这种现象，所以和数中至少有一位数字是偶数．