第二章数学形态学的基本运算
2.1二值腐蚀和膨胀
二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。这类图象的集合表示是直接的。考虑所有1值点的集合(即物体)X，则X与图象是一一对应的。我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。
如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。术语上，这个“探针”称为结构元素。选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。
2.1 .1二值腐蚀运算
腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。即:
集合A被B腐蚀，表示为AB，其定义为:
其中A称为输入图象，B称为结构元素。AB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看作模板，那么，AB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类:
(1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。
(2)如果原点在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。
图2.1腐蚀类似于收缩
腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:
数学形态学的应用研究
摘要
对信号进行分析时通常采用传统的傅立叶变换方法，傅立叶变换是时域和频域相互转换的数学工具，从物理意义上讲其实质是将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加。这样我们可以把对波形函数的研究转化为对其变换的研究。当信号中混杂着噪声时，通常的方法是将混杂着噪声的信号变换到频域，根据有用信号和噪声在频域所占的频段不同，通过低通、高通、带通或带阻滤波器对噪声加以滤除，再进行信号的重构，恢复原信号，但现实中的噪声和有用信号通常在频域中是分不开的，例如随机噪声、白噪声等。
为了解决这一问题，人们一直在寻找新的方法。近些年来，基于图象或信号直观特点的数学形态学，在图象处理领域取得了广泛的应用。它摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析图象。其研究图象几何结构的基本思想是利用一个结构元素去探测一个图象，看是否能够将这个结构元素很好的填放在图象的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效。因此，形态学算子的性能将主要以几何方式进行刻画。这种显式的几何描述特点更适合视觉信息的处理和分析。
在信号处理领域，Matlab作为功能强大的应用型软件，其傅立叶分析工具箱和小波分析工具箱己经非常成熟，研究者可以将其提供的功能函数应用到实际工作中去，但是形态学工具箱目前还主要集中在二维图象处理上，在一维信号处理方面并没有提供相应的函数，鉴于数学形态学在图象处理方面取得的骄人成绩，开发其一维信号处理工具箱以便研究人员更好的应用就显得有价值。
本文即是在深入研究数学形态学基本理论的基础上，编写出其一维信号形态处理函数，包括腐蚀、膨胀、开、闭等多种形态运算，并应用这些基本函数对一维信号的降噪滤波特性予以仿真分析，加深对该方法相关特性的认识。
关键词:数学形态学;结构元素;腐蚀;膨胀
数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/击不中变换”，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学科的理论基础，如击中/击不中变换、开闭运算、布尔模型及纹理分析器的原型等。数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数字图像处理学
第9章数学形态学原理
（第一讲）
9.1 数学形态学的发展
“数学形态学（Mathematical Morphology）
是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方
法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动
物和植物的形状和结构。
“数学形态学”的历史可追溯到十九世纪的Eular.steiner.Crofton和本世纪的Minkowski。1964年，法国学者J.Serra对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态学”雏形的形成。
随后，J.Serra和G.Matheron在法国共同建立了枫
丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。
在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完
善了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了
基于数学形态学的图像处理系统。
“数学形态学”是一门建立在严格的数学理论基础上的科学。G.Matheron 于1973年出版的《Ensembles aleatoireset geometrie integrate》一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。1982年，J.Serra出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。
此后，经过科学工作者的不断努力，J.Serra主编的《Image Analysis and Mathematical Morphology》Volume2、Volume3相继出版，1986年，CVGIP（Computer Vision Graphics and Image Processing）发表了数学形态学专辑，从而使得数学形态学的研究呈现了新的景象。同时，枫丹白露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学的研究前景更加光明。
第２４卷第４期 Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．４ 重庆工商大学学报（自然科学版）
Ｊ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｕｎｉｖ．（Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅｄ） ２００７年８月
Ａｕｇ．２００７
文章编号：１６７２—０５８Ｘ（２００７）０４—０３６０—０３
图像数学形态学分析与处理
杜廷娜
（重庆交通大学河海学院，重庆４０００７４）
摘要：图像数学形态学操作是数字图像处理的重要技术之一，用于表示和描述图像的形
状。在分析了图像形态操作的基础上，综合考虑了图像形态操作的各种情况，给出了图像形态
操作的实例，提供了Ｍａｔｌａｂ实现方法，有利于分析和提取图像的有用成分。
关键词：图像；膨胀；腐蚀；开启；闭合 中图分类号：ＴＰ ３９１．４１ 文献标识码：Ａ
形态学是从研究图像的形状出发，对图像进行处理的技术。在输出图像中，每个像素的值，都是输人 图像中该像素与相邻像素比较后的结果。通过选择邻域的大小和形状，完成对输人图像中特定形状的数
学形态学处理。膨胀和腐蚀、开启和闭合是基本的数学形态运算，膨胀将像素添加到图像中物体的边缘，
腐蚀则删除对象边缘的像素，通常将膨胀和腐蚀组合起来完成一定的图像处理任务。开启就是用相同的
结构元素先对图像进行腐蚀然后膨胀，而闭合则是先进行膨胀而后进行腐蚀。如图１（ｃ）、（ｄ）就是从原 始的电路图像中，进行膨胀和腐蚀的不同先后顺序组合，删除了电路连线，将原图像处理成仅仅只有微芯
片矩形形状的输出图像。
１ 形态操作基本运算
建立在数字空间中的离散形态变换是进行数字形态操作的基础，形态变换的数学基础是集合论。图
像形态变换中常用的基本运算有：膨胀、腐蚀、开启和闭合。这种运算通常给出一个图像集合和一个结构
元素集合，利用结构元素对图像进行操作。 １．１膨胀运算
图像集合Ａ用结构元素 膨胀，其定义式为：
Ａ① ＝｛ Ｉ【（ ）．ｎ Ａ】≠ ） （１）
＾ 式（１）中 为 关于原点对称的集合，称作 的映象。用 对Ａ进行膨胀的过程为：（１）作 关于原 ＾ ＾ 点的映象；（２）将 平移；（３）作Ａ与 的交集。
