期权定价公式
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期权定价公式
期权定价公式是：期权价格=内在价值+时间价值。
期权定价模型，由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关
。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，其高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
简单期权定价模型。我们把股价随机末态简化为两个等效的等概率量子态，要么50%的概率上涨到+1X的右边一个标准差处，要么50%的概率下跌到-1X的左边一个标准差处。
显然，对于认购期权，在-1X末态的行权收益是0；在+1X末态的行权收益是S*(1+σ)-K。其中S是当前（初态）股价，K是到期日的行权价。根据初态=末态期望值的原理，认购期权价格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。这对于平值和浅度虚值期权是适用的。对于平值期权K=S，C=0.5*S*σ。比如，当前股价S=3.3元，月波动率为σ=6%，那么行权价K=3.3元，剩余T=30天期限的平值认购期权价格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。
对于深度实值期权，当股价末态为-1X处，仍然会有行权收益。所以，认购期权价格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。比方说，对于深度实值期权实三K=3.0元，当股价从当前价S=3.3元下跌至末态（-1X处）ST=3.1元，仍然会有3.1-3.0=0.1元的行权收益。所以，实三期权价格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。
对于深度虚值期权，当股价末态在+1X处，也没有行权收益。故C=0.5*0+0.5*0=0。比如，对于虚三K=3.6元，即使末态股价波动到+1X处的3.5元，仍然不能行权。
当然，实际市场数据的虚三价格不是0，大约是0.0125元，这个我们后面再讲。
如果行权价格的间隔恰好是0.5*S*σ，比如当前股价S=3.3元，月波动率6%，剩余30天的行权价K=3.3元就是平值期权，K=3.1元就是实二认购期权，K=3.2元就是实一；K=3.4元是虚一认购期权，K=3.5元是虚二认购。 平值认购期权的价格0.5*S*σ≈0.1元，虚一认购是0.5*[S(1+σ)-S(1+0.5σ)]=0.25*S*σ≈0.05元；虚二认购是0.5*[S(1+σ)-S(1+σ)]=0。实一认购价格0.5*[S(1+σ)-S(1-0.5σ)]=0.75*S*σ≈0.15元；实二是0.5*[S(1+σ)-S(1-σ)]= S*σ≈0.2元，这与S-K=3.3-3.1=0.2元也是一致的。实三价格是1.5*S*σ，也等于3.3-3.0=0.3元，实四价格是2*S*σ=0.4元。 从虚一到平值是2倍关系，从平值到实一是1.5倍关系，从实一到实二是4/3倍。但从实二到实三是跳跃的1.5倍，这不符合风险补偿原理。实际是，实值期权的跟随涨幅会依次减少。 从虚二到虚一，理论是从0到0.25*S*σ，好像是无穷大倍数，但实际数据是2倍多一点的关系。虚值期权的价格大约成等比数列的关系，就是说，如果你认为未来几天股价短线会上涨+3%，那么你选择买入虚四或虚三或虚二认购，实际涨幅都是几乎一样的。当然，由于风险补偿，从虚四到虚三大约是3倍涨幅，要高于虚一到平值的2倍涨幅。综合风险收益比，如果预判短线股价会上涨，应该最优选择买入虚二认购。因为，深度虚值期权有到期清零的风险，而深度实值期权的跟随涨幅明显又太小。
对于平值及浅度虚值的认沽期权价格P，显然当股价下跌至-1X处，才能有行权收益K-S（1-σ），而在+1X处，认沽期权无法行权，即收益为0。再根据初态=末态期望值的原理，就有P=0.5*[ K-S（1-σ）]+0.5*0=0.5*[ K-S（1-σ）]。我们也可以通过认购与认沽期权的平价关系式C-P≈S-K去得到这个结果。C-P≈S-K，把C=0.5*[S*(1+σ)-K]代入，P=0.5*[S*(1+σ)-K]+K-S=0.5K-0.5S+0.5*S*σ=0.5*[ K-S（1-σ）]。 在简单期权定价模型中，平值认沽期权的价格P=0.5*S*σ与平值认购期权价格C相等。
对于深度实值认沽期权，即使股价末态波动到+1X处，也会有行权收益。故P=0.5*[ K-S（1-σ）]+0.5*[ K-S（1+σ）]=K-S
。这与深度实值认购期权的价格C=S-K是反向对称的。 对于深度虚值认沽期权，不论末态是-1X还是+1X处，都不能行权，故P=0.5*0+0.5*0=0。深度虚值期权的理论价格都是0，不论是认购还是认沽，深度虚值期权几乎都到期清零。所以，一般不能买入深度虚值期权，虽然实际价格看上去是那么“便宜”。比如虚一是0.05元，而深度虚三是0.0100元。
