期权定价理论
期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的咨询题之一。第一个完整的期权定价模型由FisherBlack和MyronScholes创立并于1973年公之于世〔有关期权定价的开展历史大伙儿能够参考书上第358页，有喜好的同学也能够自己查寻一下书上所列出的经典文章，只是这要求你有特不深厚的数学功底才能够瞧明白〕。B—S期权定价模型发表的时刻和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有依据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大奉献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖〔Black在1995年往世，否那么他也会一起获得这份殊荣〕。
原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时刻连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分〔StochasticCalculus〕的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。然而，这并非要紧的咨询题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且到达上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在那个地点，我只简单介绍一下B—S模型的要害几个要素，至于具体的数学推导〔特不复杂〕，感喜好的同学能够在课后阅读一下相关资料〔一般根基上在期权定价理论章节的附录中〕。
首先，我们往返忆一下套利的含义
套利
套利〔arbitrage〕通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时刻和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，猎取无风险利润的行为。注重，这种利润是无风险的。
期权定价的数值方法
小结
1. 当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2. 二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3. 蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4. 有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5. 树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6. 蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
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美式看跌期权定价的数值解法
作者：李瑞
来源：《商情》2013年第32期
美式期权定价通常采用数值方法，包括二叉树法、有限差分法和Monte Carlo模拟法。其中，二叉树法和有限差分法都属于逆向求解的方法，可以求出美式期权的最优执行时刻以及价格，但对于路径依赖期权和具有多标的资产的期权，这两种方法受到了限制。Monte Carlo模拟方法的原理虽然是正向求解，但20世纪90年代以来，学者们通过将树图分析技术以及动态规划原理引入Monte Carlo模拟中，已经实现了美式期权的Monte Carlo模拟定价。本文首先介绍了LSM方法的理论框架和基本原理，其次以单一标的资产的美式看跌期权为例，给出了具体的算法实现步骤以及matlab程序，最后通过一个实例说明LSM方法的可行性及优缺点。
一.LSM方法的理论框架和基本原理
为模拟美式期权定价，首先设立以下基本假定：标的资产价格演化过程遵循几何布朗运动市场是无摩擦；无风险利率r为固定的常数。
为简化计算，将期权的有效期[0，T]均分为个子区间，这样期权只可能在N+1个交易时点行权：0=t0
因此，我们将所有（M条）样本路径在时点tn的价格stn和stn2为解释变量，将对应样本路径上的期望收益作为被解释变量，建立如下线性回归模型：
将各个资产价格样本路径带入到回归方程，就可得到期权在各个时点继续持有的价值无偏估计。
得到标的资产价格的多条样本路径后，将各路径的期权价值折现求均值，所求即为期权价格。
二.LSM方法的算法实现步骤
1、我们以单一标的资产美式看跌期权为例，详细分析LSM方法的实现步骤：
（1）Monte Carlo模拟生成标的资产价格过程的M条样本路径。将时间区间[0，T]离散化，均分为N个子区间，△t=T/N。在风险中性测度下，期望收益率为N无风险利率，即a=r，根据伊藤定理，标的资产价格过程的离散形式为： 龙源期刊网
期权定价公式
期权定价公式是：期权价格=内在价值+时间价值。
期权定价模型，由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关
。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，其高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
简单期权定价模型。我们把股价随机末态简化为两个等效的等概率量子态，要么50%的概率上涨到+1X的右边一个标准差处，要么50%的概率下跌到-1X的左边一个标准差处。
显然，对于认购期权，在-1X末态的行权收益是0；在+1X末态的行权收益是S*(1+σ)-K。其中S是当前（初态）股价，K是到期日的行权价。根据初态=末态期望值的原理，认购期权价格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。这对于平值和浅度虚值期权是适用的。对于平值期权K=S，C=0.5*S*σ。比如，当前股价S=3.3元，月波动率为σ=6%，那么行权价K=3.3元，剩余T=30天期限的平值认购期权价格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。
对于深度实值期权，当股价末态为-1X处，仍然会有行权收益。所以，认购期权价格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。比方说，对于深度实值期权实三K=3.0元，当股价从当前价S=3.3元下跌至末态（-1X处）ST=3.1元，仍然会有3.1-3.0=0.1元的行权收益。所以，实三期权价格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。
