二次根式有关概念及性质

二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。

接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。

首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。

一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。

那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。

也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。

性质二：√a² ＝｜a|。

当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。

这个性质在化简二次根式的时候经常用到。

性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。

性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。

了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。

二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。

比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。

二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。

例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。

二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。

比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。

在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。

那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。

再来说说二次根式的化简。

化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。

分母有理化就是把分母中的根号去掉。

比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。

前提知识之阳早格格创做
1、二次根式的定义：
咱们已经知讲：每一个正真数有且惟有二个仄圆根，一个记做，称为的算术仄圆根；另一个是.
咱们把形如的式子喊做二次根式，根号下的数喊做被启圆数.
由于正在真数范畴内，背真数不仄圆根，果此惟有当被启圆数利害背真数时，二次根式才正在真数范畴内蓄意思．
2、二次根式的本量
3、二次根式的积的算数仄圆根的本量
4、末尾的估计截止，具备以下特性：
（1）被启圆数中不含启得尽圆的果数（或者果式）；（2）被启圆数不含分母.
咱们把谦脚上述二个条件的二次根式，喊做最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，末尾截止央供被启圆数中不含启得尽圆的果数.
②化简二次根式时，末尾截止央供被启圆数不含分母.
③以后正在化简二次根式时，不妨曲交把根号下的每一个仄圆果子来掉仄圆号以来移到根号中（注意：从根号下曲交移到根号中的数必须利害背数）.
题型一、二次根式的观念战条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的本量
【例7】估计
【例8】
【例??】
【练一练】
??、
??、
??、
7、
题型三积的算数仄圆根的本量【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题粗析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。

第十六章 二次根式16.1 二次根式一、复习1、什么叫平方根？开平方？如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，求一个数a 平方根的运算叫做开平方2、平方根如何表示？一个非负数a 的平方根可以表示为a ±3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：（1）4； （2）0.16； （3）925. （1）225; （2）0.0001； （3）1681. 二、二次根式的意义1. 二次根式的意义_根号a,其中a 是被开方数. 做二次根式.。

2．二次根式何时有意义：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零 即：a ≥03. 例题例题1 下列各式是二次根式吗？2、32、2-、 12+a 、)0(<b b例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12-x ； （2）x -2； （3）x1； （4）21x + 4．练习（一）设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1 （2 （3三、二次根式的性质性质1a a 2=; 性质2：_________________________;性质3：______________________; 性质4：________________________________.例题3 求下列二次根式的值：（1）2)3(π-； （2）122+-x x ，其中3-=x .（1（2（3)0x ≥；（4（5（60)b > 例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-练习（二）：1、化简下列二次根式（1（20)x ≥； （30)n ≥； （4（5） （6）2、选择题（1）、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b（2）、化简2)21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-±（3）、如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞216．2最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1）_________________________________________________;（2）_________________________________________________.例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1（2（3（41)a ≥-例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：（1)0y >；（2)0a b ≥≥；（3)0m n >>· · · · a b 0 12、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：))00a y >> （3）将下列各二次根式化成最简二次根式：)))000b x y p q >>>>>3、同类二次根式几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？))0,0a a >>例题9 合并下列各式中的同类二次根式：（1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：B. )0;x ≥))00a y >>（2）合并下列各式中的同类二次根式：A.-B.。

二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。

掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。

二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。

在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。

首先，二次根式满足乘法分配律。

对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。

这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。

其次，二次根式可以进行合并化简。

如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。

例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。

这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。

另外，二次根式的乘法也有一定的规律。

对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。

同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。

三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。

例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。

化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。

在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。

例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。

对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。

例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。

但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。

利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。

专题01 二次根式的有关概念和性质知识网络重难突破知识点一 二次根式的有关概念 二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

【典型例题】1．（2018·黔西县期中）下面式子是二次根式的是（ A ） A 21a +B 333C 1-D ．12a 2．（2019·朝阳市期中）下列各式中不是二次根式的是（B ） A 21x +B 4-C 0D 2()a b -3．（2018·48n n 是（ B ） A ．6B ．3C ．48D ．24．（2018·26的值在（ D ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．（2019·虹桥区期末）在平面直角坐标系中，点M （a ，b ）的坐标满足（a ﹣3）22b -0，则点M 在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·孝感市期中）已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果2(5)12130a b c -+--=，则△ABC 是（ C ）A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形7．（2019·滨州市期中）下列式子：①13；②3-；③﹣21x +；④327；⑤2(2)-，是二次根式的有（B ）A ．①③ B ．①③⑤C ．①②③D ．①②③⑤8．（2019·汕头市期末）若211a aa a--=，则a 的取值范围是（ D ） A ．0a >B ．1a ≥C ．01a ≤≤D ．01a <≤9．（2019·抚顺市期末）若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是( B ) A ．x ＞15B ．x≥15C ．x≤15D ．x≤510．（2018·德州市期末）使代数式34x x --有意义的自变量x 的取值范围是（C ） A ．x≥3B ．x ＞3且x≠4C ．x≥3且x≠4D ．x ＞311．（2017·东胜市期末）方程有两个实数根，则的取值范围（B ）A ．B ．且C ．D ．且12．（2018·泉州市期中）若a ab+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识点二 二次根式的性质 二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

二次根式的概念与计算二次根式是代数学中的一个重要概念，涉及到根号和平方根的计算。

本文将介绍二次根式的基本概念、性质以及计算方法，以帮助读者更好地理解和运用二次根式。

一、二次根式的概念二次根式指的是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

√a中的√符号称为根号，表示对a进行开平方运算。

当a为一个有理数时，我们可以通过简单的运算将二次根式化简为一个更简单的形式。

例如，√4可以化简为2，因为2的平方等于4。

同样地，√9可以化简为3，因为3的平方等于9。

二、二次根式的性质1. 二次根式的运算法则（1）两个二次根式的加减法：对于两个二次根式√a和√b，当a和b有相同的根指数时（即根号中的数字相同），我们可以进行加减运算，结果为根号内的数字按照加减法的规则进行运算。

例如，√3 + √3 = 2√3。

（2）两个二次根式的乘法：对于两个二次根式√a和√b，我们可以进行乘法运算，结果为根号内的数字相乘，并提取公因数。

例如，√2× √3 = √6。

（3）二次根式的除法：对于两个二次根式√a和√b，我们可以进行除法运算，结果为根号内的数字相除，并提取公因数。

例如，√8 ÷ √2 = √4 = 2。

2. 二次根式的化简当二次根式内的数可以被一个完全平方数整除时，我们可以将其化简为一个更简单的形式。

例如，√12可以化简为2√3，因为12可以被4整除，而4是一个完全平方数。

3. 二次根式的有理化有时，我们需要将一个含有二次根式的表达式转化为一个不含二次根式的有理数。

这个过程称为有理化。

常用的有理化方法是乘以含有冲突二次根式的共轭形式，使得冲突二次根式的平方项互相抵消。

例如，有理化√2 + √3的过程如下：√2 + √3 = (√2 + √3) × (√2 - √3) / (√2 - √3)= (2 - 3) / (√2 - √3)= -1 / (√2 - √3)三、二次根式的计算举例1. 根据二次根式的运算法则，计算√5 + 2√5：√5 + 2√5 = 3√52. 化简并计算2√6 × √8：2√6 × √8 = 2√(6 × 8) = 2√48 = 2 × 4√3 = 8√33. 根据二次根式的有理化方法，计算(√3 + 1) / (√3 - 1)：(√3 + 1) / (√3 - 1) = [(√3 + 1) / (√3 - 1)] × [(√3 + 1) / (√3 + 1)]= (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1)= (4 + 2√3) / 2= 2 + √3综上所述，二次根式是代数学中的重要概念，涉及到根号和平方根的计算。

二次根式知识点知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。

如√52可以写作√5。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。

其中a≥0是√a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如83√2可写成8√23，但不能写成223√2。

二、二次根式的性质：=｜a｜=a （a≥0）或=｜a｜= - a（a＜0）★(√a)2（a≥0）与√a2的区别与联系：典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？；（3）√x−3+√3+x（1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1√1−x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。

题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。

试化简：√a2+√b2+√(a−b)2+√(b−1)2-√(a−1)2题型五：√a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简√(a−b+c)2-2｜c-a-b｜题型六：逆用(√a)2= a（a≥0）在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式：（1）x-4；（2）x-4√x+4三、二次根式的乘除：1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。