一类具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型的全局分歧

第38卷第1期2021年02月工程数学学报CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.38No.1Feb.2021doi:10.3969/j.issn.1005-3085.2021.01.008文章编号:1005-3085(2021)01-0085-12具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析李海侠(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，宝鸡721013)摘要:本文讨论一类具有B-D反应函数和Allee效应的捕食-食饵扩散模型正解的存在性、唯一性和多重性．首先运用不动点指数理论得到了正解存在的充分条件．接着利用特征值的变分原理给出了正解的唯一性条件．最后通过分析极限系统的正解，运用不动点指数理论、分歧理论和扰动理论确定了正解的确切重数和稳定性．讨论结果表明：只要Allee效应常量满足适当关系且捕食者的增长率较大，当参数满足适当条件时系统存在唯一正解，当食饵的增长率在一定范围内时系统恰好存在两个正解．关键词:捕食-食饵模型；Allee效应；唯一性；不动点指数理论；扰动理论；确切重数；稳定性分类号:AMS(2010)35K57;35B35中图分类号:O175.26文献标识码:A1引言1931年Allee在研究过程中发现群居的生活状态有利于种群的增长，但是密度太大又会抑制种群的生长甚至会因为资源争夺而走向灭绝．对于每一个种群来说，必定存在着它独立的最适合自身生长繁殖的最佳密度，这就是Allee效应．已有大量的理论和实验证明，Allee效应与种群的灭绝密切相关，在很大程度上能增加低密度种群的灭绝风险，尤其对小种群、分散种群、稀有种群以及濒临灭绝种群的动力学行为具有非常大的影响．因此，研究具有Allee效应的生物模型对生物保护具有很重要的意义，近年来受到了生物学家和数学家的很大关注[1-10]．本文在齐次Dirichlet边界条件下考虑如下具有B-D反应函数和Allee效应捕食-食饵扩散模型−∆u=u(a1−u−mu+k1)−p1uvb+cu+dv,x∈Ω,−∆v=v(a2−p2vu+k2),x∈Ω,u=v=0,x∈∂Ω,(1)其中Ω是R N中带有光滑边界∂Ω的有界区域，u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，a1和a2分别是u和v的最大增长率．mu+k1是加法Allee效应项，m和k1是Allee效应常量，反映了Allee效应的强弱程度．p2表示捕食者获得的平均减少率的最大值，k2表示环境对捕收稿日期:2018-08-27.作者简介:李海侠(1977年8月生)，女，博士，副教授.研究方向：偏微分方程计算及其可视化.基金项目:国家自然科学基金(61672021;11801013)；陕西省自然科学基础研究计划项目(2018JQ1066)；宝鸡市科技计划项目(2018JH-20)；宝鸡文理学院博士科研项目(ZK2018069).86工程数学学报第38卷食者的保护程度．(1)中的参数a1,a2,k1,k2,p1,p2,m,b,c,d都是正常数且m<a1k1．当c=d=0时，文献[3]在齐次Neumann边界条件下讨论了系统唯一正常数解的稳定性以及非常数正解的存在性和不存在性．当d=0时，文献[4]在齐次Neumann边界条件下讨论了不具有扩散系统和具有扩散系统的定性性质．不考虑扩散的情形下文献[8]在齐次Neumann边界条件下研究了系统非常数正解的存在性和不存在性．然而，由于加法Allee效应项的引入使得系统的研究变得复杂，所以目前在齐次Dirichlet边界条件下对具有加法Allee效应捕食-食饵扩散模型的研究很少见．文献[6]利用稳定性理论和度理论考察了系统(1)参数p1充分小时正解的唯一性和稳定性，接着分析了参数c充分大时正则扰动下正解的多重性，此扰动的分析较简单．而本文除了利用特征值变分原理得到系统(1)正解的唯一性条件外，主要讨论参数c充分大时奇异扰动下正解的稳定性和确切重数，而且此情形的讨论比文献[6]的正则扰动复杂的多．本文的工作是对文献[6]的补充和完善．为了得到重要的结论，这节最后我们给出一些预备知识．令q(x)∈C(Ω),λ1(q)是如下特征值问题的主特征值−∆ψ+q(x)ψ=λψ,x∈Ω,ψ=0,x∈∂Ω,则λ1(q)连续依赖q，λ1(q)是简单的．而且，如果q1≤q2,q1≡q2，则λ1(q1)<λ1(q2)．为了简单起见，定义λ1(0)为λ1，相应于λ1的主特征函数记为ψ1．非线性问题−∆u=u(a−ru),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω.(2)众所周知，若a>λ1，则(2)存在唯一正解．我们定义唯一正解为θ(a,r)．特别地，记θ(a,1)为θa，则θa<a且θa连续依赖a．2正解的存在性、不存在性和唯一性考虑单物种问题−∆u=u (a1−u−mu+k1),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω,(3)易知，当m<k21,a1>λ1+mk1时，(3)存在唯一正解，记为u∗．而且u∗<θa1<a1．因此，在一定条件下系统(1)存在半平凡解(u∗,0)和(0,θ(a2,p2k2))．简单起见记θ(a2,p2k2)为v∗．根据文献[6]可得如下引理．引理1[6]系统(1)的任意正解(u,v)有先验估计u(x)<a1,v∗<v(x)<Q,Q=a2(k2+a1)p2.引理2[6]如果系统(1)有正解，则a1>λ1,a2>λ1．第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析87为了计算不动点指数，引入以下记号C0(Ω)={u∈C(Ω):u=0,x∈∂Ω},E=C0(Ω)⊕C0(Ω),K={u∈C(Ω):u≥0,x∈Ω},W=K⊕K,D={(u,v)∈W:u≤a1+1,v≤Q+1}.取q充分大，使得q>max{m/k1+p1/d,a2(a1+k2)/k2}．定义算子A:E→E为A(u,v)=(−∆+q)−1u(a1−u−mu+k1)−p1uvb+cu+dv+quv(a2−p2vu+k2)+qv.引理3[6](i)设a1=λ1+m k1,a2=λ1．若a1>λ1+mk1或a2>λ1，则index W(A,(0,0))=0；若a1<λ1+mk1且a2<λ1，则index W(A,(0,0))=1；(ii)index W(A,D)=1；(iii)设m<k21,a1>λ1+mk1．若a2>λ1，则index W(A,(u∗,0))=0；若a2<λ1，则index W(A,(u∗,0))=1；(iv)设a2>λ1．若a1>λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1，则index W(A,(0,v∗))=0；若a1<λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1，则index W(A,(0,v∗))=1．最后由引理3并结合度的可加性可得系统(1)正解存在的充分条件，证明省略．定理1若m<k21,a1>λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1,a2>λ1,则系统(1)至少存在一个正解．由引理2可得系统(1)正解的不存在性．定理2如果下面的条件之一成立，则系统(1)没有正解．(i)a1≤λ1；(ii)a1>λ1且a2≤λ1；(iii)a2>λ1且a1≤λ1(k2p1θa2bp2+cp2a1+k2dθa2)．证明只证明(iii)．首先根据最值原理易证得v>k2p2θa2．于是−∆u<u (a1−u−k2p1p2θa2b+cu+k2dp2θa2)<u[a1−k2p1θa2bp2+cp2a1+k2dθa2].故当a1≤λ1(k2p1θa2bp2+cp2a1+k2dθa2)时，系统(1)无正解．这节最后利用特征值的变分原理给出系统(1)正解存在的唯一性条件．定理3设a1>λ1+p1Qb+dQ +mk1,a2>λ1．令 =max{supΩu∗v∗,supΩv∗u∗}．若p1cQ b(b+dQ)+mk21≤1且p21(a1+k2)b2p2+p2Q2k32+4mk21+4p1cbd≤4,则系统(1)存在唯一正解．88工程数学学报第38卷证明根据已知条件和定理1可知系统(1)存在正解．采用反证法证明唯一性．假设系统(1)存在两个不同的正解(u 1,v 1)和(u 2,v 2)，其中u i >0,v i >0(i =1,2)．由比较原理和引理1可知u ∗≤u i ≤u ∗,v ∗≤v i ≤v ∗，这里u ∗,v ∗分别为如下问题的唯一正解−∆u =u (a 1−u −mk 1−p 1Q b +dQ),x ∈Ω,u =0,x ∈∂Ω,−∆v =v (a 2−p 2v a 1+k 2),x ∈Ω,v =0,x ∈∂Ω.令Φ=u 1−u 2,Ψ=v 1−v 2，则−∆Φ−(a 1−u 1−m u 1+k 1−p 1v 1b +cu 1+dv 1)Φ+u 2Φ−mu 2Φ(u 1+k 1)(u 2+k 1)+p 1u 2[(b +cu 2)Ψ−cv 2Φ](b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)=0,(4)−∆Ψ−(a 2−p 2v 1u 1+k 2)Ψ+p 2v 2[(u 2+k 2)Ψ−v 2Φ](u 1+k 2)(u 2+k 2)=0.(5)因为(u 1,v 1)是系统(1)的正解，所以根据特征值的变分原理可知∫Ω[−∆φ−(a 1−u 1−mu 1+k 1−p 1v 1b +cu 1+dv 1)φ]φ≥0,∀φ∈C 20(Ω),∫Ω[−∆ψ−(a 2−p 2v 1u 1+k 2)ψ]ψ≥0,∀ψ∈C 20(Ω).于是，公式(4)表明∫Ω[1−m (u 1+k 1)(u 2+k 1)−p 1cv 2(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)]u 2Φ2d x+∫Ωp 1u 2(b +cu 2)(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)ΦΨd x ≤0.(6)同理，由(5)式有∫Ωp 2v 2u 1+k 2Ψ2d x −∫Ωp 2v 22(u 1+k 2)(u 2+k 2)ΦΨd x ≤0.(7)令Γ=∫Ω[1−m (u 1+k 1)(u 2+k 1)−p 1cv 2(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)]u 2Φ2d x+∫Ω[p 1u 2(b +cu 2)(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)−p 2v 22(u 1+k 2)(u 2+k 2)]ΦΨd x+∫Ωp 2v 2u 1+k 2Ψ2d x.第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析89由假设p1cQb(b+dQ)+mk21≤1可推出1−m(u1+k1)(u2+k1)−p1cv2(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)>0.最后，令∆=[p1u2(b+cu2)(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)−p2v22(u1+k2)(u2+k2)]2−4[1−m(u1+k1)(u2+k1)−p1cv2(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)]p2v2u2u1+k2.经过计算并结合已知条件可得∆=p2v2u2u1+k2[p21u2(b+cu2)2(u1+k2)(b+cu1+dv1)2(b+cu2+dv2)2v2p2−2p1v2(b+cu2)(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)(u2+k2)+p2v32(u1+k2)(u2+k2)2u2]−4[1−m(u1+k1)(u2+k1)−p1cv2(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)]<p2v2u2u1+k2[p21(a1+k2)b2p2u2v2+p2Q2k32v2u2−4+4mk21+4p1cbd]<p2v2u2u1+k2[p21(a1+k2)b2p2+p2Q2k32−4+4mk21+4p1cbd]≤0.故Γ>0．而式(6)和(7)可知Γ≤0，矛盾．因此结论成立．3正解的确切重数和稳定性本小节应用扰动理论和不动点指数理论讨论参数c→∞时，系统(1)正解的确切重数和稳定性．易看出当c→∞时，系统(1)的正解有两种类型，即如果(u,v)是系统(1)的任意正解，则对于充分大的c，(u,v)趋于如下问题的正解−∆u=u(a1−u−mu+k1),x∈Ω,−∆v=v(a2−p2vu+k2),x∈Ω,u=v=0,x∈∂Ω,(8)或者(cu,v)趋于如下问题的正解−∆w=w(a1−mk1−p1vb+w+dv),x∈Ω,−∆v=v(a2−p2vk2),x∈Ω,w=v=0,x∈∂Ω.(9)引理4[6]如果m<k21,a1>λ1+mk1,a2>λ1，则(8)有唯一非退化且线性稳定的正解．90工程数学学报第38卷定理4[6]设m <k 21,a 2>λ1．对于任意小的ϵ>0，存在充分大的C (ϵ)，使得当c ≥C (ϵ)时，若λ1+m k 1+ϵ≤a 1<λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1,则系统(1)至少存在两个正解．如果a 2>λ1，则问题(9)等价于如下问题−∆w =w (a 1−m k 1−p 1v ∗b +w +dv ∗),x ∈Ω,w =0,x ∈∂Ω.(10)对于问题(10)，用类似文献[11]的证明方法有如下引理．引理5设a 2>λ1，则(10)存在正解当且仅当λ1+m k 1≤a 1≤λ1(p 1v∗b +dv ∗)+mk 1且所有正解不稳定．而且存在充分小的ϵ0，使得当a 1∈(λ1+m k 1,λ2+m k 1]∪[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ0,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1)时，(10)的正解(若存在)唯一且非退化．引理6若λ1+mk 1≤a 1≤λ1(p 1v∗b +dv ∗)+m k 1,a 2>λ1，则(9)存在正解且不稳定．引理2和定理1表明系统(1)正解存在的必要条件和充分条件存在代沟．下面的引理给出当a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1)且c 充分大时，系统(1)恰好有两种类型的正解．引理7设m <k 21,a 2>λ1．对任意小的ϵ,δ>0，存在充分大的C (ϵ,δ)，使得若c ≥C (ϵ,δ),a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1)且(u,v )是(1)的正解，则：(a)∥u −u ∗∥C 1+∥v −v ∗∗∥C 1≤δ；(b)∥cu −w ∥C 1+∥v −v ∗∥C 1≤δ；这里w 是(10)的正解，v ∗∗为如下问题的正解−∆v =v (a 2−p 2v u ∗+k 2),x ∈Ω,v =0,x ∈∂Ω.而且，若(a)情形出现，则正解(u,v )非退化且线性稳定．证明采用反证法证明．假设存在a 1,i →a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1),c i →∞,以及(1)的正解(u i ,v i )远离(u ∗,v ∗∗)且(c i u i ,v i )远离(9)的任意正解．根据L p 估计和So-bolev 嵌入定理假定在C 1(Ω)中u i →u,v i →v ．分析以下两种情况：(i)若c i ∥u i ∥∞→∞，则当i →∞时，u i →u ∗．因此v i →0或v i →v ∗∗．而a 2>λ1，所以必有v i →v ∗∗，即(u i ,v i )→(u ∗,v ∗∗)．这与假设(u i ,v i )远离(u ∗,v ∗∗)矛盾；(ii)若c i ∥u i ∥∞一致有界，则当i →∞时，u i →0．于是v i →v ∗．设c i u i =w i ，则w i 满足−∆w i =w i (a 1,i −u i −m u i +k 1−p 1v ib +w i +dv i),x ∈Ω,w i =0,x ∈∂Ω.(11)第1期李海侠：具有Allee 效应的捕食-食饵扩散模型定性分析91∥w i ∥∞一致有界，所以由L p 估计和Sobolev 嵌入定理假定在C 1(Ω)中w i →w ．对(11)式取极限，不难看出w 满足(10)式．如果w ≥0,≡0，则由Harnack 不等式可知w >0．因此，(w,v ∗)是(9)的正解，这与假设(c i u i ,v i )远离(9)的任意正解矛盾．因此，w ≡0，则(w i ,v i )→(0,v ∗)．令˜w i =w i∥w i ∥∞，则−∆˜w i =˜w i (a 1,i −u i −m u i +k 1−p 1v ib +w i +dv i),x ∈Ω,˜w i =0,x ∈∂Ω.故a 1,i →λ1(p1v∗b +dv ∗)+m k 1．利用局部分歧定理[12]易验证(λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1,0,v ∗)是(9)的分歧点，则在(λ1(p 1v∗b +dv ∗)+m k 1,0,v ∗)的邻域内(9)存在正解．因此存在ˆa 1,i →λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1，使得系统(9)有正解(ˆw i ,v ∗)→(0,v ∗)．于是，当i →∞时，(a 1,i ,c i u i ,v i )接近于(ˆa 1,i ,ˆw i ,v ∗)，又与假设(c i u i ,v i )远离(9)的正解矛盾．故定理的第一部分成立．接下来证明剩余部分．易看出当情形(a)发生时，(1)是(8)的正则扰动．于是通过引理4和标准的扰动理论可知正解(u,v )非退化且线性稳定．引理8设m <k 21,a 2>λ1．存在充分小的ϵ1>0(ϵ1<ϵ0)和充分大的C 1>0，使得如果c ≥C 1,a 1∈[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ1,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1),则系统(1)恰好有两个正解，一个渐近稳定而另一个不稳定，这里ϵ0在引理5中给出．证明根据引理7分两步证明．首先证明当c 充分大时，(1)接近(u ∗,v ∗∗)的正解唯一且渐近稳定．引理7可知系统(1)接近(u ∗,v ∗∗)的任意正解非退化且渐近稳定．故只需证明接近(u ∗,v ∗∗)的正解(u,v )唯一．取δ′>δ充分小，这里δ在引理7中给出．设ˆD={(u,v )∈E :u ∗−δ′<u <u ∗+δ′,v ∗∗−δ′<v <v ∗∗+δ′},取τ∈[0,1]和充分大的常数P ．定义算子F τ:ˆD→W 为F τ(u,v )=(−∆+P )−1 u (a 1−u −mu +k 1)−τp 1uv b +cu +dv +P u v (a 2−p 2vu +k 2)+P v.显然，F τ是紧的连续可微算子．(u,v )是系统(1)在ˆD中的正解当且仅当它是F 1的正不动点．另外，由引理7可知F τ在∂ˆD上没有不动点，因而由不动点指数的同伦不变性有index W (F τ,ˆD)≡常数，且index W (F 1,ˆD )=index W (F 0,ˆD )．因为F 0在ˆD 内有唯一不动点(u ∗,v ∗∗)且(u ∗,v ∗∗)稳定，所以index W (F 0,ˆD )=index W (F 0,(u ∗,v ∗∗))=1.故index W (F 1,ˆD)=1．另一方面，由引理7可知F 1在ˆD 内的所有正不动点非退化且线性稳定．因此根据紧算子理论可得F 1至多有有限个正解．记为{(u i ,v i ):0≤i ≤n }．于是I −F ′1(u i ,v i )在W (u i ,v i )上可逆且F ′1(u i ,v i )没有大于1的实特征根．又因为W (u i ,v i )=S (u i ,v i )，所以F ′1(u i ,v i )在W (u i ,v i )上不具有性质α．故根据文献[13]的定理1有index W (F 1,(u i ,v i ))=1．最后利用引理3和度的可加性得1=index W (F 1,ˆD )=∑1≤i ≤nindex W (F 1,(u i ,v i ))=n.92工程数学学报第38卷由此证明了系统(1)接近(u ∗,v ∗∗)的正解(u,v )唯一．接下来证明(1)存在唯一且不稳定的类型(b)的正解．首先证明唯一性．设˜u =cu,µ=1/c ．考虑如下问题−∆˜u =˜u (a 1−µ˜u −m µ˜u +k 1)−p 1˜u v b +˜u +dv ,x ∈Ω,−∆v =v (a 2−p 2vµ˜u +k 2),x ∈Ω,˜u =v =0,x ∈∂Ω.(12)显然，(u,v )是(1)的正解当且仅当(cu,v )是(12)带有µ=1/c 的正解．因此，只要证明(12)的正解(˜u ,v )唯一即可．对于固定的µ≥0，以a 1作为分歧参数再由局部分歧定理可知(λ1(p1v∗b +dv ∗)+mk 1,0,v ∗)是(12)的单重分歧点，则存在σ>0和正分歧解曲线Υµ={(a 1(µ,s ),˜u (µ,s ),v (µ,s )):0<s ≤σ},0≤µ≤σ,其中˜u (µ,s )=s (φ1+κ1(µ,s )),v (µ,s )=v ∗+s (ψ1(µ)+κ2(µ,s )),φ1是λ1(p 1v∗b +dv ∗)+mk 1所对应的特征函数，ψ1(µ)=(−∆−(a 2−2p 2v ∗k 2))−1µp 2k 22(v ∗)2φ1>0,a 1(0,0)=λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1,κ1(0,0)=κ2(0,0)=0.而且，(12)在(λ1(p 1v∗b +dv ∗)+mk 1,0,v ∗)附近的所有解都在曲线Υµ上．于是只需证明对于固定的µ≥0和适当的ϵ1，曲线Υµ一致覆盖a 1-区域[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ1,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1)仅一次即可．将分歧正解(a 1(µ,s ),˜u (µ,s ),v (µ,s ))代入到(12)的第一个方程中，两边同除以s 关于s 在s =0处微分并在Ω上积分得∂a 1∂s (0,0)=−∫Ωp 1v ∗b +dv∗φ31d x <0.(13)选择σ充分小，使得∂a 1∂s(µ,s )<0．因而λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1−a 1(0,σ)=a 1(0,0)−a 1(0,σ)>0.因为a 1(µ,s )连续，所以存在σ1∈(0,σ]，使得ϵ1=min 0≤µ≤σ1(λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1−a 1(µ,σ))>0.于是若a 1≥λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1−ϵ1,第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析93则对于任意µ∈[0,σ1],a1(µ,σ)≤a1．这样我们得到对于任意的µ∈[0,σ1],Υµ一致覆盖a1-区域[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ1,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1).又因为∂a1∂s(µ,s)<0，所以每条曲线覆盖区域仅一次．取C1=1/σ1，如果c≥C1,a1∈[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ1,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),则(1)恰好有唯一(b)类型的正解．最后，我们证明(b)类型的正解不稳定．令L1是(1)在(u,v)处带有特征值η1和特征函数(ξ1,ζ1)的线性化算子．令L2是(12)在(cu,v)处带有特征值η2和特征函数(ξ2,ζ2)的线性化算子．易证ξ1=ξ2,ζ1=cζ2,η1=η2．于是证明(12)于(cu,v)处的线性化算子在分歧曲线Υµ的任意点处有负的特征值γ即可．通过文献[14]可得存在ν>0和C1函数α:(−ν,ν)×(λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ν,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1+ν)→R1,β:(−ν,ν)×(−ν,ν)→R1,使得α(µ,a1)是(12)在(a1,0,v∗)处线性化算子的特征值，β(µ,s)是(12)在(a1(µ,s),˜u(µ, s),v(µ,s))(0≤µ,s≤ν)处线性化算子的特征值．进而，如果∂α∂a1(0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)=0,则lim s→0s∂a1∂s(0,s)∂α∂a1(0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)β(0,s)=−1.(14)下面，我们证明∂α∂a1(µ,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)<0．从上面的讨论很容易看出α(µ,a1)是如下特征值问题−∆χ−(a1−p1v∗b+dv∗−mk1)χ=α(µ,a1)χ,x∈Ω,χ=0,x∈∂Ω的一个特征值．于是∂α∂a1(µ,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)<0．最后结合(13)和(14)，可得β(0,s)<0．这表明类型(b)的正解不稳定．基于上面引理，这节最后给出c充分大时确定(1)正解确切个数的重要结果．定理5设m<k21,a2>λ1固定．任意ϵ∈(0,ϵ2)，存在充分大的C=C(ϵ)，如果c≥C且a1∈[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),则系统(1)恰好有两个正解，一个渐近稳定另一个不稳定．其中ϵ2=min {λ2+mk1,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ02}−λ1.94工程数学学报第38卷证明令E=[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ1].引理8可知只需证明当a1∈E时，(1)恰好有一个渐近稳定的正解和另一个不稳定的正解即可．引理7表明如果c充分大且a1∈[λ1+mk1+ϵ,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),则(1)存在两类形式的正解．采用类似引理8的证明过程易证得，若a1∈E，则(1)存在唯一接近(u∗,v∗∗)类型(a)的渐近稳定的正解．其次，证明若a1∈E，则(1)存在唯一不稳定的类型(b)的正解．再次讨论问题(12)．设˜a1∈E．由引理5可知(10)带有a1=˜a1的唯一正解w˜a1非退化．于是，(w˜a1, v∗)是(12)带有(a1,µ)=(˜a1,0)的非退化正解．显然，对于小的µ>0，(12)是(9)的正则扰动．因此，根据隐函数定理可得存在小的δ,˜ϵ>0，使得(12)有唯一正解(˜u a1,v a1)，且对任意a1∈E和0≤µ≤˜ϵ，有∥˜u a1−w a1∥C1+∥v a1−v∗∥C1≤δ.设C(ϵ)=max{1/˜ϵ,C(ϵ,δ)}，这里C(ϵ,δ)在引理7给出．于是对于任意ϵ∈(0,ϵ2)，存在C=C(ϵ)，使得如果c≥C和a1∈E，则(1)存在唯一类型(b)的正解．接下来，证明(1)具有类型(b)的正解不稳定．定义算子B和B0分别如下Bωχ=−∆ω−[a1−2u−mk1(u+k1)2−p1v(b+dv)(b+cu+dv)2]ω+p1u(b+cu)(b+cu+dv)2χ−∆χ−(a2−2p2vu+k2)χ−p2v2(u+k2)2ω,B0ωχ=−∆ω−[a1−mk1−p1v∗(b+dv∗)(b+w a1+dv∗)2]ω−∆χ−(a2−2p2v∗k2)χ−p2k22(v∗)2ω.考虑如下特征值问题B(ω,χ)T=ˆη(ω,χ)T,B0(ω,χ)T=ˆη0(ω,χ)T.容易验证当c→∞，对于趋于(0,v∗)的(u,v)，其中cu→w a1，B以算子范数一致地趋向于B0．通过算子的特征值理论有B0的特征值是ˆη0=λ1(−a1+mk1+p1v∗(b+dv∗)(b+w a1+dv∗)2)<λ1(−a1+mk1+p1v∗b+w a1+dv∗)=0.根据标准的扰动理论可知B有特征值ˆη接近ˆη0且Reˆη<0．因此，对于充分大的c和a1∈E，(1)具有类型(b)的正解不稳定．第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析95 4讨论与结论本文在齐次Dirichlet边界条件下研究了具有Allee效应和B-D反应函数的捕食-食饵扩散模型．通过分析得到：当Allee效应常量m,k1满足m<k21且食饵和捕食者的增长率较大a1>λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1,a2>λ1时，食饵和捕食者能够共存；当食饵或捕食者的增长率过小时，食饵或捕食者将灭绝；只要捕食者的增长率a2>λ1且Allee效应常量m,k1满足m<k21，当食饵的增长率a1∈[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),且捕食者对食饵的处理时间c的影响充分大时食饵和捕食者不但能够共存，而且系统恰好存在两个正解．从生物意义上来讲，研究结果表明当参数满足一定条件时系统出现了生物上所谓的多态性，而且食饵和捕食者将会以稳定均衡的形式共存．这说明保持适合种群自身生长繁殖的最佳密度、控制种群适当的增长率以及合理地开发和利用生物资源对生物种群保护和维持生态平衡具有非常重要的意义．Allee效应增加了系统动力学行为的复杂性，本文得到的主要结论既补充和完善了以往相关文献的结果，又丰富了齐次Dirichlet边界条件下具有Allee效应的生物扩散模型的研究内容．参考文献：[1]SHI J P,SHIVAJI R.Persistence in reaction diffusion models with weak Allee effect[J].Journal of Mathe-matical Biology,2006,52(6):807-829.[2]WANG J F,SHI J P,WEI J J.Dynamics and pattern formation in a diffusive predator-prey system withstrong Allee effect in prey[J].Journal of Differential Equations,2011,251(4-5):1276-1304.[3]YANG L,ZHONG S M.Dynamics of a diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower schemesand additive Allee effect[J].Computational and Applied Mathematics,2014,34(2):671-690.[4]WANG W M,ZHU Y N,CAI Y L,et al.Dynamical complexity induced by Allee effect in a predator-preymodel[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2014,16(1):103-119.[5]WANG X C,WEI J J.Dynamics in a diffusive predator-prey system with strong Allee effect and Ivlev-typefunctional response[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2015,422(2):1447-1462. [6]李海侠.带有加法Allee效应的捕食-食饵模型共存解的惟一性和多解性[J].武汉大学学报(理学版)，2015,61(4):319-322.LI H X.Uniqueness and multiplicity of coexistence solutions for a predator-prey model with additive Allee effect[J].Journal of Wuhan University(Natural Science Edition),2015,61(4):319-322.[7]李海侠.带有保护区域的加法Allee效应捕食-食饵模型的共存解[J].山东大学学报(理学版)，2015,50(9):88-94.LI H X.Coexistence solutions for a predator-prey model with additive Allee effect and a protection zone[J].Journal of Shandong University(Natural Science),2015,50(9):88-94.96工程数学学报第38卷[8]INDRAJAYA D,SURYANTO A,ALGHOFARI A R.Dynamics of modified Leslie-Gower predator-preymodel with Beddington-DeAngelis functional response and additive Allee effect[J].International Journal of Ecology&Development,2016,31(3):60-71.[9]NI W J,WANG M X.Dynamical properties of a Leslie-Gower prey-predator model with strong Allee effectin prey[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems–Series B,2017,22(9):3409-3420.[10]MIN N,WANG M X.Dynamics of a diffusive prey-predator system with strong Allee effect growth rateand a protection zone for the prey[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems–Series B,2018,23(4): 1721-1737.[11]DU Y H,LOU Y.Some uniqueness and exact multiplicity results for a predator-prey model[J].Transactionsof the American Mathematical Society,1997,349(6):2443-2475.[12]CRANDALL M G,RABINOWITZ P H.Bifurcation from simple eigenvalues[J].Journal of FunctionalAnalysis,1971,8(2):321-340.[13]DANCER E N.On the indices offixed points of mappings in cones and applications[J].Journal of Mathe-matical Analysis and Applications,1983,91(1):131-151.[14]SMOLLER J.Shock waves and reaction-diffusion equations[M].New York:Springer-Verlag,1983.Qualitative Analysis of a Diffusive Predator-prey Modelwith Allee EffectLI Hai-xia(Institute of Mathematics and Information Science,Baoji Universityof Arts and Sciences,Baoji721013)Abstract:The existence,uniqueness and multiplicity of positive solutions to a diffusive predator-prey model with B-D functional response and Allee effect are discussed.By thefixed point index theory,the sufficient conditions for the existence of positive solutions are obtained. Secondly,the conditions for the uniqueness of positive solutions are given by the variational characterization of the lowest eigenvalue.Finally,based on the analysis of positive solutions to two limiting systems,the exact multiplicity and stability of positive solutions are determined by means of the combination of thefixed point index theory,bifurcation theory and perturbation theory of eigenvalues.When the Allee effect constants meet appropriate relationship and the growth rate of the predator is large,the results show that the system has only a unique positive solution when the parameters satisfy certain conditions,and has exactly two positive solutions when the growth rate of the prey lies in a certain range.Keywords:predator-prey model;Allee effect;uniqueness;fixed point index theory;perturba-tion theory;exact multiplicity;stabilityReceived:27Aug2018.Accepted:06Mar2020.Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(61672021;11801013);the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China(2018JQ1066);the Science and Technology Program of Baoji(2018JH-20);the Doctoral Scientific Research Starting Foundation of Baoji University of Arts and Sciences(ZK2018069).。

第 29 卷第 1 期2023 年 2 月Vol. 29 No.1February 2023污染环境下具有强Allee 效应的食饵-捕食系统收获策略*钟 颖，韦煜明，彭华勤（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006）摘 要：研究了外界环境被污染的情况下，具有Allee 效应和Holling⁃Ⅱ型功能反应函数的食饵-捕食模型的收获策略。

首先讨论了该系统平衡点的稳定性，其次利用Liapu⁃nov 函数证明了正平衡点的全局稳定性，然后讨论系统的生物经济平衡的存在性，用Pontryagin's 最大值原理探讨了最优收获策略，最后利用数值模拟解释这些结果。

关键词：食饵-捕食系统；毒物；Allee ；Holling⁃Ⅱ型；最优收获策略中图分类号： O175 文献标识码： A 文章编号： 1673⁃8462（2023）01⁃0072⁃100　引言据2020年合国的报道，过去40年生物多样性降低了68%，最主要的原因是人为活动，例如过度开采，环境的污染和气候的变化等，因此对渔业资源进行科学的管理［1-4］是很有必要的。

由于工业迅速发展，工业废水排放量增加，导致水生环境的污染更加严重，美国杂志《科学》报道，如果不缓解海洋污染和过度开采，到2050年之前，渔业资源的物种和数量将趋于灭绝。

因此建立具有毒素污染和收获的食饵捕食的数学模型具有重要的现实意义。

Kar ［5］与Das ［6］研究了在有毒环境中，具有捕获的食饵-捕食模型，Kar ［7］讨论了两类竞争种群在污染环境中的收获策略。

当种群密度降低时，种群动力学的经典观点认为，由于自然资源有限，个体在较低的数量下会有更好的发展，但Allee 效应认为情况正好相反，对于濒危的物种更容易受到Allee 效应的影响，增加灭绝的可能性。

因此具有Allee 效应的研究受到了重视。

［8-12］我们改进文献［6］中的食饵捕食模型，假设猎物受到强Allee 效应的影响，Das 忽略了消化饱和因素，在本文中加入Holling⁃Ⅱ型饱和功能反应函数x1+bx，在对种群资源进行捕获时，文献［6］没有考虑到现实生活中对物种需求的差异性，本文设猎物和捕食者的捕捞努力量分别为E 1、E 2。

带有乘法Allee效应的捕食-食饵模型的共存解李海侠【摘要】讨论了一类带有乘法Allee效应的捕食-食饵扩散模型正解的存在性和稳定性。

利用局部分歧理论研究了分歧正解的存在性，考察了分歧解的稳定性，运用全局分歧定理将局部分歧进行延拓从而得到了正解存在的充分条件。

结果表明当参数满足一定条件时，两物种能共存而且共存解稳定。

%The existence and stability of a predator-prey diffusive model with multiplicative Allee affect are discussed. The existence of bifurcating positive solutions is investigated by means of the local bifurcation theory. The stability of bifurcation solutions is determined. By using the global bifurcation theory, the local bifurcation is extended and the suffi-ciently conditions of the existence of positive solutions are obtained. The results indicate that the two species will coexist when the parameters satisfy certain conditions, furthermore the coexistence solutions are stable.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)010【总页数】4页(P16-19)【关键词】乘法Allee效应;分歧理论;稳定性【作者】李海侠【作者单位】宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O175.261 引言本文讨论如下带有乘法Allee效应的捕食-食饵模型：其中，u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，r和e分别是u和v的最大增长率，k是承载能力，m表示没有捕食者时食饵物种u的Allee效应阀值或最小族群量。

带强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型的Hopf分支伏升茂;孙姣姣【摘要】研究带强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型的Hopf分支问题.首先, 在相应的常微分模型中讨论正平衡点的稳定性, 并以Allee阈值θ为分支参数, 分析Hopf分支的存在性、分支方向和稳定性.然后在相应的反应扩散模型中讨论多个Hopf分支点和第一个分支参数θ0的分支方向.%Hopf bifurcation of a Rosenzweig-MacArthur predator-prey model with strong Allee effects is considered.Firstly, the stability of a positive equilibrium point in the corresponding ordinary differential equation model is discussed.By using Allee threshold valueθas the bifurcation parameter, the existence, direction and stability of Hopf bifurcation are analyzed.Then, for the corresponding reaction diffusion model, the existence of Hopf bifurcation points and the branch direction in the first branch parameterθ0are discussed.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(055)001【总页数】7页(P1-7)【关键词】Rosenzweig-MacArthur捕食-食饵模型;Allee效应;稳定性;Hopf分支【作者】伏升茂;孙姣姣【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言捕食者与食饵两种群动力系统是生物数学研究的重要课题之一.反应扩散方程组是反映物种从高密度区向低密度区迁移规律的一类重要模型.1932年，美国动物学家Allee提出了Allee效应,即群居有益于种群的生长和存活,但种群过于稀疏或拥挤都会阻碍其生长,并对繁殖产生副作用,每个物种都有最适宜生长的密度.Allee效应主要有强Allee效应和弱Allee效应.若在低密度下的种群平均增长率为负,则称为强Allee效应；弱Allee效应是指在零密度下种群平均增长率为正.强Allee效应提出了一个种群阈值,种群密度必须超过此阈值才能存活.与此相反,带有弱Allee效应的种群则无此阈值.由于Allee效应对种群动力学有潜在的影响,近年来吸引了众多学者的注意力.Rosenzweig等[1-4]提出了带有强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型,并讨论了捕食者-食饵相互作用的稳定性条件.文献[5-7]指出，局部动态和扩散界限是种群持续下去的重要标准,调查表明蝴蝶分散在斑块环境中比从群体隔离出去更能够大量存活.文献[8]说明斑块环境中捕食者-食饵系统是受多种因素影响的,如扩散和局部密度依赖等.两三个斑块的集合种群在捕食者-食饵系统和传染病系统中已被研究[9-11].自然界存在的两种主要局部密度依赖是负密度依赖和正密度依赖,负密度依赖时种群密度增长,而正密度依赖时种群灭绝.文献[12]给出两斑块捕食者-食饵系统的基本性质，分析了Allee阈值对两斑块模型的影响,讨论了时滞对扩散两斑块模型的影响.文献[13]研究了BB-模型和BF-模型取不同参数时的局部分支、全局分支及全局分支的含义.文献[14]主要讨论带有Crowley-Martin 型函数的捕食者-食饵模型,对常微分方程的空间齐次模型的局部渐近稳定性和Hopf分支进行初步分析,对于反应扩散模型,首先证明了Turing不稳定性的存在,其次证明模型的Turing不稳定点所在曲线与Hopf分支曲线相交,最后讨论了非常数正平衡解的存在性和不存在性，并通过数值模拟验证理论结果.文献[7]和[15]提出了一种比Volterra模型和Leslie模型更为真实的模型,即Rosenzweig-MacArthur模型.文献[16-18]主要研究Rosenzweig-MacArthur系统极限环的稳定性和唯一性.文献[19]研究了包括Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型在内的带有多功能反应项的捕食者-食饵模型等生态系统的不稳定性.文献[20]讨论了带有扩散项和食饵趋化项的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型,得到正平衡解的全局存在性和有界性以及全局吸引子的存在性和系统的一致持久性.文中讨论带有强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型其中，Ω为带有光滑边界∂Ω的有界区域；n为∂Ω上的单位外法向量;N=N(x,t)和P=P(x,t)分别为食饵和捕食者的种群密度;常数di(i=1,2)为对应于N和P的扩散系数；参数θ(0<θ<1)为Allee阈值；η为食饵种群的自然死亡率；a为捕食率；c(0<c<1)为从食饵生物量转化为捕食者生物量的转化率.系统中所有参数均为正,初值N0(x)和P0(x)是连续的.齐次Nenmann边界条件说明系统(1)是自闭的,即没有种群通过边界.1 ODE模型的稳定性及Hopf分支系统(1)无量纲化后的常微分方程系统为(2)其中β=1/ac,m=η/ac.本节首先讨论系统(2)正常数平衡解的稳定性，其次分析正常数平衡解处的Hopf 分支.容易得出,如果下列条件成立：(H1)0<θ<m<1,那么系统(2)有唯一的正常数平衡点,记为(N*,P*),这里N*=m,P*=(m-θ)(1-m).系统(2)在(N*,P*)点的Jacobi矩阵是那么,J在(N*,P*)点的特征方程为λ2-Θλ+Δ=0,(3)其中显然Δ>0.定理1 若条件(H1)成立,且θ<2m-1,则(N*,P*)是局部渐近稳定的;当θ>2m-1时,(N*,P*)是不稳定的.注1 (N*，P*)的稳定性条件隐含m>1/2.下面将θ作为分支参数，分析系统(2)在(N*,P*)点处的Hopf分支.假定(H2)0<θ<2m-1.定义θ0=2m-1,用λ=α(θ)+iω(θ)表示特征方程(3)的两个根,其中很显然,系统(2)在θ=θ0点有一对虚根通过简单计算,当θ≠θ0时α(θ)≠0;当θ=θ0时α(θ0)=0,α′(θ0)=mβ/2>0.那么,由分支定理[14],系统(2)在(N*,P*)点出现Hopf分支,即有如下结论:定理2 当θ=θ0时,系统(2)在(N*,P*)点产生Hopf分支.令则系统(2)的平衡点(N*,P*)移到新系统的平衡点(0,0).为了方便,仍用N和P表示和这样,系统(2)转化成(4)以矩阵的形式重写系统(4)得到(5)其中这里定义矩阵其中显然,对于是可逆的,即易知当θ=θ0时,有通过变换系统(5)变为(7)其中在极坐标形式下重写(7)式得在θ=θ0处(8)的泰勒表达式为为了得到Hopf分支的方向和稳定性,需要计算Liapunov系数a(θ0)的符号:所有偏导数都在分支点(x,y,θ)=(0,0,θ0)处取值，则有结合(6)式中的T10,T20,ω0以及-a2=b2=1,a4=-β,有可以得到由Poincaré-Andronov-Hopf 分支定理[14]可得下列结论.定理3 假设条件(H1),(H2)成立.若a(θ0)<0,则Hopf分支是超临界的,从(N*,P*)发出的分支周期解是轨道渐近稳定的;若a(θ0)>0,则Hopf分支是次临界的,分支周期解不稳定.在系统(2)中选取参数β=1,m=0.56,那么θ0=2m-1=0.12.当θ=θ0时,在(N*,P*)=(0.56,0.19)处产生Hopf分支.进一步计算得从而a(θ0)≈-0.26.系统(2)的Hopf分支是超临界的,分支周期解是稳定的.2 PDF模型的Hopf分支本节分析系统(1)的Hopf分支.假设条件(H1)和(H2)成立.为了简便,考虑一维区域Ω=(0,π)上的如下系统：做变量变换且仍用N,P各自表示则系统(9)变为(10)其中这里f(N,P,θ),g(N,P,θ)满足f(0,0,θ)=g(0,0,θ)=0.定义实值Sobolev空间和X的复化空间系统(10)在(0,0,θ)点的线性算子是其中假设μ(θ)是L(θ)的一个特征值，(φ,ψ)是相对应的特征函数.令这里ai,bi是复合常数,则L(θ)的特征方程是μ2(θ)-Θi(θ)μ(θ)+Δi(θ)=0,(11)其中所以特征值为接下来确定Hopf分支θH,需验证下列结论:(P)存在一个θH的领域ε(θH),使得对θ∈ε(θH),L(θ)有一对简单且共轭的特征值α(θ)±iω(θ)在θ处连续可微且α(θH)=0,ω(θH)>0,α′(θH)≠0;对于θ∈ε(θH),L(θ)其余的特征值都有非零实部.(11)式的共轭特征值是α(θ)±iω(θ),假设对θH来说结论(P)成立,则存在i≥0,使得因为α(θ)满足α′(θH)≠0，(15)由(12),(13)式易知,若θ<θ0成立,则对i≥0有Θi(θ)<0,Δi(θ)>0,说明正平衡点(N*,P*)是局部渐近稳定的.因此Hopf分支点θH必须在区间[θ0,m)上.对任意在[θ0,m)上的Hopf分支点,α(θ)±iω(θ)是Li(θ)的特征值，且对一些i,有由上述讨论可得条件(15)成立,且确定分支点的集合:{θH∶θH∈[θ0,m),对于一些i≥0,(14)式成立}.注意到,当θ>θ0时,有β[-2m2+(1+θ)m]>0.易得α(θ)=0相当于β[-2m2+(1+θ)m]=i2(d1+d2).(16)对于1≤j≤i,假设θ=θHj满足(16)式，则这些点满足θ0<θH1<…<θHi-1<θHi<m.(17)显然Θj(θHj)=0,且对于j≠k有Θk(θHj)≠0.接下来证明Δj(θHj)>0,且当j≠k时Δj(θHj)≠0.对所有θ∈[θ0,m],因为所以当d1>β[(1+θ)m-2m2]时,对所有k=0,1,2,…有Δk(θ)>0.定理4 假设条件(H1),(H2)成立，且d1>β[(1+θ)m-2m2].若存在i个点θHj(1≤j≤i)满足(17)式,则系统(9)在θHj和θ0处产生Hopf分支. 经过计算可得L(θHj)有一对简单的纯虚特征值±iωj.采用文献[21]的方式,如果所有特征值(除了±iωj)都有负实部,实部Re(c1(θHj))<0(>0),那么分支周期解是稳定(不稳定)的,分支方向是超临界(次临界)的.Re(c1(θHj))的虚部将稍后给出.若L(θHj)至少有一个存在正实部的特征值,则分支周期解总是不稳定的.令L*是L的共轭算子，则(18)这里D=diag(d1,d2)，且在区域DL*=XC中有J*:=JT.令以对任意ξ∈D*L,η∈DL,很容易证明其中a,b是空间L2(0,π)×L2(0,π)上的内积.根据文献[21]分解X=XC+XS,其中对任意(N,P)∈X,存在z∈C和ω=(ω1,ω2)∈XS,使得则有在(z,ω)坐标上化简系统(10)得(19)其中这里f和g见(5)式.易得其中，进一步可得令由文献[21]附录A,系统(19)有一个中心流形,可将ω写成下列形式由此可得这意味着ω20=ω02=ω11=0.计算可得为了方便,所有偏导数都在(N,P,θ)=(0,0,θ)点计算.因此,反应扩散系统局限于坐标轴上的中心流形,给出如下式子其中注意到A(θ0)=0,a2=-1,b2=1和a4=-β,计算可得根据文献[21],有基于上述分析,给出以下定理.定理5 假设条件(H1),(H2)成立，那么系统(9)在θ=θ0产生Hopf分支.( i )若Re(c1(θ0))<0,则Hopf分支方向是次临界的,分支周期解是轨道渐近稳定的. ( ii )若Re(c1(θ0))>0,则Hopf分支方向是超临界的,分支周期解是不稳定的.例1 取如下参数β=1,m=0.56,θ=0.1.显然上述参数满足条件(H1)和(H2),θ0=2m-1=0.12.由θ<θ0可得Re(c1(θ0))=-1<0,由定理5可知,Hopf分支方向是次临界的,分支周期解是轨道渐近稳定的.参考文献:【相关文献】[1] TANNER J T.The stability and the intrinsic growth rates of prey and predator populations[J].Ecology,1975,56(4):855.[2] JOSHUA E E,MADUBUEZE C E,AKPAN E T.Hopf-bifurcation limit cycles of an extendedRosenzweig-MacArthur model[J].Journal of Mathematics Research,2016,8(3):22.[3] HUINCAHUE-ARCOS J,GONZLEZ-OLIVARES E.The Rosenzweig-MacArthur predation model with double Allee effects on prey[C]//International Conference on Applied Mathematics and Computational Methods in Engineering,Greece,2013-09.[4] ROSENZWEIG M L,MACARTHUR R H.Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions[J].The American Naturalist,1963,97:209.[5] HANSKI I,KUUSSAARI M,NIEMINEN M.Metapopulation structure and migration in the butterfly melitaea cinxia[J].Ecology,1994,75(3):747.[6] RUBINOW S I.Some mathmatical problems in biology[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1975,81(5):782.[7] MURDOCH W W.Switching in general predators:experiments on predator specificity and stability of prey populations[J].Ecological Monographs,1969,39(4):335.[8] LEVIN S A.Dispersion and population interactions[J].American Naturalist,1974,108:207.[9] MOTTO S,VENTURINO E.Migration paths saturations in meta-epidemicsystems[J].Lecture Notes in Computer Science,2014,8579:176.[10] WANG Jin-feng,SHI Jun-ping,WEI Jun-jie.Predator-prey system with strong Allee effect in prey[J].Journal of Mathematical Biology,2011,62(3):291.[11] GAZZOLA C,VENTURINO E.Dynamics of different topological configurations in a three-patch metapopulation model[J].Bulletin of Mathematical Sciences and Applications,2016,15:48.[12] SASMAL S K,GHOSH D.Effect of dispersal in two-patch prey-predator system with positive density dependence growth of preys[J].Biosystems,2016,151:8.[13] VAN VOORN G A,HEMERIK L,BOER M P,et al.Heteroclinic orbits indicate overexploitation in predator-prey systems with a strong Allee effect[J].Mathematical Biosciences,2007,209(2):451.[14] SHI Hong-bo,RUAN Shi-gui.Spatial temporal and spatiotemporal patterns of diffusive predator-prey models with mutual interference[J].Ima Journal of Applied Mathematics,2018,80(5):1534.[15] MAYNARD S J.Models in ecology[J].Biometrics,1974,63(1):1.[16] MAY R M.Limit cycles in predator-prey communities[J].Science,1972,177:900.[17] ALBRECHT F,GATZKE H,WAX N,et al.Stable limit cycles in prey-predator populations[J].Science,1973,181:1073.[18] CHENG K S.On the uniqueness of a limit cycle for a predator-prey system[J].Siam Journal on Mathematical Analysis,1988,12(4):541.[19] ROSENZWEIG M L.Paradox of enrichment:destabilization of exploitation ecosystems in ecological time[J].Science,1971,171:385.[20] 吴赛楠.几类带趋化项数学模型的动力学性质分析[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2017.[21] HASSARD B D,KAZARINOFF N D,WAN Y H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981:961.。