初一上册数学含参一次方程

第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。

2020-2021学年七年级数学上册期末综合复习专题专题05 含参数的一元一次方程【典型例题】1．若方程3x +5=11与6x +3a =18的解相同，求a 的值【答案】∵3x +5=11，∴3x =6，∴x =2；因为方程同解，故将x =2代入6x +3a =18得：12+3a =18，求解关于a 的方程得：a =2．【点睛】本题考查一元一次方程，解题关键在于对同解性质的理解，其次解方程注意计算仔细即可．【专题训练】一、选择题1．（2019·唐山市第五十四中学七年级月考）若方程2311x -=与关于x 的方程435x k -=-有相同的解，则k 的值是（ ）A ．-11B ．7C ．11D ．-7【答案】C2．（2020·江苏七年级期中）若方程15142x m -=+的解是2x =，则m 的值为（ ） A ．26 B ．10 C ．52 D ．65【答案】B3．（2020·重庆巴蜀中学七年级期中）已知关于x 的一元一次方程33162ax x x -+-=-的解是偶数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．12-B ．14-C ．20-D ．32-【答案】A4．（2020·河北七年级期中）关于x 的方程3﹣32a x-=0与方程2x ﹣5=1的解相同，则常数a 是（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【答案】C5．已知关于x 的方程2x m n +=的解为1x =，则方程24x m n +=-的解为（ ）A ．x =1B ．2x =C ．1x =-D ．无法确定【答案】C6．如果3x =是方程122a x x a +=-的解，那么a 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．6D ．12【答案】B7．若关于x 的方程12+=+ax x a 无解，则a 的值是（（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C二、填空题8．（2020·辽宁七年级期中）若关于x 的方程24ax a -=的解为3x =，则a =______．【答案】49．（2020·江西七年级期末）若方程的解23x -=-也是方程6314x k +=的解，则常数k = __________． 【答案】20310．（2020·黑龙江七年级月考）方程2x +1=3与方程()20a x --=的解相同，则a =________．【答案】311．已知关于x 的方程21213a x --=的解是2x =-，则a 的值为________． 【答案】-412．关于x 的方程927x kx -=+的解是自然数，则整数k 的值为________．【答案】0或6或813．（2020·重庆西南大学附中七年级期中）若关于x 的方程32ax x b -=+的解为任意数，则2+a b 的值为___________【答案】-414．（2020·安徽七年级期中）已知关于x 的一元一次方程320202020x x m +=+的解为2x =，那么关于y 的一元一次方程132020(1)2020y y m -+=-+的解y =______． 【答案】1y =-三、解答题15．（2020·霍林郭勒市第五中学七年级月考）关于x 的方程3（x -1）=3m -1与2x +2=3（m -1）的解互为相反数，求m 的值．【答案】解：由3（x -1）=3m -1， 解得，323m x +=， 由2x +2=3（m -1）， 解得，352m x -=， ∵两方程的解互为相反数，3235032m m +-∴+= 解得m =1115． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的解法，分别表示出两个方程的解，再根据互为相反数的定义列出关于m 的方程是解题的关键．16．定义：若一个关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解为2a b x +=，则称此方程为“中点方程”．如：103x -=的解为13x =，而1111323⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；210x -=的解为12x =，而11(21)22=⨯-． （1）若2a =且方程0(0)ax b a +=≠为中点方程时，求b 的值．（2）若关于x 的方程2ax b bx +=是“中点方程”，求代数式26332019a ab b -+-的值．【答案】（1）当2a =时，方程为20x b +=， 解得：2b x =-，根据中点方程的解可得：()1222bb -=⨯+， 解得：1b =-；（2）∵2ax b bx +=，∴()20a b x b -+=，∴关于x 的方程2ax b bx +=是“中点方程”， ∴22a b b x a -+==， 把x a =代入原方程得220a ab b -+=，∴()2263320193220193020192019a ab b a ab b -+-=-+-=⨯-=-． 【点睛】本题主要考查了阅读理解能力和“中点方程的定义”，准确理解中点方程的定义是解题的关键． 17．（2020·江苏七年级期中）若关于x 的方程32x m m x +=-与方程()3423x x +=-的解互为倒数，求m 的值． 【答案】解：解方程()3423x x +=-，得12x =， 将2x =代入方程32x m m x +=-得 2232m m +=- 去分母得，4+2m =12-3m∴m =85【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解，正确解关于x 的方程，理解方程的的解是解本题的关键．18．（2020·桐城市第二中学七年级期中）已知关于x 的方程1(2)50m m x -++=是一元一次方程，求关于x 的方程：533132x m mx m+--=的解． 【答案】解：∵关于x 的方程1(2)50m m x -++=是一元一次方程，∴1120m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =， ∴533132x m mx m+--=即：5623134x x +--=， 去分母得：()()45632312x x +--=，去括号得：20246912x x +-+=，移项、合并同类项得：1421x =-，系数化为1得：32x =-． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义、解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 19．（2020·江苏七年级期中）已知2x =-是关于x 的方程1(3)2a x a x +=+的解，求代数式221a a -+的值． 【答案】解：把2x =-代入方程：1(3)2a x a x +=+，()1232,2a a ∴-+=- 12,2a a ∴-=- 12,2a ∴=- 4,a ∴=-∴ ()()2221=4241168125.a a -+--⨯-+=++=【点睛】 本题考查的是一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 20．（2020·山东七年级期中）已知方程2x ＝43与关于x 的方程353a a x x -=--的解相等，求1a -的值． 【答案】 解：解方程423x =，得23x =， 把23x =代入方程353a a x x -=--，得2283a =-⨯，解得83a =-， ∴8111133a -=--=-． 【点睛】本题考查解一元一次方程和方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法和方程的解的定义．。

含参一元一次方程1．(2017春•独山县校级期中)已知|m﹣2|+√n−1=0，则方程2m+x=n的解是()A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣12．(2016•安徽自主招生)适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有()A．5 B．4 C．3 D．23．(2017秋•江干区期末)解方程0.2x−0.10.3=0.1x+0.40.05﹣1的步骤如下：解：第一步：2x−13=2x+81﹣1(分数的基本性质)第二步：2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(①)第三步：2x﹣1=6x+24﹣3……(②)第四步：2x﹣6x=24﹣3+1……(③)第五步：﹣4x=22(④)第六步：x=﹣112……(⑤)以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则．②等式性质一．③等式性质二．④合并同类项法则．请选择排序完全正确的一个选项()A．②①③④②B．②①③④③C．③①②④③D．③①④②③4．(2018•富阳区一模)七年级一班的马虎同学在解关于x的方程3a﹣x=13时，误将﹣x看成+x，得方程的解x=﹣2，则原方程正确的解为()A．﹣2 B．2 C．﹣12D．125．(2015秋•萧山区期末)已知a，b为定值，关于x的方程kx+a3=1﹣2x+bk6，无论k为何值，它的解总是1，则a+b=．6．(2016秋•萧山区期末)一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“4x﹣3+6(3﹣4x)=7(4x﹣3)”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x﹣3=y．(1)则原方程可变形为关于y的方程：，通过先求y的值，从而可得x=；(2)上述方法用到的数学思想是．7．(2016秋•上城区校级期末)已知关于x的方程kx=5﹣x有整数解，则整数k的值为．8．(2014秋•上城区期末)若﹣3是关于x的方程mx﹣n=1(m≠0)的解，则关于x的方程m(2x+1)﹣n﹣1=0(m≠0)的解为．9．(2014秋•萧山区期末)已知关于x的方程a−x2=bx−33的解是x=2，其中a≠0且b≠0，求代数式ab﹣ba的值．10．(2011秋•萧山区期末)已知关于x 的方程2mx ﹣6=(m +2)x 有正整数解，则整数m 的值是 ．11．(2011•江西模拟)对于数a ，b ，c ，d ，规定一种运算|a b c d |=ad ﹣bc ，如|102(−2)|=1×(﹣2)﹣0×2=﹣2，那么当|(x +1)(x +2)(x −1)(x −1)|=27时，则x = ．12．(2009•萧山区模拟)a ，b ，c ，d 为实数，先规定一种新的运算：|a c b d |=ad ﹣bc ，那么|241−x 5|=2009时，x = ．13．定义a *b =ab +a +b ，若3*x =31，则x 的值是 ．14．关于x 的方程||x ﹣2|﹣1|=a 恰有三个整数解，则a 的值为 ．15．(2017秋•嵊州市期末)若关于x 一元二次方程12018x +2018=2x +m 的解为x =2018，则关于y 的一元二次方程12018(y +1)+2018=2(y +1)+m 的解为 ．16．(2017秋•嵊州市期末)对于实数p 、q ，我们用符号min {p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min {1，2}=1，若min {4x+12，1}=x ，则x = ．17．(2017秋•鄞州区期末)规定：用{m }表示大于m 的最小整数，例如{52}=3，{4}=5，{﹣1.5}=﹣1等；用[m ]表示不大于m 的最大整数，例如[72]=3，[2]=2，[﹣3.2]=﹣4，如果整数x 满足关系式：3{x }+2[x ]=23，则x = ．18．(2014秋•镇海区期末)已知关于x 的方程2mx ﹣5=(m +2)x 有正整数解，则整数m 的值是 ．19．(2015秋•东阳市期末)关于x 的方程mx−33=1﹣x 2的解是整数，则整数m = ．20．(2014秋•海曙区期末)定义新运算a ※b 满足：(a +b )※c =a ※c +b ，a ※(b +c )=a ※b ﹣c ，并规定：1※1=5，则关于x 的方程(1+4x )※1+1※(1+2x )=12的解是x = ．21．(2014秋•乐清市校级月考)已知5x +3=8x ﹣3和5x+a 6=73这两个方程的解是互为相反数，则a = ．22．(2014秋•上城区期中)设a 为整数，且关于x 的方程ax =4﹣2x 的解为自然数，则a = ．23．(2015秋•温州月考)方程x +x 1+2+x 1+2+3+⋯+x 1+2+⋯+2015=2015的解是x = ．24．(2011•浙江校级自主招生)方程x +x 1+2+x 1+2+3+…+x 1+2+3+⋯+2009=2009的解是x = ．25．(2013春•椒江区校级月考)若关于x 方程3x ﹣2a =10的解是关于x 的方程2x ﹣4a =10的解的2倍，则a 的值为 ．26．(2017秋•大东区期末)已知关于x 的方程2ax =(a +1)x +3的解是正整数，则正整数a = ．27．(2018春•普陀区期末)如果关于x 的方程(m +2)x =8无解，那么m 的取值范围是 ．28．(2009秋•上城区期末)阅读下列文字后，解答问题：我们知道，对于关于x 的方程ax =b ，当a 不等于0时，方程的解为x =b a ；当a 等于0，b 也等于0时，所有实数x 都能使方程等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a 等于0，而b 不等于0时，没有任何x 能满足方程使等式成立，此时，我们说方程无解．根据上述知识，判断a ，b 为何值时，关于x 的方程a (4x ﹣2)﹣3b =8x ﹣7的解为全体实数？a ，b 为何值时，无解．29．(2016秋•余杭区期末)解方程 12{x ﹣13[x ﹣14(x ﹣23)]﹣32}=x +34．30．(2015秋•萧山区期末)已知关于x 的方程﹣2x +a =5的解和方程x−43﹣2=a−12的解相同，求字母a 的值，并写出方程的解．31．(2015秋•拱墅区期末)解方程：(1)4x +2=﹣13(12﹣3x ) (2)2(1﹣x+0.10.3)=2−3x 5．32．(2014秋•上城区校级期中)已知k 是不大于10的正整数，试找出一个k 的值，使关于x 的方程5x ﹣6k =12(x ﹣5k ﹣1)的解也是正整数，并求出此时方程的解．33．(2016•拱墅区二模)现有四个整式：x 2﹣1，12，x+15，﹣6． (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成 个方程；(2)请列出(1)中所有的一元一次方程，并解方程．34．(2014秋•江干区校级月考)已知关于x 的方程6x +2a ﹣1=5x 和方程4x +2a =7x +1的解相同，求：(1)a 的值；(2)代数式(a +3)2012×(2a ﹣97)2013的值．35．已知关于x 的方程2[x −2(x −a 4)]=3x 和x+a 9−1−3x 12=1有相同的解，求a 与方程的解．36．(2011秋•慈溪市校级月考)请你仔细阅读下列材料：让我们来规定一种运算：|a b c d |=ad ﹣bc ，例如|2345|=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，再如|x 214|=4x ﹣2，按照这种运算的规定，请你解答下列各个问题： (1)填空|−12−11|= (2)x = 时，|x 1−x 12|=0 (3)求x 的值，使|x −1233|=|x −21−1|．37．(2014秋•天台县期末)我们知道分数13写成小数形式即0.3，反过来，无限循环小数0.3⋅写成分数形式即13．事实上，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．以0.7⋅为例：设0.7⋅=x ，即：x =0.777…，则10x =7.777…；所以10x ﹣x =7．解方程得：x =79．请模仿上述方法，将0.8⋅9⋅写成分数形式．38．(2014秋•象山县校级期中)小明在解方程2x +(2﹣5a )÷8=14(x 为未知数)时，误将“÷”号看作“+”，得方程的解为x =﹣3，请求出原方程的解．39．若方程253x −m =512x +139有一个正整数解，则m 取的最小正数是多少？并求出相应的解．40．(2017秋•句容市月考)m 为何值时，关于x 的方程3m +4x =1+3x 的解比关于x 的方程2x−m 3﹣x−12=1的解大2．41．(2015秋•禹州市期末)已知关于x 的方程2x ﹣a =1与方程2x−12=x+a 3﹣a 的解的和为114，求a 的值．42．(2016秋•江阴市校级月考)已知关于x 的方程x−m 2=x +m 3与方程4y−15=2y+13﹣0.6的解互为倒数，求m 的值．43．(2017秋•凉州区期末)当m 为何值时，关于x 的方程5m +12x =6+x 的解比关于x 的方程x (m +1)=m (1+x )的解大2．44．(2017秋•东台市月考)已知关于x 的方程2ax =(a +1)x +6，则当整数a 为何值时，方程的解为正整数？45．(2017秋•江阴市期中)当m 为何值时，关于x 的方程3x +m =2x +7的解比关于x 的方程4(x ﹣2)=3(x +m )的解大9？46．(2016春•巴州区月考)m 为何值时，关于x 的方程4x ﹣m =2x +5的解比2(x ﹣m )=3(x ﹣2)﹣1的解小2．47．(2013秋•相城区期末)小明做作业时，不小心将方程中x−22﹣1=4x 3+●的一个常数污染了看不清楚，怎么办呢？ (1)小红告诉他该方程的解是x =3，那么这个常数应是多少呢？(2)小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，请你试求该方程的解．(友情提醒：设这个常数为m ．)48．(2015春•资中县月考)已知关于x 的方程9x ﹣3=kx +10．(1)若这个方程的解是2，求k 的值；(2)当整数k 为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．49．(2015秋•盐城校级月考)已知关于x 的方程3a ﹣x =x 2+3． (1)若x =2，求代数式a 2﹣2a +1的值．(2)已知关于x 的方程x+a 2=2x−a 3的解比方程3a ﹣x =x 2+3的解小3，试求a 的值．50．若关于x的方程(3x+2)m+(2x+3)n+x﹣1=0有无数多个解，求实数m，n的值．。

含参数的一元一次方程知识集结知识元一元一次方程的定义知识讲解根据一元一次方程的定义求字母参数的值.例题精讲一元一次方程的定义例1.下列方程中，是一元一次方程的是（）.A．﹣x+2y＝3B．x2﹣3x＝6C．x＝0D．＝1例2.若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是关于x的一元一次方程，则m的值是（）.A．1B．任何数C．2D．1或2例3.'已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．'一元一次方程的解知识讲解已知一元一次方程的解，求一元一次方程中未知系数．例题精讲一元一次方程的解例1.x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（）.A．﹣2B．2C．﹣1D．1例2.当k__________时，关于x的方程2x+3＝k的解为正数．例3.'已知，x＝2是方程的解，求代数式m2﹣（6m+2）的值．'解一元一次方程知识讲解解一元一次方程过程中出错，求字母参数的值或正确的解．例题精讲解一元一次方程例1.解方程时，去分母后可以得到（）A．1﹣x﹣3＝3x B．6﹣2x﹣6＝3xC．6﹣x+3＝3x D．1﹣x+3＝3x例2.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是y﹣＝y﹣■，怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是：y＝﹣6，小华很快补好了这个常数，并迅速完成了作业．这个常数是（）.A．﹣4B．3C．﹣4D．4例3.'解下列一元一次方程：．'同解方程知识讲解已知两个一元一次方程是同解方程，一个方程不含参数，求另一个方程中未知系数．例题精讲同解方程例1.如果方程6x+3a＝22与方程3x+5＝11的解相同，那么a＝（）.A．B．C．D．例2.'已知两个方程3（x+2）＝5x和4x﹣3（a﹣x）＝6x﹣7（a﹣x）有相同的解，求a的值是．'例3.'已知：方程2﹣3（x+1）＝5﹣x的解与关于x的方程﹣3k﹣2＝2x的解互为倒数，求k的值．'一元一次方程与新定义知识讲解定义一种新的运算法则，根据新定义列出一元一次方程，再求解例题精讲一元一次方程与新定义例1.对于实数a、b，规定a⊕b＝a﹣2b，若4⊕（x﹣3）＝2，则x的值为（）.D．4A．﹣2B．﹣C．例2.'我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x ＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．'含绝对值符号的一元一次方程知识讲解在解含绝对值符号的一元一次方程时要注意分两种情况进行讨论．例题精讲含绝对值符号的一元一次方程例1.方程|2x﹣1|﹣a＝0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）.A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜1C．0＜a＜1D．＜a＜1例2.满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）.A．4个B．3个C．2个D．5个例3.已知关于x的方程mx+3＝2（x﹣m）的解满足|x﹣2|﹣3＝0，则m的值为练习题单选题练习1.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是y﹣＝y﹣■，怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是：y＝﹣6，小华很快补好了这个常数，并迅速完成了作业．这个常数是（）.A．﹣4B．3C．﹣4D．4练习2.已知关于x的方程mx+3＝2（x﹣m）的解满足|x﹣2|﹣3＝0，则m的值为（）. A．﹣5B．1C．5或﹣1D．﹣5或1练习3.某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝，他把□处看成了（）. A．3B．﹣9C．8D．﹣8练习4.下列解方程过程中，变形正确的是（）.A．由2x﹣1＝3得2x＝3﹣1B．由2x﹣3（x+4）＝5得2x﹣3x﹣4＝5C．由﹣75x＝76得x＝D．由2x﹣（x﹣1）＝1得2x﹣x＝0练习5.对于实数a、b，规定a⊕b＝a﹣2b，若4⊕（x﹣3）＝2，则x的值为（）.D．4A．﹣2B．C．练习6.下列方程是一元一次方程的是（）.A．x+3＝y B．+3＝2xC．2y＝5+y D．x2﹣4x+4＝0练习7.满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）.A．4个B．3个C．2个D．5个填空题练习1.如果|a+3|＝1，那么a＝．练习2.若关于x的方程3x﹣2a＝0与2x+3a﹣13＝0的解相同，则这两个方程的解为x＝．解答题练习1.'阅读下列例题的解答，并解方程．例：解方程：|x﹣1|＝3．解：根据绝对值的意义，原方程可化为x﹣1＝3…①或x﹣1＝﹣3…②解方程①得x＝4，解方程②得x＝﹣2，所以，原方程的解是x＝4或x＝﹣2．请仿照上面例题的解答方法，解方程：|2x+1|＝5．'练习2.'已知，x＝2是方程的解，求代数式m2﹣（6m+2）的值．'练习3.'若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．（1）试求（﹣2）※3的值；（2）若（﹣5）※x＝﹣2﹣x，求x的值．'练习4.'已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．'练习5.'已知：方程2﹣3（x+1）＝5﹣x的解与关于x的方程﹣3k﹣2＝2x的解互为倒数，求k的值．'练习6.'[现场学习]定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2．|2x﹣1|＝3，﹣x＝1，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．[例]解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．经检验可知，原方程的解是x＝2，x＝﹣1．[解决问题]解方程：﹣x＝1．'。

人教版·七年级上册数学讲义第六讲 含参方程及应用题突破模块一：含参方程题型一：方程的解例题12015~2016学年湖北武汉江岸区初一上学期期中第16题3分已知关于x 的方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同，则方程的解为_____． 若关于x 的方程231x -=和32x kk x -=-解互为相反数，则k 的值为多少？ 如果关于x 的方程()233x m -=+的解和()3145x m +=-+的解的和等于5，求m 值． 练习已知关于的方程321x -=和22x kk -+=有相同的解，求k 的值及方程的解． 如果关于x 的方程()121x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值． 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型二：ax =b 的分类讨论例题2解下列关于x 的方程：（1）已知关于x 的方程35x =，方程有_____个解，解为_____． （2）已知关于x 的方程35x =，方程有_____个解，解为_____． （3）已知关于x 的方程4x k =，方程有_____个解，解为_____． （4）已知关于x 的方程52x k =-，方程有_____个解，解为_____． 解下列关于x 的方程：（1）已知关于x 的方程5mx =：当0m =时，方程有_____个解；当0m ≠时，方程有_____个解． （2）已知关于x 的方程0mx =：当0m =时，方程有_____个解；当0m ≠时，方程有_____个解． 练习已知关于x 的方程ax b =：（1）当0a ≠，0b =时，方程有_____个解，解为_____． （2）当0a ≠，0b ≠时，方程有_____个解，解为_____． （3）当0a =，0b =时，方程有_____个解． （4）当0a =，0b ≠时，方程有_____个解． 总结归纳 例题3解下列关于x 的方程． （1）()12a c b -=+． （2）326ax b x -=+． 练习 填空（1）当a _____，b _____时，关于x 的方程1ax x b +=--有唯一解． （2）当a _____，b _____时，关于x 的方程1ax x b +=--无解． （3）当a _____，b _____时，关于x 的方程1ax x b +=--有无穷多个解． 关于的方程43mx x n +=-，分别求m ，n 满足什么条件时，原方程： （1）有唯一解． （2）无解． （3）有无数多解．已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解，求a 与b 的值． 已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求()20115aba b x x a b a b+-=-++的解． 例题4若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236ka x bx--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求a 和b 的值． 练习若关于x 的方程2236kx m x nk+-=+无论k 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值． 模块二：应用题题型一：分段计费例题5家庭使用管道煤气收费标准为：每户每月煤气用量不超过20立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过20立方米，则超过部分按每立方米1.2元收费．（1）若某户月煤气用量15立方米，需付费_____元．（2）若某户月煤气用量30立方米，需付费_____元．（3）若某户月煤气用量为x立方米，则：①当20x≤时，需付费_____元．②当20x>时，需付费_____元，（4）若某户月煤气费为40元，则月煤气用量为_____立方米．2018~2019学年12月湖北武汉江岸区武汉市第六中学上智中学初一上学期月考第16题3分某市居民用电电费目前实行梯度价格表262.2元，则童大爷家10月份的用电量为_____．练习2018~2019学年湖北武汉洪山区初一上学期期末第22题10分某市为鼓励市民节约用水，作出如下规定：（1（2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？（3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞金（水费为每月底缴纳．因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明家8、9月各用多少吨水？题型二：方案选择例题62018~2019学年湖北武汉江夏区初一上学期期末第22题10分下表中有两种移动电话计费方式：（1）当90t=时，按方式一计费为_____元；按方式二计费为_____元．（2）当100150t<≤时，是否存在某一时间t，使两种计费方式相等，若存在，请求出相应的值，若不存在，请说明理由．（3）当150t>时，请直接写出省钱的计费方式？练习2019~2020学年湖北武汉硚口区初一上学期期末第22题10分下表中有两种移动电话计费方式：（1）若李明某月主叫通话时间为700分钟，则他按方式一计费需_____元，按方式二计费需_____元（用含a的代数式表示），若他按方式一计费需60元，则主叫通话时间为_____分钟．（2）若方式二中主叫超时费0.2a=（元/分钟），是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．（3）若主叫时间为750分钟时，两种方式的计费相等．①直接写出a的值为_____．②请你通过计算分析后，直接给出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱？题型三：计算折扣例题7某商场用36000元购进A、B两种商品，销售完后共获取利润6000元，其进价和销售价如下表：（1（2）若商场再次购进A、B两种商品，购进B种商品件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，B种商品要打折销售，若再次购进两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利8160元，B种商品应打几折？练习某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的12倍多15件甲、乙两种商品的进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）（1（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品按原价打折销售，两种商品都销售完以后，第二次获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？题型四：调配问题例题82018~2019学年湖北武汉江夏区武汉外国语学校初一上学期期末第22题8分A城有粮食200吨，B城有粮食300吨，现要把粮食运往C、D两地，如果从A城运往C、D两地，运费分别为20元/吨和25元/吨；从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨．（1）设从A城运往C地x吨，请把下表补充完整；（2练习北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台．从上海、北京将仪器运往重庆、武汉的费用如表所示：运费表（单位：元/台）（（2）你能否帮助设计一种调运方案，使调运总费用刚好是8000元？若能，请写出你的具体调运方案；若不能，请说明你的理由．数学趣题2018~2019学年湖北武汉蔡甸区初一上学期期末第10题3分学校组织全国文明城市知识问答，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了A、B、D三名参赛学生的得分情况，则参赛学生E的得分可能是（）．挑战压轴题2018年春节临近，武汉掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示：（1）三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择：（2付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？（3）丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生买了一件标价为630元的上衣，张先生发现竟然比没打折前多付了18元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？（结果精确到0.01）巩固加油站巩固1如果1x =是关于x 的方程32x a x -+=-的解，则a 的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2巩固2已知关于x 的一元一次方程240n x m +-=的解是3x =．则m n -的值是_____． 巩固3（1）关于x 的方程231x m x +=-与方程362x m x -=+的解相同，则x =_____． （2）关于x 的方程231x m x +=-与方程362x m x -=+的解互为相反数，则m =_____． （3）关于x 的方程231x m x +=-与方程362x m x -=+的解的和为2，则m =_____． （4）关于y 的方程25617kky +-=-与方程268y +=-的解互为倒数，则k =_____． 巩固4关于a的方程23+=-有无数多个解，则mn=_____．mx a n巩固5关于x的方程()1432++=-，分别求a、b满足什么条件时，原方程：a x x b①有唯一解；②有无数多解；③无解．巩固62017~2018学年12月湖北武汉东湖高新区初一上学期月考第8题3分学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，表中记录了3个参赛学生的得分情况．则参赛学生的得分可能为（）．A．52巩固72018~2019学年12月湖北武汉江岸区武汉市七一华源中学初一上学期月考第23题10分下表是中国电信两种“4G套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）按方式二计费需_____元；若她按方式二计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为_____MB．（2）若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．（3）若上网流量为540MB，直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱．巩固82018~2019学年湖北武汉青山区初一上学期期末第22题10分学而思培优N张老师元旦期间到武商众圆商场购买一台某品牌笔记本电脑，恰逢商场正推出“迎元旦”促销打折活动，具体优惠情况如下表：()()⨯+-⨯+-⨯=元．500090%10000500080%150001000070%12000（1）若这种品牌电脑原价为8000元/台，请求出张老师实际付款金额．（2）已知张老师购买一台该品牌电脑实际付费5700元．①求该品牌电脑原价是多少元/台？②若售出这台电脑商场仍可获利14%，求这种品牌电脑的进价为多少元/台？巩固92018~2019学年湖北武汉青山区初一上学期期中第23题10分为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）．（1）某户居民元和_____元．（2）若该户居民3月份用水量a m3（其中610<≤），则应收水费多少元．（用含a的式子表示，a并化简）（3）若该户层民4、5两个月共用水14m3（5月份用水量超过4月份），设4月份用水x m3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元．（用含x的式子表示，并化简）。

解含有参数的一元一次方程是初一数学考试中的常见题型，是学生非常容易出错的问题，重点考察分类讨论思想的应用。

本期通过三讲内容重点讲究含有参数的一元一次方程问题，本篇是第一讲：含有参数的一元一次方程。

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分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为ax b =的形式，方程的解由a 、b 的取值范围确定． ⑴当0a ≠时，b x a =，原方程有唯一解；⑵当0a =且0b =时，解是任意数，原方程有无数解；⑶当0a =且0b ≠时，原方程无解．例1 解关于x 的方程ax b =解 不能明确a 的值是否为0，因此再求解过程中，必须进行分类讨论⑵ 若0a ≠，则根据等式的性质②，方程两边同时除以a ，得b x a =，此时方程有唯一解 ⑵若0a =时，就不能应用等式的基本性质②，根据方程的解的定义，我们可以将1x =任意数值代入原方程得左边010=⨯=，右边b =①如果0b =，则左边=右边，此时1x =是方程ax b =的解②如果0b ≠，则左边≠右边，此时1x =不是是方程ax b =的解同理我们可以对x 取任意数值代入，∴当0a =，0b =时，方程ax b =的解为任意解当0a =，0b ≠时，方程ax b =无解例2 解关于x 的方程：1()()34m x n x m -=-解 分类讨论去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-， ①当34m ≠，n 为任意数时，4343mn m x m -=-； ②当34m =时，34n =，解为任意数；③当34m =，34n ≠时，方程无解．例3 关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m ，n 为何值时，原方程：⑴有唯一解；⑵有无数多解；⑶无解．解 方程可以转化为(3)4m x n -=+，⑴当3m ≠，n 为任意值时，方程有唯一解；⑵当3m =，4n =-，方程有无数解；⑶ 当3m =，4n ≠-时，无解．例 4 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无数多个解，那么a =________，b = _______ ．解 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +=， 即53a =，109b =-．解含有参数的一元一次方程是初一数学考试中的常见题型，是学生非常容易出错的问题，重点考察分类讨论思想的应用。

第03讲_含参数的一次方程知识图谱含参数的一次方程知识精讲一．参数有的方程中除了未知数外，还会含有一些其他的字母，它们代表已经确定的数字，只是我们不知道它们具体是多少，这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”．虽然都是字母，但未知数与参数各自的地位和含义是不相同的．比如方程ax b =，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当a b c 、、与x y z 、、同时出现在一个方程时，我们会约定俗成地认为，x y z 、、是未知数，a b c 、、是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于x 的方程ax b =，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程．如解关于x 的一元一次方程()12x a b c -+=，则()2x c b a =-+． 小明在家做作业时,不小心吧墨水滴到了练习册一道解方程题上,题目上一个数字被墨水污染了.这个方程是： 2(115 23)x x +--⎝=⎛⎫⎪⎭- ▇ ,“▇”是被污染的数字,“▇”是哪个数呢?他很着急,想了一想,便翻看了书后答案,得知此方程的解是x=2.你能帮他补上被污染处“▇”的内容吗? 把解代回方程：11252 232()⎛⎫ ⎪+-⨯-=⎝-⎭▇，此时被污染的数字就是这个新的方程的未知数，解方程即可解系数含参问题对于未知数系数含参数的方程，其方程的解与参数的取值有很大关系，需要对参数进行分类讨论．讨论．①当0x ≥时，x x =，原方程化为25x x =+，解得5x =-．但是由于5x =-不满足0x ≥的前提要求，所以舍去；②当0x <时，x x =-，原方程化为25x x -=+，解得53x =-．检验53x =-满足0x <的前提要求，所以53x =-是原方程的解．三点剖析一．考点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．二．重难点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．三．易错点：1．在解系数含参数的一次方程的过程中，忘记对参数进行讨论； 2．解ax b cx d +=+这类绝对值方程时，直接去绝对值．参数的概念例题1、 已知关于x 的方程45365ax b x c ++-=，其中参数是__________，未知量是__________，常数项是__________．【答案】 a 、b 、c ；x ；5b 、5c 、6-． 【解析】 根据参数的概念即可判断常数项含参的一次方程例题1、 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是：2y+12=12y ﹣．小明翻看了书后的答案，此方程的解是y=﹣53，则这个常数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 B【解析】 设常数为a ，则2y+12=12y ﹣a ，把y=﹣53代入得：2y+12=﹣176，12×（﹣53）﹣a=﹣176，解得：a=2，例题2、 已知a 为正整数，关于x 的方程5814225x a x -=+的解为整数，求a 的最小值．【答案】 2a =【解析】 原方程的解为()101429a x +=，由题意知，()101429a +为整数，因此142a +为9的倍数，即a 的最小值为2例题3、 解下列关于x 的方程：（1）12x a -=（2）()362x x a +=- （3）()()12112x x a -=--+ 【答案】 （1）2x a =-；（2）26x a =--；（3）1655x a =+【解析】 直接把a 当成已知数计算即可．系数含参的一次方程例题1、 解关于x 的方程：（1）2421m x mx -=+ （2）x a x b bb a a---=，其中0a b -≠ （3）()()1234m x n x m -=+． 【答案】 （1）当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）2a x a b =-；（3）①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解；【解析】 （1）原方程整理为()22141m x m +=-；当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）去分母，得()()2a x a b x b b ---=，去括号，得222ax a bx b b --+=，移项，得222ax bx b a b -=+-，合并同类项，得()2a b x b -=，∵0a b -≠，系数化为1，得2b x a b=-．（3）原方程可整理为()()43223m x m n -=+，①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解．例题2、 已知方程2ax x b -=+，问a 、b 分别满足什么条件时： （1）方程有唯一解？ （2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？ 【答案】 （1）1a ≠；（2）1a =且2b ≠-；（3）1a =，2b =-． 【解析】 方程整理为()12a x b -=+．当10a -≠时，方程有唯一解；当10a -=，20b +≠时，方程无解；当10a -=，20b +=时，方程有无穷多个解．例题3、 若k 为自然数，关于x 的方程kx －4＝x ＋3的解是整数，则k ＝________． 【答案】 0；2；8 【解析】 暂无解析随练1、 若关于x 的一元一次方程x ﹣m+2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A.m≥2B.m ＞2C.m ＜2D.m≤2【答案】 C【解析】 ∵程x ﹣m+2=0的解是负数， ∴x=m ﹣2＜0， 解得：m ＜2．随练2、 关于x 的方程3x －2＝kx ＋5的解是正整数，则整数k 的值为________． 【答案】 2或－4 【解析】 暂无解析随练3、 已知关于x 的方程()210a b x +-=无解，则ab 的值是（ ）A.负数B.正数C.非负数D.非正数【答案】 D【解析】 因为()210a b x +-=无解，所以20a b +=，于是0a b ==或2a b =-，即0ab ≤，故答案为D ． 随练4、 若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则整数k 的值为__________ 【答案】 8k =±【解析】 方程整理为()917k x -=，因为方程的解为正整数，所以90k -≠，所以179x k =-．要使得179k-为正整数，由于k 为整数，因此9k -只能取1或17．随练5、 解下列关于x 的方程：()112323x x a x b -+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 123x a b =--【解析】 去小括号，得11232312x x x b a --=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去中括号，得23111366x b x x a =+--，移项，得23111366x b x x a =+--，合并同类项，得1126x a b -=+，系数化为1，得123x a b =--随练6、 解关于x 的方程：()2a x b a x ab +-=+．【答案】 当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数． 【解析】 原方程可整理为()2b x a -=，当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数．随练7、 解关于x 的方程1mx nx -=． 【答案】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解 【解析】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解随练8、 已知关于x 的方程()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时：（1）方程无解？（2）方程有无穷多解？ 【答案】 （1）1a =-；（2）1a =【解析】 原方程可整理为()()121a x a -=-．当10a -=，()210a -≠时，方程无解；当10a -=，()210a -=时，方程有无穷多解．一元一次方程的同解问题例题1、 若方程2x+1=﹣1的解也是关于x 的方程1﹣2（x ﹣a ）=2的解，则a 的值为__．【答案】 ﹣12【解析】 方程2x+1=﹣1， 解得：x=﹣1，代入方程得：1+2+2a=2，解得：a=﹣12，例题2、 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和方程3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值．【答案】 2711a =【解析】 关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，3151128x a x +--=的解为27221a x -=．由题意得，3272721a a -=，解得2711a =． 例题3、 如果方程42832x x -+-=-的解与关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解相同，求1a a-的值． 【答案】 1154a a -=-【解析】 方程42832x x -+-=-的解为10x =，关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解为52x a =-，因此5102a -=，所以4a =-，1154a a -=-． 随练1、 若关于x 的()40k m x ++=和()210k m x --=是关于x 的同解方程，则2km-的值是________【答案】 53-【解析】 由题意知，0k m +≠，20k m -≠．关于x 的()40k m x ++=的解为4x k m=-+，()210k m x --=的解为12x k m =-．由题意得，412k m k m -=+-，解得13k m =．含绝对值的一次方程例题1、 已知关于x 的方程()22mx m x +=-的解满足1102x --=，则m 的值是（ ） A.10或25B.10或25-C.10-或25D.10-或25-【答案】 A【解析】 本题考查的是含绝对值的方程．先由1102x --=， 得32x =或12x =-；再将32x =和12x =-分别代入()22mx m x +=-，求出10m =或25故选A ．例题2、 方程|2x+3|=1的解是_____． 【答案】 x=﹣1或x=﹣2【解析】 根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．解：当x ＜﹣32时，原方程化简为﹣2x ﹣3=1，解得x=﹣2，当x ≥﹣32时，原方程化简为2x+3=1，解得x=﹣1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=﹣1或x=﹣2， 故答案为：x=﹣1或x=﹣2． 例题3、 解下列方程： （1）331x -= （2）120x +-= （3）6232x -+= （4）()311x x -=+（5）132132x --= （6）()121133x -+=【答案】 （1）43x =或23x =；（2）1x =或3x =-；（3）1x =-或5x =-；（4）2x =±；（5）2x =；（6）0x =或2x =．【解析】 （1）331x -=±，解得43x =或23x =；（2）12x +=±，解得1x =或3x =-； （3）32x +=±，解得1x =-或5x =-； （4）2x =，解得2x =±；（5）1102x -=，解得2x =；（6）11x -=±，解得0x =或2x =．随练1、 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m 、n 、k的大小关系是（ ） A.m k n >> B.n k m >> C.k m n >> D.m n k >>【答案】 D【解析】 由题意知，0m >、0n =、0k < 随练2、 解下列方程：（1）214x x -+= （2）()1311232x x x ---=+ （3）421x x +--=【答案】 （1）53x =或3x =-；（2）1613x =或423x =-；（3）12x =- 【解析】 （1）当210x -≥，即12x ≥时，原方程等价于214x x -+=，解得53x =；当210x -<，即12x <时，原方程等价于()214x x --+=，解得3x =-．（2）553163x x -=+，当13x ≥时，553163x x -=+，解得1613x =；当13x <时，551363x x -=+，解得423x =-．（3）利用零点分段法．当4x <-时，方程等价于()()421x x -++-=，无解；当42x -≤≤时，方程等价于()421x x ++-=，解得12x =-；当2x >时，方程等价于()421x x +--=，无解．拓展1、 已知a 是有理数，在下面4个命题： （1）方程0ax =的解是0x =．（2）方程ax a =的解是1x =．（3）方程1ax =的解是1x a=．（4）方程a x a =的解是1x =±． 其中，结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A【解析】 系数含有参数时，一定要考虑参数是否为0，分类讨论．当0a =时，均不成立，故答案为A ．2、 某同学在解关于x 的方程21133x x a-+=-去分母时，方程右边的1-没有乘以3，因而求得方程的解为2x =，试求a 的值，并求出方程的正确解． 【答案】 2a =，方程的正确解为0x =【解析】 先按照错误的方法（方程右边的1-没有乘以3）求出a 的值（2a =），然后再将2a =代入原方程求出方程的解．3、 我们规定：若x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程为定解方程，例如：932x =的解为93322-=，则该方程932x =就是定解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）若x 的一元一次方程2x m =是定解方程，则m = ；（2）若x 的一元一次方程2x ab a =+是定解方程，它的解为a ，求a ，b 的值； （3）若x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是定解方程，求代数式()(){}()2212114322m n mn m m mn n n ⎡⎤⎡⎤-+---+--+-⎣⎦⎣⎦的值．【答案】 （1）4m =（2）2a =，1b =（3）149-【解析】 （1）由题意可知2x m =-，由一元一次方程可知2mx =，因此22mm -=，解得4m =．（2）由题意可知2x ab a =+-，由一元一次方程可知2ab ax +=，又因为方程的解为a ，因此2ab aa +=，2ab a a +-=解得2a =，1b =．（3）由题意可知4mn m +=，43mn n +=-，两式相减，得163m n -=．代入，求得原式149=-．4、 若方程3x －5＝1与方程2102a x--=有相同的解，则a 的值等于________．【答案】 2【解析】 暂无解析5、 已知关于x 的方程()()235231326kx x +++=有无数个解，求k 的值． 【答案】 52k =【解析】 原方程可整理为()4100k x -=，要使原方程有无数个解，则4100k -=，解得52k =．6、 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2136kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【答案】 5-【解析】 将1x =代入原方程，整理可得()472b k a +=-．由题意知，无论k 为何值，上式恒成立，即上述方程的解为任意数．因此40b +=，720a -=，所以72a =，4b =- 7、 当k 取何值时，关于x 的方程()315x kx +=-有不大于1的解．【答案】 1k ≥-或3k <-【解析】 解方程()315x kx +=-得23x k =+，根据题意得213k≤+，当30k +>时，23k ≤+，得1k ≥-；当30k +<时，23k ≥+，解得1k ≤-，所以3k <-．综上可得1k ≥-或3k <-8、 当整数m 取何值时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？【答案】 2,3m =【解析】 原方程可化简为()12m x -=，由于原方程有解，因此解为21x m =-．由题意知，21m -为正整数，且m为整数．因此11,2m -=，所以2,3m =9、 已知关于x 的方程5241x m x +=+和方程5281x m x +=+的解相同， （1）求m 的值； （2）求代数式()201320127225m m ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值．【答案】 （1）12m =；（2）()20132012722255m m ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭【解析】 关于x 的方程5241x m x +=+的解为12x m =-，5281x m x +=+的解为213m x -=．由题意得，21123m m --=，解得12m =． 10、 解下列关于x 的方程：（1）6232x -+= （2）225x x ++= （3）1132x x -=- （4）237x x ++-= 【答案】 （1）1x =-或5x =-；（2）1x =；（3）4x =；（4）4x = 【解析】 （1）32x +=±，解得1x =-或5x =-；（2）当20x +≥，即2x ≥-时，方程等价于225x x ++=，解得1x =．当20x +<，即2x <-时，方程等价于()225x x -++=，解得7x =．因为72>-，舍去． （3）当1102x -≥，即2x ≥时，方程等价于1132x x -=-，解得4x =；当1102x -<，即2x <时，方程等价于1132x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得83x =，舍去． （4）利用零点分段法．当2x <-时，方程等价于()()237x x -+--=，解得3x =-； 当23x -≤≤时，方程等价于()237x x +--=，无解； 当3x >时，方程等价于237x x ++-=，解得4x =． 11、 解绝对值方程：1238412x x x ++=+- 【答案】 14x ≤-【解析】 原方程整理为4114x x +=--．即41x +的绝度值等于它的相反数，因此410x +≤，因此方程的解为14x ≤-．12、 若关于x 的方程1202x x b --+=有2个不同的解，则b 的取值范围为_____________．【答案】 1b <【解析】 该题考查的是含参绝对值方程． 当2x ≥时，原方程化简为22xb =-，即42x b =-，方程要有解，则必有422b -≥，所以，1b ≤； 当2x <时，原方程化简为322x b =+，即2433x b =+，方程要有解，则必有24233b +<，所以，1b <， 从而b 的取值范围是1b <．。