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ofdm调制的基本原理及特点OFDM调制的基本原理及特点OFDM调制的基本原理•OFDM是正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）的缩写，其基本原理是将高速数据流分成多个较低速的子流，并将每个子流分配到不重叠的频率带上进行传输。
•OFDM采用了多个正交的子载波进行数据传输，利用正交性降低了子载波单位之间的干扰，提高了数据传输的可靠性和抗干扰性能。
•OFDM通过将高速数据流分成多个较低速的子流进行并行传输，提高了整体的传输速率。
OFDM调制的特点1.高效的频谱利用：OFDM将频谱划分成多个较窄的子载波，每个子载波的传输速率较低，但减少了子载波之间的干扰，从而使整体的频谱利用率更高。
2.抗多径干扰能力强：由于OFDM技术采用多个正交的子载波进行数据传输，能够有效抵抗多径传播引起的码间干扰，提高了信号的传输质量。
3.抗频选择性衰落能力强：OFDM可以通过改变子载波的功率分配，从而抵消频率选择性衰落引起的信号失真，提高信号的可靠性。
4.低复杂度的信号处理：OFDM采用快速傅里叶变换（FFT）技术进行调制和解调，简化了信号处理的复杂度，降低了硬件的要求。
5.高容量传输：由于采用了多子载波传输，OFDM能够支持更多用户同时进行数据传输，提高了系统的容量。
6.适应多种信道环境：OFDM适应性强，可以根据具体的信道环境动态调整子载波数量和功率分配，提升了系统的适应性和灵活性。
以上是OFDM调制的基本原理及特点的简要介绍。
OFDM技术的广泛应用使得无线通信更加高效、稳定和可靠。
当然，接下来我们将继续介绍OFDM调制的更多特点：7.支持高速数据传输：由于将高速数据流分成多个较低速的子流进行并行传输，并且利用多个子载波传输，OFDM能够支持更高的传输速率。
8.抗干扰性强：OFDM采用多个正交的子载波进行数据传输，同时利用循环前缀技术来消除传输时延引起的码间干扰，具备较强的抗干扰性能。
单载波和OFDM调制方式介绍单载波和OFDM都是数字通信系统中常用的调制方式。
单载波调制（Single Carrier Modulation，SCM）是一种使用单个载波频率进行数据传输的调制技术，而正交频分多路复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）则使用多个正交频率子载波进行并行传输。
本文将详细介绍单载波调制和OFDM调制的原理和特点。
一、单载波调制（SCM）：单载波调制是一种基带数字调制技术。
在单载波调制中，数字信号经过数字调制解调器生成基带信号，该基带信号通过数字的频率转换技术与载波相乘形成调制信号，再通过模拟调制器将调制信号转换为可传输的模拟信号。
单载波调制的特点：1.简单性：单载波调制的实现相对简单，仅需要一个载波频率即可实现数据的传输。
2.低复杂度：因为只需要一个载波频率，所以单载波调制的计算复杂度较低，适用于硬件实现。
3.较强适应性：单载波调制可以灵活适应不同的信道环境，能够适应稳定、不衰落的信道。
4.抗多径衰落差：由于单载波调制技术只有一个信道传输符号，因此对于多径信道衰落影响较强。
二、正交频分多路复用（OFDM）：OFDM是一种多载波调制技术，在正交频分多路复用调制中，将数据信号拆分成多个子信道，并使用正交子载波将数据传输并行进行。
OFDM 将宽带信号分割成多个窄带信号，并在子载波之间设置隔离带，以减小同频信号之间的干扰。
OFDM调制的特点：1.高频谱效率：OFDM将频谱分成多个子带，每个子带上传输的数据速率相对较低，可以充分利用整个频谱，提高频谱利用率。
2.抗多径效应：由于采用了多个子载波，并且它们之间正交，所以OFDM系统对多径效应具有较好的抵抗能力，对时间延迟扩展具有较好的补偿能力。
3.抗频率选择性衰落：在OFDM系统中，子载波之间正交分割，减小了频率选择性衰落的效应，可以减小码间干扰。
4.N-路径传播抗干扰能力强：当信号通过多径传播存在多个路径时，OFDM系统可以对该干扰进行抑制，提高系统性能。
The Research and the FPGA Realization ofOFDM Telecommunication ModemAbstractOrthogonal Frequency Division Multiplexing(OFDM) is a kind of digital modulation technology of multi-carriers which has many characteristics. It is suitable for the demand of the wireless telecommunications in high speed, broad band and mobility.This paper first describes the OFDM fundamental principle. For OFDM modulation, demodulation, characteristic and key technologies, it analyses them on theory and shows the more advantage than other modulating technology. Aim at channel estimation, deeply analyzes FFT-based cascade one-dimensional channel estimation algorithms and united iterative maximum likelihood semi-blind estimation algorithms, based on it, iterative maximum likelihood estimation algorithms is also described and compared by Matlab, both of them are validated.And then, OFDM system simulation platform is built with Matlab and Simulink. On this platform, the data curve is given for OFDM system based on various module parameter, just like multi-path fade, Gauss White noise and so on. Through analyzing the simulation result, some system performances can be appraised exactly.After combining the front several chapters and illuminating the OFDM system configuration and simulation analysis aimed to system characteristics, emphasis is design and implementation of OFDM baseband processing based on FPGA. According to802.16 protocol and OFDM characteristic, reasonable parameters are established. From modulator and demodulator to series-to-parallel conversion, QPSK mapping, sampling, pilot insertion, guard interval addition, IFFT/FFT and frame synchronization detection, paper makes design and implementation for every module of system, meanwhile present simulation waves and parameter explanation. Thereinto, due to limitation of fixed point, 24 float pointformat is design for system, and participated in IFFT/FFT with making full use of system resource and improving operation efficiency in parameter allowed. And IFFT/FFT based on FPGA is emphasized, for the problem that Algorithm operation time is excessively long and occupied resource is excessively more, new Algorithm with pipelining and less resource occupied is brought out and carried out. Putting it into OFDM baseband processing system, parameter is satisfied well. Afterward, based on OFDM theory, the system debugging and performance analysis is necessary to do and the feasibility of this design is proved.KEYWORDS:wirelessMAN, OFDM, FPGA, baseband processing, FFT/IFFTWritten by:Xia BinSupervised by:Lv JianpingOFDM通信系统调制解调器的研究及其FPGA实现第一章绪论第一章绪论随着以通信技术和计算机技术为标志的高科技的发展，人们的生活发生了日新月异的巨大变化。
电力线调制解调器（电力猫）的工作原理和应用电力线调制解调器，也被称为电力猫，是一种利用电力线传输数据的设备。
它可以将电力线转换为数字信号，并在不需要布设额外网络电缆的情况下，在建筑物内实现网络连接。
本文将介绍电力线调制解调器的工作原理和应用。
一、工作原理电力线调制解调器的工作原理基于电力线通信技术，它利用电力线传输数据信号。
其基本原理如下：1. 调制：电力线调制解调器会将数字信号转换为特定频率的模拟信号，并通过调制将其叠加到电力线上。
调制的过程可以使用各种调制技术，如OFDM（正交频分多路复用）等。
2. 传输：经过调制后的信号通过插头插入电源插座，进入建筑物的电力线网络。
信号会通过电力线传输，并在建筑物内不断传播，达到目标位置。
3. 解调：在目标位置，另一个电力线调制解调器将接收到的信号从电力线上解调出来，并将其转换为数字信号。
4. 网络连接：解调出来的数字信号可以连接到计算机、路由器或其他设备，实现网络连接。
电力线调制解调器通过电力线传输数据信号，克服了传统布线网络的缺点。
由于电力线已经普及到绝大部分建筑物中，使用电力线进行网络连接无需布设额外网络电缆，减少了成本和繁琐的工程。
二、应用电力线调制解调器在实际应用中具有广泛的用途。
下面将介绍几个主要的应用场景：1. 家庭网络：对于家庭用户来说，电力线调制解调器是构建家庭网络的一种便捷选择。
通过插入电力线调制解调器到家庭电源插座，就可以将家庭中的各个房间连接起来，实现无线覆盖和互联网接入。
这对于家庭娱乐、办公、远程监控等方面都具有重要意义。
2. 商用办公场所：在商用办公场所中，电力线调制解调器可以用于迅速构建网络。
不需要破坏墙体、布线或安装复杂的设备。
只需要插入电力线调制解调器到电源插座即可，使得不同楼层和办公室之间的设备连接成为可能。
3. 智能家居：电力线调制解调器在智能家居领域也有重要应用。
通过将智能设备连接到电力线调制解调器，可以实现各个智能设备的互联和远程控制，如智能灯泡、智能插座、安防设备等。
基于OFDM的电力线载波通信的研究-基础电子引言电力线载波通信是以电力线为传输媒介，通过载波方式传输模拟或数字信号的技术，而且无外架通信线路。
介绍正交频分复用的基本原理，根据利用正交频分复用OFDM(Orthogal Frequency Division Multiplexing)技术能够较好调制解调信号的特性，提出一种基于OFDM 的电力线载波通信系统设计方案，利用电力线实现载波通信。
2 电力线载波通信电力线载波通信是电力系统特有的一种通信方式，可用于传输电话、远动数据和远方保护等信号，是确保电网安全、优质、经济运行，实现调度自动化和管理现代化的重要通信方式。
它以电力线路为传输通道，具有通道可靠性高，投资少见效快，与电网建设同步等优点。
图1为电力线载波通信系统组成图。
其基本原理是将载有信息的高频信号施加到电力线上进行数据传输，再通过电力线调制解调分离出电力线信道的高频信号，然后传送到终端设备。
各种成熟的调制解调技术已应用到电力线载波通信系统，针对适应高速率传输，正交频分复用调制解调技术是解决传输频带利用率的有效方法。
电力线载波通信技术在高、中、低压3个电压等级的应用技术、线路状况和应用要求都有所不同，高压电力线载波是指应用于35 kV及以上电压等级的载波通信设备。
载波线路状况良好，主要传输调度电话、远动、高频保护及其他监控系统的信息。
3 OFDM调制解调技术OFDM是一种将若干个彼此独立的信号合并为一个可在同一信道上传输的复合信号的方法。
其数据传输的基本原理是把串行数据流转换成N路速率较低的并行数据流，用它们分别调制N路子载波后并行传输，子载波相互正交其频谱相互重叠，从而具有很强的抗信道衰落能力和较高的频谱利用率，并能很好地抑制码间干扰。
其中第n个子载波频率选择为：式中，X(k)是接收端第k路子载波的输出信号。
从式(4)看出，它与发送端的第k路子载波信号相等，这样可正确解调出该载波的原信号X0,X1,…XN-1。
断器或自动开关,用以切除二次回路的短路故障。
自动调节励磁装置及强行励磁用的电压互感器的二次侧不得装设熔断器,因为熔断器熔断会使她们拒动或误动。
2.若电压互感器二次回路发生故障,由于延迟切断故障时间可能使保护装置和自动装置发生误动作或拒动,因此应装设监视电压回路完好的装置。
此时宜采用自动开关作为短路保护,并利用其辅助触点发出信号。
3.在正常运行时,电压互感器二次开口三角辅助绕组两端无电压,不能监视熔断器是否断开;且熔丝熔断时,若系统发生接地,保护会拒绝动作,因此开口三角绕组出口不应装设熔断器。
4.接至仪表及变送器的电压互感器二次电压分支回路应装设熔断器。
5.电压互感器中性点引出线上,一般不装设熔断器或自动开关。
采用B 相接地时,其熔断器或自动开关应装设在电压互感器B 相的二次绕组引出端与接地点之间。
三、电压互感器二次回路熔断器的选择1.熔断器的熔件必须保证在二次电压回路内发生短路时,其熔断的时间小于保护装置的动作时间。
2.熔断器的容量应满足在最大负荷时不熔断,即:(1熔件的额定电流应大于最大负荷电流(在双母线情况下,应考虑一组母线运行时所有电压回路的负荷全部切换至一组电压互感器上。
(2当电压互感器二次侧短路时,不致引起保护的动作,此数值最好由试验确定。
一般对屋内配电装置的电压互感器,熔断器选用R1-10/4A 、250V 的。
对屋外配电装置的电压互感器,熔断器选用RM10型250V 、15/6A 的。
为确保电压互感器使用的安全及电压互感器与电气仪表、继电保护、自动装置很好的配合,电压互感器二次回路熔断器应严格按照以上原则配置和选择。
一、引言电力线载波通信是利用高压电力线(在电力载波领域通常指35kV 及以上电压等级、中压电力线(指10kV 电压等级或低压配电线(380/220V 用户线作为信息传输媒介进行语音或数据传输的一种特殊通信方式。
35kV 以上电压等级的高压电力线载波通信主要用于地、市级或以下供电部门构成面向终端变电站及大用户的调度通信、远动及综合自动化;中低压电力线载波的应用目前主要在10kV 电力线作为配电网自动化系统的数据传输通道和在380/220V 用户电网作为集中远方自动抄表系统的数据传输通道,还有正在开发并取得阶段性成果的电力线上网高速MODEM 的应用。
基于DSP的电力线载波OFDM调制解调器摘要：提出一种基于ＯＦＤＭ的电力线宽带高速通信系统的实现方案 讨论了ＯＦＤＭ应用于电力线载波通信的原理，探讨了通信系统调制解调部分的硬件实现和软件流程，并对其关键的ＦＦＴ算法进行了优化。
关键词：电力线载波ＤＳＰＯＦＤＭＦＦＴ利用电力线作为信道进行通信 是解决“最后一公里”问题的一个很好的方法。
然而电力线作为通信信道，存在着高噪声、多径效应和衰落的特点。
ＯＦＤＭ技术能够在抗多径干扰、信号衰减的同时保持较高的数据传输速率，在具体实现中还能够利用离散傅立叶变换简化调制解调模块的复杂度，因此它在电力线高速通信系统中的应用有着非常乐观的前景。
文中给出一种基于正交频分复用技术（ＯＦＤＭ技术）的调制解调器的设计方案。
１ＯＦＤＭ原理ＯＦＤＭ全称为正交频分复用（ＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＦｒｅｑｕｅｎｃｙＤｉｖｉｓｉｏｎＭｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ），其基本思想是把高速数据流经过串／并变换，分成几个低比特率的数据流，经过编码、交织，它们之间具有一定的相关性，然后用这些低速率的数据流调制多个正交的子载波并迭加在一起构成发送信号。
每个数据流仅占用带宽的一部分，系统由许多子载波组成。
在接收端用同样数量的载波对发送信号进行相干接收，获得低速率信息数据后，再通过并／串变换得到原来的高速信号。
从而降低子载波上的码率，加长码元的持续时间，加强时延扩展的抵抗力。
在ＯＦＤＭ中，为了提高频带利用率，令各载波上的信号频谱相互重叠，但载波间隔的选择要使这些载波在整个符号周期上正交，即相加于符号周期上的任何两个子载波乘积为零。
这样，即使各载波上的信号频谱间存在重叠，也能无失真复原。
当载波间最小间隔等于符号周期的倒数的整数倍时，可满足正交性条件。
实际上为实现最大频谱效率，一般取载波间最小间隔等于符号周期的倒数。
ＯＦＤＭ允许各载波间频率互相混叠，采用了基于载波频率正交的ＩＦＦＴ／ＦＦＴ调制，直接在基带处理。
１９７１年，Ｗｅｉｎｓｔｅｉｎ和Ｅｂｅｒｔ将ＤＦＴ引入到并行传输系统的调制解调部分。
应用时去掉了频分复用所需要的子载波振荡器组、解调部分的带通滤波器组，并且可以利用ＦＦＴ的专用器件实现全数字化的调制解调过程。
ＯＦＤＭ技术具有频谱利用率高、抗多径干扰能力强、易于实现等优点，尤其适于多径效应严重的宽带传输系统，是一门具有发展前景、非常适合电力线高速数字通信的新兴技术。
２电力线载波通信系统结构Ｈｏｍｅｐｌｕｇ是工业界第一个电力线家庭网络标准。
系统参考Ｈｏｍｅｐｌｕｇ采用的频谱范围４．５ＭＨｚ～２１ＭＨｚ，并在Ｈｏｍｅｐｌｕｇ物理参数的基础上确定本系统参数为：采样频率ｆｓ＝１／Ｔ＝１５ＭＨｚ数据符号时间Ｔｄ＝２５６×Ｔ＝１７．０７μｓ循环前缀时间Ｔｃｐ＝１７２×Ｔ＝１１．４７μｓＯＦＤＭ符号时间Ｔｓ＝４２８×Ｔ＝２８．５μｓ数据子载波数为２５６子载波间隔Δｆ＝１／Ｔｄ＝０．０５８５８ＭＨｚ总子载波占用带宽Ｎ×Δｆ＝１５ＭＨｚ由于加入了１１．４７μｓ的循环前缀，系统可以消除１１．４７μｓ以内的回波干扰。
但是同时也付出频带利用率仅０．５９Ｂ／Ｈｚ和损失功率２．２３ｄＢ的代价。
考虑到电力线恶劣的通信环境，付出的代价是值得的。
电力线高速通信系统的系统结构如图１所示。
输入数据在ＯＦＤＭ信号调制部分依次经过串／并变换、ＩＦＦＴ、加入循环前缀、并／串变换后，输出调制后的信号，其频带范围为０～１５ＭＨｚ、数据速率为８．９７ＭＢ。
经过调制的信号经过数／模变换和上变频后，通过系统耦合部分进入电力线。
电力线上的信号通过系统耦合部分，输出的信号通过下变频、模／数变换后输入给ＯＦＤＭ信号解调部分。
在经过串／并变换、去除循环前缀、ＦＦＴ、并／串变换后，输出串行数据流。
３ＯＦＤＭ调制解调器的硬件实现基于ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１的ＯＦＤＭ调制解调器的硬件实现分别如图２和图３ １ 所示。
ＰＣＩ总线实现ＯＦＤＭ系统和计算机之间的通信。
Ｓ５９３３是３２ｂｉｔＰＣＩ控制器。
ＦＰＧＡ是系统的控制核心，系统的逻辑控制信号及时钟由ＦＰＧＡ提供。
ＤＳＰ部分为系统的核心，完成ＯＦＤＭ的调制与解调。
ＰＣＩ总线是宽度为３２ｂｉｔｓ或６４ｂｉｔｓ的地址数据复用线，支持猝发传输，数据率为１３２Ｍｂｐｓ，可满足高速数据要求。
ＰＣＩ总线能自动配置参数，定义配置空间，使设备具备自动配置功能，支持即插即用，采用多路复用技术，支持多处理器６４位寻址、５Ｖ和３．３Ｖ环境。
其独特的同步操作及对总线主控功能，可确保ＣＰＵ能与总线同步操作，而无需等待总线完成任务。
Ｓ５９３３是ＡＭＣＣ ＡｐｐｌｉｅｄＭｉｃｒｏＣｉｒｃｕｉｔｓＣｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ 公司开发的３２ｂｉｔＰＣＩ控制器，具备强大、灵活的ＰＣＩ接口功能，适用于高速数据传输场合。
Ｓ５９３３芯片的特点是符合ＰＣＩ２．１规范，支持ＰＣＩ主、从两种工作方式，支持多种数据传输方式，适用于不同的数据传输场合，支持ＰＣＩ全速传输，提供８／１６／３２ｂｉｔ的Ａｄｄ－Ｏｎ用户总线，有高低字节顺序调整功能，支持穿行和并行的ＢＯＯＴ／ＰＯＳＴ码功能，１６０脚ＰＱＦＰ封装。
ＤＳＰ部分选用ＴＩ公司的ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１。
ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１有３２位的外部存储接口ＥＭＩＦ，为ＣＰＵ访问外围设备提供了无缝接口。
为了便于多信道数字信号处理，ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１配备了多信道带缓冲能力的串口ＭｃＢＳＰ。
ＭｃＢＳＰ的功能非常强大，除具有一般ＤＳＰ串口功能之外，还可以支持Ｔ１／Ｅ１、ＳＴ－ＢＵＳ、ＩＯＭ２、ＳＰＩ、ＩＩＳ等不同标准。
ＴＭＳ３２Ｃ６２０１提供的１６位主机接口（ＨＰＩ）使得主机设备可以直接访问ＤＳＰ的存储空间。
通过内部或外部存储空间，主机可以与ＤＳＰ交换信息，也可以利用ＨＰＩ直接访问映射进存储空间的外围设备。
ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１的ＤＭＡ控制器有四个独立的可编程通道，可以同时进行四种不同的ＤＭＡ操作。
４ＯＦＤＭ在ＤＳＰ上的软件实现调制部分的子程序被系统调用前，发送的数据已装入数据存储器。
子程序被调用时，数据区的首地址以及长度被作为入口参数传递给子程序。
程序执行时首先进行一系列的配置工作，如配置ＤＳＰ片内外设以及数模转换器的各种参数等。
之后，串口中断产生，中断服务程序自动依次读取发送存储器中的内容，经串口输出给数模转换器。
然后程序从数据存储区读取一帧数据，并行放入ＩＦＦＴ工作区的相应位置，随后进行ＩＦＦＴ以及加入循环前缀（即复制数据的后若干位插入到数据的前段）。
所得数据存入发送存储器以便中断服务程序将其输出。
解调部分的程序首先执行ＤＳＰ片内外设以及模数转换器的配置，然后开串行口，接收中断，使接收中断程序接收来自模数转换器的采样数据，并将采样数据依次存入接收存储器。
每得到一帧数据，程序首先去除循环前缀（即删去数据的前若干位），然后对去除循环前缀后的数据进行ＦＦＴ变换。
图3 OFDM调制解调器电路原理图５ＦＦＴ在ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１上的优化算法表１给出２５６点Ｒａｄｉｘ２ＦＦＴ和Ｒａｄｉｘ４ＦＦＴ在ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１上所需的指令周期，以及在不同的工作频率下完成ＦＦＴ所需的时间。
由表１可以看出，在ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１上采用Ｒａｉｄｘ４算法比采用Ｒａｄｉｘ２算法更加高效。
并且，为了满足系统需求，即在１７．０７μｓ之内完成２５６个复数点的ＦＦＴ运算，ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１必须采用２００ＭＨｚ的工作频率。
表1 6201上实现256点FFT所需的时间ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１的数据通路和流水线工作方式是对算法进行优化从而获得高性能的基础。
ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１有两个可以进行数据处理的数据通路Ａ和Ｂ ２ ，每个通路有４个功能单元（．Ｌ．Ｓ．Ｍ．Ｄ）和一个包括１６个３２位寄存器的寄存器组。
功能单元执行逻辑、位移、乘法、加法和数据寻址等操作。
两个数据寻址单元（．Ｄ１和．Ｄ２）专门负责寄存器组和存储器之间的数据传递。
在同一时刻，这些功能单元能够并行地执行多条指令。
ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１对任何指令的操作都能分为几个子操作，每个子操作由不同单元完成。
对每个单元来说，每个时钟周期可进入一条新指令，这样在不同周期内，不同单元可以处理不同的指令，这种工作方式称为“流水线”工作方式。
ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１的特殊结构，可使８条指令同时通过流水线的每个节拍，从而大大提高了机器的吞吐量。
为使代码达到最大效率，程序将尽可能将指令安排为并行执行。
为使指令并行操作，程序确定指令间的相关性，即一条指令必须发生在另一条指令之后。
根据ＴＭＳ３２０Ｃ６２０１的数据通路和流水线工作方式，在此给出一种高效实现１６点Ｒａｄｉｘ４ＦＦＴ的方法。
其基本思想是分解传统的ＦＦＴ蝶型算法循环体，将其分别展开在Ａ、Ｂ通路内计算两个ＦＦＴ蝶型算法。
每个蝶型算法分别只分配自己这一侧的寄存器组和功能单元。
这样在循环体内两个蝶型算法是完全不相关的，能够并行执行。
下面给出基于Ｃ．Ｓ．Ｂｕｒｒｕｓ和Ｔ．Ｗ．Ｐａｒｋｓ的Ｒａｄｉｘ４ＦＦＴ算法 ３ 的优化算法的代码实现。
ｖｏｉｄｒａｄｉｘ４ ｉｎｔｎ ｓｈｏｒｔｘ ｓｈｏｒｔｗｉｎｔｎ１ ｎ２ ｉｅ ｗａ１ ｗａ２ ｗａ３ ｗｂ１ ｗｂ２ ｗｂ３ ｉａ０ ｉａ１ ｉａ２ ｉａ３ ｉｂ０ ｉｂ１ ｉｂ２ｉｂ３ ｊ ｋｓｈｏｒｔｔａ ｔｂ ｒａ１ ｒａ２ ｒｂ１ ｒｂ２ ｓａ１ ｓａ２ ｓｂ１ ｓｂ２ ｃｏａ１ ｃｏａ２ ｃｏａ３ ｃｏｂ１ｃｏｂ２ ｃｏｂ３ ｓｉａ１ ｓｉａ２ ｓｉａ３ ｓｉｂ１ ｓｉｂ２ ｓｉｂ３ｎ２＝ｎｉｅ＝１ｆｏｒ ｋ＝ｎ ｋ＞１ ｋ＞＞＝２／／ｎｕｍｂｅｒｏｆｓｔａｇｅｎ１＝ｎ２ｎ２＞＞＝２ ／／ｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｉｎｐｕｔｄａｔａｓｗａ１＝０ｆｏｒ ｊ＝０ ｊ＜ｎ２ ｊ＋＝２ ／／ｎｕｍｂｅｒｏｆｂｕｔｔｅｒｆｉｅｓｐｅｒｓｔａｇｅｗｂ１＝ｗａ１＋ｉｅｗａ２＝ｗａ１＋ｗａ１ｗｂ２＝ｗｂ１＋ｗｂ１ ／／ｓｉｎｃｅｈｅｒｅ ｍｏｓｔｏｆｔｈｅｆｏｌｏｗ－ｅｒｉｎｇｔｗｏｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓａｒｅｐａｒａｌｌｅｌｗａ３＝ｗａ２＋ｗａ１ｗｂ３＝ｗｂ２＋ｗｂ１ｃｏａ１＝ｗ ｗａ１ ２＋１ｃｏｂ１＝ｗ ｗｂ１ ２＋１ｓｉａ１＝ｗ ｗａ１ ２ｓｉｂ１＝ｗ ｗｂ１ ２ｃｏａ２＝ｗ ｗａ２ ２＋１ｃｏｂ２＝ｗ ｗｂ２ ２＋１ｓｉａ２＝ｗ ｗａ２ ２ｓｉｂ２＝ｗ ｗｂ２ ２ｃｏａ３＝ｗ ｗａ３ ２＋１ｃｏｂ３＝ｗ ｗｂ３ ２＋１ｓｉａ３＝ｗ ｗａ３ ２ｓｉｂ３＝ｗ ｗｂ３ ２ｗａ１＝ｗｂ１＋ｉｅｆｏｒ ｉａ０＝ｊ ｉｂ０＝ｊ＋１ ｉａ０＜ｎ ｉａ０＋＝ｎ１ ｉｂ０＋＝ｎ１ ／／ｌｏｏｐｏｆｔｗｏｂｕｔｔｅｒｆｌｉｅｓｃａｃｕｌａｔｉｏｎｉａ１＝ｉａ０＋ｎ２ｉｂ１＝ｉｂ０＋ｎ２ｉａ２＝ｉａ１＋ｎ２ｉｂ２＝ｉｂ１＋ｎ２ｉａ３＝ｉａ２＋ｎ２ｉｂ３＝ｉｂ２＋ｎ２ｒａ１＝ｘ ２ ｉａ０ ＋ｘ ２ ｉａ２ｒｂ１＝ｘ ２ ｉｂ０ ＋ｘ ２ ｉｂ２ｒａ１＝ｘ ２ ｉａ０ －ｘ ２ ｉａ２ｒｂ１＝ｘ ２ ｉｂ０ －ｘ ２ ｉｂ２ｔａ＝ｘ ２ ｉａ１ ＋ｘ ２ ｉａ３ｔｂ＝ｘ ２ ｉｂ１ ＋ｘ ２ ｉｂ３ｘ ２ ｉａ０ ＝ｒａ１＋ｔａ ／／ｘ ２ ｉａ０ｘ ２ ｉｂ０ ＝ｒｂ１＋ｔｂ ／／ｘ ２ ｉａ０ｒａ１＝ｒａ１－ｔａｒｂ１＝ｒｂ１－ｔｂｓａ１＝ｘ ２ ｉａ０＋１ ＋ｘ ２ ｉａ２＋１ｓｂ１＝ｘ ２ ｉｂ０＋１ ＋ｘ ２ ｉｂ２＋１ｓａ２＝ｘ ２ ｉａ０＋１ －ｘ ２ ｉａ２＋１ｓｂ２＝ｘ ２ ｉｂ０＋１ －ｘ ２ ｉｂ２＋１ｔａ＝ｘ ２ ｉａ１＋１ ＋ｘ ２ ｉａ３＋１ｔｂ＝ｘ ２ ｉｂ１＋１ ＋ｘ ２ ｉｂ３＋１ｘ ２ ｉａ０＋１ ＝ｓａ１＋ｔａｘ ２ ｉｂ０＋１ ＝ｓｂ１＋ｔｂｓａ１＝ｓａ１－ｔａｓｂ１＝ｓｂ１－ｔｂｘ ２ ｉａ２ ＝ ｒａ１ ｃｏａ２＋ｓａ１ ｓｉａ２ ＞＞１５ｘ ２ ｉｂ２ ＝ ｒｂ１ ｃｏｂ２＋ｓｂ２ ｓｉｂ２ ＞＞１５ｘ ２ ｉａ２＋１ ＝ ｓａ１ ｃｏａ２－ｒａ１ ｓｉａ２ ＞＞１５ ｘ ２ ｉｂ２＋１ ＝ ｓｂ１ ｃｏｂ２－ｒｂ１ ｓｉｂ２ ＞＞１５ ｔａ＝ｘ ２ ｉａ１＋１ －ｘ ２ ｉａ３＋１ｒａ１＝ｒａ２＋ｔａｒｂ１＝ｒｂ２＋ｔｂｒａ２＝ｒａ２－ｔａｒｂ２＝ｒｂ２－ｔｂｔａ＝ｘ ２ ｉａ１ －ｘ ２ ｉａ３ｔｂ＝ｘ ２ ｉｂ１ －ｘ ２ ｉｂ３ｓａ１＝ｓａ２－ｔａｓｂ１＝ｓｂ２－ｔｂｓａ２＝ｓａ２＋ｔａｓｂ２＝ｓｂ２＋ｔｂｘ ２ ｉａ１ ＝ ｒａ１ ｃｏａ１＋ｓａ１ ｓｉａ１ ＞＞１５ｘ ２ ｉｂ１ ＝ ｒｂ１ ｃｏｂ１＋ｓｂ１ ｓｉｂ１ ＞＞１５ｘ ２ ｉａ１＋１ ＝ ｓａ１ ｃｏａ１－ｒａ１ ｓｉａ１ ＞＞１５ ｘ ２ ｉｂ１＋１ ＝ ｓｂ１ ｃｏｂ１－ｒｂ１ ｓｉｂ１ ＞＞１５ ｘ ２ ｉａ３ ＝ ｒａ２ ｃｏａ３＋ｓａ２ ｓｉａ３ ＞＞１５ｘ ２ ｉｂ３ ＝ ｒｂ２ ｃｏｂ３＋ｓｂ２ ｓｉｂ３ ＞＞１５ｘ ２ ｉａ３＋１ ＝ ｓａ２ ｃｏａ３－ｒａ２ ｓｉａ３ ＞＞１５ ｘ ２ ｉｂ３＋１ ＝ ｓｂ２ ｃｏｂ３－ｒｂ２ ｓｉｂ３ ＞＞１５ｉｅ＜＜＝２。
