2019届湖南省常德市高三上学期检测考试数学(理)试题(word版)

……○……学校:____……○……绝密★启用前【市级联考】湖南省常德市2019届高三上学期检测考试数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ） A ．B ．C ．D ．2．已知复数是虚数单位 ，则z 的实部为 A ．B ．C ．D ．3．如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入黑色部分的有300个点，据此可估计黑色部分的面积为 （ ）A ．17B ．16C ．15D ．144．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 ， ，则输出 的值为（ ）………外…………○……………线…………○……※※请………内…………○……………线…………○……A ．B ．C ．D ．5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第 天所织布的尺数为 ，则 的值为（ ） A ．56 B ．52 C ．28D ．266．已知函数 的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数 的图象，则下列区间为 的单调递增区间的是（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）线…………○……线…………○……A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线的右焦点为 ， 以 为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线 的某一条渐近线交于两点 ，若 （其中 为原点），则双曲线 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知 是 上的偶函数，，当时， ，则函数 的零点个数是（ ） A ．12B ．10C ．6D ．512．已知 的三个内角 、 、 所对的边为 、 、 ，面积为 ，且，则 等于（ ） A ．B ．C ．D ．…外…………○……※※请※…内…………○……第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设向量 ， ，且 ，则______． 14．已知 ， ，且 满足，若 的最大值为_____．15．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中 的二项式系数为_______.16．已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 为抛物线准线上相异的两点，且 两点的纵坐标之积为-4，直线 ， 分别交抛物线于 ， 两点，若A ，B ，F 三点共线，则 _______. 三、解答题17．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ，数列 的前 项和为 . （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．18．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上一动点（异于点 、 ）， 为线段 上一动点，且 .（Ⅰ）求证：平面 平面 ；（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.19．某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当表所示：根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：（同组数据以这组数据的中间值作代表）（Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为 的渔船单次出海的捕鱼量的平均数 ；（Ⅱ）已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘，若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，若以（Ⅰ）中确定的 作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.①请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率； ②设今后3年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为 ，求 的分布列和期望. 20．已知椭圆的离心率为， ， 为椭圆的左、右焦点，过右焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，且 的周长为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）若点A 是第一象限内椭圆上一点，且在 轴上的正投影为右焦点 ，过点 作直线 分别交椭圆于 两点，当直线 的倾斜角互补时，试问：直线 的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由. 21．已知函数 . （Ⅰ）讨论 的单调性；22．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），. 以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）写出曲线与圆的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.23．已知函数，.(Ⅰ)当，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数满足，且恒成立，求的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．C【解析】【分析】利用面积比列方程，解方程求得黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为，则，故选C.【点睛】本小题主要考查面积测算的问题，考查方程的思想，属于基础题.4．B【解析】【分析】运行程序进行计算，当时，退出程序，输出的值.【详解】运行程序，，，判断否，，判断否，，判断是，输出，故选B.【点睛】本小题主要考查计算程序框图输出结果，考查运算求解能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】根据题意设出等差数列的公差，然后利用前项和列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【详解】等差数列的首项，设公差为，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题.6．A【解析】【分析】由图像变换知识可得，求出其单调增区间即可.【详解】函数，向左平移个单位长度，可得再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，，令2kπ ≤2kπ，k Z，当k＝0时，函数y＝g（x）的一个单调递增区间为：[，]．故选：A．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+∅）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．7．A【解析】【分析】先判断出小于零的数，然后判断出到之间的数，最后判断出大于的数，由此得出的大小关系.【详解】由于，，，故，故选A.【点睛】本小题主要考查对数比较大小，考查“，”分段法，属于基础题.8．A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项. 【详解】，定义域为，，故函数为奇，排除D选项，故选A. 函数，图像关于原点对称，排除两个选项.π π ππ【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.9．C【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.【详解】等边三角形的高为，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为πππ，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.10．D【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为y x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由，可知H为OQ的三等分点，用两种方式表示OH，即可得到双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为y x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由F（c，0）到渐近线的距离为FH=d b，∴PH=，又∴OH=即，∴故选：D【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．11．B【解析】【分析】函数的零点个数即函数与y=的图象的交点个数，数形结合即可得到结果.【详解】由，可得，即π ，故函数的周期为π，作出函数与y=的图象由图可知：当x＞0时，有5个交点，又函数与y=均为偶函数，∴函数的零点个数是10个.故选:B【点睛】本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题．12．C【解析】【分析】利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.【详解】∵∴即∴∴∴，∴或（舍）∴故选：C【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．13．【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】，由于，所以，即，解得，故.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.14．8【解析】【分析】画出可行域，向下平移到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．10【解析】【分析】由的展开式的各项系数和为243，可得n＝5，借助二项式展开式的通项公式可得结果.【详解】令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．∴的通项公式为．，，令，则∴展开式中的二项式系数为故答案为：10．【点睛】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．2【分析】设，，，，分别求出A与B的坐标，结合A，B，F三点共线可得结果. 【详解】设，，，，则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，解得：，故A点坐标为：，同理可得：B点坐标为：，又，，∴，，，又A，B，F三点共线，∴∴，由∴，即又∴，∴故答案为：2【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查转换能力与计算能力，是中档题．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.（Ⅰ）设等比数列的公比即，解得：或，又的各项为正，，故（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得..,.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）要证平面平面，转证平面，即证，；（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I）证明：因为，为线段的中点，所以，在直三棱柱中，易知平面，，而；平面，；又因为，；所以平面，又平面；所以平面平面；（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，因为所以，则，，设，所以，因为，，所以，，解得：（异于点） ,设平面的法向量为，则即，可取，设直线与平面所成角为，则 ,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．19．（Ⅰ）16吨；（Ⅱ）①；②.【解析】（Ⅰ）根据频数分布表计算单次出海的捕鱼量的平均数；（Ⅱ）①设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为，利润为,可得捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天，从而可得结果；②由题可知：随机变量的可能取值为0，1，2，3，且∽， ,从而可得的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：吨.（Ⅱ）①设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为，则年利润为,由得： ,一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天的频率为预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为.②由题可知：随机变量的可能取值为0，1，2，3，且∽， ,,,,,的分布列为：.本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求出a，b,即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）依题意知，点，设，直线的方程为：，联立方程可得，利用韦达定理表示G 点坐标，同理可得：，），从而得到结果.【详解】（Ⅰ）由题设知，由椭圆的定义知：的周长为，解得.故因此，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：依题意知，点，设直线的方程为：，联立，得，则，即，又，即，）又直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为同理可得：，），因此，直线的斜率为为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21．（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）要证, 即证；即证, 构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】（Ⅰ），；当时，，在上单调递增；当时，令，得，令，得；所以，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为 .（Ⅱ）要证即证即证；即证；令，构造函数，则，所以在上单调递增;，即成立，所以成立，所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，是中档题．22．（I）,；（II）.【解析】【分析】（I）将曲线的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为，将代入曲线和圆的极坐标方程，求得，，由此求得的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得的最大值. 【详解】(Ⅰ)曲线的普通方程为，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：，即. 曲线的极坐标方程为： . (Ⅱ)因为与以点为顶点时，它们的高相同，即 ,由(Ⅰ)知，，所以,由得，所以当即时，有最大值为, 因此的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.23．(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第1页（共6页）第2页（共6页） 2019届湖南省常德市第一中学 高三第一次水平考试理科数学试题 数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 1．已知集合，,则 A ．B ．C ．D ．2．设，则等于 A ．B ．C ．D ． 0 3．已知，且是函数的零点，则对于函数，下列说法正确的是 A ．； B ．； C ．； D ．4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A ． 10B ． 30C ． 24D ． 60 5．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且是R 上的奇函数，则函数在上的最小值为 A ．B ．C ．D ．6．已知命题p ：不等式的解集为，命题q ：是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是 A ． 1≤m≤2 B ． 1≤m<2 C ． 1<m≤2 D ． 1<m<2 7．已知，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A ．或 B ．或 C ．或 D ．或 8．若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为 A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 9．设函数的两个极值点分别为，若，，若恒成立，则实数的取值范围为 A ．B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，是圆O 的内接正三角形，当绕着圆心O 旋转时，的最大值是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．B．C．D．11．设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A 取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则（）A．B．C．D．12．已知函数（其中为实数）的图象在处的切线与轴平行，.且对任意，存在，使得，则实数的最小值（其中为自然对数的底数）为A．B．C．1 D．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线，围成的封闭图形面积为________．14．函数图象上点处的切线与直线：平行，则=__________．15．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，,若为数列中的项，则所有的正整数的取值集合为_________．16．定义域为的函数的图象的两个端点为A,B,且M 是图象上任意一点，其中，为实数，为坐标原点，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶相近”．若已知函数在上“阶相近”，则实数的最小值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某校高三数学竞赛考试后，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人.（1）请估计这组数据的平均数；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）所有人中任意选出两人，形成帮扶小组. 若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.18．在中,分别是角的对边，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.19．如图，、分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试求.20．已知圆C ：.第3页（共6页）第4页（共6页）(1)若直线在y轴上的截距为0且不与x轴重合，与圆C 交于，试求直线:在x轴上的截距;（2）若斜率为1的直线与圆C交于D,E 两点，求使面积的最大值及此时直线的方程.21．已知函数满足，且当时，，时，的最大值为.（1）求实数的值；（2）是否存在实数使得不等式对于时恒成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.22．已知函数与（为常数）的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）对于函数和公共定义域内的任意实数，我们把的值称为两函数在处的“瞬间距离”.则函数与的所有“瞬间距离”是否都大于2？请加以证明.第5页（共6页）第6页（共6页）2019届湖南省常德市第一中学高三第一次水平考试理科数学试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】先化简集合B,根据集合的交并运算即可解决.【详解】由可得，故，所以，选D.【点睛】本题主要考查了指数不等式及集合的交并运算，属于容易题.2．C【解析】【分析】由定积分性质知，即可计算其值.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查了定积分及定积分的性质，属于中档题.3．C【解析】【分析】因为是函数的零点，所以，又图象开口向下，所以是最大值.【详解】因为是函数的零点，所以，又图象开口向下，且对称轴，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点，二次函数的最值，属于中档题.解题关键是一次函数的零点恰好是二次函数对称轴的横坐标，从而是最大值.4．C【解析】【分析】由三视图可知，几何体为底面是直角三角形的直三棱柱去掉了一个三棱锥，故可求其体积.【详解】由三视图可知，几何体为底面是直角三角形的直三棱柱去掉了一个三棱锥,如图所示【点睛】本题主要考查了三视图及棱柱与棱锥的体积，属于中档题.5．A【解析】【分析】因为的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，所以是奇函数，故，故，从而可求解.【详解】第1页（共16页）第2页（共16页）因为的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，所以是奇函数，且，故，所以，当时，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，三角函数的奇偶性以及三角函数值域的求法，属于中档题.解决此类平移问题，需要特别注意，平移的量是变化在自变量x 上的，左移变为而不是.6．B【解析】【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题,可知p真q假或p假q真，化简p,q为真时，对应m的取值范围，然后按p真q假或p假q真求解即可.【详解】若p 为真时，，即，若q 为真时，，即，若p∨q为真命题，p∧q为假命题,可知p真q假或p假q真，当p真q 假时，，无解，若p假q 真时，，即，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．D【解析】【分析】对函数求导，，由函数在上单调递减，可知在区间上恒成立即可求解.【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，只需，即解得或，故选D.【点睛】本题主要考查了导数、函数的单调性，二次函数的性质及不等式的恒成立问题，属于难题.解决三次函数的单调性问题，一般要考虑求导数，利用导数研究函数的单调区间或者是求参数的取值范围，若函数在某区间单调，则转化为函数的导数在区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立.8．B【解析】【分析】由知函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点为8个.【详解】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的周期性，函数的图象及利用图象判断函数零点个数，属于中档题.处理函数零点个数问题，可以转化为判断两个函数图象交点个数问题，在同一坐标系内分别画出图象，容易看出交点个数.9．C【解析】第3页（共16页）第4页（共16页）【分析】求导函数，利用的两个极值点分别为，，，建立不等式，利用平面区域，即可求出的取值范围.【详解】由题意，，因为的两个极值点分别为，，，所以，对应可行域如下图：三个顶点坐标，当过时，，所以，故即可，故选C.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.10．D【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积求得，再求得的范围.【详解】由题意，，又，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦函数的值域，属于中档题.11．A【解析】【分析】由题意，的任意非空子集A 共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n 的子集有个，不含n 含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k.利用错位相减法求出其和.【详解】由题意，的任意非空子集A 共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n 的子集有个，不含n 含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为为集合A中的最大元素所以，错位相减可得，所以=，故选A.【点睛】解决此类问题的关键是读懂并弄通题意，找出规律是关键，然后结合数列求和，采用错位相减法即可求出.12．A【解析】【分析】问题等价于，通过讨论b 的范围，求出的最小值，从而求出的最小值即可.【详解】因为（其中为实数）的图象在处的切线与轴平行，所以，因为在是增函数，在上是减函数，而，所以时，，，因为原不等式可转化为，所以应存在，使得即可，当时，不合题意，当时是上的减函数，第5页（共16页）第6页（共16页），故，当，，故，综上，故选A.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论的思想以及导数的应用，属于难题.熟练掌握导数的综合应用是解答此类问题的关键.13．【解析】试题分析：考点：曲边图形的面积与定积分的计算．14．【解析】【分析】根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，又切线与平行，即可求出k.【详解】, 所以，，故填.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，利用导数求切线的斜率，属于中档题.15．【解析】【分析】设等差数列首项和公差，联立方程组，求出通项公式，化简，令其等于，令，化简得，所以为偶数且且为奇数，可得出b的取值，利用b值求出m的值.【详解】由得：，由得：，联立解得，所以，，令，得到，所以为偶数且且为奇数，故或，进而得到或，当时，n 不为整数，舍去，故.【点睛】本题主要考查了学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，等差数列的性质，属于中档题.16．【解析】【分析】先根据条件得出M,N的横坐标，再将恒成立问题转化为函数最值问题.【详解】由已知，,,，点M的横坐标，，纵坐标，令，故而，，且，故，而不等式，即恒成立，故k 的最小值为【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，基本不等式，属于难题.解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略.第7页（共16页）第8页（共16页）17．（1）113分；（2）.【解析】试题分析：(1)由条件易得总人数为40，平均数等于各小矩形底边中点横坐标与小矩形面积的乘积之和求得M＝113.(2)依题意第一组共有4人，第五组共有2人，从第一组和第五组中任意选出两人共有15种选法,选出的两人为“黄金搭档组”,若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故概率为.试题解析：设90～140分之间的人数为n，由130～140分数段的人数为2，可知0.005×10×n＝2，得n＝40.(1)平均数M＝95×0.1＋105×0.25＋115×0.45＋125×0.15＋135×0.05＝113.(2)依题意第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1，A2，A3，A4；第五组共有2人，记作B1，B2. 从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1，B2}．设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法：{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A4，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{A4，B2}，故P(A)＝.考点：1.频率分布直方图;2.古典概型的概率计算18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数之间的关系，整理求出的值，进而求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简即可；（Ⅱ）利用余弦定理表示出,利用完全平方公式变形后，求出，代入三角形面积公式即可.【详解】（Ⅰ）由得：，又（Ⅱ）由余弦定理得：.又，，【点睛】此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题.19．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】在线段上取中点，连结、，可证明四边形是平行四边形,从而得证（2）易知,过点E 作于,连接,则为二面角的平面角，即【详解】（1）在线段上取中点，连结、.第9页（共16页）第10页（共16页）第11页（共16页） 第12页（共16页） 则，且，∴是平行四边形 ∴，又平面，平面，∴平面.(2)易知,过点E 作于,连接,则为二面角的平面角，即,求其正切即可.在中，由等面积法可知斜边上的高为,则,又,在中，.故为所求. (法二：坐标法，利用空间向量)【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直，二面角，涉及中位线，三角函数的计算等，属于中档题.20．（1）；（2）的最大值为2，直线的方程为或.【解析】【分析】（1）根据题意设直线：，联立消元可得，，化简，即可写出直线m （2）设直线的方程：，利用圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求出弦长，写出三角形面积求最值即可.【详解】 （1）圆C ：，设直线：，联立，则有：，故， 则，故直线:， 令，得为直线在x 轴上的截距. (2) 设直线的方程：，则圆心C 到直线的距离为. 弦长，则面积的为：，（当且仅当，即或时取“=”）. 故的最大值为2，此时直线的方程为或. 【点睛】 本题主要考查了圆、圆与直线的位置关系，均值不等式，属于难题.解决面积最值问题，一般要先表示出三角形的面积，然后根据表达式选择合适的求最值方法，本题采用了均值不等式求最值的方法. 21．（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用函数性质可得，求导分析函数单调性，求其最大值即可（2）由原不等式可转化为，构造函数，利用导数求其最大值，当时，，令可求其最小值，，所以可求出b=1. 【详解】（1）由已知得：∴∴∴∴当，当，∴，∴（2）由（1）可得：时，不等式，即为恒成立，当时，，令则令，则当时，，递增∴，∴，递增∴，故此时只需即可；当时，，令则令，则当时，∴，∴，递增∴，故此时只需即可.综上所述：，因此满足题中的取值集合为：【点睛】本题主要考查了函数的性质，利用导数求函数的单调性，构造函数利用单调性证明不等式，属于难题.22．（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的切线平行，利用导数相等可求出c ，则原不等式可转化为，只需求的最大值即可（2）由题意=，只需分析其值大于2即可，构造函数可证，构造并证明，利用不等式传递性即可证出.【详解】（1）函数只与轴交于点，只与轴交于点.而，，由得，又由已知显然，故，，.那么，不等式可化为（）令，则，，又，，故，，则在递减，，要使（）有解，则应有.（2）与的公共定义域为，且=令，则，在递增，，即①第13页（共16页）第14页（共16页）同理，令，则，当时，，递减；当时，，递增.故，即②由①②知，，故.故函数与的所有“瞬间距离”都大于2.【点睛】点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.第15页（共16页）第16页（共16页）。

湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案常德市2017-2018学年度上学期高三数学（文科）检测考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4,5\}$，则$A\cap B$中元素的个数为（）。

A．2.B．3.C．4.D．5.2.在复平面内，复数$z=1+2i$（$i$为虚数单位）对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限。

B．第二象限。

C．第三象限。

D．第四象限。

3.在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为1,2,3,4,5的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（）。

A．$\frac{1}{10}$。

B．$\frac{1}{5}$。

C．$\frac{2}{5}$。

D．$\frac{1}{2}$。

4.元朝著名数学家XXX《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着XXX走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的$x=$，那么在这个空白框中可以填入（）。

A．$x=x-1$。

B．$x=2x-1$。

C．$x=2x$。

D．$x=2x+1$。

5.已知向量$a=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1)$，若满足$a\parallel b,b\perp(a-c)$，则向量$a$的坐标为（）。

A．$(\frac{5}{11},\frac{5}{11})$。

B．$(-\frac{5}{11},-\frac{5}{11})$。

C．$(\frac{6}{11},\frac{3}{11})$。

D．$(\frac{5}{11},\frac{6}{11})$。

湖南省常德市2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈N|x≥1}，集合A={x∈N|x2≥3}，则∁U A=（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}2．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．24．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（0＜X＜2）=0.4，则P（X≤0）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.25．已知函数，则=（）A．﹣sin1 B．sin1 C．﹣1 D．16．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．907．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．8．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．9．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．不等式组的解集记为D，，有下面四个命题：p1：∀（x，y）∈D，z≥1；p2：∃（x，y）∈D，z≥1p3：∀（x，y）∈D，z≤2；p4：∃（x，y）∈D，z＜0其中的真命题是（）A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p311．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B．3πC．6πD．24π12．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f（2019）=．14．已知（1﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则|a0|+|a1|+…+|a6|=．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足：=2，=0，则该双曲线的离心率是．16．在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2019常德一模）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足3S n﹣4a n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n为{b n}的前n项和，求证：．18．（12分）（2019常德一模）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）（2019常德一模）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．20．（12分）（2019常德一模）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．21．（12分）（2019常德一模）已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数无零点，求k的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2019常德一模）如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：ABCB=CDCE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019常德一模）已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2019常德一模）己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．2019年湖南省常德市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈N|x≥1}，集合A={x∈N|x2≥3}，则∁U A=（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】直接利用集合的补集求解即可．【解答】解：全集U={x∈N|x≥1}，集合A={x∈N|x2≥3}，则∁U A={1}．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，补集的求法，是基础题．2．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的乘法运算法则化简求解，求出复数的对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：z=1﹣2i，则复数=1﹣2i+i（1+2i）=-1﹣i，复数对应点的坐标（-1，﹣1）在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是基础题．3．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【分析】由条件即可得到，且夹角为，从而进行数量积的运算便可求出，从而便可得出的值．【解答】解：根据题意，，；∴=；∴．故选：A．【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．4．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（0＜X＜2）=0.4，则P（X≤0）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（X≤0）=（1﹣P（0＜X＜2））=×（1﹣0.4）=0.3．故选：C．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．5．已知函数，则=（）A．﹣sin1 B．sin1 C．﹣1 D．1【分析】利用分段函数、三角函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=1，=f（1）=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．6．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．8．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=﹣1．圆C半径r=2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，把x=﹣1代入圆C，得P （﹣1，2）；当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，由圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得Q（，），由此能求出|PQ|．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0的圆心（1，2），半径r==2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，圆心C（1，2）到x=﹣1的距离为2，成立，把x=﹣1代入圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，得y=2，∴P（﹣1，2），当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d==，解得k=，∴切线方程为y=（x+1）﹣1，即5x﹣12y﹣7=0，联立，得169x2﹣598x+529=0，解得x=，y=，∴Q（，），∴|PQ|==．故选：D．【点评】本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．9．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【分析】使用两角和差的三角函数公式化简函数解析式．【解答】解：y=[（cosx﹣sinx）﹣][（cosx﹣sinx）+]=（cosx﹣sinx）2﹣=﹣sin2x．∴函数y的周期T=．∵y=sinx是奇函数，∴y=﹣sin2x为奇函数．故选A．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．10．不等式组的解集记为D，，有下面四个命题：p1：∀（x，y）∈D，z≥1；p2：∃（x，y）∈D，z≥1p3：∀（x，y）∈D，z≤2；p4：∃（x，y）∈D，z＜0其中的真命题是（）A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p3【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．【解答】解：不等式组的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率，可知（﹣1，﹣1）与C连线的斜率最小，与B连线的斜率最大．可得C（2，1）．最小值为：=，z≥，由，解得x=1，y=3，B（1，3）．最大值为：=2．z≤2．可得选项p2，p3正确．故选：D．【点评】本题考查线性规划的解得应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B．3πC．6πD．24π【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，直观图如图所示：且长方体的长、宽、高分别是1、1、2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球与长方体的相同，设该几何体外接球的半径是R，由长方体的性质可得，2R==，解得R=，∴该几何体外接球的表面积S=4πR2=6π，故选：C．【点评】本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．12．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【分析】由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，根据题意可得：a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a ﹣0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f（2019）=4．【分析】由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得f（2019）=f（2），代值计算可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2x，∴f（2019）=f（2）=22=4，故答案为：4．【点评】本题考查函数的周期性，涉及指数的运算，属基础题．14．已知（1﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则|a0|+|a1|+…+|a6|=64．【分析】根据二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=﹣1即可求出结论．【解答】解：，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，∴令x=﹣1，得（1+1）6=a0﹣a1+a2﹣…+a6=26=64，即|a0|+|a1|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣…+a6=64．故答案为：64．【点评】本题考查了用赋值法求二项式展开式的各项系数和的应用问题，是基础题目．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足：=2，=0，则该双曲线的离心率是2．【分析】由中点的向量表示形式可得F为AB的中点，=0可得MA⊥MB，由△ABM为等腰直角三角形，可得tan45°=，即有b2=a（c+a），由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由=2，=0可得：F为AB的中点，MA⊥MB，由双曲线的对称性，可得AB⊥x轴，令x=c，可得y=±b=±，由△ABM为等腰直角三角形，可得：tan45°===1，即有b2=a（c+a），即（c﹣a）（c+a）=a（c+a），可得c﹣a=a，即c=2a，即有e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面向量共线定理和向量垂直的条件，考查等腰三角形的性质，属于中档题．16．在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为8．【分析】由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．可得：当BD经过AC的中点O时取最大值，利用余弦定理可得：OB，可得BD的最大值=OB+ AC．【解答】解：由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．∴点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．∴当BD经过AC的中点O时取最大值，OB2=32+72﹣2×3×7cos∠BAC=25，解得OB=5，∴BD的最大值=5+AC=8．故答案为：8．【点评】本题考查了余弦定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2019常德一模）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足3S n﹣4a n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n为{b n}的前n项和，求证：．，数列{a n}是首项为a1=2，公比为4【分析】（Ⅰ）当n=1，a1=2，当n≥2，求得a n=4a n﹣1的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出，（Ⅱ）写出{b n}的通项公式，b n=2n﹣1，及前n项和T n=n2，采用裂项法，化简=＜2．【解答】解：（Ⅰ）由3S n﹣4a n+2=0，令n=1，可得：a1=2；…（2分）当n≥2时，可得（3S n﹣4a n+2）﹣（3S n﹣1﹣4a n﹣1+2）=0⇒a n=4a n﹣1…（4分）所以数列{a n}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：=22n﹣1…（6分）（Ⅱ），T n=1+3+…+（2n﹣1）=n2…（8分）≤…（11分）==＜2…（12分）【点评】本题考查求数列通项公式及前n项和公式，属于中档题．18．（12分）（2019常德一模）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数．（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人，随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及随机变量X的数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，故m=0.0025，n=0.0035．…（3分）所求平均数为：（元）…（5分）（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人…（7分）随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，…（9分）所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E（X）=…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2019常德一模）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【分析】（Ⅰ）若AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）建立坐标系，根据二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，∵∠ADC=60°，∴AC=2，则AA1=λAC=2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则=（2，﹣2，﹣2λ），=（2，0，0），=（0，2，0），设面CA1D的一个法向量为=（1，0，0）．则=2x﹣2y﹣2λz=0，=2x=0，则x=0，y=﹣λz，令z=1，则y=﹣λ，则=（0，﹣λ，1）设面A1DC1的一个法向量为=（x，y，z）=2x﹣2y﹣2λz=0，=2y=0，则y=0，2x﹣2λz=0，令z=1，则x=λ，则=（λ，0，1），∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，∴cos＜，＞===，即（1+λ2）（1+3λ2）=8，得λ=1，即AA1=AC，则三棱锥C1﹣A1CD的体积V=V===4．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．20．（12分）（2019常德一模）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．【分析】（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，由此能求出椭圆C1的标准方程；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，由此能求出抛物线C2的标准方程．（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…（3分）又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（5分）（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…（6分）即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…（7分）将x1+x2和x1x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…（8分）联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…（10分）经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…（12分）【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2019常德一模）已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数无零点，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）可得g（x），函数g（x）无零点，即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数．对k讨论，运用单调性和函数零点存在定理，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，又由题意有：，故．此时，由f'（x）≤0⇒0＜x＜1或1＜x≤e，所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e]．（Ⅱ），且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要函数g（x）无零点，即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数．①当k≤0时，h'（x）＜0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，所以函数h（x）在（0，1）内单调递减，h（x）在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点，在（1，+∞）内也无零点，故满足条件；②当k＞0时，，（1）若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；（2）若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，所以x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点，满足条件；（3）若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，所以在及（1，+∞）内均无零点．又易知，而h（e﹣k）=k（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2，又易证当k＞2时，h（e﹣k）＞0，所以函数h（x）在内有一零点，故不满足条件．综上可得：k的取值范围为：k≤0或k=2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2019常德一模）如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：ABCB=CDCE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：ABCB=CDCE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FAFC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…（2分）∴，∴ACCB=CDCE又AB=AC，∴ABCB=CDCE．…（5分）（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…（7分）设AC=x，则根据切割线定理有FAFC=FB2∴x2x=8，∴x=2，∴．…（10分）【点评】本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和切割线定理等知识点，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019常德一模）已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．【点评】本题考查直角坐标和极坐标的互化，直线方程的求法和运用，同时考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2019常德一模）己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f （x ）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤a ﹣有解，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将f （x ）写成分段函数式，讨论x 的范围，解不等式，求交集即可得到所求解集；（Ⅱ）关于x 的不等式f （x ）≤a ﹣有解，即为f （x ）min ≤a ﹣，运用一次函数的单调性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|2x +1|﹣|x ﹣1|=，当x ≥1时，x +2＜2，即x ＜0，可得x ∈∅；当﹣＜x ＜1时，3x ＜2，即x ＜，可得﹣＜x ＜；当x ≤﹣时，﹣x ﹣2＜2，即x ＞﹣4，可得﹣4＜x ≤﹣．综上可得，不等式的解集为（﹣4，）；（Ⅱ）关于x 的不等式f （x ）≤a ﹣有解，即为：f （x ）min ≤a ﹣，由x ≥1时，x +2≥3；﹣＜x ＜1时，﹣＜3x ＜3：x ≤﹣时，﹣x ﹣2≥﹣． 可得f （x ）min =﹣， 即有a ﹣≥﹣，解得﹣1≤a ≤3．即有a 的取值范围是[﹣1，3]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用零点分区间法，考查不等式有解的条件，注意运用转化思想，求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。

湖南省常德市临第一中学2019年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）在实数集上是减函数，若a+b≤0，则下列正确的是( )A．f（a）+f（b）≤﹣[f（a）+f（b）] B．f（a）+f（b）≤f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）D．f（a）+f（b）≥﹣[f（a）+f（b）]参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由a+b≤0，知a≤﹣b，b≤﹣a，由f（x）在实数集上是减函数，f（a）≥f（﹣b），f（b）≥f（﹣a），由此能求出结果．【解答】解：∵a+b≤0，∴a≤﹣b，b≤﹣a，∵f（x）在实数集上是减函数，∴f（a）≥f（﹣b），f（b）≥f（﹣a），两式相加，得f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．故选C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心在坐标原点，边长为，平行于轴，直线(为常数)与正六边形交于两点，记的面积为，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与有关参考答案：B略3. 已知是奇函数，则（）A. 12B.14 C.10 D.-8参考答案：B4. 在等比数列中，、是方程的两个根，则的值为( )A. B. C.D.参考答案：B5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7参考答案：C【分析】先判断是否成立，如果成立，进入循环体，直至，退出循环体，输出. 【详解】，故选C. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图，找到退出循环体的条件很是重要.6. “a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分条件也不是必要条件参考答案：A7. 已知两条直线：y=m和：y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b ,当m变化时，的最小值为( ) A．16 B. 8 C.D.参考答案：D8. 函数的零点个数为A．个B．个C．个 D．个参考答案：C略9. 设集合，，则等于（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：由，得，解得，由，得，因此，故答案为A.考点：1、指数不等式的应用；2、集合的交集.10. 已知a>0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，a=A. B. C. 1 D. 2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数，满足约束条件，则的最大值为．参考答案：12. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．13. 已知满足：，若的最大值为2，则．参考答案：略14. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .参考答案：15. 已知数列{a n}的首项，其前n项和为S n．若，则a n= ．参考答案：【详解】已知数列的前项和的关系，要求项，一般把已知中的用代换得，两式相减得，又，，所以数列从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为．16. 已知集合，则集合.参考答案：17. 设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是．参考答案：a＜﹣1且a≠﹣2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）=的图象，从而利用数形结合知x2+ax+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；从而解得．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，∴x2+ax+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1；故1+a+b=0，故b=﹣a﹣1，故x2+ax+b=x2+ax﹣1﹣a=（x﹣1）（x+1+a）=0，故﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；故a＜﹣1且a≠﹣2；故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．点评：本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了因式分解的应用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省常德市官垸中学2019年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若（）A. B. C. D. 参考答案：C2. 设为虚数单位，则复数等于（）A．B．1－C．－1＋D．－1－参考答案：C略3. 已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式求得sin（α+）=﹣，再利用二倍角的余弦公式求得cos（2α+）的值．【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．4. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 若实数x、y满足，且z=3x﹣y，则z的最大值为（）A．B．﹣C．9 D．﹣3参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A（3，0）时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=3x﹣y得z=2×3﹣0=9．即目标函数z=3x﹣y的最大值为9．故选：C．6. 已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7. 复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+z等于（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： +z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．故选：A．8. 若，，，则a，b，c的大小关系为A．B．C．D．参考答案：A由于，即.由于，即.所以，故选A.9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：AS2·3·故选择A。

2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1＜x≤9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（3，9）C．[3，9]D．∅2．（5分）已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．5．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α7．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．ln10B．2ln3C．ln7D．3ln28．（5分）已知函数f（x）＝3|x﹣a|+2，且满足f（5+x）＝f（3﹣x），则f（6）＝（）A．29B．11C．3D．59．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，F A为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．810．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x ＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣211．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624B．1198C．1024D．156012．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：①AC⊥BD；②MN∥平面ABD；③三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为；④AD与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a3＝36，则a2＝．14．（5分）已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．15．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）16．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2＝2sin ∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（3a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求sin B；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣E的余弦值．19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转，交曲线C于点N，求|OM|•|ON|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x﹣2；（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1＜x≤9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（3，9）C．[3，9]D．∅【分析】根据交集补集的定义即可求出．【解答】解：∵A＝{x|x≥3}，∴∁R A＝{x|x＜3}，∵B＝{x|1＜x≤9}，∴（∁R A）∩B＝{x|1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．【解答】解：∵，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：因为，，，所以b＜c＜a，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性得出结论．【解答】解：因为，所以它的最小正周期为＝π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题．5．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A．B．C．D．【分析】骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，由此能求出所求事件的概率．【解答】解：骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，故所求事件的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．【解答】解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误．对于选项B选项中，α，β也可能平行或相交；故错误．对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α．故错误．对于选项C，由于m⊥α，n⊥β，则，直线m和n可以看做是平面α和β的法向量，由于α⊥β，所以m⊥n，故正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行之间的转换，主要考查学生的转换能力及思维能力和空间想象能力，属于基础题型．7．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．ln10B．2ln3C．ln7D．3ln2【分析】模拟运行程序框图中的程序，即可得出S的算式，计算即可．【解答】解：运行程序框图中的程序，可得S＝ln+ln+ln+…+ln＝ln×××…×＝ln8＝3ln2．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝3|x﹣a|+2，且满足f（5+x）＝f（3﹣x），则f（6）＝（）A．29B．11C．3D．5【分析】根据题意得到f（x）关于x＝4对称，求出a，再代入x＝6，求出即可【解答】解：因为f（5+x）＝f（3﹣x），所以f（x）的图象关于x＝4对称，所以x＝4时，3|4﹣a|＝1，a＝4，f（6）＝3|6﹣4|+2＝9+2＝11，故选：B．【点评】考查函数对称性，求函数的解析式，函数求值，中档题．9．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，F A为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．8【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．【解答】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD．由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°．因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x ＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣2【分析】依题意，可求得x＜0时的解析式为f（x）＝﹣xln（﹣x）+1，求导，可得曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线的斜率，继而可得答案．【解答】解：因为函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣xln（﹣x）+1，所以f（﹣1）＝1，又f'（x）＝﹣ln（﹣x）﹣1，所以f'（﹣1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝﹣x．故选：A．【点评】本题考查利用导数求曲线某点的切线方程，利用导数求得切线的斜率是关键，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624B．1198C．1024D．1560【分析】设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n项自然数的平方和公式，计算可得所求．【解答】解：设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．易c n＝n，，进而得，所以，则，所以a n+1＝1+B n，所以a19＝1024．故选：C．【点评】本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：①AC⊥BD；②MN∥平面ABD；③三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为；④AD与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②④【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；则AC⊥OB，AC⊥OD，又OB∩OD＝O，所以AC⊥平面OBD，所以AC⊥BD，故①正确；因为MN∥BD，所以MN∥平面ABD，故②正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，V三棱锥A﹣CMN最大，最大值为V三棱锥A﹣CMN＝V三棱锥N﹣ACM＝××＝，故③错误；若AD与BC垂直，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，又BD⊥AC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥OB，因为OB＝OD，所以显然BD与OB不可能垂直，故④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：D．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a3＝36，则a2＝±6．【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比q，进而可求【解答】解：设{a n}的公比为q，由a1＝1，a3＝36，得q2＝36，所以q＝±6，故a2＝±6．故答案为：±6【点评】本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14．（5分）已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．【解答】解：∵向量，的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣，∴sinθ＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是112．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2＝2sin ∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为．【分析】根据椭圆和双曲线的定义结合条件，建立关于双曲线的离心率的方程，然后求出双曲线的离心率．【解答】解：设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，|F1F2|＝2c，由正弦定理，得．∵sin∠F1PF2＝2sin∠PF1F2，∴|F1F2|＝2|PF2|，∴|PF2|＝c．∵|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝2a1﹣c＝2a2+c，∴a1＝a2+c．又∵，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆、双曲线的定义，双曲线离心率的求法和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（3a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求sin B；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）先对已知等式边化角，在利用两角和的正弦公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为（3a+c）cos B+b cos C＝0，所以3sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，所以3sin A cos B＝﹣（sin B cos C+sin C cos B）＝﹣sin A．因为sin A＞0，所以，所以；（2）由余弦定理得，因为，所以，即3c2+2c﹣21＝（c+3）（3c﹣7）＝0，所以．所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题．18．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣E的余弦值．【分析】（1）先证明DC⊥平面BPC，得到BP⊥DC，再证明线面垂直即可；（2）以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BDP和平面EDP的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，且ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC，因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC，因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC，又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP；（2）解：根据题意，当点P位于BC的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D﹣BPC的体积也最大，不妨设BC＝2，记AD中点为G，以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，2），P（0，1，0），，设平面BDP的法向量为，则令x＝1，得，设平面DEP的法向量为，，令a＝2，得，所以cos＜＞＝，由图可知，二面角B﹣PD﹣E为锐角，故二面角B﹣PD﹣E的余弦值为．【点评】考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和性质定理，向量法求二面角的余弦值，中档题．19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．【分析】（1）由头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的概率为0.525，计算可得头胎为女孩的总户数和生二孩的总户数，可得2×2列联表，再由K2的计算公式可判断结论；（2）按照分层抽样的方法，计算可得X的可能取值为1，2，3，4．再由古典概率的计算公式，以及数学期望公式，计算可得所求．【解答】解：（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100．因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105．2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200K2＝＝＞3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝；P（X＝4）＝＝．X的分布列为X1234PEX＝1×+2×+3×+4×＝．【点评】本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意求出A，F2点的坐标，设M，N的坐标，求出直线MF2，AN的方程，两条直线联立求出交点B，代入椭圆方程恰好成立，证得B在椭圆上；（2）分直线n的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线n的方程，与直线m联立求出Q点的坐标，与椭圆联立，由题意判别式为0，可得参数之间的关系，及切点P的坐标，假设存在定点T，设T的坐标，由恒成立，则＝0，可得T的坐标的关系，与判别式等于0联立求出存在T使得恒成立．【解答】解：（1）证明：由题意知F2（1，0），A（4，0），设M（s，t），N（s，﹣t），则＝1，t2＝3（1﹣）．直线MF2的方程为y＝（x﹣1），直线AN的方程为y＝（x﹣4），联立可得x B＝，y B＝，即B的坐标为（，）．因为+＝＝＝＝1，所以B点恒在椭圆C上．（2）解：．当直线n的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n的方程为y＝kx+b，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得∠PTQ＝恒成立，则T一定在x轴上，故设T（x0，0），由可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0．因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以△＝64k2b2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝48（4k2﹣b2+3）＝0，可得b2＝3+4k2，所以x P＝﹣，y P＝kx P+b＝．又因为Q（4，4k+b），∠PTQ＝，所以＝（﹣﹣x0，）•（4﹣x0，4k+b）＝0，即（x0+）（x0﹣4）+＝0，所以x02﹣4x0+3+（4x0﹣4）＝0，对于任意的满足4k2﹣b2+3＝0 的k，b恒成立，所以解得x0＝1．故在平面内存在定点T（1，0），使得∠PTQ＝恒成立．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题．21．（12分）已知函数有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件，结合二次方程的根的存在条件即可求解；（2）结合（1）可先表示f（x）极小值+f（x）极大值，然后构造函数后结合导数即可求解；（3）结合二次方程根的存在条件及导数，及函数的性质进行推理论证可求．【解答】解：（1）f′（x）＝＝，x＞0，因为f（x）有两个不同的极值点x1，x2．所以x2﹣x+a＝0有两个不同的正根，故．（2）因为x1x2＝a，x1+x2＝1，不妨设x1＜x2，所以f（x）极小值＝f（x1），f（x）极大值＝f（x2），所以以f（x）极小值+f（x）极大值＝f（x1）+f（x2）＝lnx1x2+2（1﹣2a）+﹣（x1+x2）＝lna+2﹣4a．令t（a）＝lna﹣4a+2，则t′（a）＝＞0，所以t（a）在（0，）上单调递增，所以t（a）＜t（）＝1﹣2ln2，即f（x）的极大值与极小值之和的取值范围是（﹣∞，1﹣2ln2）．（3）由（2）知x1x2＝a，x1+x2＝1．因为m，n，，所以f（x）min＝f（x1），f（x）max＝f（x2），所以[f（m）﹣f（n）]min＝f（x1）﹣f（x2）＝ln+x2﹣x1+a×因为x1＝1﹣x2，所以[f（m）﹣f（n）]min＝ln+2（x2﹣1）＝ln（1﹣x2）﹣lnx2+4x2﹣2，（），令h（x）＝ln（1﹣x）﹣lnx+4x﹣2，（），则h′（x）＝+4＝，所以h（x）在（）上单调递减，h（x）无最小值，故f（m）﹣f（n）没有最小值．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值成立的条件的应用，还考查了考生的逻辑推理论证的能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转，交曲线C于点N，求|OM|•|ON|的最大值．【分析】（1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程是（α是参数），消去α得曲线C的普通方程为．所以C的极坐标方程为，即．（2）不妨设M（ρ1，θ），N（），θ∈[0，2π]，则|OM|•|ON|＝＝．当时，取得最大值，最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x﹣2；（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．【分析】（1）根据f（x）≤3x﹣2，分x＞3，﹣2≤x≤3和x＜﹣2三种情况分别解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值M，然后利用基本不等求出的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|，f（x）≤3x﹣2，∴当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+3≤3x﹣2，即，无解；当﹣2≤x≤3时，x+2﹣x+3≤3x﹣2，即，得；当x＞3时，x+2+x﹣3≤3x﹣2，即x≥1，得x＞3．故所求不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|≥|（x+2）﹣（x﹣3）|＝5，∴2a+3b＝5（a＞0，b＞0），则2a+1+3（b+1）＝9，∴＝＝≥．当且仅当，即时取等号．故的最小值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。