新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图像(第1课时)对数函数的性质与图

新教材人教B版2019版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章指数函数、对数函数与幂函数4. 1指数与指数函数4. 1. 1 实数指数幂及其运算4. 1. 2 指数函数的性质与图像4. 2对数与对数函数4. 2. 1对数运算4. 2. 2对数运算法则4. 2. 3对数函数的性质与图像4. 3指数函数与对数函数的关系4. 4幂函数4. 5增长速度的比较4. 6函数的应用(二)4. 7数学建模活动：生长规律的描述第四章 指数函数、对数函数与幂函数4. 1指数与指数函数4. 1. 1 实数指数幂及其运算一、根式1. n 次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得x n =a ，则x 称为a 的n 次方根.2. n 次方根的表示(n>1，且n∈N *)3. 根式的定义：当√a n 有意义的时候， √a n 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数.4. 根式的性质(n>1，且n∈N *) (1)( √a n )n =a.(2)当n 为奇数时， √a n n =a ；当n 为偶数时， √a n n =|a|.二、分数指数幂(1)正分数指数幂：一般地，如果n 是正整数，那么：当√a n 有意义时，规定a 1n =√a n ；当√a n 没有意义时，称a 1n 没有意义.对于一般的正分数m n ,也可作类似规定，即a m n =(√a n )m =√a m n {m,n∈N *,且mn为既约分数} (2)负分数指数幂：负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a -s =1a s . 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算法则1. a s a t =a s+t (a>0，s ，t∈Q).2. (a s )t =a st (a>0，s ，t∈Q).3. (ab)s =a s b s (a>0，b>0，s∈Q).四、实数指数幂1. 一般地，当a>0且t 是无理数时，a t 都是一个确定的实数. 因此，当a>0，t 为任意实数时，可以认为实数指数幂a t 都有意义. 有理数指数幂的运算法则同样适用于实数指数幂.五、根式与分数指数幂的化简、求值1. 利用根式的性质进行化简、求值的思路及注意点(1)思路：首先要分清根式为奇数次根式还是偶数次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.(2)注意点：正确区分√a n n 与(√a n )n 两式.√a n n (n>1，n∈N *)是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，a∈R，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制，不一定等于a. ( √a n)n (n>1，n∈N *)是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶决定，结果恒等于a. 2. 根式与分数指数幂运算的原则与技巧(1)将根式化为分数指数幂.(2)将负分数指数幂化为正分数指数幂的倒数.(3)底数是小数时，先将其化成分数；底数是带分数时，先将其化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算法则进行运算.注意：运算的结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数幂.六、指数幂的条件求值问题1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式的值.2. “整体代换法”是数学中变形与计算常用的方法，分析观察条件与结论中代数式的结构特点，灵活运用恒等式是关键. 常用的变形公式有：①a±2a 12b 12+b=(a 12±b 12)2；②(a 12+b 12)·(a 12-b 12)=a-b ；③a 32+b 32=(a 12+b 12)(a-a 12b 12+b)；④a 32-b 32=(a 12-b 12)(a+a 12b 12+b)；4. 1. 2 指数函数的性质与图象一、指数函数1. 一般地，函数y=a x称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.2. 指数函数解析式的结构特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；(3)a x的系数是1.二、指数函数的性质与图象函数y=a x(a>0且a≠1)a>1 0<a<1图象 性质定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶函数定点图象过定点(0，1)函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性增函数减函数注：指数函数y=a x与y=(1a)x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.2. 指数函数y=a x(a>0且a≠1)的底数a对图象相对位置的影响：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”；(2)在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”.三、比较指数幂的大小1. 指数幂比较大小的类型及方法(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断；(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断；(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，中间量常选用0或1.注：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据其与特殊值(常选用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小.四、解指数不等式1. 简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y=a x(a>0且a≠1)的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=a x(a>0且a ≠1)的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助函数y=a x与y=b x(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的图象求解；(4)形如a2x+b·a x+c>0(或<0)的不等式，可利用换元法，将其转化为不含指数的不等式.五、与指数函数有关的函数的定义域、值域1. 求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=a f(x)型还是y=f(a x)型. (1)当函数是y=a f(x)(a>0且a≠1)型时，由于指数函数y=a x(a>0且a≠1)的定义域是R，所以函数y=a f(x)的定义域与f(x)的定义域相同.(2)当函数是y=f(a x)(a>0且a≠1)型时，先令u=a x，然后确定y=f(u)的定义域，即u=a x的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，从而得到y=f(a x)的定义域.2. 求与指数函数有关的函数的值域时，重点是要注意指数函数的值域为(0，+∞). (1)求函数y=a f(x)(a>0且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=a x的单调性确定函数y=a f(x)的值域.(2)求函数y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域，先令u=ax，然后利用函数u=ax的单调性确定u=ax的值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即为y=f(ax)的值域.五、与指数函数有关的函数的单调性1. 形如y=a f(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间. 2. 形如y=f(a x)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法通过内层函数u=a x的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.4. 2对数与对数函数4. 2. 1对数运算4. 2. 2对数运算法则一、对数的概念1. 对数的概念在表达式a b=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=log a N，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.2. 对数的性质(1)负数和零没有对数.(2)1的对数是0，即log a1=0(a>0且a≠1)；底的对数是1，即log a a=1(a>0且a≠1).3. 对数式与指数式的关系(1)当a>0且a≠1时，a b=N⇔b=log a N.(2)对数恒等式： a log a N=N；log a a b=b(a>0且a≠1).4. 常用对数与自然对数以10为底的对数称为常用对数，并把log10N简写为lg N；以无理数e=2. 718 28…为底的对数称为自然对数，并把log e N简写为ln N.二、对数的运算法则1. 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N；(2)log a Mα=αlog a M(α∈R)；(3)log a M=log a M-log a N.N三、换底公式1. 换底公式：log a b=log c blog c a(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).2. 相关结论：log a t b s=st log a b(a>0且a≠1，b>0，s∈R，t∈R且t≠0)，log a b=1log b a(a>0且a≠1，b>0且b≠1).四、利用对数的运算法则化简、求值1. 利用对数的运算法则求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系.2. 同底数的对数式化简的常用方法(1)“收”，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即“收”为一个对数式；(2)“拆”，将积(商)的对数“拆”成两个对数之和(差).3. 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，那么可以选择以10为底数进行换底.五、对数与指数的综合运用1. (1)在对数式与指数式的互化运算中，要注意灵活应用定义、运算性质，尤其要注意条件和结论之间的关系.(2)对于连等指数式，可令其等于k(k>0)，然后将指数式转换为对数式，再由换底公式将各指数的倒数化为同底的对数，从而解决问题.2. 解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后设未知数，建立数学模型，最后转化为常用对数问题来求解.4. 2. 3对数函数的性质与图像一、对数函数1. 一般地，函数y=log a x称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.2. 对数函数解析式的结构特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)真数是自变量x，且x的系数是1；(3)log a x的系数是1.二、对数函数的性质与图象函数y=log a x(a>0且a≠1)a>1 0<a<1图象 性质定义域(0，+∞)值域R奇偶性非奇非偶函数定点图象过定点(1，0)函数值的变化x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞)x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0] 单调性增函数减函数1. 对数函数y=log a x与y=log1ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称.2. 单调性相同的对数函数，它们位于直线x=1右侧部分的图象满足“底大图低”的规律. 利用此性质可比较不同对数函数的底数大小，具体方法如下：作直线y=1与各个对数函数的图象，在第一象限内，从左到右，对数函数的底数逐渐增大.三、比较对数值的大小1. 同底数的利用对数函数的单调性进行判断.2. 同真数的利用对数函数的图象进行判断，或先用换底公式进行转化，然后判断.3. 底数和真数都不同的，找中间量.4. 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四、解对数不等式1. 形如log a f(x)>log a b(a>0且a≠1)的不等式，借助函数y=log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.2. 形如log a f(x)>b(a>0且a≠1)的不等式，先将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=log a a b)，再借助函数y=log a x的单调性求解.3. 形如log f(x)a>log g(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解.五、与对数函数有关的函数的定义域、值域1. 对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域，要注意真数必须大于0，如在y=log a f(x)(a>0且a≠1)中应首先保证f(x)>0；(2)若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.2. 求对数型函数值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，由函数自变量的范围直接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(log a x)]2+nf(log a x)+c(a>0且a≠1，m≠0))时，可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=log a f(x)(a>0且a≠1)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用此函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=log a u的单调性、图象求出y的取值范围.五、与对数函数有关的函数的单调性1. “定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集. 求函数的单调区间时一定要先求其定义域.2. 与对数函数有关的函数的单调性的判断方法（1）形如y=log a f(x)(a>0且a≠1)的复合函数，当a>1时，y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. （2）形如y=f(log a x)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数单调性的规律判断，先令t=log a x，然后只需研究t=log a x与y=f(t)的单调性即可.4. 3指数函数与对数函数的关系一、反函数1. 反函数的概念一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数. 此时，称y=f(x)存在反函数. 函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).2. 函数y=f(x)与y=f-1(x)的定义域和值域正好互换，且它们的图象关于直线y=x对称.3. 对反函数概念的理解(1)并不是任意一个函数y=f(x)都存在反函数，只有当函数的定义域与值域中的值是一一对应的关系时，这个函数才存在反函数.(2)反函数也是函数.(3)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(4)奇函数不一定存在反函数，若存在，它的反函数也是奇函数；偶函数一定不存在反函数.(5)因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，所以若y=f(x)的图象过点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上.4. 求反函数的基本步骤(1)求函数y=f(x)的值域，它是反函数的定义域；(2)由y=f(x)解出x=f-1(y)；(3)交换x，y，得y=f-1(x)；(4)写出反函数的定义域.4. 4幂函数一、幂函数的概念1. 一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数.二、常见幂函数的性质与图象1. 常见幂函数的性质2. 在同一平面直角坐标系内作出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x 12，y=x-1的图象，如图所示. 三、幂函数的共同特征1. 所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).2. 如果α>0，则幂函数y=xα的图象通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数.3. 如果α<0，则幂函数y=xα在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x 轴上方且无限地逼近x轴.四、幂函数图象的应用1. 根据幂函数在第一象限内的图象可以确定幂指数α与0，1的大小关系.2. 依据图象高低可以判断幂指数的大小，相关结论如下：(1)在x∈(0，1)上，幂指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；(2)在x∈(1，+∞)上，幂指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).五、幂函数的性质的应用1. 幂函数y=xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性. 反过来，也可由幂函数的性质去限制α的取值：(1)利用幂函数的单调性求出α的取值范围；(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值.4. 5增长速度的比较一、平均变化率1. 定义：函数f(x)在区间[x 1，x 2](x 1<x 2)上的平均变化率为ΔfΔx =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1.2. 实质：平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.3. 作用：平均变化率可以用来比较函数值变化的快慢. 二、指数函数、对数函数、幂函数的增长比较 函数性质 y=a x ，a>1(x ≥0)y=log a x ，a>1(x>0) y=x n ，n>0(x ≥0) 图象单调性 单调递增 增长 速度先慢后快先快后慢n>1时，越来越快； n=1时，不变； 0<n<1时，越来越慢图象 变化随着x 的增大，图象上升的速度逐渐变快，当x 很大时，呈“爆炸式”增 长随着x 的增大，图象上升的速度逐渐变慢 n>1时，随着x 的增大，图 象上升的速度逐渐变快；0<n<1时，随着x 的增大，图象上升的速度逐渐变慢4. 6函数的应用(二)4. 7数学建模活动：生长规律的描述一、常见函数模型二、利用函数模型解决实际问题1. 利用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；(3)求模——推理并求解函数模型；(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.2. 函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图；(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；(3)求出拟合直线或拟合曲线对应的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.。

4.2.3 对数函数的性质与图像课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)给定函数:①y=x 12,②y=lo g 12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( ) A.① B.② C.③ D.④x 12在(0,1)上为增函数;y=lo g 12(x+1)在(0,1)内为减函数;y=|x-1|在(0,1)内为减函数;y=2x+1在(0,1)内为增函数.2.已知函数f (x )=1-2x ,若a=f (log 30.8),b=f [(12)13],c=f (2-12),则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b(x )=1-2x 在定义域上为减函数,由(12)13>(12)12=2-12,得b<c ,由log 30.8<0<2-12,得c<a.所以b<c<a.3.函数f (x )=2|log 2x |的图像大致是( )f (x )=2|log 2x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1,故选C .4.若0<a<1,且函数f (x )=|log a x|,则下列各式中成立的是( ) A.f (2)>f (13)>f (14) B.f (14)>f (2)>f (13)C.f(13)>f(2)>f(14)D.f(14)>f(13)>f(2)0<a<1,所以函数f(x)=|log a x|在(0,1)内单调递减,所以f(14)>f(13)>f(12).又f(12)=|log x12|=|-log a2|=|log a2|=f(2),从而有f(14)>f(13)>f(2).故选D.5.以下四个数中最大的是()A.(ln 2)2B.ln(ln 2)C.ln √2D.ln 20<ln2<1,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2.又∵ln√2=12ln2<ln2,∴最大的数是ln2.6.下面结论中,不正确的是()A.若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数B.函数y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数C.y=log a x2与y=2log a x表示同一函数D.若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0A,若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数,正确;对于B,因为y=log3t与t=x2+1在(0,+∞)内均为增函数,所以y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数,正确;对于C,y=log a x2的定义域为{x|x≠0},y=2log a x的定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,不表示同一函数,错误;对于D,若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0,正确.故选C.7.已知函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像经过点14,2,则ab 的值为( )A.1B.2C.4D.8解析因为函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像都经过点14,2,所以log a 14=2,x 14=2,解得a=12,b=16,则ab=8.8.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12) B.f (12)<f (2)<f (13) C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)f (2-x )=f (x )得x=1是函数f (x )的图像的一条对称轴,又当x ≥1时,f (x )=ln x 单调递增,∴当x<1时,函数单调递减. ∴f (12)<f (13)<f (0).又由已知得f (2)=f (0),∴f (12)<f (13)<f (2).9.已知函数f (x )=log 2x-2log 2(x+c ),其中c>0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是 ( )A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)f (x )≤1,得log 2x-2log 2(x+c )≤1,整理得log 2(x+c )≥log 2√x2,所以x+c ≥√x 2,即c ≥-x+√22√x (x>0).令√x =t (t>0),则c ≥-t 2+√22t.令g (t )=-t 2+√22t ,其图像对称轴为直线t=√24.所以g (t )max =g (√24)=-(√24)2+√22×√24=18.则c ≥18.所以,若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是[18,+∞).故选D . 10.若a>0,且a ≠1,则函数f (x )=√2log a (5x-10)+2恒过定点P 的坐标是 . (115,2)5x-10=1,解得x=115,所以函数f (x )恒过定点(115,2).11.函数f (x )=a x+log a (x+1)(a>0,且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为 .0<a<1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是减函数;当a>1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是增函数. 所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1). 而f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a , 即1+log a 2=0,故a=12.12.函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数f (lo g 12x )的定义域为 .答案12,2解析由题得-1≤log 12x ≤1,所以lo g 122≤log 12x ≤log 1212,12≤x ≤2,所以函数f (lo g 12x )的定义域为12,2.13.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x(-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2.∴A={x|x ≥2}.易知B={y|1≤y ≤2}, ∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B={y|1≤y ≤2},若要使B ⊆C ,则有a-1≥2.所以a ≥3.能力提升1.作出函数y=|log 2(x+1)|+2的图像.:作y=log 2x 的图像,如图①.第二步:将y=log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度,得y=log 2(x+1)的图像,如图②. 第三步:将y=log 2(x+1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换,得y=|log 2(x+1)|的图像,如图③.第四步:将y=|log 2(x+1)|的图像沿y 轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图像,如图④.2.已知函数y=log 2x4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8). (1)令t=log 2x ,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围;(2)求该函数的值域.因为2≤x ≤8,所以t ∈[1,3],则log 4x=12log 2x=12t. 因为y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8),所以y=(log 2x4)(log 4x -12)(2≤x ≤8). 所以y=(t-2)12t-12=12(t-2)(t-1)=12t 2-32t+1,t ∈[1,3]. (2)由(1)知y=12t 2-32t+1=12t-322-18,t ∈[1,3]. 当t ∈1,32时,函数单调递减,当t ∈32,3时,函数单调递增,所以当t=32时,y min =-18.因为当t=1时,y=0,当t=3时,y=12×32-32×3+1=1,所以y max =1. 所以函数y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8)的值域为-18,1.3.已知函数f (x )=log a [(1x-2)x +1]在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a 的取值范围.当a>1时,只需(1x-2)x+1>1, 即(1x -2)x>0,∵1≤x ≤2,∴1x -2>0, 即a<12,这与a>1矛盾.(2)当0<a<1时,设g (x )=(1x -2)x+1(x ∈[1,2]),只需0<g (x )<1.①当a=12时,g (x )=1,f (x )=0,不合题意;②当0<a<12时,1x -2>0,g (x )是增函数,只要g (1)>0,且g (2)<1,解得12<a<1,与0<a<12矛盾;③当12<a<1时,1x -2<0,g (x )是减函数,只要g (2)>0,且g (1)<1,解得12<a<23.综上所述,a 的取值范围是(12,23).。