第二章 2.1.1 简单随机抽样2.1.2系统抽样

2.1.1 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样⎩⎨⎧ 抽签法随机数法3．简单随机抽样的优点及适用类型 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个体数不多的情况下是行之有效的．4．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．5．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn ；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．6．分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．7．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．一、选择题1．抽签法中确保样本代表性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回答案 B 解析由于此问题强调的是确保样本的代表性，即要求每个个体被抽到的可能性相等．所以选B.2．下列抽样实验中，用抽签法方便的有( )A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验答案B解析A总体容量较大，样本容量也较大不适宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法．3．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100答案 D 解析：此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A、B、C错，故选D.4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310答案A5．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了( )A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．有放回抽样答案C解析从第1排到第50排每取一个人的间隔人数是相同的，符合系统抽样的定义．6．要从已经编号(1～50)的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,8,16,32答案B解析由题意知分段间隔为10.只有选项B中相邻编号的差为10，选B.7．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取何种抽样方法( )A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．分层抽样答案D8．某城市有学校700所．其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为( )A．70 B．20 C．48 D．2答案B由于70070＝10，即每10所学校抽取一所，又因中学200所，所以抽取200÷10＝20(所)．9．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D．从50个零件中抽取5个做质量检验答案C解析A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．10．要从其中有50个红球的1 000个球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为( )A．5个B．10个C．20个D．45个答案A解析由题意知每1000100＝10(个)球中抽取一个，现有50个红球，应抽取5010＝5(个)．11．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不同答案B解析由简单随机抽样的特点知与第n次抽样无关，每次抽到的可能性相等．二、填空题12．福利彩票的中奖号码是从1～36个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．答案抽签法13．用随机数表法进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定随机数表开始的数字，这些步骤的先后顺序应该是________．(填序号)答案①③②14．某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为________．答案16解析用系统抽样的方法是等距离的．42－29＝13，故3＋13＝16.15．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．答案7,4,6解析应抽取的亩数分别为210×17510＝7,120×17510＝4,180×17510＝6.16．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．答案20解析由题意可设A、B、C中个体数分别为5k,3k,2k，所以C中抽取个体数为2k5k＋3k＋2k×100＝20.17．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．答案88解析在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的．所以，样本容量n＝2＋3＋5＋12×16＝88.。

高中数学必修3知识点总结第二章统计2.1.1简单随机抽样1．总体和样本：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

2.1.2系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究*******************************************************************************变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

2.1.2 系统抽样整体设计教材分析当总体中个体比拟多，抽签法与随机数表法用于选取样本就比拟烦琐，而且也不能保证样本代表性，所以本节课将要学习又一种新抽样方法——系统抽样.在教学时教师不仅要让学生了解系统抽样概念，而且还要让学生掌握如何进展系统抽样，以及在进展系统抽样时所要注意一些事项，如怎样进展分段，应该分成多少段，分段时如总体个数不能被样本容量整除怎么办等等.在教学中要教会学生会比拟各种方法适用范围与各自优缺点，并会根据实际情况选择恰当抽样方法，且在讲解系统抽样时必须紧扣“每个个体被抽取概率是相等〞理论依据.黑格尔说：“教师是学生心目中‘权威人物’，是儿童心目中最神圣偶像.〞因此，我们教师在教学中要建立民主师生关系，要有意突破常规，让学生敢于在课堂上表现自己，教师也要善于表扬他们.教学时，教师要让学生充分发挥自己潜能，培养他们会对现有知识独立钻研创新精神，并培养他们会用现有知识合理辐射数学思维，得出一些具有个人特色正确结论.三维目标了解系统抽样概念及抽样步骤，会用系统抽样从总体中抽取样本，能运用所学知识判断、分析与选择抽取样本方法.能从现实生活或其他学科提出有价值数学问题，并能加以解决，培养学生运用统计思想表达思考与解决现实世界中问题能力，让学生感受数学美学价值在于鲜活实际应用，立志于学习与研究数学，最大限度地用数学知识效劳于社会，同时自身也能获得最正确生存环境.重点难点教学重点：系统抽样应用.教学难点：对系统抽样中“系统〞思想理解；对样本随机性理解.课时安排1课时教学过程导入新课当总体中个体数比拟多时，采用抽签法或随机数表法那么比拟烦琐，那么该如何抽样？如：某校高一年级共有20个班，每班有50名学生.为了了解高一学生视力状况，从这1 000人中抽取一个容量为100样本进展检查，应该怎样抽取？学生思考，交流讨论，然后代表发言，教师修改总结.推进新课新知探究1.将总体平均分成几个局部，然后按照一定规那么，从每个局部中抽取一个个体作为样本，这样抽样方法称为系统抽样〔systematic sampling〕.2.假设要沉着量为N总体中抽取容量为n样本，系统抽样步骤为:〔1〕采用随机方式将总体中N 个个体编号；〔2〕将编号按间隔k 分段，当n N 是整数时，取k=n N ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下总体中个体个数N′能被n 整除，这时取k=nN ，并将剩下总体重新编号； 系统抽样与简单随机抽样联系：将总体均分后每一局部进展抽样时，采用是简单随机抽样.系统抽样优点是简便易行，当对总体构造有一定了解时，充分利用已有信息对总体中个体进展排队再抽样，可提高抽样效率；当总体中个体存在一种自然编号时，便于施行系统抽样法.系统抽样缺点是在不了解样本总体情况下，所抽出样本具有一定偏差.〔3〕在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号l ；〔4〕按照一定规那么抽取样本，通常将编号为l,l+k,l+2k,…,l+(n－1)k 个体抽出.应用例如〔多媒体出示题目，学生思考〕例1 一条流水线生产某种产品，每天都可生产128件这种产品，我们要对一周内生产这种产品作抽样检验，方法是抽取这一周内每天下午2点到2点半之间下线8件产品作检验.这里采用了哪种抽取样本方法分析：此抽样选用了“等时〞抽样，与“等间距〞类似而作出判断.解：系统抽样.点评：解决此题要弄清楚目前所学两种抽样概念与特点.例2 某校为了了解全校住校生对学校食堂意见，打算从全校1 000名住校生中抽取50名进展调查，用系统抽样法进展抽取，并写出过程.分析：根据系统抽样步骤可解此题.解：首先将这1 000名学生从1开场进展编号，然后按号码顺1000=20，再从号码1～20第一段中序均分成50段，每段个体数为50用简单随机抽样抽取一个号码，假设抽到是9号，然后从9 开场，每隔20个号码抽取一个，这样就得到容量为50样本编号：9、29、49、…、989,这样，我们就得到一个容量为50样本，这种抽样方法就是系统抽样.N是整数.点评：此题“分段〞比拟方便，因为分段间隔k=n例3 某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中所用时间，决定抽取10％工人进展调查，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？分析：总体中每一个个体，都必须等可能地入样.为了实现“等距〞入样，且又等概率，应先剔除，再“分段〞，后定起始数.解：抽样过程如下：〔1〕先将在岗工人624人，用随机方式编号〔如按出生年月日编号〕：000，001，002， (623)〔2〕由题知应抽取62人作为样本，因为624不能被62整除，所以应从总体中剔除4个，将余下620人按编号顺序补齐000，001，002，…，619，并分成62个段，每段10人.〔3〕在第一段000，001，002，…，009这十个编号中，随机定一个起始号l 〔如006〕.〔4〕最后编号为006，016，026，…，59610名工人就为所要抽取样本.点评：1.系统抽样步骤可概括为：〔1〕编号〔采用随机方式将总体中个体编号，为简便起见，有时可直接利用个体所带号码，如考生准考证号、街道上各户门牌号，等等〕.n N 〔N 为总体中个体数，n 为样本容量〕是整数时， k=n N ；当n N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下个体数N′能被n 整除，这时k=nN 〕. 〔3〕确定起始个体编号l 〔在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l 〕.〔4〕按照事先确定规那么．．．．．．．抽取样本〔通常是将l 加上间隔k ，得第二个编号l+k ，再将〔l+k 〕加上k ，得第三个编号l+2k ，这样继续下去，直至获取整个样本〕.“事先确定规那么〞说明不一定按“通常〞方法〔即将l 加上间隔k ，得第二个编号l+k ，再将〔l+k 〕加上k ，得第三个编号l+2k ，这样继续下去，直至获取整个样本〕来抽取样本.2.学生解答，归纳步骤后由学生修改整理，教师巡视点拨，对整理较好同学进展及时表扬或鼓励，激发学生自信.思考：在用系统抽样方法抽样过程中，会用怎样“规那么〞来取除起始号以外其他编号呢？看例4.例4 一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、 (99)依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、…、10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10样本，规定如果在第1组随机抽取号码为m，那么在第k(k≥2)组中抽取号码个位数字与m+k个位数字一样.假设m=6,那么第7组中抽取号码为__________________.分析：此题与课本中总结“通常〞方法〔即每隔10抽出一个号码〕有所不同，挖掘点在于条件“第一个号码m之后，在第k组中抽取号码个位数字与m+k个位数字一样〞.解：因为，第1组号码0～9；第2组号码10～19；第3组号码20～29；依次下去第7组中抽取号码十位数字是6.此题要求“在抽取了第一个号码m之后，在第k组中抽取号码个位数字与m+k 个位数字一样〞限制了各组抽出号码个位数.利用m及k值，求出m+k个位数字，即此题中由m=6，k=7得m+k=13，显然，m+k=13个位数字是3，故从第7组中抽取号码是63.所有被抽出号码依次为：6，18，29，30，41，52，63，74，85，96.它们“不等距〞.点评：此题是福建2004年高考卷第15〔文〕题，如果按照系统抽样经历做法“等间距〞做此题话，那么不达.一位教育专家曾指出：学习如果过分地依赖学习者经历或感情世界，即通过纯粹经历积累，而不是通过认知活动对经历进展加工，那么学习将会出现危机，因此必须重视人思维教育.所以，我们在教学时要留足够时间给学生探究，充分暴露学生思维，让学生自己打破思维中过多“经历〞束缚，展示学生创造性学习思维活动过程.知能训练课本本节练习.解答：1.系统抽样中总体与样本比必须是整数，而1 252被50整除余2，因此必须随机剔除2人.应选A.2.具体步骤为：第一步，将1 003名学生，用随机方式编号〔如按出生年月日编号〕：0000,0001,0002,…,1 002.第二步，由题知：应抽取20名学生作为样本，因为1 003不能被20整除，所以应从总体中随机剔除3名学生，将余下1 000名学生按编号顺序补齐为0000,0001,0002,…,0999，并分成20个段，每段50名学生.第三步，在第一段0000,0001,0002,…,0049这50个编号中，随机定一个起始号l〔如0006〕.第四步，编号为0006,0056,0106,…,095620名学生就是所要抽取样本.3.可选择在某个年级进展，如选择高一年级.先将所有学生随机地进展编号；然后将他们分成m段，每段n人〔如总人数不能被均分，可随机地剔除几个人再分〕；再从第一段随机抽取一个号码〔如l〕；那么编号为l,l+n,l+2n,…，l+(m－1)n学生就是需要.最后测量这些学生两臂平展长度及身高，再分别计算两组数据平均数.课堂小结〔先让一位同学总结，其他同学补充，教师完善，并用多媒体展示出来〕(1)系统抽样适用于总体中个数较多情况，因为这时采用简单随机抽样显得不方便.(2)系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中个体均分后每一段进展抽样时，采用是简单随机抽样.(3)与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样.作业为了了解某地参加英语口语水平测试5 027名学生成绩，从中抽取了200名学生成绩进展统计分析，请写出运用系统抽样抽取样本步骤.解：具体步骤为：第一步，将参加计算机水平测试5 027名学生用随机方式编号〔如按准考证编号〕0000，0001， (5026)第二步，由题知：应抽取200人作为样本，因为5 027不能被200整除，所以应从总体中剔除27个，将余下5 000人按编号顺序补齐0000，0001，…，4999,分成200个段，每段25人.第三步，在第一段0000，0001，…，0024这25个编号中，随机定一个起始号l〔如0022〕.第四步，编号为0022，0047，…，4997工人就为所要抽取样本.设计感想由于这局部内容比拟简单，所以整节课以学生为主，尤其是根底在中下游学生，要激发他们学习积极性，从而活泼课堂气氛，使每个学生都全身心投入，动脑、举例.。

曹县三中高一数学导学案1第二章2.1.2 系统抽样制作人：沙德刚 审核人：王俊兰 2016-3-【学习目标】：1. 正确理解系统抽样的概念. 2. 掌握系统抽样的一般步骤. 复习回顾： 随机抽样有什么优缺点？预习导航：引例：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？问题探究（一）：1、系统抽样的定义： 一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成 的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：（1）当总体容量N 较大时，采用系统抽样。

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k ＝[nN ]. （3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，此编号基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号. 2、系统抽样的一般步骤：（1）采用随机抽样的方法将总体中的N 个个编号。

（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k ，k ＝[n N ].（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L （L ∈N,L ≤k ）。

（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L 加上间隔k 得到第2个个体 编号L+k ，再加上k 得到第3个个体编号L+2k ，这样继续下去，直到获取整个样本。

说明：（1）从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分 块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。

（2）如果遇到n N不是整数的情况，可以先从总体中随机的剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除。

练一练：（1）你能举几个系统抽样的例子吗？（2）下列抽样中不是系统抽样的是（ ）A 、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序， 随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样B 、工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C 、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D 、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈（3）系统抽样与简单随机抽样比较,有何优、缺点？ 例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。

§2.1.1 -2 简单随机抽样与系统抽样（课前预习案）班级：___ 姓名：________一、新知导学1、一般把所考查的对象的__________的全体构成的集合看作总体；构成总体的________作为个体。

从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做________，样本个体的数目叫做________。

2、在抽样时，要保证每一个个体都____________，每一个个体被抽到的机会是________，满足这样条件的抽样是___________。

3、简单随机抽样：从元素个数为N的总体中________容量为n的样本，如果每次抽取总体中的各个人体有________被抽到，这种抽样方法叫做________，优点是简单易行。

4、常用的简单随机抽样有________法和________法。

5、抽签法（抓阄法），用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤是：S1：给总体中的所有个体编号，号码可以为1至N；S2：将1—N这个N个号码写在形状，大小完全相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸片等制作）S3：将号签放在一个不透明的容器中，并________。

S4：从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取________次。

S5：从总体中将与抽出的号签的编号相一致的个体取出就组成一个样本。

5、用随机读数法的抽取样本的步骤：S1：将总体中的所有个体编号（每个号码位数一致）S2：在随机数表中任选一个数作为开始S3：从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则________，若在编号中，且不与前面取出的数重复，就把它取出，否则_______，如此进行下去，直至取满为止；S4：根据选定的号码抽取样本。

6.系统抽样：当总体中的个体数较多时，可将总体分成___ 的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分_____ ，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。

由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称做___ ，在进行大规模的抽样调查时，系统抽样比简单随机抽样要方便的多。

2.1.2系统抽样1．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：思考：当总体中的个数较多时，为什么不宜用简单随机抽样．[提示]因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较小的总体B．容量较大的总体C．个体数较多但均衡的总体D．任何总体C[根据系统抽样的概念，只能是个体数较多且个体之间均衡的总体才能使用系统抽样．]2．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的()A．抽签法B．系统抽样法C．随机数表法D．其他抽样方法B[由题意，中奖号码分别为0 068，0 168，0 268，…，9 968.显然这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组抽0 068号，其余号码是在此基础上加100的整数倍得到的，是系统抽样．]3．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A．5，10，15，20 B．2，6，10，14C．2，4，6，8 D．5，8，11，14A[将20分成4组．每组5个号，间隔等距离为5.]4．为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________．40[分段间隔k＝Nn＝1 20030＝40.]系统抽样的概念【例1】下列抽样中，最适宜用系统抽样的是()A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样C[根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次区别，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合随机数表法；D项中总体容量较小，适合抽签法．]系统抽样的判断方法(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．(3)最后看是否等距抽样．1．下列抽样方法不是系统抽样的是()A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈C[A编号间隔相同，B时间间隔相同．D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征．]们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为() A．7B．9C．10D．15思路点拨：求出第n组抽到的号码，然后解不等式即可．C[从960人中用系统抽样的方法抽取32人，则抽样间隔为k＝96032＝30.因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21.由451≤30n－21≤750，即151115≤n≤25710，所以n＝16，17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．]系统抽样计算问题的解法及技巧(1)若已知总体数，且样本容量已知，则采用系统抽样方法进行抽样时，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数．(2)利用系统抽样的概念与等距特点，若在第一段抽取的编号为m，分段间隔为d，则在第k段中抽取的第k个编号为m＋(k－1)d.(3)若求落入区间[a，b]的样本个数，则可通过列出不等式a≤m＋(k－1)d≤b，解出满足条件的k的取值范围．再根据k∈N*，求出其范围内的正整数个数即可．2．某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．37[由系统抽样的知识可知，将总体分成均等的若干部分是将总体分段，且分段间隔为5.因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.]1．用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第一段的个体编号怎样抽取？[提示]使用简单随机抽样方法抽取．2．用系统抽样抽取样本时，当Nn不是整数时，随机剔除了多余的个体，这样还公平吗？[提示]因为剔除多余个体是用简单随机抽样的方法进行的，每一个个体被剔除的机会都一样，所以是公平的．3．用系统抽样抽取样本时，第1段是随机取出的号码，其余各段都是由计算式算出来的，并没有抽签，这样公平吗？[提示]虽然除第1段外，后面的样本都是通过计算抽取的，但由于第1段号码确定是随机的，故后面各段号码的确定均是随机的，是公平的．【例3】某工厂有工人1 007名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．思路点拨：样本容量为100，总体容量为1 007，不能被100整除，因此首先需要剔除7个个体，然后确定分段间隔为1 000100＝10，利用系统抽样即可．[解]用系统抽样的方法抽取样本．第一步，编号．将1 007名工人编号，号码为0001，0002， (1007)第二步，利用随机数表法抽取7个号码，将对应编号的工人剔除．第三步，将剩余的1 000名工人重新编号，号码为0001，0002， (1000)第四步，确定分段间隔k＝1 000100＝10，将总体分成100段，每段10名工人．第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.第六步，利用分段间隔，将m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100个号码抽出．1．(变条件)某工厂有102名工人，现从中抽取10人进行体检，请写出抽样方案．[解]根据条件，可采用抽签法抽取样本．第一步：编号，把102名工人编号为1，2，3， (102)第二步：制签，做好大小、形状完全相同的号签，分别写上这102个数．第三步：搅拌，将这些号签放入暗箱，充分摇匀．第四步：入样，每次从中抽一个号签，不放回地连续抽10次，从而得到容量为10的入选样本．2．(变结论)某工厂有1007名工人，现从中抽取100人进行调查工资收入情况，能否用系统抽样方法抽取样本？为什么？[解]不能用系统抽样抽取，因为工人的工资状况与其年龄、工种等因素有关，总体中个体有明显的分层．系统抽样设计中的注意点(1)当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．(2)被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取．(3)剔除部分个体后应重新编号．(4)每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等．1．系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)用系统抽样法抽取样本，当Nn不为整数时，取k＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤Nn，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)总体个数较多时可以用系统抽样．()(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．()(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有Nn个号码．()[答案](1)√(2)×(3)×2．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为() A．2B．3 C．4 D．5A[1 252＝50×25＋2，故应从总体中随机剔除2个个体．]3．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为()A．24 B．25C．26 D．28B[5 008＝200×25＋8，故每组容量为25.]4．从2 003名学生中抽取一个容量为40的样本，应如何抽取？[解]先将2 003名学生按0 001到2 003编号，利用随机数表法从中剔除3名学生，再对剩余的2 000名学生重新从0001到2 000编号，按编号顺序分成40组，每组50人，先在第一组中用抽签法抽出某一号，如0 006，依次在其他组抽取0 056，0 106，…，1 956，这样就得到了一个容量为40的样本．课时分层作业(十)系统抽样(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是()A．从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B．一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加竞赛的1 500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加期末考试的2 400名高中生中随机抽取10人了解某些情况C[A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C.] 2．采用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()A．40，5B．50，5C．5，40 D．5，50A[因为2 005÷50＝40余5，所以用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，抽样间隔是40，且应随机剔除的个体数为5.] 3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是()A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32B [根据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k ＝505＝10，故只有B 符合．]4．总体容量为524，若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为只有5244＝131，没有余数，所以当间隔为4时，不需要剔除个体．]5．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( )A ．7B ．5C ．4D ．3B [由公式125＝l ＋(16－1)×16020，解得l ＝5.]二、填空题6．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是________．20 [由系统抽样原理知，抽样间隔k ＝524＝13，故抽取样本的编号分别为7、7＋13、7＋13×2、7＋13×3.故还有一位同学的编号应是20.]7．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．526 [采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k ＝5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为1052＝526.]8．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．(1)9.5(2)10.5[20个小球分4组，每组5个．(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7，12，17，4球编号的平均值为2＋7＋12＋174＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三球编号为8，13，18，平均值为3＋8＋13＋184＝10.5.]三、解答题9.在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？(1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验；(2)一个礼堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)．一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下32名听众进行座谈．[解](1)总体容量为8，样本容量为2，因此适合利用抽签法进行样本的抽取．(2)总体容量为32×40＝1 280，样本容量为32，由于座位数已经分为32排，因此选择系统抽样更合适．10．某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？[解](1)将1 001名普通工人用随机方式编号．(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名职工重新编号(分别为0 001，0 002，…，1 000)，并平均分成40段，其中每一段包含1 000 40＝25个个体．(3)在第一段0 001，0 002，…，0 025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0 003)作为起始号码．(4)将编号为0 003，0 028，0 053，…，0 978的个体抽出．(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1，2， (20)(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．以上得到的个体便是代表队成员．[能力提升练]1．从2 019名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 019人中剔除19人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 019人中，每个人入选的机会()A．都相等，且为502 019B．不全相等C．均不相等D．都相等，且为1 40A[因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除19人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为50 2019.]2．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26，16，8 B．25，17，8C．25，16，9 D．24，17，9B[依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k－1)≤495，得1034＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.]3．某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n＋1，则需剔除2个个体，则n＝________．4或6或9[由题意知n为72的约数，n＋1为70的约数，其中72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，其中70能被加1整除的有1，4，6，9，其中n＝1不符合题意，故n＝4或6或9.]4．一个总体中的80个个体的编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，用错位系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k<10时)或i＋k－10(当i＋k≥10时)的号码．当i＝6时，所抽到的8个号码是________．6，17，28，39，40，51，62，73[由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28；依此类推，应选39，40，51，62，73.]5．下面给出某村委会调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题．本村人口：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：1 200/30＝40；确定随机数字：取一张人民币，其编号后两位数为12；确定第一样本户：编号12的住户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户．……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试修改；(3)何处用了简单随机抽样？[解](1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔应为300/30＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，其编号末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户……(3)确定随机数字：取一张人民币，取其末位数2.。