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回扣2 复数、程序框图与平面向量1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i ≠0).()其中a ，b ，c ，d ∈R2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z ). 3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构. (2)条件结构. (3)循环结构. 4.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5.向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a 和b .作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向.如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 6.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 7.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 8.利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 9.利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.10.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.6.a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析 当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，…，由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象，如图所示.由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)·(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73，故选B.1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中，正确信息的序号是________.答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误.素养2直观想象例2(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线.2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，P A＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以P A⊥AD，P A⊥AB，P A⊥BC.又BC⊥AB，AB∩P A＝A，AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△P AB，△P AD，△PBC，共3个.故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理例3(2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B.3 C.2 3 D.4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x . 设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示. 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.素养4 数学运算例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3，故选B.4.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm答案B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.5.(2019·北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________. 答案 130 15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元，由题意知，当0<m <120时，x ＝0，当m ≥120时，(m －x )×80%≥m ×70%，得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立，又m8≥15，所以x 的最大值为15.素养6 数据分析例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6.某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y ^＝0.004x ＋a ^，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？解 (1)从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为{7.4,7.0}，{7.4,9.2}，{7.4,7.9}，{7.4,10.0}，{7.0,9.2}，{7.0,7.9}，{7.0,10.0}，{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共3个.所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P ＝310.(2)因为x ＝1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 1005＝8 5005＝1 700， y ＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3. 又直线y ^＝0.004x ＋a ^过点(x ，y )， 所以8.3＝0.004×1 700＋a ^， 解得a ^＝1.5， 所以y ^＝0.004x ＋1.5.当x ＝1 800时，y ^＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6， 所以预测该水电站2019年能完成发电任务.。
考点规范练24 解三角形基础巩固1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=( )3 A. B.1C. D.2123,得3=4+c 2-2×2×c×,整理,得c 2-2c+1=0,解得c=1.故选B .122.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形a cos A=b cos B ,∴sin A cos A=sin B cos B ,∴sin 2A=sin 2B ,∴A=B 或2A+2B=180°,即A=B 或A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D .3.(2018广东中山质检)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,a=1,c cos A+a cos C=2b cos B ,△ABC 的面积S=,则b 等于( )3A. B.4 C.3D.1315,2sin B cos B=sin C ·cos A+sin A cos C=sin(A+C )=sin B ,∴cos B=,∴B=.12π3又S=ac ·sin B=×1×c×,121232=3∴c=4.又b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+16-2×1×4×=13,12∴b=.134.如图,两座相距60 m 的建筑物AB ,CD 的高度分别为20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A.30°B.45°C.60°D.75°AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD 中,由余弦定理,105得cos ∠CAD==AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD =(305)2+(2010)2-5022×305×2010,又0°<∠CAD<180°,6 0006 0002=22所以∠CAD=45°,所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos A+a cos B=c 2,a=b=2,则△ABC 的周长为( )A.7.5 B.7 C.6 D.5b cos A+a cos B=c 2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×+a×=c 2,整理可得2c 2=2c 3,b 2+c 2-a 22bc a 2+c 2-b 22ac解得c=1,则△ABC 的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D .6.设△ABC 的三内角A ,B ,C 成等差数列,sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形△ABC 的三内角A ,B ,C 成等差数列,∴B=.π3∵sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,∴sin 2B=sin A sin C ,由正弦定理得b 2=ac.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos ,π3∴ac=a 2+c 2-ac ,∴(a-c )2=0,∴a=c.∴△ABC 为等边三角形.7.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足=sin A-sin B ,则∠(sin A -sin C )(a +c )bC= .△ABC 中,∵=sin A-sin B ,(sin A -sin C )(a +c )b∴=a-b.∴a 2+b 2-c 2=ab ,(a -c )(a +c )b∴cos C=.∴C=.a 2+b 2-c 22ab =12π38.在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线AD=,则AC= . 23,可知,ABsin ∠ADB =ADsin B 即,故∠ADB=45°.2sin ∠ADB =332所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC 是等腰三角形.所以AC=2122sin 60°=.69.如图,为了测量两山顶D ,C 间的距离,飞机沿水平方向在A ,B 两点进行测量,在A 位置时,观察D 点的俯角为75°,观察C 点的俯角为30°;在B 位置时,观察D 点的俯角为45°,观察C 点的俯角为60°,且AB= km,则C ,D 之间的距离为 . 3△ABD 中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,由正弦定理可得,即,AB sin ∠ADB =AD sin ∠ABD 3sin60°=ADsin45°∴AD=(km),3sin45°sin60°=2由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB= km,∴AC=3 km,3在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD sin ∠DAC=5,即CD= km .510.已知岛A 南偏西38°方向,距岛A 3 n mile 的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10 n mile/h 的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?(参考数据:sin38°=5314,sin22°=3314)C 处截住走私船,D 为岛A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 120°,解得BC 2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin ∠ABC=,AC sin ∠BAC BC =5×327=5314所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC ∥AD.故缉私艇以14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h 截住该走私船.能力提升11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.若b 2+c 2-a 2=bc ,且b=a ,则下列关系一定不成33立的是( )A.a=c B.b=c C.2a=c D.a 2+b 2=c 2b 2+c 2-a 2=bc ,3∴cos A=,b 2+c 2-a 22bc=32∴A=30°.∵b=a ,∴sin B=sin A=,3332∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC 为直角三角形,得到a 2+b 2=c 2,2a=c ;当B=120°时,C=30°,此时△ABC 为等腰三角形,得到a=c ;故选B .12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若,b=4,则△ABC 的面积的最大值为( )2a -cb =cos Ccos B A.4 B.2 C.2D.333在△ABC 中,,2a -cb =cos Ccos B ∴(2a-c )cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C )cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C )=sin A.∴cos B=,即B=.由余弦定理可得16=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac ,12π3故ac ≤16,当且仅当a=c 时取等号,因此,△ABC 的面积S=ac sin B=ac ≤4,故选A .1234313.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,如果△ABC 的面积等于8,a=5,tan B=-,那么43= .a +b +csin A +sin B +sin C△ABC 中,∵tan B=-,∴sin B=,cos B=-.434535又S △ABC =ac sin B=2c=8,∴c=4,12∴b=.a 2+c 2-2ac cos B =65∴.a +b +c sin A +sin B +sin C =b sin B =565414.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2.B2(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2,故sin B=4(1-cos B ).B2上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.1517(2)由cos B=得sin B=,1517817故S △ABC =ac sin B=ac.12417又S △ABC =2,则ac=.172由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2×=4.172×(1+1517)所以b=2.高考预测15.△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,若4S=b 2+c 2-a 2.3(1)求角A ;(2)若a=2,b=2,求角C.3∵△ABC 中,b 2+c 2-a 2=4S=4bc sin A=2bc ·sin A ,33·123∴cos A=sin A ,∴tan A=,b 2+c 2-a 22bc=333∵0<A<π,∴A=.π6(2)∵a=2,b=2,A=,3π6∴由得sin B=,a sin A =b sin B b sin Aa =23×122=3∵0<B<,且B>A ,∴B=,∴C=.5π6π3或2π3π2或π6。
2020年高考理科数学三角函数与解三角形备考艺体生百日冲刺系列典型试题命题规律三角函数与解三角形这部分内容，高考一般命制一大两小或一大一小. 考查的主要方向有：1.三角恒等变换为主的化简、求值问题；2.三角函数的图象和性质；3.三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先化简、后研究函数的性质；4.正弦定理、余弦定理的应用问题，往往与三角恒等变换相结合，近几年，综合考查正弦定理与余弦定理应用问题，呈现一种新趋势. 本专题主要围绕主观题进行讲练.基本技能一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 二、六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 三、三角函数的图象和性质 1.三角函数的基本性质：2.三角函数图象变换（1）平移变换：（2）周期变换：（3）振幅变换：四、两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+sin y x =1ωu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u r向横坐标变为原来的单位，纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>sin y x =A u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 纵坐标变为原来的单位，横坐标不变sin (0)y A x A =>S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 五、二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2六、正弦定理 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B七、余弦定理余弦定理： ， ， .)4sin(2cos sin πααα±=±2222cos a b c ab C +-=2222cos b c a ac A +-=2222cos c a b ac B +-=变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab技能点拨【典例1】（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=.【典例2】（2018·江苏高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211- 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=()sin αβ+== 因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 【规律方法】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【典例3】（2019·北京北理工附中高三）已知函数()22sin cos 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．(I)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值．【答案】(Ⅰ) πT =1. 【解析】分析：（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把()f x 化成3sin 2cos 2122x x -+，再用辅助角公式把213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，从而可求()f x 的最小正周期等．（Ⅱ）直接计算出22333x πππ-≤-≤，利用正弦函数的性质得到()f x 的最大值． 详解：（Ⅰ）因为2()2sin sin(2)3f x x x π=-+1cos 2(cos 2cossin 2sin )33x x x ππ=---32cos2122x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤．当232x ππ-=，即512x π=时，()f x1． 【典例4】（2019·浙江高考真题）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 【答案】（1）3,22ππ；（2）1⎡+⎢⎣⎦. 【解析】分析：(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定θ的值；(2)首先整理函数的解析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式，然后确定其值域即可. 详解：(1)由题意结合函数的解析式可得：()()sin f x x θθ+=+，函数为偶函数，则当0x =时，()02k k Z πθπ+=+∈，即()2k k Z πθπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ.(2)由函数的解析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos 2sin 2sin 2222x x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭1312sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭1226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为：1,122⎡-+⎢⎣⎦. 【总结提升】①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为或，然后利用整体法并借助正弦函数或余弦函数进行求解；②已知三角函数图象求解析式问题，常有两种思路，思路1：先根据图象求出周期和振幅，利用周期公式求出，再由特殊点（常用最值点）求出；思路2：先根据图象求出振幅，再利用“五点点作图法”列出关于的方程，即可求出.③在处理图象变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图象变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 【典例5】（2019·全国高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】分析：(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域.详解：(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． ()sin A x b ωϕ++()cos A x b ωϕ++u x ωϕ=+ωϕA sin()y A x ωϕ=+ωϕ，ωϕ，0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 【典例6】（2019·全国高考真题（理））V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ． 【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 详解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈Q 3A π\=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==->所以sin C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【规律方法】利用正弦定理与余弦定理解三角形，要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中，若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时，可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化，结合余弦定理或三角变换等知识进行计算；已知条件中，若给定的是三条边的平方关系或或两边的和，一般选择余弦定理进行求解；在已知三角形给定的条件中，若给定的条件是一边与其对角以及另外一边，一般选择余弦定理求解三角形较为方便；求三角形的面积时，要选择一个角及其两条邻边，围绕这三个元素来进行计算.【典例7】（2020·天津南开中学高三月考）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）9]28. 【解析】(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8．【典例8】（2019·北京北师大实验中学高三月考）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x 取到最小值- 【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅==+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 62x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x 取到最小值-【方法技巧】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 【典例9】（2018·天津高考真题（理））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -= 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯= 【典例10】（2017·上海高考真题）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2【解析】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【规律方法】1.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形。
决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
第一篇 副题3 解三角形【副题考法】本副题考题形式为选择题、填空题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为基础题和中档题，分值为分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换：(1)角的变换：因为在ABC ∆中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=- 222()C A B π⇔=-+，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin 2A B +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+；学科-网 (2)三角形边、角关系定理及面积公式面积公式(r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半).(3)在ABC ∆中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列. 2.要熟记如下知识： (1)正弦定理：分类 内容定理2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径) 变形公式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，②sin :sin :sin ::A B C a b c =， ③sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(2)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.(3)在ABC ∆中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A = sin b A a b << a b ≥a b >解的个数一解 两解一解一解(4)余弦定理分类内容定理在ABC ∆中，有2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac+-=；222cos 2a b c C ab +-= 解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘；学&科网【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.6.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.例1【2020百校联盟12月质量监测】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若8a b +=，27c =，()()2222212sin 22B abc a b a b c -⎛⎫=- ⎪⎝+⎭-，则ABC ∆的面积为( )A ．63B ．83C ．33D ．43【分析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将()()2222212sin22B abc a b a b c-⎛⎫=- ⎪⎝+⎭-，变形整理为2cos cos cos a C b C c B =+，再根据正弦定理，变形整理为2sin cos sin A C A =，确定1cos 2C =，然后根据余弦定理，确定12ab =，根据三角形面积公式in 12s S ab C =求解即可. 【解析】依题意，()()22222cos a b a b cabc B -+-=，即()2222cos 2a b c a b c B ab+--=，故()cos 2cos B a C b c =-⋅，故2cos cos cos a C b C c B =+，即2sin cos sin cos sin cos sin A C B C C B A =+=， 因为sin 0A ≠，故1cos 2C =； 由余弦定理，()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即28643ab =-，即336ab =，则12ab =，则ABC ∆的面积13sin 63322S ab C ==⨯=，故选C考向二 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.例2【2020广东六校联盟第三次联考】如图，ABC V 上，D 是BC 上的点，且AC CD =，23AC AD =，2AB AD =，则sin B 等于______.【分析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，先利用余弦定理求出cos ,ADC ∠再利用正弦定理求出sin B 的值.【解析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，在ADC V 中由余弦定理可得2223cos 3223ADC x x∠==⨯⨯， 236sin sin 133ADB ADC ⎛⎫∴∠=∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在ADB △中由正弦定理可得62sin 63sin 46x AD ADBB ABx ∠===， 考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；学=科网 ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例3【2020湖北宜昌3月线上调研】如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为( )A ．3B ．32C ．4D ．2【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【解析】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒， 所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以3226BC ==所以2212cos 2462266322AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯= B. 考向四 判定三角形性质【解题法宝】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论． 3.如何利用余弦定理判定三角形的形状由于cos A 与222b c a +-同号， 故当2220b c a +->时，角A 为锐角； 当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形； 当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．例4 【2020江西高安中学期末】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC V 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【分析】将角C 用角A 角B 表示出来，和差公式化简得到答案.【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以2cos sin sin()sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+， 即cos sin cos sin 0B A A B -=，所以sin()0A B -= 因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以ππ<-<-B A ， 所以A B ∠=∠，故选C【副题集训】1.【2019届北师大实验中学二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，p ＝10，S 8，∴此三角形面积的最大值为8，故选C ．2. 【2020陕西汉中11月月考】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a bc =2，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．锐角非等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】D【解析】在ABC ∆中，60A =︒，a bc =2，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-=，()20b c ∴-=，b c ∴=，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形.，故选D3.【2020山东德州期中】中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为2(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)A ．3323B ．5323C ．7323D ．8323【答案】B【解析】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==(米/秒)，故选B ．4. 【2019届上海市七宝中学期末】△ABC 中，a 2：b 2=tan A ：tan B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】∵a 2：b 2=tan A ：tan B ，由正弦定理可得，，∵sin A sin B ≠0，∴，∴sin A cosA=sin B cosB 即sin2A =sin2B ，∴2A =2B 或2A +2B =π，∴A =B 或A +B =，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．5.【2020云南昆明一中期中】在ABC ∆中，3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为( )A ．5B ．27C ．3D ．4【答案】B【解析】因为2sin sin sin AB AC BCC B A===，所以22sin 4sin 2sin 4sin 4sin 23cos 27sin()3AB BC C A C C C C C πϕ⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪⎝⎭，其中3tan 2ϕ=，当()sin 1C ϕ+=取得最大值，存在C 使得最大值为27，故选B. 6.【2019届闽粤赣三省十校联考】已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由正弦定理可知：，即，即，，在中，，即，解得，故选7.【2020河南洛阳二高期末】一船沿北偏西45o 方向航行，正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60o ，另一灯塔在船的南偏东75o ，则这艘船的速度是每小时 ( ) A ．5海里 B ．52海里C ．10海里D ．102海里【答案】D【解析】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10，△AOC 中,由正弦定理可得102sin135sin30OC =︒︒，∴52OC =，∴5210212v ==，∴这艘船的速度是每小时102海里，故选D.8.【2019届湖南省怀化一模】在中，角的对边分别为，的面积为，若，则的值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，因为，由余弦定理，所以由，可得，整理得，所以，所以，化简得，因为，所以，故选C ．9. 【2020江西名师联盟一模】在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC ∆的面积取得最小值时有2c =( )A ．55+B ．55+C ．2553-D ．4553-【答案】D【解析】由已知有sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，根据正弦定理得2246sin a b ab C +=，又in 12s S ab C =，即22412a b S +=，由于24a b +=，即有2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，即有41612ab S =-，由于224282a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即16128S -≤，解得23s ≥，当且仅当22a b ==时取等号，当2a =，1b =，S 取最小值23，又2sin 3C =(C 为锐角)，则5cos 3C =， 则22242cos 553c a b ab C =+-=-，故选D 10.【2019届陕西省汉中市重点中学3月联考】在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为( ) A ．B ．C ．或D ．或【答案】D 【解析】由题可知，，则，或.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为，故选D.11．【2020四川成都石室天府中学四质检】我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于( )A ．10B ．6C ．10或6D ．1120或1136【答案】C【解析】已知2S =，a =2b =，代入S =2=，即4212450c c -+= ，解得225,9c c ==，当25c =时，由余弦弦定理得：222cos 210b c a A bc +-==，sin 10A ==.当29c =时，由余弦弦定理得：2225cos 26b c a A bc +-== ，11sin 6A ==，故选C 12.【2020湖北武汉3月质检】已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( )A ．5B ．5C ．5D ．3【答案】B【解析】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-①由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =② 由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤，当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号，故选B13.【2019届河北省保定市10月摸底】已知在河岸处看到河对岸两个帐篷分别在北偏东和北偏东方向，若向东走30米到达处后再次观察帐篷，此时二者分别在北偏西和北偏西方向，则帐篷之间的距离为( )A．米B．米C．米D．米【答案】C【解析】由题意可得在中有因为所以解得在中有：解得在中有：，解得，故选C。
2020届高考数学压轴必刷题专题04三角函数与解三角形(文理合卷)1．【2019年天津理科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（），则f（）＝（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝A sin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴2π，得ω＝2，则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，故选：C．2．【2019年新课标3理科12】设函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【解答】解：当x∈[0，2π]时，∈[，]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．3．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d，tanα，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝13．∴d的最大值为3．故选：C．5．【2017年天津理科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω，φB．ω，φC．ω，φD．ω，φ【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（），得sin（φ）＝1．∴φ，k∈Z．取k＝0，得φπ．∴，φ．故选：A．6．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．7．【2013年新课标2理科12】已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a＝0时，直线y＝ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得，b＝1，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b．综上可得，1b，故选：B．8．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．9．【2010年浙江理科09】设函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）＝4sin（2x+1）与h（x）＝x的图象如下图示：由图可知g（x）＝4sin（2x+1）与h（x）＝x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，由图可知函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点故选：A．10．【2010年上海理科18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形【解答】解：设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知a b c，∴a：b：c＝13：11：5令a＝13，b＝11，c＝5由余弦定理得cos A0，所以角A为钝角，故选：D．11．【2019年江苏13】已知，则sin（2α）的值是．【解答】解：由，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α，cos2α，∴sin（2α）；当tanα时，sin2α，cos2α，∴sin（2α）．综上，sin（2α）的值是．故答案为：．12．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．13．【2017年浙江14】已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC＝．【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB＝AC＝4，BC＝2，∴BE BC＝1，AE⊥BC，∴AE，∴S△ABC BC•AE2，∵BD＝2，∴S△BDC S△ABC，∵BC＝BD＝2，∴∠BDC＝∠BCD，∴∠ABE＝2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE，∴cos∠ABE＝2cos2∠BDC﹣1，∴cos∠BDC，故答案为：，14．【2016年江苏14】在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是．【解答】解：由sin A＝sin（π﹣A）＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，sin A＝2sin B sin C，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin B sin C，①由三角形ABC为锐角三角形，则cos B＞0，cos C＞0，在①式两侧同时除以cos B cos C可得tan B+tan C＝2tan B tan C，又tan A＝﹣tan（π﹣A）＝﹣tan（B+C）②，则tan A tan B tan C•tan B tan C，由tan B+tan C＝2tan B tan C可得tan A tan B tan C，令tan B tan C＝t，由A，B，C为锐角可得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，由②式得1﹣tan B tan C＜0，解得t＞1，tan A tan B tan C，（）2，由t＞1得，0，因此tan A tan B tan C的最小值为8，另解：由已知条件sin A＝2sin B sin c，sin（B十C）＝2sin B sin C，sin B cos C十cos B sin C＝2sin B cos C，两边同除以cos B cos C，tan B十tan C＝2tan B tan C，∵﹣tan A＝tan（B十C），∴tan A tan B tan C＝tan A十tan B十tan C，∴tan A tan B tan C＝tan A十2tan B tan C≥2，令tan A tan B tan C＝x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t＝2时取到等号，此时tan B+tan C＝4，tan B tan C＝2，解得tan B＝2，tan C＝2，tan A＝4，（或tan B，tan C互换），此时A，B，C均为锐角．15．【2016年上海理科13】设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x）＝a sin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x）＝a sin（bx+c），∴必有|a|＝2，若a＝2，则方程等价为sin（3x）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时C，若b＝﹣3，则C，若a＝﹣2，则方程等价为sin（3x）＝﹣sin（bx+c）＝sin（﹣bx﹣c），若b＝﹣3，则C，若b＝3，则C，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．16．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．17．【2015年上海理科13】已知函数f（x）＝sin x．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．【解答】解：∵y＝sin x对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．18．【2014年江苏14】若△ABC的内角满足sin A sin B＝2sin C，则cos C的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a b＝2c，得c（a b），由余弦定理得cos C，当且仅当时，取等号，故cos C＜1，故cos C的最小值是．故答案为：．19．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．20．【2014年上海理科12】设常数a使方程sin x cos x＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝．【解答】解：sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）＝a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x），x2kπ，即x＝2kπ，或x2kπ，即x＝2kπ，∴此时x1＝0，x2，x3＝2π，∴x1+x2+x3＝02π．故答案为：21．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．【解答】解：由f（）＝f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x，则x离最近对称轴距离为．又f（）＝﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则T⇒T，从而⇒T＝π．故答案为：π．22．【2013年浙江理科16】△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC＝．【解答】解：如图设AC＝b，AB＝c，CM＝MB，∠MAC＝β，在△ABM中，由正弦定理可得，代入数据可得，解得sin∠AMB，故cosβ＝cos（∠AMC）＝sin∠AMC＝sin（π﹣∠AMB）＝sin∠AMB，而在RT△ACM中，cosβ，故可得，化简可得a4﹣4a2b2+4b4＝（a2﹣2b2）2＝0，解之可得a b，再由勾股定理可得a2+b2＝c2，联立可得c，故在RT△ABC中，sin∠BAC，另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠BBM：sinβ＝AM又有sinβ＝cos∠AMC＝cos（α+∠B），联立消去BM，AM得sin∠B cos（α+∠B）＝sinα，拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，构造二次齐次式，同除cos2∠B，可得tanα，若，则cos∠BAM，tan∠BAM，解得tan∠B，cos B易得sin∠BAC．另解：作MD⊥AB交于D，设MD＝1，AM＝3，AD＝2，DB＝x，BM＝CM，用△DMB和△CAB相似解得x，则cos B，易得sin∠BAC．故答案为：23．【2013年上海理科11】若cos x cos y+sin x sin y，sin2x+sin2y，则sin（x+y）＝．【解答】解：∵cos x cos y+sin x sin y，∴cos（x﹣y）．∵sin2x+sin2y，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]，∴2sin（x+y）cos（x﹣y），∴，∴sin（x+y）．故答案为．24．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：225．【2010年江苏13】在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6cos C，则的值是．【解答】解：∵6cos C，由余弦定理可得，∴则故答案为：426．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．1．【2019年天津文科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（），则f（）＝（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，故选：C．2．【2019年新课标2文科11】已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα．故选：B．3．【2019年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，则（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，∴，解得3c2，∴6．故选：A．4．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．5．【2018年新课标2文科10】若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）sin（x），由2kπ≤x2kπ，k∈Z，得2kπ≤x2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a．则a的最大值是．故选：C．6．【2018年新课标1文科11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a），B（2，b），且cos2α，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，∴cos2α＝2cos2α﹣1，解得cos2α，∴|cosα|，∴|sinα|，|tanα|＝||＝|a﹣b|．故选：B．7．【2018年新课标3文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC，∴sin C cos C，∵0＜C＜π，∴C．故选：C．8．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．9．【2017年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵A＜π，∴A，由正弦定理可得，∴sin C，∵a＝2，c，∴sin C，∵a＞c，∴C，故选：B．10．【2017年天津文科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω，φB．ω，φC．ω，φD．ω，φ【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（），得sin（φ）＝1．∴φ，k∈Z．取k＝0，得φπ．∴，φ．故选：A．11．【2016年新课标2文科11】函数f（x）＝cos2x+6cos（x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）＝cos2x+6cos（x）＝1﹣2sin2x+6sin x，令t＝sin x（﹣1≤t≤1），可得函数y＝﹣2t2+6t+1＝﹣2（t）2，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t＝1即x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．12．【2016年天津文科08】已知函数f（x）＝sin2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1）C．（0，] D．（0，]∪[，]【解答】解：函数f（x）sinωx sinωx，由f（x）＝0，可得0，解得x∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．13．【2014年天津文科08】已知函数f（x）sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵已知函数f（x）sinωx+cosωx＝2sin（ωx）（ω＞0），x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则，∴T＝π，故选：C．14．【2012年天津文科07】将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（）A．B．1 C．D．2【解答】解：将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sinω（x）．再由所得图象经过点可得sinω（）＝sin（ω）＝0，∴ω•kπ，k∈z．故ω的最小值是2，故选：D．15．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．16．【2018年新课标1文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A，则A由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A时，，解得bc，所以．②当A时，，解得bc（不合题意），舍去．故：．故答案为：．17．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．18．【2017年新课标2文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C+c cos A，则B＝．【解答】解：∵2b cos B＝a cos C+c cos A，由正弦定理可得，2cos B sin B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴cos B，∵0＜B＜π，∴B，故答案为：19．【2015年天津文科14】已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为．【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx sin（ωx），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπωx2kπ，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω①，ω②，k∈Z，∴解得：0＜ω2且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：，k∈Z，∴可解得：k＝0，又∵由ωx kπ，可解得函数f（x）的对称轴为：x，k∈Z，∴由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，可得：ω2，可解得：ω．故答案为：．20．【2014年新课标1文科16】如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，∴AC100．△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，解得AM＝100．Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝100sin60°＝150（m），故答案为：150．21．【2013年新课标1文科16】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：22．【2013年新课标2文科16】函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y ＝sin（2x）的图象重合，则φ＝．【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2（x）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），而函数y＝sin（2x），由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x）的图象重合，得2x+φ﹣π，解得：φ．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．23．【2010年新课标1文科16】在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD，∠ADB＝135°．若AC AB，则BD ＝．【解答】用余弦定理求得AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BD cos135°AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CD cos45°即AB2＝BD 2+2+2BD①AC2＝CD2+2﹣2CD②又BC＝3BD所以CD＝2BD所以由（2）得AC2＝4BD2+2﹣4BD（3）因为AC AB所以由（3）得2AB2＝4BD2+2﹣4BD（4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1＝0求得BD＝2故答案为：2。
第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-2．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．653．（2021·全国·高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 4．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．C D5．（2022·山东淄博·三模）已知π(,0)2∈-απ2sin()4αα=+，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．16．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C ．D ．7．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（ ） AB ．2C ．4D ．88．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1B ．23C ．52D ．729．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 10．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（ ）A ．2325B ．2325-C ．35D ．3511．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ）A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C ．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=12．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______． 13．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知π5π24α<<，π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α___________.14．（2022·河北秦皇岛·二模）已知α为锐角，且5tan tan()43παα+-=，则sin 21cos 2αα+=___________.15．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．16．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知ππ0sin 246αα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，sin 1tan αα=+________. 17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，cos 24βπ⎛⎫- ⎪⎝⎭αβ-的值．18．（2022·全国·模拟预测）在①()cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；①tan 7sin αα=；①sin 2α=任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-，______，求cos β．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知15αβ+=，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ++-=---（ ）A ．B C ．1D 2．（2022·湖南师大附中三模）已知双曲线22:31C x y -=的左，右顶点分别为A 、B ，P 是C 在第一象限的图象上的点，记PAB α∠=，PBA β∠=，APB γ∠=，则（ ） A ．tan tan tan 0αβγ++= B ．tan tan tan 0αβγ+-= C ．3tan 3tan 4tan 0αβγ++=D ．2tan 2tan 3tan 0αβγ++=3．（2022·全国·模拟预测）()28sin122cos 121tan12-+=（ ）A．1 BC D ．24．（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G ，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P 处，从P 出发的光线经过镜面（点M 处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q 处，镜面绕M 点顺时针旋转a 角后，反射光线照射在刻度尺的点Q '处，若①PMQ 是正三角形．PQ a QQ b ='=，（如图3），则下列等式中成立的是（ ）A ．3tan 2ba b α=+ B ．3tan 2aa b α=+ C ．tan 2α= D ．tan 2α=5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（ ）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知α为第一象限角，β为第三象限角，且3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，12cos 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos()αβ+可以为（ ）A ．3365-B ．6365-C ．3365D ．63657．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）()()()sin 75cos 453cos 15θθθ+++-+=__________.8．（2022·全国·高三专题练习）sin()sin()sin(2)1633πππααα++-=+,若[0,]2πα∈，则α=_________.9．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知34παπ<<，110tan tan 3αα+=-，求225sin 8sincos11cos 82222)2ααααπα++--的值；（2）已知π0π2αβ<<<<，1tan 22α=，cos()βα-=β的值．第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-【答案】C【解析】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， 即：()()sin cos 0αβαβ-+-=, 所以()tan 1αβ-=-, 故选：C2．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．3．（2021·全国·高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.4．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】B【解析】角α的终边的经过()1,2P -，所以sinα==cos α== 所以4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=-，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 666ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：B ．5．（2022·山东淄博·三模）已知π(,0)2∈-απ2sin()4αα=+，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】C【解析】π2cos 2sin()cos )42αααα=+=+，221cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααααα∴-=+-=+，1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，cos sin 0αα∴+=或1cos sin 2αα-=，由cos sin 0αα+=平方可得1sin 20α+=，即sin 21α=-，由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=， 因为π(,0)2∈-α，所以2(π,0)α∈-，sin 20α<， 综上，sin 21α=-.故选：C6．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若cos 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） ABC．10-D．【答案】C【解析】3411,,,,sin 0,23363πππαππαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+∈+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 3πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos cos 1234πππαα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin 3444ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.7．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（ ） AB ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】解：∵tan20°+m sin20°=∴msin20cos20sin20︒︒==︒=12sin2021sin402⎫︒-︒⎪⎝⎭=︒()2sin 60201sin402︒-︒==︒4故选：C 8．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1 B ．23C ．52D ．72【答案】A【解析】解：由题意可得tan 3α=，1tan()2αβ-=， 所以[]13tan tan()2tan tan ()111tan tan()132ααββααβααβ---=--===+-+⨯， 即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A.9．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 【答案】C【解析】,αβ均为锐角，即,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,22ππβα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，()cos βα∴-=sin α=， ()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα∴=-+=---⎡⎤⎣⎦⎛= ⎝⎭， 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πβ∴=.故选：C.10．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（ ）A ．2325 B ．2325- C ．35 D ．35【答案】B【解析】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1f f αβ==， 所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 6πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()cos cos cos cos sin sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11235525⨯=-=+， 故选：B.11．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ） A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=【答案】AB【解析】因为4cos 25α=-，π0,02π2αα<<∴<<，所以3sin 25α=，故A 正确；因为()cos αβ+=ππ0,0,0π22αβαβ<<<<∴<+<，所以()sin αβ+==所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++⎛⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭4355，故B正确；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=， cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=②， 由+①②得，2cos co s αβ=，解得cos cos αβ=C 不正确； 由①-②得，2sin sin αβ=，解得sin sin αβ=sin sin tan tan 3cos c os αβαβαβ===，故D 不正确.故选：AB.12．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______．【答案】1【解析】因为()tan10tan 351tan 45tan 10351tan10tan 35︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan35tan10tan10tan351︒+︒+︒︒=． 故答案为：113．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知π5π24α<<，π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α___________.【答案】2425【解析】)π3sin sin cos 45ααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()()119712sin cos 1sin 2,sin 2222525αααα∴-=-=∴=，π5π5π,π2242αα<<∴<<，5πsin 20,2π2,cos 202ααα>∴<<∴>，24cos 225α∴=. 故答案为：2425. 14．（2022·河北秦皇岛·二模）已知α为锐角，且5tan tan()43παα+-=，则sin 21cos 2αα+=___________. 【答案】3-【解析】由5tan tan 43παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得1tan 5tan 1tan 3ααα-+=+， 即23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=或1tan 3α=-，因为α为锐角，所以tan 2α=，故222222sin212sin cos sin cos tan 2tan 14413cos2cos sin 1tan 14ααααααααααα+++++++====----， 故答案为：3-.15．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．【答案】45【解析】2παβ+=，①sin cos βα=，即3sin cos αα-=αα⎫⎪⎪⎭sin θ=cos θ=()αθ-①22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，①sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=．45． 16．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知ππ0sin 24αα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，sin 1tan αα=+________.【解析】因为π02α<<，πππ444α-<-<，所以πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以ππππππsin sin sin cos cos sin 444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，所以sin α=，cos α==，所以sin tan cos ααα==，则sin 1tan αα=+17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值； (2)若02πβ-<<，cos 24βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ-的值． 【解】(1)解：因为02πα<<，3444πππα∴<+<， 又1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以1sin sin sin cos cos cos 4444443ππππππαααα⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭(2)解：因为cos 24βπ⎛⎫- ⎪⎝⎭211sin cos cos 22cos 1212242433πβπβπββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为02πβ-<<，所以cos β==由（1）知，4cos cos cos cos sin sin 4444446ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()441cos cos cos sin sin 63632αβαβαβ⎛⎫-=+=+-= ⎪⎝⎭因为02πα<<，02πβ-<<，则0αβπ<-<，所以4αβ-=π．18．（2022·全国·模拟预测）在①()cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；①tan 7sin αα=；①sin 2α=任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-，______，求cos β．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解】若选条件①，由()cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得：sin αα=，又22sin cos 1αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α∴=1cos 7α=；若选条件①，由tan 7sin αα=得：sin 7sin cos ααα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0α∴>，1cos 7α∴=，sin α==；若选条件①，由sin 2α=21cos 12sin 7αα=-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0α∴>，sin α∴=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴+∈，()4sin 5αβ∴+=，()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα∴=+-=+++⎡⎤⎣⎦314575=-⨯+= 【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知15αβ+=，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ++-=---（ ）A ．B C ．1 D 【答案】D【解析】因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，所以()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，所以()()()()()()1tan tan tan 1tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++-++-=-----+- ()()()()()()()1tan 1tan tan 1tan tan 45tan15tan 451531tan 1tan 45tan151tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ⎡⎤++-+++⎣⎦===+=-+-⎡⎤-+-⎣⎦.故选：D.2．（2022·湖南师大附中三模）已知双曲线22:31C x y -=的左，右顶点分别为A 、B ，P 是C 在第一象限的图象上的点，记PAB α∠=，PBA β∠=，APB γ∠=，则（ ） A ．tan tan tan 0αβγ++= B ．tan tan tan 0αβγ+-= C ．3tan 3tan 4tan 0αβγ++= D ．2tan 2tan 3tan 0αβγ++=【答案】C【解析】解：由双曲线22:31C x y -=，得()()1,0,1,0A B -，设(),,0,0P x y x y >>，则22111PA PB y k k y x x x y ⋅=⋅=+--， 又2231x y -=， 所以2213311PA PBy k k y +-⋅==，则1tan tan 3αβ=-，所以tan tan 3(tan tan )tan tan()tan tan 14αβαβγαβαβ+-+=-+==-，即3tan 3tan 4tan 0αβγ++=. 故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）()28sin122cos 121tan12-+=（ ）A ．1 BC D ．2【答案】C 【解析】()2sin128sin122cos 121tan128sin12cos 24cos12-+=+8sin12cos12cos 24sin124sin 24cos 24sin12cos12cos12++==()2sin 6012sin122sin 48sin123cos12sin12sin12cos12cos12cos12-++-+===cos123cos12== 故选：C.4．（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G ，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P 处，从P 出发的光线经过镜面（点M 处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q 处，镜面绕M 点顺时针旋转a 角后，反射光线照射在刻度尺的点Q '处，若①PMQ 是正三角形．PQ a QQ b ='=，（如图3），则下列等式中成立的是（ ）A ．3tan 2ba b α=+ B ．3tan 2aa b α=+ C ．tan 2α= D ．tan 2α=【答案】C【解析】过点M 作MD PQ ⊥，因为①PMQ 是正三角形．PQ a QQ b ='=， 则12DQ a b '=+，MD =，602MQ D α'∠=︒- 所以()2tan tan 6022MD MQ D a DQ b α'∠=︒-==='+则tan 60tan 21tan 60tan 2αα︒-==+︒⋅，解得tan 2α=故选：C5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（ ）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒【答案】B【解析】因为()()sin361sin 22sin18cos181sin 2αα︒+=︒︒+所以()22cos 18cos22sin18cos181sin 2αα︒=︒︒+，整理得：cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒=︒+︒，cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒-︒=︒()cos 218sin18α+︒=︒因为090α︒≤<︒，所以18218198α︒≤+︒<︒， 所以2189018α+︒=︒-︒， 解得：27α=︒ 故选：B6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知α为第一象限角，β为第三象限角，且3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，12cos 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos()αβ+可以为（ ）A ．3365-B ．6365-C ．3365D ．6365【答案】CD【解析】因为α为第一象限角，所以(2,2),2k k k Z παππ∈+∈，5(2,2),336k k k Z πππαππ+∈++∈，因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3sin 53π<=，所以3πα+是第二象限角，所以4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β为第三象限角，所以3(2,2),2k k k Z βππππ∈++∈，27(2,2),336k k k Z πβππππ-∈++∈，因为12cos 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3πβ-是第二象限角或第三象限角，当3πβ-是第二象限角时，5sin 313πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时cos()cos[()()]33ππαβαβ+=++-cos()cos()sin()sin()3333ππππαβαβ=+--+-4123533()()51351365=-⨯--⨯=，当3πβ-是第三象限角时，5sin 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时cos()cos[()()]33ππαβαβ+=++-cos()cos()sin()sin()3333ππππαβαβ=+--+-4123563()()()51351365=-⨯--⨯-=，故选：CD.7．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）()()()sin 75cos 453cos 15θθθ+++-+=__________. 【答案】0【解析】()()()sin 75cos 453cos 15θθθ+++-+()()cos sin(1560453c s 1)o 5θθθ=+︒+︒++-+()()sin(15)cos60cos(1cos 5)sin 453cos 6015θθθθ=+︒︒++︒-︒+++()()1sin(15)1cos 5)453cos 125θθθθ+=+︒++︒+-+1sin(15)15)cos(45)2θθθ=+︒+︒++︒sin30sin(15)cos30cos(15)cos(45)θθθ=︒+︒-︒+︒++︒cos(45)cos(45)θθ=-+︒++︒0=.故答案为：0．8．（2022·全国·高三专题练习）sin()sin()sin(2)1633πππααα++-=+,若[0,]2πα∈，则α=_________.【答案】π12【解析】ππππsin cos 3266sin ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππcos 66sin t αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，平方得2π216sin t α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ64α++∈5π11π01212t ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，，， 所以220t t -=，解得t==t =，π12α=． 故答案为π12. 9．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知34παπ<<，110tan tan 3αα+=-，求225sin 8sincos11cos 82222)2ααααπα++--的值；（2）已知π0π2αβ<<<<，1tan 22α=，cos()βα-=β的值．【解】解：（1）因为34παπ<<， 所以1tan 0α-<<， 因为110tan tan 3αα+=-， 整理得23tan 10tan 30αα++=， 解得1tan 3α=-或tan 3α=-（舍)，225115sin8sin cos11cos8(1cos)4sin(1cos)8 2222)2αααααααπα++--+++-=-，α，=（2）因为02πα<<，1tan22α=，所以22tan142tan131tan124ααα===--，故3cos5α==，4sin5α，因为π0π2αβ<<<<，cos()10βα-=，所以0βαπ<-<，所以sin()βα-=，所以sin sin[()]sin()cos sin cos()ββααβαααβα=-+=-+-，3455==，因为2πβπ<<，所以34πβ=．。
