数学必修二第二单元成才之路答案

其次章 2.3 2.3.1一、选择题1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足导学号 03310738( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外[答案] C[解析] 由于(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 故点P (3,2)在圆内．2．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为导学号 03310739( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 [答案] A[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2．3．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是导学号 03310740( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 [答案] B[解析] 圆心为(－1,1)， 半径r ＝(－1－3)2＋(1＋2)2＝5，故选B ．4．点P ⎝⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是导学号 03310741( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关[答案] C [解析] |PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 21＋t 22＝1，故点P 在圆上． 5．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是导学号 03310742( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5[答案] A[解析] 圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A ．6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是导学号 03310743( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0[答案] A[解析] ∵点P (2，－1)为弦AB 的中点，又弦AB 的垂直平分线过圆心(1,0)， ∴弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝0－(－1)1－2＝－1，∴直线AB 的斜率k ′＝1，故直线AB 的方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0． 二、填空题7．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.导学号 03310744 [答案] ±2[解析] ∵点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴1＋3＝m 2，∴m ＝±2．8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是__________________.导学号 03310745[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝8[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2．∴圆心坐标为(2,2)，半径r ＝22＋22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8． 三、解答题9．圆心在直线x －2y －7＝0上的圆C 与x 轴交于两点A (－2,0)、B (－4,0)，求圆C 的标准方程.导学号 03310746[解析] 弦AB 的垂直平分线方程为x ＝－2－42＝－3．由题意知圆心C 为直线x ＝－3与x －2y －7＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3x －2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－5． ∴C (－3，－5)．圆C 的半径r ＝|AC |＝26，∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝26．10．已知两点P 1(3,8)和P 2(5,4)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并推断M (6,3)、Q (8,1)是在圆上？圆外？圆内？导学号 03310747[解析] 由已知条件可得圆心坐标为C (4,6)，半径为r ＝|P 1C |＝(3－4)2＋(8－6)2＝5，所以以P 1P 2为直径的圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝5．由于|MC |＝(4－6)2＋(6－3)2＝13>5＝r ；|QC |＝(4－8)2＋(6－1)2＝41>5＝r ．故点M 、Q 都在圆外.一、选择题1．过点A (1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为导学号 03310748( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝2 C ．(x －5)2＋(y －5)2＝25 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 [答案] A[解析] 由题意可设圆心为(a ，a )，则半径r ＝a ，圆方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2， 又点A (1,2)在圆上，∴(1－a )2＋(2－a )2＝a 2，解得a ＝1或a ＝5．∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25．2．圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25上的点到原点的最大距离是导学号 03310749( ) A ．5－10 B ．5＋10 C ．10 D ．10[答案] B[解析] 圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25的圆心为A (－3,1)，半径r ＝5，O 为坐标原点，|OA |＝(－3)2＋12＝10，如图所示，明显圆上的点到原点O 的最大距离为|OA |＋r ＝10＋5． 3．方程y ＝9－x 2表示的曲线是导学号 03310750( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆[答案] D[解析] 由y ＝9－x 2，得y ≥0，两边平方得x 2＋y 2＝9，∴曲线为半圆．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是导学号 03310751( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[答案] B[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2， ∵0<a <1，∴(a －1)2>0，故原点在圆外． 二、填空题5．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________.导学号 03310752 [答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] ∵圆过原点，圆心在x 轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于2，故圆心坐标为(－2，0)，所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．6．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________.导学号 03310753[答案] 5＋ 2[解析] 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．三、解答题7．求满足下列条件的各圆的标准方程：导学号 03310754 (1)圆心在直线5x －3y ＝8上，且与两坐标轴相切； (2)经过点A (－1,4)、B (3,2)且圆心在y 轴上． [解析] (1)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． ∵圆与坐标轴相切，∴a －b ＝0或a ＋b ＝0， 又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8．由⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －3b ＝8a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －3b ＝8a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1． ∴圆心为(4,4)时，半径r ＝4，圆心为(1，－1)时，半径r ＝1.故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1． (2)∵圆心在y 轴上，∴设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2． 又∵点A (－1,4)、B (3,2)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 232＋(2－b )2＝r 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1r 2＝10．故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10．8．已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？导学号 03310755[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3.即在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．9．已知定点O (0,0)、A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.导学号 03310756[解析] 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2，整理得(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0．∵λ>0，∴以当λ＝1时，则方程可化为：2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线． 当λ≠1时，则方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝(3λλ－1)2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．。

其次章 2.3.3一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为导学号 03310804( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3[答案] B[解析] 该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简洁题． 圆的圆心为(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a ＝0， ∴－3＋2＋a ＝0， ∴a ＝1．2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(a 、b 、c 都是正数)与圆x 2＋y 2＝1相切，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是导学号 03310805( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在[答案] B [解析] 由题意得|c |a 2＋b 2＝1，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B ．3．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是导学号 03310806( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定[答案] B[解析] 直线ax －y ＋2a ＝0可化为a (x ＋2)－y ＝0，即直线过定点(－2,0)，又∵定点(－2,0)在圆x 2＋y 2＝9的内部，∴直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交．4．(2022·全国卷Ⅱ文，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝导学号 03310807( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2[答案] A[解析] 由题可知，圆心为(1,4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43．5．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有导学号 03310808( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0的圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝22，如图所示，圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，故过圆心C 与直线x ＋y ＋1＝0平行的直线l 与圆的两个交点A 、B 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2.又圆的半径r ＝22，故过圆心C 作直线x ＋y ＋1＝0的垂线，并延长与圆的交点C ′到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，故选C ．6．已知圆C ：x 2＋y 2＝10，过点P (1,3)作圆C 的切线，则切线方程为导学号 03310809( ) A ．x ＋3y －10＝0 B ．x －3y ＋8＝0 C ．3x ＋y －6＝0 D ．3x －y ＋10＝0[答案] A[解析] ∵点P (1,3)在圆x 2＋y 2＝10上，∴过点P (1,3)的圆的切线方程为x ＋3y －10＝0． 二、填空题7．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为________.导学号 03310810 [答案] 4＋322[解析] 圆心到直线x －y ＝3的距离为32＝322，∴圆心x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为4＋322．8．已知圆C ：(x －1)2＋(y －3)2＝25，过点P (－2,7)作圆的切线，则该切线的一般式方程为________.导学号 03310811[答案] 3x －4y ＋34＝0[解析] ∵圆心的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25， ∴(－2－1)2＋(7－3)2＝25，∴P (－2,7)在圆上． ∵圆心C (1,3)，∴直线PC 的斜率为7－3－2－1＝－43，∴切线l 的斜率为k ＝34，∴切线l 的方程为y －7＝34(x ＋2)．即3x －4y ＋34＝0．三、解答题9．已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程.导学号 03310812[解析] 由题意可设圆心坐标为(a ，a3)，圆的半径R ＝|a |，由题意得(|a －a 3|2)2＋(7)2＝a 2，∴a 2＝9，a ＝±3．故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9． 10．已知方程x 2＋y 2－2mx －4y ＋5m ＝0的曲线是圆C .导学号 03310813 (1)求m 的取值范围；(2)当m ＝－2时，求圆C 截直线l ：2x －y ＋1＝0所得弦长． [解析] (1)由题意得(－2m )2＋(－4)2－4×5m >0， 即m 2－5m ＋4>0， ∴m >4或m <1．(2)当m ＝－2时，圆C 的圆心坐标为(－2,2)，半径r ＝32． 圆心C (－2,2)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|－4－2＋1|22＋(－1)2＝5，∴圆C 截直线l 所得弦长为2(32)2－(5)2＝213.一、选择题1．与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有导学号 03310814( ) A ．6条 B ．4条 C ．3条 D ．2条[答案] C[解析] 在两轴上截距相等，分两种情形：①过原点，截距都是0，设为y ＝kx ，由(0,2)到y ＝kx 距离为2， ∴21＋k 2＝2，∴k ＝±1．②不过原点设截距均为a ，则方程为x ＋y ＝a ． 同样可得：|2－a |2＝2，∴a ＝4，共有3条．2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长是导学号 03310815( ) A ．6 B ．522C ．1D ． 2[答案] A[解析] 圆心C (2，－2)，半径r ＝2， 弦心距|2＋2－5|2＝22，∴弦长为2(2)2－⎝⎛⎭⎫222＝6． 3．已知圆x 2＋y 2＝9的弦过点P (1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线方程为导学号 03310816( ) A ．y －2＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＝0 D ．x －1＝0[答案] B[解析] 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P (1,2)的直径垂直．已知圆心O (0,0)， ∴过点P (1,2)的直径的斜率k ＝2－01－0＝2，故所求直线的斜率k ＝－12，所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0．4．平行于直线x ＋y －1＝0且与圆x 2＋y 2－2＝0相切的直线的方程是导学号 03310817( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋y ＋22＝0或x ＋y －22＝0D ．x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0[答案] D[解析] 设所求直线方程为x ＋y ＋m ＝0，由题意得|m |2＝2， ∴m ＝±2，故所求直线方程为x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0． 二、填空题5．直线x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是________．(填“相交、相切或相离”)导学号 03310818 [答案] 相交[解析] 圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2<2，故直线与圆相交． 6．(2022·天津文，12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________.导学号 03310819[答案] (x －2)2＋y 2＝9[解析] 设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，解得a ＝2，半径r ＝(2－0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9． 三、解答题7．求过点A (2，－1)，圆心在直线y ＝－2x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切的圆的方程.导学号 03310820 [解析] 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，由题意得⎩⎨⎧ b ＝－2a(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2r ＝2．故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．8．当m 为何值时，直线mx －y －m －1＝0与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相交、相切、相离？导学号 03310821 [解析] 解法一：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx －m －1x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，得(1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0， Δ＝4m (3m ＋4)，当Δ＝0，即m ＝0或－43时，直线与圆相切，当Δ>0时，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离．解法二：(几何法)由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2，圆心到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2，当d ＝2，即m ＝0或－43时，直线与圆相切；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离；当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交．9．求证：不论k 为何值，直线l ：kx －y －4k ＋3＝0与曲线C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0恒有两个交点.导学号 03310822[解析] 解法一：将直线l 与曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧kx －y －4k ＋3＝0， ①x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0， ②消去y ，得(1＋k 2)x 2－2(4k 2＋k ＋3)x ＋2(8k 2＋4k ＋3)＝0.③∵Δ＝4(4k 2＋k ＋3)2－8(1＋k 2)(8k 2＋4k ＋3)＝12k 2－8k ＋12＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫k －132＋89>0， ∴方程③有两相异实数根，因而方程组有两个解，即说明直线l 与曲线C 恒有两交点．解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2，圆心为C(3,4)的圆．∵|AC|＝(4－3)2＋(3－4)2＝2<r，∴直线l与曲线C恒有两个交点．。

第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案] C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．4．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析] 取AD 的中点H ，连FH 、EH ，在△EFH 中 ∠EFH ＝90°， HE ＝2HF ，从而∠FEH ＝30°， 故选A.5．下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ②④是正确的．6．如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论不正确的是( )A ．当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形B ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形C ．当λ＝μ＝12时，四边形EFGH 是平行四边形D ．当λ＝μ≠12时，四边形EFGH 是梯形[答案] D[解析] 如图所示，连接BD ， ∵AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 同理，FG ∥BD ，且FG ＝μBD .∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG.∴此时四边形EFGH是平行四边形．∴选项A，C正确，D错；当λ≠μ时，EH≠FG，则此时四边形EFGH是梯形，∴选项B正确．二、填空题7．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．(1)A1F1与BD所成角的度数为________．(2)C1F1与BE所成角的度数为________．[答案]30°60°9．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是________．[答案]④三、解答题10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF 即为所求．理由：∵EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，∴EF ∥BC .11．如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是VB 、VC 的中点，求异面直线DE 与AB 所成的角．[解析] 由已知得BC ⊥AC ， 又BC ＝AC ，∴∠ABC ＝45°.又在△VBC 中，D 、E 分别为VB 、VC 中点， ∴DE ∥BC ，∴DE 与AB 所成的角为∠ABC ＝45°.12．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE (或CD )．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。

第二章 2.3.4一、选择题1．(2015·辽宁锦州市高一期末测试)圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．外离D．内含[答案] A[解析]圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心C2(0,3)，半径r2＝2，∴两圆心的距离|C1C2|＝(0－0)2＋(3－0)2＝3，∴|C1C2|＝r1＋r2＝3，故两圆外切．故选A．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.3．(2015·甘肃天水一中高一期末测试)圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B 两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[答案] C[解析]圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB 的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B[解析]⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，|C1C2|＝13，0<13<4，∴两圆相交．5．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(1，－2) B．(3，－2)C ．(2，－1)D ．(2＋2，2－3)[答案] B [解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x －y －5＝0上，故选B.6．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率之积为－1，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2[答案] B[解析] 直接法，设P (x ，y )，由k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1及题设条件y x ＋1·y x －1＝－1(x ≠±1)知选B.二、填空题7．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是________．[答案] 相交[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2.故两圆相交．8．两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．[答案] x ＝23[解析] 两圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x ＝23. 三、解答题9．判断下列两圆的位置关系．(1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0，C 2：x 2＋y 2＋12x ＋6y －19＝0；(4)C 1：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0.[解析] (1)∵C 1：(x －1)2＋y 2＝4，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(2，－1)，半径r 2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，d＝|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10.∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，d＝|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交．10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切．求：(1)圆C2的标准方程；(2)m的值．[解析](1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，即(a－1)2＋(3－2)2＝32＋22，所以a＝8或－6(舍去)．所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，所以圆心C2到直线l的距离d＝r，即|8m＋3－7|m2＋1＝22，所以m ＝1或17.一、选择题1．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36[答案] D[解析] 由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36， 由题意，得a 2＋9＝5，∴a 2＝16，∴a ＝±4.2．过圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0内的点M (3,0)作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋4y －3＝0D ．x －4y －3＝0[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心C (1，－2)，当CM ⊥l 时，l 截圆所得的弦最短，k CM ＝－2－01－3＝1，∴k l ＝－1，故所求直线l 的方程为y －0＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 二、填空题3．⊙O ：x 2＋y 2＝1，⊙C ：(x －4)2＋y 2＝4，动圆P 与⊙O 和⊙C 都外切，动圆圆心P 的轨迹方程为______________________．[答案] 60x 2－4y 2－240x ＋225＝0[解析] ⊙P 与⊙O 和⊙C 都外切，设⊙P 的圆心P (x ，y )，半径为R ，则|PO |＝x 2＋y 2＝R ＋1，|PC |＝(x －4)2＋y 2＝R ＋2， ∴(x －4)2＋y 2－x 2＋y 2＝1，移项、平方化简得：60x 2－4y 2－240x ＋225＝0.4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是________________．[答案] －7≤m ≤7 2[解析] 由A ∩B ≠∅，即直线y ＝x ＋m 与半圆y ＝49－x 2有交点，如图所示．如图可知，－7≤m ≤7 2.三、解答题5．求经过两圆x 2＋y 2－2x －3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的交点，且圆心在直线2x －y ＝0上的圆的方程．[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A (1，－2)，B (3,0)，设圆心C (a ，b )，则由|CA |＝|CB |及C 在直线2x －y ＝0上，求出a ＝13，b ＝23. ∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.解法二：同上求得A (1，－2)、B (3,0)，则圆心在线段AB 的中垂线y ＝－x ＋1上，又在y＝2x 上，得圆心坐标⎝⎛⎭⎫13，23.∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.6．求⊙C 1：x 2＋y 2－2y ＝0与⊙C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的公切线方程．[解析] ⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝12，圆心C 1(0,1)，半径r ＝1，⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝32，圆心C 2(3，0)，半径R ＝3，圆心距|C 1C 2|＝2，∴|C 1C 2|＝R －r ，故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C 1C 2上， ∵C 1C 2：x ＋3y －3＝0，∴切线斜率k ＝ 3.设切线方程为y ＝3x ＋b ，由圆心C 1(0,1)到切线距离d ＝1，得|－1＋b |2＝1，∴b ＝3或－1.由C 2(3，0)到切线距离d ′＝3，得|3＋b |2＝3， ∴b ＝3或－9，∴b ＝3，∴公切线方程为y ＝3x ＋3，即3x －y ＋3＝0.7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0. ①∵圆A 的方程x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0. ②∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0. ③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215，所以t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 解法二：如图，设圆A 、圆B 的圆心分别为A 、B .则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M 、N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M 、N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得B ⎝⎛⎭⎫－35，－65，r min ＝215， 故圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。

第2章 2.3 2.3.1一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m[答案] C[解析]排除法，A可举反例，如图(1)，B可举反例如图(2)，其中l与m都平行于a，D可举反例，如图(3)，故选C.3．(08·福建理)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255 C.155 D.105[答案] D[解析] 取B 1D 1中点O ，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵A 1B 1＝B 1C 1＝2，∴C 1O ⊥B 1D 1， 又C 1O ⊥BB 1，C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠C 1BO 为直线C 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角， 在Rt △BOC 1中，C 1O ＝2，BC 1＝BC 2＋CC 21＝5， ∴sin ∠OBC 1＝105. 4．(09·四川文)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° [答案] D[解析] 设AB 长为1，由PA ＝2AB 得P A ＝2， 又ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为2， 又PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AD ，所以△PAD 为直角三角形． ∵PA ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，∴PD 与平面ABC 所成的角为45°，故选D.5．(09·湖北文)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠ACC 1＝60°，∠BCC 1＝45°，侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于( )A.12 B.22 C.32D.33[答案] A[解析] 作C 1O ⊥底面ABC 于O ， 作OM ⊥CB 于M ，连C 1M . 作ON ⊥AC 于N ，连C 1N .易知ON ⊥AC ，OM ⊥BC ，又∠ACB ＝Rt ∠，∴ONCM 为矩形，OC ＝MN ， 在Rt △CNC 1中，∠C 1CN ＝60°，CC 1＝1，∴CN ＝12，在Rt △C 1MC 中，∠C 1CM ＝45°，CC 1＝1，∴CM ＝22. ∴NM ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＝32，∴OC ＝32， 在Rt △C 1OC 中，C 1O ＝1－⎝⎛⎭⎫322＝12， ∴三棱柱高为12.6．(09·宁夏海南文)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得，B 1B ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥B 1B ， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得，B 1D 1∥BD ， B 1D 1⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴B 1D 1∥平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，∴B 正确． ∵A 到平面BDD 1B 1的距离d ＝22， ∴V A －BEF ＝13S △BEF ·d＝13·12S △BB 1D 1·d ＝112. ∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故C 正确．因E 、F 是线段B 1D 1上两个动点，且EF ＝22， 在E ，F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等 ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，故D 错．7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 连结AB 1，易知AB 1∥EF ，连结B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，在△GHC 中，易知GH ＝12AB 1＝22a ，BG ＝22a ，HB ＝22a ，故两直线所成的角为∠HGB ＝60°.[点评] 除可用上述将EF 平移到GH 方法外还可以在平面BCC 1B 1内过F 作FD ∥BC 1交B 1C 1于D ，考虑在△EFD 内求解等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了．8．在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A ．相交但不垂直B ．垂直但不相交C ．不相交也不垂直D ．无法判断 [答案] B[解析] 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长交DC 于N ，连DO 并延长交BC 于M ，连CO 并延长交BD 于H ，∵BC ⊥AO ，BC ⊥AD∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DM ，同理 BN ⊥CD ，∴O 为△BDC 的垂心，∴CH ⊥BD 又AO ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ， ∴BD ⊥AC . 二、填空题9．如图，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，P A 垂直于圆O 所在的平面，AC ＝3，PA ＝4，AB ＝5，则直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值为________．[答案]44141[解析] ∵PA ⊥平面ABC ∴PA ⊥BC ， 又BC ⊥AC ∴BC ⊥平面PAC ，∴∠BPC 为直线PB 与平面PAC 所成的角． 在Rt △PAB 中，P A ＝4，AB ＝5，∴PB ＝41， 在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，∴BC ＝4， ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝44141. 10．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．[答案] 垂直[解析] ∵PA ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC . 同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ， ∴PO ⊥平面ABCD .11．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离是________．[答案]135[解析] 因为AB ＝3，BC ＝4，所以BD ＝5，过A 作AE ⊥BD ，连接PE ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，∵PA ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面PAE ，∴PE ⊥BD ， 在△ABD 中，AE ＝125，所以PE ＝12＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.12．(2010·湖南文，13)如图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝______ cm.[答案] 4[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.三、解答题13．(08·全国Ⅱ)在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，C 1E ＝3EC .求证：A 1C ⊥平面BED .[证明] 在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴A 1A ⊥BD ，正方形ABCD 中，BD ⊥AC .又A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C .设BD ∩AC ＝F ，在平面A 1ACC 1中，EF 与A 1C 必相交，设交点为G ，由已知条件知，A 1A ＝4，AC ＝22，FC ＝2，CE ＝1，∴A 1A FC ＝ACCE， ∴Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∴∠AA 1C ＝∠CFE ， ∴∠CFE 与∠FCG 互余．从而A 1C ⊥EF . 又EF ∩BD ＝F ，∴A 1C ⊥平面BED .14．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SC 于D ，求证：AD ⊥平面SBC . [证明] ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC . 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC . 又AC ∩SA ＝A ， ∴BC ⊥平面SAC .∵AD ⊂平面SAC .∴BC ⊥AD .又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ，∴AD ⊥平面SBC .15．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，求证：AB ⊥A 1C .[证明] 在△ABC 中，过A 作AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，AD ＝1×sin60°＝32， 在Rt △ACD 中，AD ＝3sin C ， ∴3sin C ＝32，∴sin C ＝12， ∵C 为△ABC 的内角，且B ＝60°， ∴C ＝30°，∴A ＝90°，即AB ⊥AC ， ∵AB ⊥AA 1，∴AB ⊥平面ACC 1A 1， 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .16．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH .图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)求该安全标识墩的体积； (2)证明：直线BD ⊥平面PEG .[解析] (1)该安全标识墩的体积为：V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝13×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm 3)(2)如图，连结EG 、HF 及BD ，EG 与HF 相交于O ，连结PO .由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面EFGH ，∴PO ⊥HF ，又EG ⊥HF ，∴HF ⊥平面PEG ， 又BD ∥HF ，∴BD ⊥平面PEG .17．(09·天津文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2(1)证明P A ∥平面BDE ； (2)证明AC ⊥平面PBD .[解析](1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE 且PA⊄平面BDE，所以P A∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.。

第2章 2.3 2.3.3一、选择题1．若a 、b 表示直线，α表示平面， ①a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α； ②a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α； ③a ∥α，b ⊥α，则b ⊥a ； ④a ⊥α，b ⊂α，则b ⊥a . 上述命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④[答案] C[解析] ①b ∥α或b ⊂α ②b ⊥α或b ∥α或b ⊂α ③、④正确， ∴选C.2．已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥γβ⊥γ⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥βl ⊥m ⇒l ⊥β C.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥γn ∥γ⇒m ∥n D.⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β [答案] D[解析] 对于A ，α与β可以平行，也可以相交；对于B ，l 与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C ，m 与n 可以平行，可以相交，也可以异面．3．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．可能存在也可能不存在 C ．有无数多个 D ．一定不存在 [答案] B[解析]当a⊥b时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．4．(08·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[答案] D5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.6．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定[答案] B[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.7．设有直线m、n与平面α、β，则在下面命题中，正确的是()A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β[答案] C[解析]对于C，由m∥n，n⊥β得m⊥β.又m⊂α，可得α⊥β.∴应选C.8．如图已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定[答案] B[解析]过A作AE⊥DB，则AE⊥平面DBC，∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC，又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．9．(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关[答案] D[解析]这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，△EFQ 的面积永远不变，为矩形A 1B 1CD 面积的14，而当P 点变化(即z 变化)时，它到平面A 1B 1CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．10．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为( )A ．2 B.7 C ．27D.19[答案] C[解析] 作CP ′⊥AB ，垂足为P ′，则易知PP ′⊥AB ，∴PP ′为所求最小值．在Rt △ABC 中，由AB ＝8，∠B ＝30°得， P ′C ＝23， 又PC ⊥平面ABC ， ∴PC ⊥P ′C ，∵PC ＝4，∴PP ′＝27. 二、填空题11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为__________．[答案]24[解析] (1)转化为点A 1到平面ABC 1D 1的距离，连A 1D 交AD 1于O 1点，可证A 1O 1⊥平面ABC 1D 1，∴A 1到平面ABC 1D 1距离A 1O 1＝22， 从而O 到平面ABC 1D 1距离为24. (2)转化为直线到平面的距离，过O 作直线EF ∥A 1B 1交A 1D 1于E ，交B 1C 1于F ，过E 作EE 1⊥AD 1，可证EE 1⊥平面ABC 1D 1从而得解．12．三条直线a ∥b ∥c ，若b 、c 距离为2，a 、c 距离为1，a 、b 距离为7，则由a 、c确定的平面α与b 的距离为________．[答案]3[解析] 在直线b 上取一点P ，过P 作PO ⊥α于O ，作OQ ⊥c 于Q ，交直线a 于R ，则OQ ⊥a ，∴c ⊥平面POQ ，a ⊥平面POR ，∴PQ ⊥c ，PR ⊥a ，依题设条件，QR ＝1，PQ ＝2，PR ＝7，设OQ ＝x ，PO ＝h ，则x 2＋h 2＝4，(x ＋1)2＋h 2＝7，解之得h ＝ 3.13．把等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高线AD 折成一个二面角，此时∠BAC ＝60°，那么此二面角的大小是__________．[答案] 90° [解析] 设AB ＝a ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°∴BC ＝a ，又BD ＝DC ＝22a ∴∠BDC ＝90° 又BD ⊥AD ，AD ⊥CD∴∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角． 故填90°. 三、解答题14．VC 是△ABC 所在平面的斜线，V 在面ABC 上射影为N ，N 在△ABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC ＝∠CVN ，求证VC ⊥平面AMB .[证明] VN ⊥平面ABC ，∴VN ⊥AB ， 又∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥平面VDC ，∴VC ⊥AB ， 又∠MDC ＝∠CVN ，∠MCD ＝∠VCN ， ∴△CVN ∽△MCD ，∴∠CMD ＝∠VNC ＝90°，∴VC⊥DM，∴VC⊥平面AMB.15．P为△ABC所在平面外一点，P A＝PB，BC⊥平面P AB，M为PC的中点，N为AB 上的点，且AN＝3BN，求证：AB⊥MN.[证明]取AB的中点E，PB的中点F，连接PE、FN、FM.∵P A＝PB，∴PE⊥AB，而FN为△PEB的中位线，∴PE∥FN，则FN⊥AB.∵BC⊥平面P AB，∴BC⊥AB，∵FM为△PBC的中位线，∴FM∥BC，则FM⊥AB∵FN∩FM＝F，∴AB⊥平面FNM，又MN⊂平面FNM，∴AB⊥MN.16．过锐角△ABC的垂心H，作PH⊥平面ABC，且使∠APB＝90°.求证：△BPC和△APC 都是直角三角形．[证明]∵H为△ABC垂心，∴BH⊥AC.∵PH⊥平面ABC，∴PH⊥AC，∴AC⊥平面PBH，∴AC⊥PB.又BP⊥AP，∴BP⊥平面P AC，∴BP⊥PC.∴△BPC是直角三角形．同理可证△APC是直角三角形．17．如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.[分析](1)要证AF⊥SC，已知EF⊥SC，故只须证SC⊥平面AEF，从而须证SC⊥AE，又AE⊥SB，故只须证AE⊥平面SBC，即证AE⊥BC，又已知AB⊥BC，故只须证BC⊥平面SAB，即证BC⊥SA，由条件SA⊥平面ABCD可知BC⊥SA.(2)欲证AG⊥SD，又(1)的证明知SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AG，故只须证AG⊥平面SCD，即证AG⊥CD.由于CD⊥AD，故只须证CD⊥平面SAD，即证CD⊥SA，这由条件易知．[证明](1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF.∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.18．如图所示，已知A是平面BCD外一点，AD⊥BC，AE⊥平面BCD，DF⊥平面ABC，垂足分别为E、F.求证：AE和DF共面．[证明]∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC，又AD⊥BC，且AD∩AE＝A，∴BC⊥平面ADE.同理可证BC⊥平面ADF.又平面ADE∩平面ADF＝AD.由“过一点A与已知直线垂直的平面只有一个”可知，平面ADE与平面ADF重合．∴AE与DF共面．[点评]由BC⊥平面ADE知平面ABC⊥平面ADE，设交线为AM，M在BC上，学过面面垂直的性质定理后，可知作DF⊥平面ABC，则F∈AM，∴DF⊂平面ADE，也可证得DF与AE共面．。

其次章 2.1 2.1.1一、选择题 1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的确定值为线段AB 的长度，假如起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0． 其中正确命题的个数是导学号 03310489( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] ①②③④都正确．2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为导学号 03310490( ) A ．－11 B ．－1或11 C ．－1 D ．1或－11 [答案] A[解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A ．3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有导学号 03310491( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] C[解析] 数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN ＝NM 不正确，MP ＝－10，PN ＝－4正确．4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为导学号 03310492( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，∴x A ＝3．5．数轴上，M 、N 、P 的坐标分别为3、－1、－5，则MP ＋PN 等于导学号 03310493( ) A ．－4 B ．4 C ．－12 D ．12[答案] A[解析] MP ＋PN ＝MN ＝－1－3＝－4．6．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是导学号 03310494( ) A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧 C ．A 与B 重合 D ．由a 的取值打算 [答案] D[解析] 2x ＋a 与2x 的大小由a 确定，从而A 与B 的位置关系也由a 确定． 二、填空题7．数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.导学号 03310495 [答案] －2或－5[解析] 由题知|x ＋8|＝3|x ＋4|，则x ＝－2或x ＝－5．8．已知点A (2x )、B (x )，点A 在点B 的右侧，则x 的取值范围为________.导学号 03310496 [答案] (0，＋∞)[解析] 由已知，得2x >x ，即x >0． 三、解答题9．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.导学号 03310497 (1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)． [解析] (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3． (2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3， |AB |＝|(－5)－(－2)|＝3．10．甲、乙两人从A 点动身背向行进，甲先动身，行进10 km 后，乙再动身，甲的速度为每小时8 km ，乙的速度为每小时6 km ，当甲离开A 点的距离为乙离开A 点的距离的2倍时，甲、乙两人的距离是多少？导学号 03310498[解析] 以A 为原点，以甲行进方向为正方向建立直线坐标系，设乙动身后t h ，甲到A 点的距离是乙到A 点的距离的2倍，则甲的坐标为8t ＋10，乙的坐标为－6t ．由两点间的距离公式得 8t ＋10＝2×6t ，得t ＝52．d (甲，乙)＝|8t ＋10＋6t |＝10＋14t ＝45． 所以甲、乙两人相距45 km.一、选择题1．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点肯定位于前面的点的右侧的是导学号 03310499( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] B[解析] ∵AB ＝(2＋b )－b ＝2， ∴点B 肯定在点A 的右侧．2．已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为导学号 03310500( )A ．0B ．－23C ．23D ．19[答案] C[解析] d (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪13＋13＝23．3．已知数轴上两点A 、B ，若点B 的坐标为3，且A 、B 两点间的距离d (A ，B )＝5，则点A 的坐标为导学号 03310501( )A ．8B ．－2C ．－8D ．8或－2 [答案] D[解析] 记点A (x 1)、B (x 2)，则x 2＝3，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|3－x 1|＝5，解得x 1＝－2或x 1＝8．4．已知数轴上两点A (a )、B (b )，则在数轴上满足条件|P A |＝|PB |的点P 坐标为导学号 03310502( )A ．b －a 2B ．a －b 2C ．a ＋b 2D ．b －a[答案] C[解析] 设点P 的坐标为x ． ∵|P A |＝|PB |，∴|a －x |＝|b －x |，即a －x ＝±(b －x )，解得x ＝a ＋b2，故选C ．二、填空题5．设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：导学号 03310503 ①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0； ②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0； ③PQ －PN ＋MN －MQ ＝0； ④QM ＝MN ＋NP ＋PQ ． 其中正确的序号是________． [答案] ①②③[解析] 由向量的运算法则知，MN ＋PQ －MQ －PN ＝MN ＋PQ ＋QM ＋NP ＝MP ＋PM ＝0，故①②正确；PQ －PN ＋MN －MQ ＝PQ ＋NP ＋MN ＋QM ＝NQ ＋QN ＝0，故③正确；MN ＋NP ＋PQ ＝MQ ，与QM 不相等，故④错．6．若数轴上有四点A 、B 、C 、D ，且A (－7)、B (x )、C (0)、D (9)，满足AB →＝CD →，则x ＝________.导学号 03310504 [答案] 2[解析] ∵AB →＝CD →表示向量AB →与向量CD →方向相同，且长度相等，∴AB ＝CD ，∴x ＋7＝9－0，∴x ＝2． 三、解答题7．依据下列条件，在数轴上分别画出点P (x ).导学号 03310505 (1)|x －1|≤2；(2)|x ＋2|>1． [解析] (1)∵|x －1|≤2， ∴－1≤x ≤3，∴点P (x )表示坐标为－1和3的两点A 、B 间的线段AB (包括两个端点)，画图如下：(2)∵|x ＋2|>1，∴x <－3或x >－1，∴点P (x )表示以坐标为－3和－1的两点C 、D 为端点的两条射线CE 、DF ，画图如下：8．已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到点E ，使d (C ，E )d (E ，D )＝14，求点E 的坐标.导学号 03310506 [解析] 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －(－2)x －1＝12，∴x ＝－5．即C 点坐标为－5.∵E 在DC 的延长线上， ∴d (C ，E )d (E ，D )＝EC ED ＝－5－x ′3－x ′＝14， ∴x ′＝－233，即E 点坐标为－233．9．在数轴上求一点的坐标，使它到点A (－9)的距离是它到点B (－3)距离的2倍.导学号 03310507 [解析] 设所求点为P (x )，由题意，得 d (A ，P )＝2d (B ，P )，即|x ＋9|＝2|x ＋3|， 解得x ＝3或x ＝－5．。

第2章 2.2 2.2.1一、选择题1．已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系( ) A ．b ∥α B ．b 与α相交 C ．b ⊂αD ．b ∥α或b 与α相交[答案] D[解析] ∵a ，b 相交，∴a ，b 确定一个平面为β，如果β∥α，则b ∥α，如果β不平行α，则b 与α相交．2．下列命题中正确的是( )①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面 ②直线l 、平面α与同一条直线m 平行，则l ∥α③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A ．① B ．③ C ．①③D ．①②③ [答案] B[解析] 举反例，即特例法 ①当点在一条直线上时，不存在； ②l ⊂α，m ∥l 时，②错；③两直线a 、b 无公共点，有两种情况：i )a ∥b ii )a 、b 异面，都存在平面α经过直线b ，且α∥a故选B.3．在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则MN 与平面BDC 的位置关系是( )A ．MN ⊂平面BDCB ．MN 与平面BDC 相交 C ．MN ∥平面BDCD ．MN 与平面BDC 位置关系不确定 [答案] C[解析] ∵AM MB ＝ANND ∴MN ∥BD又MN ⊄面BDC ∴MN ∥面BDC . 4．给出下列结论(1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行． (2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行． (3)a 、b 是异面直线，则过b 存在惟一一个平面与a 平行． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] A[解析] (1)错 (2)错(3)正确 在b 上取一点B ，过这点平行于a 的直线只有一条a ′，b 与a ′确定唯一平面α，且a ∥α.5．异面直线a 、b 分别在α、β内，α∩β＝l ，则直线l 与a 、b 的位置关系一定是( ) A ．l 至少与a 、b 中一条相交 B ．l 至多与a 、b 中一条相交 C ．l 至少与a 、b 中一条平行 D ．l 与a 、b 都相交 [答案] A[解析] 由条件知，l 与a 都在平面α内，l 与b 都在平面β内，若l 与a 、b 都不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b ，与a 、b 异面矛盾，∴l 至少与a 、b 中的一条相交．6．给出下列结论：(1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)平行于同一条直线的两个平面平行； (3)平行于同一平面的两条直线平行； (4)平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析]由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，DD1∥平面BB1C1C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，故(3)错；(4)正确，故选B.7．给出下列命题：①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②若直线与平面内的任意一条直线无公共点，则直线与平面平行；③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的序号是()A．①②B．③④C．①③D．②④[答案] A[解析]由定义知①正确；若直线与平面内的任一条直线无公共点，则此直线与平面无公共点，∴②正确；如图(1)，直线a∩α＝A，a与α内不过A点的任意直线都不相交，故③错；如图(2)，a∥b，b⊂α，满足a∥b，a∥α，故④错．8．直线a′⊂平面α，直线b′⊂平面α，且a′∥b′，其中a′，b′分别是直线a 和直线b在平面α上的正投影，则直线a与直线b的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．相交、平行或异面D．以上答案都不正确[答案] A[解析]如图，a与b可能平行，也可能异面．9．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值为( )A ．0B ．3C ．12D ．不存在[答案] B[解析] 由题意AB ＝5，设PA ＝x ，则0≤x ≤5，PB ＝5－x ， PM 3＝PA 5，PN 4＝PB 5， ∴PM ·PN ＝35x ·45(5－x )＝1225x (5－x )，∴当x ＝52时取最大值3.10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．EF ∥平面BB 1D 1D B ．EF 与平面BB 1D 1D 相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1DD ．EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系无法判断 [答案] A[证明] 取D 1B 1的中点O ，连OF ，OB ， ∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ，∴四边形OFEB 为平行四边形，∴EF ∥BO ∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D ，故选A. 二、填空题11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，则直线MD 与平面A 1ACC 1的位置关系是______．[答案] 相交[解析] 因为M 是A 1D 1的中点，所以直线DM 与直线AA 1相交，所以DM 与平面A 1ACC 1有一个公共点，所以DM 与平面A 1ACC 1相交．三、解答题12．如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .[证明] 如图所示，取AB 的中点G ，连接FG 、CG ，∵F 、G 分别是BE 、AB 的中点， ∴FG 綊12AE ，又AE ＝2a ，CD ＝a ， ∴CD ＝12，而AE ∥CD ，∴CD 綊FG ， ∴四边形CDFG 为平行四边形， ∴DF ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .13．如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG .[证明] 如图，连结DM ，交GF 于O 点，连结OE ，在△BCD 中，G 、F 分别是BD 、CD 的中点，∴GF ∥BC . ∵G 是BD 中点， ∴O 为MD 中点．在△AMD 中，∵E 、O 为AD 、MD 中点，∴EO ∥AM . 又∵AM ⊄平面EFG ，EO ⊂平面EFG .∴AM ∥平面EFG .14．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，求异面直线P A 与MN 所成的角的大小．[解析] (1)取PD 的中点H ，连结AH ，NH ，∵N 是PC 的中点，∴NH 綊12DC .由M 是AB 的中点，∴NH 綊AM ，即四边形AMNH 为平行四边形． ∴MN ∥AH .由MN ⊄平面P AD ，AH ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .(2)连结AC 并取其中点O ，连结OM 、ON ， ∴OM 綊12BC ，ON 綊12PA .∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角， 由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝2 3. ∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠ONM ＝30°，即异面直线P A 与MN 成30°的角．15．如图，正方形ABCD 和正方形ADEF 相交于AD ，M 、N 分别是BD 、AE 上的点，且AN ＝BM .求证：MN ∥平面EDC (用两种证法证明)．[证明] 证法1：作NP ∥AD 交DE 于P ，作MQ ∥AD 交DC 于Q ，则NP ∥MQ .∵AN ＝BM ，∴NE ＝DM ，∴NE AE ＝DM BD ，又NP AD ＝NE AE ，MQ BC ＝DMBD，∴NP ＝MQ ，∴NP 綊MQ∴MNPQ 为平行四边形，∴MN ∥PQ 又PQ ⊂平面EDC MN ⊄平面DEC ， ∴MN ∥平面EDC证法2：连AM 并延长交直线DC 于H ，连EH . ∵AB ∥CD ∴BM BD ＝AMAH又BM ＝AN ，BD ＝AE ，∴AN AE ＝AMAH，∴NM ∥EH∵MN ⊄平面EDC ，EH ⊂平面EDC ∴MN ∥平面EDC .16．(09·山东文)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB 的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.[解析]取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.[点评]学过下节后，可用面面平行证明如下：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.。