江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷(一卷答题纸)

2010年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为________．2. 已知向量a →和向量b →的夹角为300，|a →|=2，|b →|=√3，则向量a →和向量b →的数量积a →⋅b →=________．3. 某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．4. 将函数y =sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．5. 已知a 、b ∈R +．若a +b ＝1，则ab 的最大值是________．6. 某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是________．7. 若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为________．8. 已知两圆(x −1)2+(y −1)2=r 2和(x +2)2+(y +2)2=R 2相交于P ，Q 两点，若点P 坐标为(1, 2)，则点Q 的坐标为________．9. 若关于x 的不等式2x 2−3x +a <0的解集为(m, 1)，则实数m =________．10. 已知集合A ={(xy)|{−1≤x +y ≤1−1≤x −y ≤1x ，y ∈R}，B ={(x,y)|x 2+y 2≤12，x ，y ∈R}，在集合A 中任取一个元素p ，则p ∈B 的概率为________．11. 已知三棱锥S −ABC 中，SA =SB =SC =AB =AC =2，则三棱锥S −ABC 体积的最大值为________． 12.如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC =BC =1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN →⋅MP →的取值范围为________．14. 若函数f(x)=|x|x+2−kx 3有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为________．二、解答题（共9小题，满分90分）15. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2−c 2=2b ，且sinAcosC =3cosAsinC ，求b ． 16. 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE =BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE // 平面BFD ．17. 已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1+3<a 3，a 2+5>a 4，数列{b n }满足b n =1a n ⋅a n+1，其前n 项和为S n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若S 2为S 1，S m (m ∈N ∗)的等比中项，求m 的值．18. 如图，已知圆O:x 2+y 2=2交x 轴于A ，B 两点，点P(−1, 1)为圆O 上一点．曲线C 是以AB 为长轴，离心率为√22的椭圆，点F 为其右焦点．过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的右准线l 于点Q ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与圆O 相切．19. 某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a 元(1≤a ≤3)的管理费，预计当每件商品的售价为x 元(8≤x ≤9)时，一年的销售量为(10−x)2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式L(x)；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M(a)．20. 设a为实数，函数f(x)=2x2+(x−a)|x−a|．(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数ℎ(x)=f(x)，x∈(a, +∞)，求不等式ℎ(x)≥1的解集．21. 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD // AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF⋅EC．(I)求证：∠P=∠EDF；(II)求证：CE⋅EB=EF⋅EP．22. 如图，已知三棱锥O−ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．23. 在改革开放30年纪念活动中，某校团支部随即抽取了50名学生，让他们在规定的时间内举例说明我国在改革开放以来所取得的辉煌成就，下面是根据调查结果制作出来的频数分布统计表和频数分布直方图的一部分．根据统计图表中提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布统计表和频数分布直方图；（2）如果将抽样调查的结果制成扇形统计图，那么4≤x<7这一组中人数所对应的扇形圆心角的度数是度；（3）若全校共有1000名学生，试估计在相同的规定时间内，举例数7≤x<13的学生约有多少人？2010年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷答案1. −202. 33. y={x−2,x>1 2x，x≤14. y=2cos2x5. 146. 17. 28. (2, 1)9. 1210. π411. 112. e=2√7−513. [−34, 3 4 ]14. {k|k<−2732或k>0}15. 解：法一：在△ABC中∵ sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：a⋅a2+b2−c22ab =3b2+c2−a22bc⋅c，化简并整理得：2(a2−c2)=b2．又由已知a2−c2=2b∴ 4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2−c2=b2−2bccosA．又a2−c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴ sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得sinB=bcsinC，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．16. 解：（1）证明：∵ 平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，∴ AD⊥平面ABE，AD⊥AE．∵ AD // BC，则BC⊥AE．又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE．∵ BC∩BF=B，∴ AE⊥平面BCE，∴ AE⊥BE．（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵ BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC =BE ，∴ F 是EC 中点．在△ACE 中，FG // AE ，∵ AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE // 平面BFD ．17. 由题意，得{a 1+3<a 1+2d a 1+d +5>a 1+3d解得32<d <52． 又d ∈Z ，∴ d ＝2．∴ a n ＝1+(n −1)⋅2＝2n −1．∵ b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴ S n =12[(1−13)+(13−15)++(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n 2n+1．∵ S 1=13，S 2=25，S m =m 2m+1，S 2为S 1，S m (m ∈N ∗)的等比中项， ∴ S 22＝S m S 1，即(25)2=13⋅m 2m+1，解得m ＝12．18. 解：（1）由题意，得a =√2，e =√22， ∴ c =1，∴ b 2=1．所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）∵ P(−1, 1)，F(1, 0)，∴ k PF =−12，∴ k OQ =2． 所以直线OQ 的方程为y =2x ．又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q(2, 4)，所以k PQ =4−12−(−1)=1．又k OP =−1，所以k PQ ⋅k OP =−1，即OP ⊥PQ ．故直线PQ 与圆O 相切．19. 当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为16−4a 万元．20. 解：(1)若f(0)≥1，则−a ⋅|a|≥1⇒{a <0a 2≥1⇒a ≤−1； (2)当x ≥a 时，f(x)=3x 2−2ax +a 2，∴ f(x)min ={f(a)，a ≥0f(a 3)，a <0={2a 2，a ≥0，23a 2，a <0， 如图所示：当x ≤a 时，f(x)=x 2+2ax −a 2，∴ f(x)min ={f(−a),a ≥0f(a),a <0={−2a 2，a ≥0，2a 2，a <0，综上所述：f(x)min ={−2a 2，a ≥0，23a 2，a <0. (3)x ∈(a, +∞)时，ℎ(x)≥1， 得3x 2−2ax +a 2−1≥0， Δ=4a 2−12(a 2−1)=12−8a 2.当a ≤−√62或a ≥√62时， Δ≤0，当−√62<a <√62时， Δ>0.得：{(x −a−√3−2a 23)(x −a+√3−2a 23)≥0,x >a,即{x ≤a−√3−2a 23或x ≥a+√3−2a 23，x >a ，进而分两类讨论：当−√62<a <−√22时，a <a−√3−2a 23， 此时不等式组的解集为(a, a−√3−2a 23]∪[a+√3−2a 23, +∞)； 当−√22≤x ≤√22时，a−√3−2a 23<a <a+√3−2a 23，此时不等式组的解集为[a+√3−2a 23, +∞)． 综上可得，当a ∈(−∞, −√62)∪(√22, +∞)时，不等式组的解集为(a, +∞)；当a ∈(−√62, −√22)时，不等式组的解集为(a, a−√3−2a 23]∪[a+√3−2a 23, +∞)； 当a ∈[−√22, √22]时，不等式组的解集为[a+√3−2a 23, +∞)． 21. 证明：(1)∵ DE 2=EF ⋅EC ，∴ DE:CE =EF:ED ．∵ ∠DEF 是公共角，∴ △DEF ∽△CED ．∴ ∠EDF =∠C ．∵ CD // AP ，∴ ∠C =∠P ．∴ ∠P =∠EDF ．(2)∵ ∠P =∠EDF ，∠DEF =∠PEA ，∴ △DEF ∽△PEA ．∴ DE:PE =EF:EA ．即EF ⋅EP =DE ⋅EA ．∵ 弦AD 、BC 相交于点E ，∴ DE ⋅EA =CE ⋅EB ．∴ CE ⋅EB =EF ⋅EP ．22. 解：(1)以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则有A(0, 0, 1)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，E(0, 1, 0)．EB →=(2, 0, 0)−(0, 1, 0)=(2, −1, 0)，AC →=(0, 2, −1)，cos <EB →，AC →>=−2√5×√5=−25． 由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25．(2)AB →=(2,0,−1)，AE →=(0, 1, −1)，设平面ABE 的法向量为m 1=(x, y, z)，则由m 1⊥AB →，m 1⊥AE →，得{2x −z =0,y −z =0, 取n =(1, 2, 2)，平面BEC 的一个法向量为n 2=(0, 0, 1)，cos <n 1，n 2>=2√1+4+4=23， 由于二面角A −BE −C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，其余弦值是−23．23. 解：（1）50−5−30−5=10，30÷50×100%=60%，即频数分布统计表分别填60%，10；（2）60%×360∘=216∘；（3）利用样本估计总体可知：1000×30%=300人．。

2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x >0}，则C ∪A 等于________．2. 若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为________．3. 设向量a →=(1,2),b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________．4. 已知等比数列{a n }中，a 3⋅a 9=2a 52，则公比q =________．5. 某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．6. 若f(x)=−12x 2+bln(x +2)在(−1, +∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．7. 在△ABC 中，C =π2，AC =1，BC =2，则f(λ)=|2λCA →+(1−λ)CB →|的最小值是________．8. 已知双曲线的两个焦点为椭圆x 216+y 27=1的长轴的端点，其准线过椭圆的焦点，则该双曲线的离心率为________．9. 设A:x(x −1)<0，B:0<x <m 若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 取值范围为________．10. 过点A(4, −1)与圆(x +1)2+(y −3)2=5切于点B(1, 2)的圆的方程为________．11. 已知非负实数x 、y 同时满足2x +y −4≤0，x +y −1≥0，则z =x 2+(y +2)2的最小值是________．12. 甲打靶射击，有4发子弹．甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P ，Q ，R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，则第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率为________．（忽略弹孔大小）．13. 已知函数f(x)=sinx +tanx ．项数为2009的等差数列{a n }满足a n ∈(−π2,π2)，且公差d ≠0．若f(a 1)+f(a 2)+...+f(a 2008)+f(a 2009)=0，则当k =________时f(a k )=0．14. 当n 为正整数时，函数N(n)表示n 的最大奇因数，如N(3)=3，N(10)=5，…，设S n =N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+...+N(2n −1)+N(2n )，则S n =________．二、解答题（共9小题，满分130分）15. 如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；（2）求四面体PCEF的体积．16. 设向量m→=(cosx,sinx)，n→=(2√2+sinx,2√2−cosx)，若f(x)=m→⋅n→求：（1）f(x)的单调递增区间（2）若θ∈(−3π2，−π)，且f(θ)=1，求sin(θ+5π12)的值．17. 已知圆O:x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为√22的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为(1, 1)，求证：直线PQ与圆O相切；（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．18. 如图，直线y=−12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式．（2）若正方形以每秒√5个单位长度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．19. 一口袋中有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；(3)求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．20. 已知函数f(x)=a|x|+2，(a>0,a≠1)a x（1）a>1，解关于x的方程f(x)=3．（2）记函数g(x)=f(−x)，x∈[−2, +∞)，若g(x)的最值与a无关，求a的取值范围．21. 设M是把坐标平面上的点P(1, 1)，Q(2, −1)分别变换成点P1(2, 3)，Q1(4, −3)，求矩阵M．22. 如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1−DE−B的大小．23. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中，每次命中与否互相独立．的概率都是23（1）求恰好射击5次引爆油罐的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷答案1. {x|0≤x≤2}2. 12π3. 24. ±√25. 8006. b≤−17. √28. 2√339. m>110. (x−3)2+(y−1)2=511. 9212. 1−π1213. 100514. 4n+2315. 证明：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC，P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45∘．同理可证∠APD=45∘．所以∠DPC=90∘，即PC⊥PD．又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE．因为DE∩PD=D，所以PC⊥PDE．又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE；解：（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以DE // CF．又DC⊥CF，所以S△CEF=12DC⋅CF=12×4a×2a=4a2．在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ // BC，PQ=BC=2a．因为BC⊥CD，BC⊥CF，所以BC⊥平面CEF，即PQ⊥平面CEF，亦即P到平面CEF的距离为PQ=2a.V PCEF=V P−CEF=13PQ⋅S△CEF=13⋅4a2⋅2a=83a3．（注：本题亦可利用V P−CEF=V B−CEF=V E−BCF=V D−BCF=16DC⋅BC⋅CF=83a3求得）16. 解：（1）∵ 向量m→=(cosx,sinx)，n→=(2√2+sinx,2√2−cosx)，∴ f(x)=m→⋅n→=cosx(2√2+sinx)+sinx(2√2−cosx)=2√2cosx+cosxsinx+2√2sinx−sinxcosx=2√2(cosx+sinx)∴ f(x)=4sin(x+π4)，∴ x+π4∈[2kπ−π2, 2kπ+π2]∴ 单调增区间为[2kπ−3π4，2kπ+π4](k∈z)（2）∵ θ∈(−3π2，−π)，∴ f(θ)=4sin(θ+π4)=1∴ sin(θ+π4)=14∵ θ+π4∈(−5π4，−3π4)∴ cos(θ+π4)=−√154∴ sin(θ+5π12)=sin[(θ+π4)+π6]=sin(θ+π4)cos π6+sin(θ+π4)sin π6， ∴ sin(θ+5π12)=√3−√158． 17. 解：（1）因为a =√2，e =√22，所以c =1 则b =1，即椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1（2）因为P(1, 1)，所以k PF =12，所以k OQ =−2，所以直线OQ 的方程为y =−2x又椭圆的左准线方程为x =−2，所以点Q(−2, 4)所以k PQ =−1，又k OP =1，所以k OP ⊥k PQ =−1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切（3）当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切证明：设P(x 0, y 0)(x 0≠±√2)，则y 02=2−x 02， 所以k PF =y 0x 0+1，k OQ =−x 0+1y 0，所以直线OQ 的方程为y =−x 0+1y 0x 所以点Q(−2, 2x 0+2y 0) 所以k PQ =y 0−2x 0+2y 0x 0+2=y 02−(2x 0+2)(x 0+2)y 0=−x 02−2x 0(x 0+2)y 0=−x 0y 0， 又k OP =y 0x 0，所以k OP ⊥k PQ =−1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 始终与圆O 相切18. 解：（1）（2）设抛物线为y =ax 2+bx +c ，抛物线过(0, 1)(3, 2)(1, 3)，∴ {c =1a +b +c =39a +3b +c =2解得{a =−56b =176c =1∴ 抛物线方程为y =−56x 2+176x +1，．（2）①当点A 运动到点F 时，t =1，当0<t ≤1时，∵ ∠OFA =∠GFB′，tan∠OFA =OA OF =12，∴ tan∠GFB′=GB′FB′=√5t =12，∴ GB′=√52t∴ S△FB′G=12FB′×GB′=12×√5t×√5t2=54t2；②当点C运动到x轴上时，t=2，当1<t≤2时，A′B′=AB=√22+12=√5，∴ A′F=√5t−√5，∴ A′G=√5t−√52，∵ B′H=√5t2，∴ S梯形A′B′HG=12(A′G+B′H)×A′B′=12(√5t−√52+√5t2)×√5=52t−54；③当点D运动到x轴上时，t=3，当2<t≤3时，如图3，∵ A′G=√5t−√52，∴ GD′=√5−√5t−√52=3√5−√5t2，∵ S△AOF=12×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H∴ S△GD′HS△AOF =(GD′OA)2，∴ S△GD′H=(3√5−√5t2)2，∴ S五边形GA′B′C′H=(√5)2−(3√5−√5t2)2=−54t2+152t−254；(1<t≤2)19. 解：用枚举法或列表法，可求出从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种．方法1．枚举法：(1, 3)、(1, 4)、(1, 5)(3, 4)、(3, 5)、(4, 5)共有6种；(1)P（能构成三角形）=46=23；(2)P（能构成直角三角形）=16；(3)P（能构成等腰三角形）=12．20. 解：（1）令f(x)=a|x|+2a x=3当x≥0时，方程变为a2x−3a x+2=0，解得a x=1或a x=2，可得=0或log a2当x<0时，方程变为1+2=3a x，解得x=0故此类下无解．综上x=0或log a2；（2）由题设，g(x)=a|x|+2a x，x∈[−2, +∞)，下分类讨论：①若a>1，则(I)当x≥0时，a x≥1，g(x)=3a x，∴ g(x)∈[3, +∞)(II)−2≤x<0时，1a2≤a x<1，g(x)=a−x+2a x∴ g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna从而当1a2>√12即1<a<√24时，对∀x∈(−2, 0)，g′(x)>0，∴ g(x)在[−2, 0)上递增∴ g(x)∈[a2+2a2，3)，由此g(x)有最小值a2+2a2与a有关，不符合．当1a2≤√12即a≥√24时，由g′(x)=0得x=−12log a2则−2<x<−12log a2时，g′(x)<0；−12log a2<x<0时，g′(x)>0∴ g(x)在[−2,−12log a2]上递减，在[−12log a2，0]上递增，∴ g(x)min=g(−12log a2)=2√2g(x)有最小值为2√2与a无关，符合要求②若0<a<1，则(I)x≥0时，0<a x≤1，g(x)=3a x，∴ g(x)∈(0, 3](II)−2≤x<0时，1<a x≤1a2，g(x)=a−x+2a x，∴ g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna<0，∴ g(x)在[−2, 0)上递减，∴ g(x)∈(3,a 2+2a 2]，由此g(x)有最大值a 2+2a 2与a 有关，不符合 综上：实数a 的取值范围是a ≥√24．21. 解：设[a b c d ]，则有[a b cd ][11]=[23]，[a b c d ][2−1]=[4−3] 得，{a +b =2c +d =32a −b =42c −d =−3 解得{a =2b =0c =0d =3∴ M =[2003] 22. 解：解法一：依题设知AB =2，CE =1．（1）连接AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC ．由三垂线定理知，BD ⊥A 1C ．在平面A 1CA 内，连接EF 交A 1C 于点G ， 由于AA 1FC =AC CE =2√2， 故Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C =∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1互余．于是A 1C ⊥EF ．A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以A 1C ⊥平面BED ．（2）作GH ⊥DE ，垂足为H ，连接A 1H ．由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角A 1−DE −B 的平面角．EF =√CF 2+CE 2=√3，CG =CE×CF EF =√2√3，EG =√CE 2−CG 2=√33．EG EF =13，GH =13×EF×FD DE =√2√15． 又A 1C =√AA 12+AC 2=2√6，A 1G =A 1C −CG =5√63．tan∠A 1HG =A 1GHG =5√5．所以二面角A 1−DE −B 的大小为arctan5√5．（）解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D −xyz ．依题设，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(0, 2, 1)，A 1(2, 0, 4)．DE →=(0,2,1)，DB →=(2,2,0)，A 1C →=(−2,2,−4)，DA 1→=(2,0,4)．（1）因为A 1C →⋅DB →=0，A 1C →⋅DE →=0，故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE =D ，所以A 1C ⊥平面DBE ．（2）设向量n →=(x, y, z)是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →，n ⊥DA 1→．故2y +z =0，2x +4z =0．令y =1，则z =−2，x =4，n →=(4, 1, −2)．<n →，A 1C →>等于二面角A 1−DE −B 的平面角，cos <n →，A 1C →=>|n →||A 1C →|˙=√1442所以二面角A 1−DE −B 的大小为arccos √1442． 23. 解：（1）∵ 每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是23， ∴ 是一个独立重复试验， 记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A ， 表示前四次有一次射中且第五次一定击中， ∴ P(A)=C 41×23×(13)3×23=16243．（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况∴ P(ξ=2)=(23)2=49； P(ξ=3)=C 21×23×13×23=827； P(ξ=4)=C 31×23×(13)2×23=427； P(ξ=5)=1−49−827−427=19．∴ ξ的分布列为Eξ=2×49+3×827+4×427+5×19=7927．∴ 所求ξ的数学期望为7927．。

高三数学调研检测(文科)一.填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分,不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1 •已知数列｛a n｝为等差数列，且a g -2a5 = -1,a3 =0，则公差d = ▲.2. 若不等式ax2bx -1 0的解集为｛x |1 ：：： x ：：： 2｝，则a b= ▲ .3. ___________________________________________________________________________ 数列｛a n｝满足递推关系式a n 2^a n 1■ 2a n, n • N ”且印=a2=1则a5工▲_______________________________ .44. 函数f (x)二x ,x • [1,6]的值域为[m, n],则n - m 二▲.x5. 设等比数列｛a n｝是公比q =3，前n的和为S n，则色= ▲.a226. 在各项均不为零的等差数列｛a n｝中，若a n 1 -a n • a nd =0(n - 2)，则S?.」-4n = ▲.7. 若f (x) = ■ kx^2kx 2k 3的定义域为R，则实数k的取值范围是▲.1 a4 +a5&各项都是正数的等比数列｛a n｝中，a2、—a3、印成等差数列，则----------- =▲.2 a<^a49.集合A 二｛x| x2「3x「4 ：：：0｝, B 二｛x | x2：：：p｝( p 0),若A，则实数p 的取值范围是▲.10 .设正数x、y满足2x讨二2^. 2,则lg x lg y的最大值为▲.11.不等式x—2(x—1)c2的解集是▲.12.已知f (x) = 2(x-a)(x-b) —3 其中(a：：：b),m、n 是f (x)的零点，且m：：：n,则实数a—b—m—n 的大小关系是(从小到大排列)▲高三文科数学第1页(共2页)a+b= ▲ _____________14.设集合A ={(x, y) I y 兰x —2 ,x 兰0}, B ={(x, y) | y 兰—x + b}, A" ,若(x, y)^ A C\ B,且x + 2y 的最大值为11,则b的值是▲ 二.解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本题满分14分)等比数列｛a n｝中，已知a i =2,a4 =16• •(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若a3,a5分别为等差数列｛b n｝的第3项和第5项，问a9是不是数列｛0｝中的项，如果是求出是第几项；如果不是说明理由.16. (本题满分14分)数列｛a n｝为等差数列，S n为其前n项和，已知a^7,S4 =24(1)求数列｛a n｝的通项公式和前n项和公式；1⑵若p,q为正整数試比较S pq和-(S2p S2q)的大小.117. (本题满分15分)已知等比数列｛a n｝的前n项和为S(n) = ( )n-c，数列｛b n｝ (b n ■ 0)的首项为c ,且3前n 项和T(n)满足T(n) -T( n- 1)=、讥帀、T(n -1) ( n_2).(1)设d n ，求证数列｛d n｝为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；1 1000(3)若数列｛——｝前n项和为P(n)，问P")〉1000的最小正整数n是多少?b n b h+ 200918. (本题满分15分)已知关于x的不等式(2x-1)2:: a2x2(a_0)(1) 求此不等式的解集；(2) 若不等式的解集中整数恰好有3个，求正实数a的取值范围.19. (本题满分16分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m _ 0)满足x = k •( k、b为常数)，如果不搞促销活动，则该m + 1产品的年销售量只能是1万件，如果投入1万元搞促销活动，则该产品的年销售量是2万件.已知2010年生产该产品的固定投入为4万元，每生产1万件该产品需要再投入36万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1. 5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用). (1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；高三文科数学第2页(共2页)(2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20. (本题满分16分)设数列｛a n｝为等差数列首项为a1,公差d，数列｛b m｝定义如下：对于正整数m , b m 是使得a n - m成立的所有n中的最小值.1 1(1)若a1，d ，求b3；6 2(2)若a1 =1，d = 2，求数列｛b m｝的前2m项的和；高三文科数学第1页(共2页)。

江苏省海门市2009-2010学年度第一学期期末考试高三数学参考答案1．(0,4]；2．；3．a c b <<；4．7-；5．20；6；7．10；8．甲；91； 10．314；11．3450x y --=；12．254；13．3242a ；14．4-． 15．解：(Ⅰ))sin(cos sin cos sin B A A B B A +=⋅+⋅=⋅ ………………………(2分)对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ，.sin C =⋅∴………………………(4分)又C 2sin =⋅ ，.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C ………………………(7分) (Ⅱ)由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得.2b a c +=………………………(9分)18,18)(=⋅∴=-⋅CB CA AC AB CA ，即.36,18cos ==ab C ab……………………(12分)由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=， 36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c …………………(14分)16．证:(Ⅰ)连接AG 交BE 于D ,连接,DF EG .∵,E G 分别是11,AA BB 的中点，∴AE ∥BG 且AE =BG ,∴四边形AEGB 是矩形. ∴D 是AG 的中点…………………………………………………………………………(3分)又∵F 是AC 的中点,∴DF ∥CG ………………………………………………………(5分) 则由DF BEF ⊂面,CG BEF ⊄面,得CG ∥BEF 面…………………………………(7分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分)(Ⅱ) ∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面111A B C ,∴1C C ⊥11A C .又∵011190A C B ACB ∠=∠=,即11C B ⊥11A C ,∴11A C ⊥面11B C CB ……………(9分)而CG ⊂面11B C CB ,∴11A C ⊥CG ………………………………(11分) 又1CG C G ⊥,由(Ⅰ) DF ∥CG ，111,AC DF DF C G ∴⊥⊥ ∴DF ⊥平面11AC G………………………………………(13分)DF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面11AC G . ……………………………(14分)17．在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°. 则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ……………………(3分)≥2ab +2ab =（2+2）ab ， ……………………(6分)又0135sin 211021ab AB =⋅⋅， AB ab 210=∴， ………………………(9分) AB AB )22(2102+≥∴，)12(20+≥∴AB ， ……………………(12分)当22410+==b a 时，取等号 ………………………(14分) 所以把A 、B 分别设在公路上离中心O 都是22410+Km 才能使|AB |最短，其最短距离为)12(20+Km ………………………(15分)18．解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………7分 （Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分 从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ，∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………15分19．解：f==，1=+1=，1(1)n n=+-=，即21nan=. ……………………………………（4分）因为211)(1nnS n na⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，当1n=时，111S b==，当2n≥时，11n n nb S S n-=-=，所以*1()nb n n N=+∈. …………………………（6分）又因为46112b b+=+=，所以令*2()tb t N=∈，则21t=+得到102t=+与*t N∈矛盾，所以46b b+不在数列{}n b中. ………（8分）（Ⅱ）充分性：若存在整数1m≥-，使1c md=.设,r tc c为数列{}n c中不同的两项，则111(1)(1)(2)r tc c c rd c t d c r m t d+=+-++-=+++-[]1(1)1c r m t d=+++--.又3r t+≥且1m≥-,所以11r m t++-≥.即r tc c+是数列{}n c的第1r m t++-项. ……………………（11分）必要性：若数列{}n c中任意不同两项之和仍为数列{}n c中的项，则1(1)sc c s d=+-，1(1)tc c t d=+-，（s，t为互不相同的正整数）则12(2)s tc c c s t d+=++-，令s t lc c c+=，得到112(2)(1)c s td c l d++-=+-*(,,)n t s N∈，所以1(1)c l s t d=--+，令整数1m l s t=--+，所以1c md=. ……（14 分）下证整数1m≥-若设整数1,m<-则2m-≥.令k m=-，由题设取1,kc c使1(1)k rc c c r+=≥即111(1)(1)c c k d c r d ++-=+-，所以(1)(1)md m d r d +--=- 即0rd =与1,0r d ≥≠相矛盾，所以1m ≥-.综上, 数列{}n c 中任意不同两项之和仍为数列{}n c 中的项的充要条件是存在整数1m ≥-，使1c md =. ……………………（16分）20．（1）当2a =时，2()2ln 1f x x x =+-222ln 2(0)2ln 2()x x x e x x x e ⎧-+<≤⎪=⎨+->⎪⎩ …………（2分） 当0x e <≤时，2222()2x f x x x x-'=-=，()f x 在(1,]e 内单调递增；当x e ≥时，2()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[,)e +∞内单调递增； ()f x ∴的单调增区间为(1,)+∞。

学校 班级 姓名考号 ……………………………………装………………………………………订………………………………………线……………………………………………请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷数学答题纸16.（本小题14分）17．（本小题14分）注意事项：1.答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卷左边密封线内规定的地方.2.作题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分1 ．2 ．3 ．4 ．5 ．6 ．7 ．8 ．9 ．10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：本大题共6小题；共90分．15、（本小题14分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18．（本小题16分）19．（本小题16分）20．（本小题16分）#请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效%请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效$。

江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷附加题本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.A.（选修4-l ：几何证明选讲）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BE 与AC⑴判断BE 是否平分∠ABC，并说明理由； ⑵若AE=6，BE=8，求EF 的长．B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的D非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分. 22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分）已知)(321*∈++++=N n A A A A a nn n n nn ，当n ≥2时，求证： ⑴na a n n =+-11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++-≤.。

2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（2）一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分） 1. 复数i 2(1+i)的虚部是________．2. 已知α∈(−π2，0)，sinα=−35，则cos(π−α)=________．3. 若曲线f(x)=x 4−x 在点P 处的切线平行于直线3x −y =0，则点P 的坐标为________．4. 如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．5. 设f(x)={x 2−2x −1x ≥0−2x +6x <0，若f(t)>2，则实数t 的取值范围是________．6. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为________． 7. 如图伪代码的输出结果为________．8. 公差为d(d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20−S 10，S 30−S 20，S 40−S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q(q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有________．9. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2+bx +c =0有相等实根的概率为________．10. 将正奇数排列如下表其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N ∗, j ∈N ∗)，例如a 32＝9，若a ij ＝2009，则i +j ＝________．11. 已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|=4,|AB →|=2，则AO →⋅BC →=________．12. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是________．13. 对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”，则函数f(x)=x2+1(x+1)2的下确界为________．14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1, 2]，y∈[2, 3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x2，再作分析”．丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知向量a=(sin(π2+x)，√3cosx)，b=(sinx, cosx)，f(x)=a⋅b．（1）求f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）如果三角形ABC中，满足f(A)=√32，求角A的值．16. 已知函数f(x)=x2−x+alnx（1）当x≥1时，f(x)≤x2恒成立，求a的取值范围；（2）讨论f(x)在定义域上的单调性．17. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．（注：营运人数指火车运送的人数）18. 已知函数f(x)=2a+1a −1a2x，常数a>0．（1）设m⋅n>0，证明：函数f(x)在[m, n]上单调递增；（2）设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m, n]，求常数a的取值范围．19. 已知数列{a n}中，a1=1，且点P(a n, a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数f(n)=1n+a1+1n+a2+1n+a3+⋯+1n+a n(n∈N，且n≥2)，求函数f(n)的最小值；（3）设b n=1a n，S n表示数列{b n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1+ S2+S3+...+S n−1=(S n−1)⋅g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20. 已知函数f(x)=x+tx(x>0)，过点P(1, 0)作曲线y=f(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f(x)的单调递增区间；（2）设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n+64n]内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g(a1)+g(a2)+...+g(a m)<g(a m+1)成立，求m的最大值．2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（2）答案1. −12. −453. (1, 0)4. 1−π45. (−∞, 0)∪(3, +∞)6. 25√57. 268. T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为q1009. 11810. 6011. 612. (16, 5 6 )13. 0.514. [−1, +∞)15. 解：（1）f(x)=sinxcosx+√32+√32cos2x=sin(2x+π3)+√32T=π，2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，最小周期为π，单调增区间[kπ−5π12, kπ+π12]，k∈Z（2）由sin(2A+π3)=0，π3<2A+π3<7π3．所以，2A+π3=π或2π，所以，A=π3或5π6．16. 解：（1）由f(x)≤x2恒成立，得：alnx≤x在x≥1时恒成立当x=1时a∈R当x>1时即a≤xlnx ，令g(x)=xlnx，g′(x)=lnx−1ln2xx≥e时g′(x)≥0，g(x)在x>e时为增函数，g(x)在x<e时为减函数∴ g min(x)=e∴ a≤e（2）解：f(x)=x2−x+alnx，f′(x)=2x−1+ax =2x2−x+ax，x>0（1）当△=1−8a≤0，a≥18时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0, +∞)上为增函数．（2）当a<18时①当0<a<18时，1+√1−8a4>1−√1−8a4>0，f(x)在[1−√1−8a4，1+√1−8a4]上为减函数，f(x)在(0,1−√1−8a4]，[1+√1−8a4,+∞)上为增函数．②当a=0时，f(x)在(0, 1]上为减函数，f(x)在[1, +∞)上为增函数③当a<0时，1−√1−8a4<0，故f(x)在(0, 1+√1−8a4]上为减函数，f(x)在[1+√1−8a4, +∞)上为增函数．17. 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人．18. 任取x1，x2∈[m, n]，且x1<x2，f(x1)−f(x2)=1a2⋅x1−x2 x1x2，因为x1<x2，x1，x2∈[m, n]，所以x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在[m, n]上单调递增．因为f(x)在[m, n]上单调递增，f(x)的定义域、值域都是[m, n]⇔f(m)＝m，f(n)＝n，即m，n是方程2a+1a −1a2x=x的两个不等的正根⇔a2x2−(2a2+a)x+1＝0有两个不等的正根．所以△＝(2a2+a)2−4a2>0，2a2+aa2>0⇒a>1219. 解：（1）由点P(a n, a n+1)在直线x−y+1=0上，即a n+1−a n=1，且a1=1，数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列a n=1+(n−1)⋅1=n(n≥2)，a1=1同样满足，所以a n=n（2）f(n)=1n+1+1n+2+⋯+12nf(n+1)=1n+2+1n+3+⋯+12n+2f(n+1)−f(n)=12n+1+12n+2−1n+1>12n+212n+2−1n+1=0所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)=712（3）b n=1n ，可得S n=1+12+13++1n，S n−S n−1=1n(n≥2)∴ nS n −(n −1)S n−1=S n−1+1，∴ (n −1)S n−1−(n −2)S n−2=S n−2+1 …2S 2−S 1=S 1+1∴ nS n −S 1=S 1+S 2+S 3+...+S n−1+n −1∴ S 1+S 2+S 3+...+S n−1=nS n −n =n(S n −1)，n ≥2 ∴ g(n)=n故存在关于n 的整式g(x)=n ，使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立．20. 解：（1）当t =2时，f(x)=x +2x ，f′(x)=1−2x 2=x 2−2x 2>0解得x >√2，或x <−√2． ∵ x >0∴ 函数f(x)有单调递增区间为[√2，+∞) （2）设M 、N 两点的横坐标分别为x 1、x 2， ∵ f′(x)=1−t x 2，∴ 切线PM 的方程为：y −(x 1+t x 1)=(1−tx 12)(x −x 1)．又∵ 切线PM 过点P(1, 0)，∴ 有0−(x 1+t x 1)=(1−tx 12)(1−x 1)．即x 12+2tx 1−t =0．（1）同理，由切线PN 也过点(1, 0)，得x 22+2tx 2−t =0．（2） 由（1）、（2），可得x 1，x 2是方程x 2+2tx −t =0的两根，∴ {x 1+x 2=−2t ⋅(∗)|MN|=√(x 1−x 2)2+(x 1+t x 1−x 2−t x 2)2=√(x 1−x 2)2[1+(1−t x 1x 2)2]=√[(x 1+x 2)2−4x 1x 2][1+(1−t x 1x 2)2] 把(∗)式代入，得|MN|=√20t 2+20t ，因此，函数g(t)的表达式为g(t)=√20t 2+20t(t >0) （3）易知g(t)在区间[2,n +64n]上为增函数，∴ g(2)≤g(a i )(i =1, 2, m +1)．则m ⋅g(2)≤g(a 1)+g(a 2)+...+g(a m )．∵ g(a 1)+g(a 2)++g(a m )<g(a m+1)对一切正整数n 成立， ∴ 不等式m ⋅g(2)<g(n +64n)对一切的正整数n 恒成立m√20×22+20×2<√20(n +64n)2+20(n +64n)，即m<√16[(n+64n)2+(n+64n)]对一切的正整数n恒成立∵ n+64n≥16，∴ √16[(n+64n)2+(n+64n)]≥√16[162+16]=√1363．∴ m<√1363．由于m为正整数，∴ m≤6．又当m=6时，存在a1=a2=a m=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．。

江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷
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请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定18．（本小题16分）
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2010年江苏省南通市海安县高考回归课本专项检测数学试卷（一）一、填空题：（共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在答题纸指定的横线上）1. 已知全集U=R，且A={x||x−1|>2}，B={x|x2−6x+8<0}，则(∁U A)∩B等于________．2. 已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4, 2)，则f(12)的值为________．3. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为________．4. 若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为________．5. 将函数y=√2sin2x的图象向右平移π6个单位后，其图象的一条对称轴方程为________．6. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．7. 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数，则实数m=________．8. 若cos(π2−α)=35，α∈(π2,π)，则tanα=________．9. 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为________．10. 已知等比数列{a n}为递增数列，且a3+a7=3，a2⋅a8=2，则a11a7=________．11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为________．12. 定义在R上的函数满足f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1，f(x5)=12f(x)，且当0≤x1<x 2≤1时，f(x 1)≤f(x 2)，则f(12010)=________．13. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ={S 1，(n =1)S n −S n−1，(n ≥2)若数列{b n }的前n 项积为T n ，类比上述结果，则b n =________．此时，若T n =n 2(n ∈N)∗，则b n =________． 14. 关于平面向量有下列四个命题： ①若a →⋅b →=a →⋅c →，则b →=c →，；②已知a →=(k, 3)，b →=(−2, 6)．若a → // b →，则k ＝−1．③非零向量a →和b →，满足|a →|＝|b →|＝|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30∘．④(a→|a →|+b→|b →| )⋅(a→|a →|−b→|b →| )＝0．其中正确的命题为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin A2=√55，且△ABC 的面积为2．（1）求bc 的值；（2）若b +c =6，求a 的值．16. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠ABC =90∘，AB =BC =BB 1=2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点． (1)求证：MN // 平面BCC 1B 1． (2)求证：MN ⊥平面A 1B 1C ． (3)求三棱锥M −A 1B 1C 的体积．17.设b >0，椭圆方程为x 22b 2+y 2b 2=1，抛物线方程为x 2=8(y −b)．如图所示，过点F(0, b +2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．18. 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x（小时）的关系为f(x)=|xx2+1+13−a|+2a，x∈[{0, 24}]，其中a与气象有关的参数，且a∈[0,34]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)．（1）令t=xx2+1，x∈[0,24]，求t的取值范围；（2）求函数M(a)；（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？19. 已知f(x)=x3−6ax2+9a2x(a∈R)．（I）求函数f(x)的单调递减区间；（II）当a>0时，若对∀x∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知函数f(x)=2x+1定义在R上．（1）若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数ℎ(x)之和，设ℎ(x)=t，p(t)=g(2x)+2mℎ(x)+m2−m−1(m∈R)，求出p(t)的解析式；（2）若p(t)≥m2−m−1对于x∈[1, 2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p(t)）=0无实根，求m的取值范围．2010年江苏省南通市海安县高考回归课本专项检测数学试卷（一）答案1. (2, 3]2. √223. 24πcm2，12πcm34. ±25. x=5π126. （4）．7. −18. −349. 31310. 211. 89和14412. 13213. {T1，(n=1)T nT n−1，(n≥2),{1,n=1(nn−1)2，(n≥2)14. ②③④15. 解：（1）∵ sin A2=√55，0<A<π∴ cos A2=2√55．∴ sinA=2sin A2cos A2=45．∵ S△ABC=12bcsinA=2，∴ bc=5．（2）∵ sin A2=√55，∴ cosA=1−2sin2A2=35．∵ bc=5，b+c=6，∴ a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−2bc(1+cosA)=20∴ a=2√5．16. (I)证明：连接BC1，AC1，∵ 在△ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴ MN // BC1．又∵ MN不属于平面BCC1B1，∴ MN // 平面BCC1B1．(II)解：∵ 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴ 四边形BCC1B1是正方形．∴ BC1⊥B1C．∴ MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≅△BMC．∴ A1M=CM，又N是A1C的中点，∴ MN⊥A1C．∵ B1C与A1C相交于点C，∴ MN⊥平面A1B1C．(III)解：由(II)知MN是三棱锥M−A1B1C的高．在直角△MNC中，MC=√5，A1C=2√3，∴ MN=√2．又S △A 1B 1C =2√2．V M−A 1B 1C =13MN ⋅S △A 1B 1C =43．17. 解：（1）由x 2=8(y −b)得y =18x 2+b ，当y =b +2得x =±4，∴ G 点的坐标为(4, b +2)，y′=14x ，y ′|x=4=1，过点G 的切线方程为y −(b +2)=x −4即y =x +b −2，令y =0得x =2−b ，∴ F 1点的坐标为(2−b, 0)，由椭圆方程得F 1点的坐标为(b, 0)， ∴ 2−b =b 即b =1，即椭圆和抛物线的方程分别为x 22+y 2=1和x 2=8(y −1)；（2）∵ 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ，∴ 以∠PAB 为直角的Rt △ABP 只有一个，同理∴ 以∠PBA 为直角的Rt △ABP 只有一个；若以∠APB 为直角，则点P 在以AB 为直径的圆上，而以AB 为直径的圆与抛物线有两个交点． 所以，以∠APB 为直角的Rt △ABP 有两个；因此抛物线上存在四个点使得△ABP 为直角三角形． 18. 解：（1）∵ t =x x 2+1，x ∈[0,24]，x =0时，t =0.0<x ≤24时，t =1x+1x，x +1x ≥2，∴ 0<t ≤12．∴ t ∈[0,12]．（2）令g(x)=|t +13−a|+2a ，t ∈[0,12]．当a −13<14，即0≤a <712时，[g(x)]max =g(12)=|56−a|+2a =a +56； 当a −13≥14，即712≤a ≤34时，[g(x)]max =g(0)=|13−a|+2a =3a −13．所以M(a)={a +56，0≤a <7123a −13，712≤a ≤34（3）当a ∈[0,712)时，M(a)是增函数，M(a)<M(712)=1712<2；当a ∈[712，34]时，M(a)是增函数，M(a)≤M(34)=2312<2．综上所述，市中心污染指数是2312，没有超标．19. 解：(I)f′(x)=3x 2−12ax +9a 2=3(x −a)(x −3a)<0 （1）当a =3a ，即a =0时，f ′(x)=3x 2>0，不成立． （2）当a >3a ，即a <0时，单调减区间为(3a, a)． （3）当a <3a ，即a >0时，单调减区间为(a, 3a)． (II)f ′(x)=3x 2−12ax +9a 2=3(x −a)(x −3a)，f(x)在(0, a)上递增，在(a, 3a)上递减，在(3a, +∞)上递增． （1）当a ≥3时，函数f(x)在[0, 3]上递增， 所以函数f(x)在[0, 3]上的最大值是f(3)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(3)≤4a ≥3解得a ∈φ．（2）当1≤a <3时，有a <3≤3a ，此时函数f(x)在[0, a]上递增，在[a, 3]上递减， 所以函数f(x)在[0, 3]上的最大值是f(a)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(a)≤41≤a <3解得a =1．（3）当a <1时，有3>3a ，此时函数f(x)在[a, 3a]上递减，在[3a, 3]上递增， 所以函数f(x)在[0, 3]上的最大值是f(a)或者是f(3)． 由f(a)−f(3)=(a −3)2(4a −3)， ①0<a ≤34时，f(a)≤f(3)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(3)≤40<a ≤34解得a ∈[1−2√39，34]．②34<a <1时，f(a)>f(3)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(a)≤434<a <1解得a ∈(34，1)．综上所述，a ∈[1−2√39，1]． 20. 解：（1）假设f(x)=g(x)+ℎ(x)①，其中g(x)偶函数，ℎ(x)为奇函数， 则有f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)，即f(−x)=g(x)−ℎ(x)②， 由①②解得g(x)=f(x)+f(−x)2，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2．∵ f(x)定义在R 上，∴ g(x)，ℎ(x)都定义在R 上． ∵ g(−x)=f(−x)+f(x)2=g(x)，ℎ(−x)=f(−x)−f(x)2=−ℎ(x)．∴ g(x)是偶函数，ℎ(x)是奇函数，∵ f(x)=2x+1， ∴ g(x)=f(x)+f(−x)2=2x+1+2−x+12=2x +12x ，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2=2x+1−2−x+12=2x −12x ．由2x −12x=t ，则t ∈R ，平方得t 2=(2x −12x)2=22x +122x−2，∴ g(2x)=22x +122x=t 2+2，∴ p(t)=t 2+2mt +m 2−m +1．（2）∵ t =ℎ(x)关于x ∈[1, 2]单调递增，∴ 32≤t ≤154．∴ p(t)=t 2+2mt +m 2−m +1≥m 2−m −1对于t ∈[32，154]恒成立， ∴ m ≥−t 2+22t对于t ∈[32，154]恒成立， 令φ(t)=−t 2+22t，则φ′(t)=12(2t 2−1)，∵ t ∈[32，154]，∴ φ′(t)=12(2t 2−1)<0，故φ(t)=−t 2+22t在t ∈[32，154]上单调递减，∴ φ(t)max =φ(32)=−1712，∴ m ≥−1712为m 的取值范围．（3）由（1）得p （p(t)）=[p(t)]2+2mp(t)+m 2−m +1，若p （p(t)）=0无实根，即[p(t)]2+2mp(t)+m 2−m +1①无实根， 方程①的判别式△=4m 2−4(m 2−m +1)=4(m −1)． 1∘当方程①的判别式△<0，即m <1时，方程①无实根． 2∘当方程①的判别式△≥0，即m ≥1时，方程①有两个实根p(t)=t 2+2mt +m 2−m +1=−m ±√m −1， 即t 2+2mt +m 2+1±√m −1=0②，只要方程②无实根，故其判别式△2=4m 2−4(m 2+1±√m −1)<0， 即得−1−√m −1<0③，且−1+√m −1<0④，∵ m ≥1，③恒成立，由④解得m <2，∴ ③④同时成立得1≤m <2． 综上，m 的取值范围为m <2．。