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概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
第一章随机事件与概率一、填空题1.已知随机事件 A 的概率P( A)0.5 ，事件 B 的概率P( B)0.6 ，条件概率P(B A)0.8 ，则P(A B)__________ ____ 。
2. 设 A，B为随机事件，已知P( A)，，B)，则P(AB)____________。
0.3 P(B)0.4 P( A3.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和，现目标被击中，则它是甲命中的概率为 ___________ 。
4.某射手在 3 次射击中起码命中一次的概率为0.875 ，则该射手在一次射击中命中的概率为___________ 。
5.设随机事件 A在每次试验中出现的概率为1,则在 3次独立试验中 A 起码发生一次的概率为3___________ .6.袋中有黑白两种球 , 已知从袋中任取一个球是黑球的概率为1, 现从袋中不放回地挨次取球, 则第 k 4次获得白球的概率为___________ 。
7.三台机器互相独立运行，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率挨次为，，，则这三台机器中起码有一台发生故障的概率是___________ 。
8.电路由元件 A 与两个并联的元件 B， C 串连而成，若 A， B，C 破坏与否互相独立，且它们破坏的概率挨次为，，0.1 ，则电路断路的概率是___________ 。
9. 甲乙两个投篮，命中率分别为，，每人投 3 次，则甲比乙进球数多的概率是___________ 。
10. 3 人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是1115，，，则此密码被译出的概率是34________。
二、选择题1. 关于任意两个事件 A， B，有P( A B) 为（）（A）P( A)P( B)（B）P(A)P(B)P(AB)（C）P( A)P(AB)（D）P(A)P(B)P(AB)2. 设 A， B 为两个互斥事件，且P( A)0, P(B)0 ，则以下正确的选项是（）（A）P(A B)P(A)（B）P(B A)0（C ） P( AB) P( A)P( B) （D ） P(B A) 03. 其人独立地投了 3 次篮球， 每次投中的概率为 0.3 ，则其最可能失败 （没投中） 的次数为 （）（A ） 2 （B ）2 或 3 （C ） 3（D ）14. 袋中有 5 个球（ 3 个新， 2 个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）（A ）3（B ）354（C ）2（D ）34105. n 张奖券中含有 m 张有奖的， k 个人购置，每人一张，此中起码有一个人中奖的概率是（ ）（A ）m（B ）1C n k m C n mC n kC m 1C n k m 1k C m r（C ）（ D ）1C n kC n kr 三、计算题( 随机事件、随机事件的关系与运祘 )1.指出下边式子中事件之间的关系：⑴AB A ；⑵ABC A ； ⑶A B A 。
一.填空题（每空2分，共20分）1.一袋中有5只白球3只黑球，从袋中任取两只球，则“取到的两只球同色”的概率 是 ；“取到的两只球至少有一只黑球”的概率为 ．2.设随机变量X 的方差为2， 则由切比雪夫不等式有{||4}P X EX -<≥ .3.已知随机变量X 、Y 满足1DX =，4DY =，0.6XY ρ=，则(23)________D X Y +=；(234)________D X Y -+=.4. 设(3,1)X N ~,(-1,1)Y N ~，且X 与Y 相互独立，则27Z X Y =-++~ ；且{0}P Z <= .5. 设X 与Y 相互独立且同分布，概率分布为{0}{1}1/2P X P X ====，令max{,}Z X Y =，则{0}P Z == ；且{1}P Z == .6. 设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体(0,1)X N ~的随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则统计量X U =__________分布.（写出自由度）.二.选择题(每小题2分，共10分)：1. 设事件,A B 的积事件的概率为零，则下列结论肯定正确是________(A ) ()()()P AB P A P B =(B ) ()()()P A B P A P B =+ (C ) A 与B 互不相容(D ) A 与B 相互独立2. 随机变量X 的概率分布为{}(1,2,3,,0)!kP X k A k k λλ==⋅=> ，则常数A =________(A ) e λ (B ) e λ- (C ) 1e λ- (D )11e λ-3. 设1()F x 和2()F x 分别为X 与Y 的分布函数，为使12()()()2aF x F x bF x =+是某个随机变量的分布函数，则应取________（A ）23,55a b ==- （B ）41,55a b =-= （C ）43,55a b == （D ）23,55a b ==4.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，若32Z X =-，则________ (A )6,18EZ DZ == (B )6,20EZ DZ == (C )4,16EZ DZ == (D )4,18EZ DZ ==5.设随机变量X ,Y 均服从标准正态分布~(0,1)X N ,~(0,1)Y N ，则下述结论正确的是_________(A ) X Y +为正态分布 (B ) 2X 为卡方分布(C ) 22X Y +为卡方分布 (Dt 分布三.（共2个题目，共18分）1. （10分） 已知某系学生共分A B 、两个专业，两个专业的英 语四级合格率分别为80%和90%，现从A B 、两个专业中随机抽取一份四级成绩单，求:(1)这份成绩单成绩合格的概率；(2)若已知这份成绩单成绩合格，则该成绩单是A 专业学生成绩单的概率.2. （8分）设A 、B 为两个随机事件，已知1()3P B =，1(|)2P B A =，1(|)5P A B =，求: (1) )(AB P ，)(B A P ，)(B A P -；(2) 判断A 、B 是否相互独立.四.（共2个题目，共20分） 1. (10分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯概率都是25.设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 分布律和分布函数.2. (10分）设随机变量220,0,01()21,121,2x Ax x F x x Bx x x ≤⎧⎪<≤⎪=⎨--<≤⎪⎪>⎩， 求：（1）系数A 和B ；（2）13{}22P X <<；（3）X 的分布密度。
《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
概率论数学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个值是X的概率密度函数？A. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)B. \(\frac{1}{2}e^{-|x|}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}\)D. \(\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}\)答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = np\)B. \(E(X) = n(1-p)\)C. \(E(X) = p\)D. \(E(X) = 1-p\)答案：A3. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)B. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} k!\)C. \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)D. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} (k+1)!\)答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)B. \(E(X) = a\)C. \(E(X) = b\)D. \(E(X) = \frac{a+b}{3}\)答案：A6. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的累积分布函数？A. \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)B. \(F(x) = e^{-\lambda x}\)C. \(F(x) = 1 - e^{\lambda x}\)D. \(F(x) = e^{\lambda x}\)答案：A7. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，下列哪个公式是X的方差？A. \(Var(X) = \sigma^2\)B. \(Var(X) = \mu^2\)C. \(Var(X) = \sigma\)D. \(Var(X) = \mu\)答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A9. 随机变量X服从几何分布，其成功概率为p，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)B. \(P(X=k) = p(1-p)^k\)C. \(P(X=k) = p^k (1-p)\)D. \(P(X=k) = (1-p)^k p\)答案：A10. 随机变量X服从超几何分布，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = n \frac{M}{N}\)B. \(E(X) = n \frac{M}{N-1}\。
概率论试题库（一)第一章 预备知识（排列、组合、集合) 第二章 随机事件1. 令A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A 的对立事件A 为( ) （A ）“甲种产品滞销,乙种产品畅销” （B ）“甲,乙产品均畅销 ” （C ）“甲种产品滞销” （D ）“甲产品滞销或乙产品畅销 答案:D2. 设A 、B 、C 为三个随机事件，则“A 、B 、C 至少有一个发生"可表示为__________;“A 发生而B 、C 不发生"可表示为__________。
答案：A+B+C, ABC ；3. 设,,,A B C D 为任意四个事件，则四个事件中至多有一个发生可表示 为4. 设A 、B 、C 为三个随机事件，则“A 、B 、C 不都发生”可表示为__________； “A ，B 、C 至多有一个发生”可表示为__ ________.第三章 随机事件的概率5. 掷三枚质地均匀的骰子，出现三个3点的概率为 。
6. 掷三枚质地均匀得硬币，出现三个正面得概率为 .7. 投掷一枚均匀的骰子，出现6点的概率为____________，点数能被3整除的概率为 。
8. 投掷一枚均匀的骰子,出现6点的概率为____________,点数能被2整除的概率为 。
第四章 条件概率 事件(试验的)相互独立9. 一射手对同一目标独立地射击4次，且已知射手的命中率为2/3，则4次射击中恰好命中一次的概率为____________，4次射击中至少命中一次的概率为 。
答案：8/81； 80/81 ；10. 一射手对同一目标独立地射击3次，且已知射手的命中率为2/3，则3次射击中恰好命中一次的概率为____________，3次射击中至少命中一次的概率为 . 11. 2.0)(,5.0)(,6.0)(===B A P B P A P ，求)(),(),(B A P A B P B A P -+解:()()()0.50.20.1P AB P B P A B ==⨯=，()()()()0.60.50.11P A B P A P B P AB +=+-=+-=，()0.11()()0.66P AB P B A P A ===, ()()()0.60.10.5P A B P A P AB -=-=-=。
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
概率论试题库考试试卷分布说明：试卷共四个大题：选择题、填空题、判断题和解答题，共22个 小题。
其中：选择题共5个小题（4个基础题，1个能力题），每小题4分 ，共20分；填空题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题4分 ，共24分；判断题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题2分 ，共12分；解答题共5个（3个基础题，1个能力题,1个提高题），3个基础题每小题8分，能力题和提高题各10，共44分。
满足：基础题：能力题：提高题=7:2:1。
一、选择题40小题。
（每小题4分，共5小题，共20分）1、从四个乒乓球种子选手中选两个人代表学校出去比赛， 在比赛前采用每两个人都对决的选拔赛，则选拔赛共要举行的场数为（ A ）A 、6B 、30C 、4D 、32、下列不属于抽样调查的特点的是（ D ）A 、经济性B 、时效性C 、广泛性D 、客观性3、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（A ）A 、0.5B 、0.1C 、0.2D 、0.64、设某种电灯泡的寿命X 服从正态分布N(σμ2,),其中μ是未知的，现在随机的抽取4只这种灯泡，测得其寿命为1500，1455，1368，1649，是估计总体均值μ为（ C ）A 、1500B 、1649C 、1493D 、13685、某人从A 地到B 地要经过两个有红、黄、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（ C ）A 、41B 、21C 、271D 、91 6、下列表格是某随机变量ξ的分布列：则表中a 的取值是（ C ）A 、0.05B 、0.13C 、0.14D 、0.127、小明打开收音机，想听电台报时（1小时报一次时），则他等待的时间小于1刻钟的概率是（ A ）A 、0.25B 、0.6C 、0.5D 、0.458、随机变量ξ～N(20，25),则随机变量ξ的标准差是（ D ）A 、20B 、25C 、45D 、59、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.4，则目标被击中的概率为（ B ）A 、0.32B 、0.88C 、0.8D 、0.110、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是( D )A 、A 与B 互不相容; B 、()0>A B P ;C 、()()()B P A P AB P =;D 、()()A P B A P =11、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（ A ）A 、0.5B 、0.1C 、0.2D 、0.612、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5，则目标被两人都击中的概率为（ D ）A 、0.32B 、0.5C 、0.56D 、0.313、某人从甲地到乙地要经过三个有红、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（ C ）A 、41B 、21C 、81D 、31 14、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字组成一个不重复的3位数，其各位数字之和为6的概率为（ D ）A 、1253B 、51C 、101D 、12519 15、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应该表示为（ B ）A 、ABCB 、A ∪B ∪C C 、C B AD 、C B A16、ρ为二维随机变量（ξ、η）的两个分量ξ与η的相关系数，则ξ、η以概率1线性相关的充要条件是（ D ）A 、ρ=0B 、ρ=-1C 、ρ=1D 、1±=ρ17、每次试验成功的概率是p （0<p<1）,重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率是( A )A 、()p p C r n r r n--1 B 、()p p C r n r r n ----111 C 、()p p r n r --1 D 、()p p C rn r r n -----1111 18、、=+=)(,10ηξηξD b a N 则）分布，且，（服从设( D )A 、a-bB 、a+bC 、aD 、a 219、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生两个的事件应该表示为（ A ）A 、AB ∪AC ∪BC B 、AB ∪AC ∪BC ∪ABC C 、ABCD 、A ∪B ∪C20、某随机变量ξ服从参数为10的普哇松分布，则其数学期望是（ B ）A 、1B 、10C 、0D 、10021、若函数f （x ）是某一随机变量X 的概率密度，则一定成立的是（ C ）A 、f （x ）的定义域为[0，1]；B 、f （x ）的值域为[0，1]；C 、f （x ）非负；D 、f （x ）在（-∞，+∞）内连续22、设随机变量ξ～N(σμ2,)，则下列各式中服从N(0,1)的是（ A ）A 、σμξ-B 、μσξ-C 、σξ1-D 、μξ0-23、设ξ与η为两个随机变量，则下列各式一定正确的是（ C ）A 、)()()(ηξηξD D D +=+B 、)()()(ηξξηD D D =C 、)()()(ηξηξE E E +=+D 、)()()(ηξξηE E E =24、设随机变量的ξ的分布律是：则η=ξ2的分布律是（ D）A 、B 、C 、D 、25、将3个不同的球随机地放入4个不同的杯中, 有一个杯子放入2个球的概率是（ B ）..A 、324234C C ⋅B 、324234PC ⋅ C 、424233P C ⋅D 、424233C C ⋅ 26、下列函数中，可看作某一随机变量X 的概率分布密度函数的是( C )A 、;,1)(2+∞<<-∞+=x x x fB 、;,11)(2+∞<<-∞+=x x x fC 、;,)1(1)(2+∞<<-∞+=x x x f π D 、.,)1(2)(2+∞<<-∞+=x x x f π27、己知随机变量Y X ,相互独立且都服从正态分布)4 ,2(N , 则( B ) .A 、)4 ,4(～N Y X +B 、)8 ,4(～N Y X +C 、)4 ,0(～N Y X -D 、Y X -不服从正态分布28、己知随机变量X 服从二项分布)2.0 ,10(B , 则方差=)(X D （ D ）.A 、1；B 、0.5；C 、0.8；D 、1.6.29、如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有（ B ）A 、X 与Y 独立B 、X 与Y 不相关C 、 0)(=YD D 、0)(=X D30、对于事件A 和B ，下述命题正确的是 ( B )(A) 如果A 与B 互不相容，则A 与B 相互对立(B) 如果A 与B 相互对立，则A 与B 互不相容(C) 如果A 与B 相互独立，则A 与B 互不相容(D) 如果A 与B 互不相容，则A 与B 相互独立31、若P （B|A ）=0，则下列命题中正确的是 ( B )(A) B ⊂A (B) AB=Φ (C) A ⊂B (D) A-B=Φ32、,ξη相互独立且都服从正态分布2(1,3)N ，则(2)D ξη-= ( C ) (A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)60（以下是能力题）33、某商家生产甲、乙、丙三种不同型号的商品，产品数量之比为3：4：7，现在分层抽样法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中乙种型号商品有24件,则此样本容量n为（ C ）A 、160B 、80C 、84D 、9634、连续型随机变量ξ的密度函数为）为（则ξD x x x x p ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=]2,0[,0],2.0[,2)(（ D ）A 、21B 、103C 、201D 、92 35、连续型随机变量ξ的密度函数为）为（，则ξD x x x x x p ⎩⎨⎧∉∈-=]1,0[,0]1,0[),1(6)(（ C ） A 、21 B 、103 C 、201 D 、41 36、离散型随机变量X 的分布函数为F(x),则P(X=x k )=( D )A 、 )(1k k x X x P ≤≤-；B 、)()(11-+-k k x F x F ；C 、 )(11+-<<k k x X x P ；D 、 )()(1--k k x F x F37、设某机器产生的产品有缺陷的概率为0.05，则20件产品之中至少有1件有缺陷的概率为（ A ）A 、0.7358B 、0.1C 、0.8534D 、0.650338、设样本空间U={1，2，3，…，10}，A={2，3，4}，B={3,4,5},C={5，6，7}，则()C B A ⋃表示的集合是（ ）A 、{3，4}B 、{1，3，8，9}C 、{4，5}D 、{1，2，5，6，7，8，9，10}39、5、己知随机变量X 的期望5)(=X E , 方差4)(=X D , 则（ A ）.A 、98}65-X {≥<P ；B 、98}65-X {≤<P ； C 、98}65-X {≥≥P ； D 、98}65-X {≤≥P . 40、、一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ C ）A 、11-+-b a a ；B 、)1)(()1(-++-b a b a a a ； C 、b a a +； D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a 2 .二、填空题填空题48小题。
（每小题4分，共6小题，24分） 1、设一个容量为7的样本是：2，11，8，4，3，6，15，则样本中的中位数是 6 。
2、将一枚硬币均匀投掷三次，则三次中恰好出现两次正面向上的概率为83。
3、若事件A 、B 相互独立，且P （A ）=0.4，P(B)=0.5,则P(A+B)= 0.7 。
4、设随机变量ξ～N(σμ2,),则η=σμξ-～N （0，1）。
5、设随机变量X 服从二项分布B(100,0.4),则其数学期望E(X)= 40 。
6、随机变量η的数学期望E （ξ）=4，方差D(ξ)=20,则E(ξ2)= 24 。
7、设随机变量ξ、η的数学期望分别是E （ξ）=3，E(η)=5,则E(2ξ+3η)= 21 。
8、已知φ(2.3)=0.9893,设随机变量ξ服从N(349.2,16)，则P(ξ<340)= 0.0117 ,若随机变量η服从N(1，2)，则P(η<1)= 0.5 。
9、将一枚硬币均匀投掷四次，则四次中恰好出现两次正面向上的概率为83。
10、设()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 B A B A B A B 321++=__2.6_ _ 。
