上海市普陀区2016届中考数学二模试卷(解析版)

上海市浦东新区2016年中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2016的相反数是（）A．B．﹣2016 C．﹣D．20162．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|= ．8．不等式x﹣1＜2的解集是．9．分解因式：8﹣2x2= ．10．计算：3（）+2（﹣2）= ．11．方程的根是．12．已知函数f（x）=，那么f（）= ．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2= ．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20160++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD 于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC 上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．2016年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2016的相反数是（）A．B．﹣2016 C．﹣D．2016【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：2016的相反数是﹣2016．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=3，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；B、y=x2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x2﹣1的图象在第二、三象限内y随着x的增大而减小，在第一、四象限内y随着x的增大而增大；C、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；D、y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x﹣1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是逐项分析四个选项的增减性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各函数的性质及各函数的图象是解题的关键．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为： =．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【考点】众数；折线统计图；中位数．【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|= ．【考点】有理数的减法；绝对值．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．不等式x﹣1＜2的解集是x＜3 ．【考点】解一元一次不等式．【分析】解不等式x﹣1＜2，即可得到不等式x﹣1＜2的解集，本题得以解决．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．9．分解因式：8﹣2x2= 2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．10．计算：3（）+2（﹣2）= ﹣﹣．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．11．方程的根是x=﹣4 ．【考点】无理方程．【分析】9的算术平方根是3，故5﹣x=9，x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．【点评】记准算术平方根的被开方数是非负数这一要求，是解决这类问题的关键．12．已知函数f（x）=，那么f（）= 3 ．【考点】函数值．【分析】将x=代入计算即可．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡角的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了坡角的定义，根据题意得出AC的长是解题关键．14．正八边形的中心角等于45 度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720 ．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】用所有学生数乘以样本中课外阅读时间不少于6小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于6小时的人数所占的百分比．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5 ．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由于⊙O1与⊙O2相切，则分两圆内切和外切讨论得到R+2=3或R﹣2=3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R ﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2= 4 ．【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20﹣2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠A CB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE，∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2016•浦东新区二模）计算：2sin45°﹣20160++（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2016•浦东新区二模）解方程：．【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．（10分）（2016•浦东新区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【考点】垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，应用直角三角形的性质和三角函数的求法，求出AD的长度是多少；然后应用垂径定理，求出弦AB的长是多少即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，直角三角形的性质和三角函数的求法，要熟练掌握．22．（10分）（2016•浦东新区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b 得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．23．（12分）（2016•浦东新区二模）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即： =，可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即： =，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24．（12分）（2016•浦东新区二模）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把B（3，6）代入y=ax2﹣4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=，AH=，根据正切函数定义即可求出∠CAB的正切值；（3）由AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB1，分B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．25．（14分）（2016•浦东新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．。

普陀区2016学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. 33a a a ÷=C. 333a b ab +=D. ()236a a =2.是同类二次根式，那么这个根式是（ ）A. B. C. D. 3.在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解这11名学生成绩的（ ）A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差4.如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果50A ∠=°，那么12∠+∠的大小为（ ）A. 130°B. 180°C. 230°D. 260°5.如图2，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a = ，BC b = ，那么向量AO 用向量a 、b 表示为（ ） A. 12a b + B. 2133a b + C. 2233a b + D, 1124a b +6.在△ABC 中，6AB AC ==，2cos 3B ∠=，以点B 为圆心，AB 为半径作圆B ，以点C 为圆心，半径长为13作圆C ，圆B 与圆C 的位置关系是（ ）A. 外切B. 相交C. 内切D. 内含二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.分解因式：34a a −=____________8.方程x =____________9.不等式组23030x x −< ≥的解集是____________ 10.函数y =的定义域是____________ 11.如果关于x 的方程230x x c −+=没有实数根，那么c 的取值范围是____________12.已知反比例函数k y x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，点()11,A x y 和点()22,B x y 在函数的图像上，当120x x <<时，可得1y ______2y （填“＞”、“=”、“＜”）13.一次抽奖活动设置了翻奖牌（图3展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，你只能看到正面，你可以在9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是19，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是13，这个事件是____________14.正八边形的中心角等于____________度15.如图4，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果12ADAE DB EC ==，那么△ADE 与△ABC 周长的比是____________16某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分为6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图5所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是____________17.一个滑轮起重装置如图6所示，滑轮的半径是10cm ，当滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升____________cm （结果保留π）18.如图7，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△ EBD ，点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上，边DE 交边AB 于点F ，△BDC ∽△ABC ，已知BC =，5AC =，那么△DBF的面积等于____________三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分） 计算：()32017113sin 602− +−+−°20.（本题满分10分）解方程组：22320449x y x xy y −+= ++=21.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数的图像与反比例函数8y x=的图像交于点(),4A m . （1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图像向下平移6个单位得到直线l ，设直线l 与x 轴的交点为B ，求∠ABO 的正弦值.22.（本题满分10分）上海首条中运量公交线路71路已正式开通，这线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米，71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯，经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟，求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速.23.（本题满分12分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ，且∠ABE =∠CAD .（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）如果AE EG =，求证：2AC BC BG =⋅.24.（本题满分12分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()220y x x m m =−+>的对称轴与比例系数为5的反比例函数图像交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线的图像与y 轴交于点C ，且3OC OB =.（1）求点A 的坐标；（2）求直线AC 的表达式；（3）点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标.25.（本题满分14分）如图10，半圆O 的直径10AB =，有一条定长为6的动弦CD 在弧AB 上滑动（点C 、点D 分别不与点A 、点B 重合），点E 、F 在AB 上，EC CD ⊥，FD CD ⊥.（1）求证：EO OF =；（2）联络OC ，如果△ECO 中有一个内角等于45°，求线段EF 的长；（3）当动弦CD 在弧AB 上滑动时，设变量CE x =，四边形CDFE 面积为S ，周长为l ，问：S 与l 是否分别随着x 的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论.参考答案1-6：DCACBB7、()()22a a a +−8、1x =9、302x ≤< 10、5x ≠11、94c > 12、<13、抽中一张唱片14、4515、1:316、80%17、203π 18、451619、9−20、11x y = = 或13515x y =− =−21、（1）2y x =，（222、20千米/小时 23、（1）证明略；（2）证明略.24、（1）(1,5)A ；（2）23y x =+；（3）(1或95,42 25、（1）证明略；（2；（3）面积为定值，24S =；14l =+定义域：08x <<。

xx学校xx学年xx 学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图11-1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=5，CD=3，cotB=1，P是边BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作射线PE，使射线PE交射线BA于点E，∠BPE=∠CPD。

（1）如图11-2，当点E与点A重合时，求∠DPC的正切值；（2）当点E落在线段AB上时，设BP=，BE=，试求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；（3）设以BE长为半径的和以AD长为直径的相切，求BP的长。

试题2:如图10，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是轴上的一个动点，设点E的坐标为，过点E作轴的垂线交抛物线于点P。

（1）求这个二次函数解析式；（2）当点E在线段OB上运动时，直线交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求的值；评卷人得分（3）是否存在点P，使△BDP是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

试题3:如图9，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF∥AD交BC于点F，且，联结FG。

（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形。

试题4:本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯带，如图8，已知EF表示路面宽度，轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为3.8米，大圆直径等于AD，三圆半径的比等于1：2：3.试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：）试题5:已知，如图7，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图像交于点B，BC垂直于轴，垂足为点C，且OC=2OA。

2016年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（）A．8.0016×106B．8.0016×107C．8.0016×108D．8.0016×109 2．（4分）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2＝a8B．（a4）2＝a6C．（ab）2＝a2b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．（4分）下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（）A．折线图B．扇形图C．条形图D．频数分布直方图4．（4分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（）A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高B．等边三角形的面积与它的边长C．长方形的长确定，它的周长与宽D．长方形的长确定，它的面积与宽5．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（）A．BC：EF＝1：1B．BC：AB＝1：2C．AD：CF＝2：3D．BE：CF＝2：3 6．（4分）如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（）A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：ma2﹣mb2＝．8．（4分）方程＝x的根是．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）如果关于x的方程x2+x+a﹣＝0有两个相等的实数根，那么a的值等于．11．（4分）函数y＝的定义域是．12．（4分）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是米．13．（4分）一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是．14．（4分）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么＝．（用表示）15．（4分）如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是．16．（4分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，如果当0＜x1＜x2，可得y1＜y2，那么k．（填“＞”、“＝”、“”＜）17．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE＝5，BF＝3，那么FG：EF的比值是．18．（4分）如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为．二、解答题：（本大题共7题，满分78）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2＝AD•AB，求∠APD的正弦值．22．（10分）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE＝AB•EF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y＝有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝14，tan A＝，点D是边AC上一点，AD＝8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF＝x，CG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．2016年上海市普陀区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（）A．8.0016×106B．8.0016×107C．8.0016×108D．8.0016×109【解答】解：80016000＝8.0016×107．故选：B．2．（4分）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2＝a8B．（a4）2＝a6C．（ab）2＝a2b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、a4•a2＝a6，故错误；B、（a4）2＝a8，故错误；C、（ab）2＝a2b2，正确；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故错误；故选：C．3．（4分）下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（）A．折线图B．扇形图C．条形图D．频数分布直方图【解答】解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，故选：A．4．（4分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（）A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高B．等边三角形的面积与它的边长C．长方形的长确定，它的周长与宽D．长方形的长确定，它的面积与宽【解答】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，故A错误；B、设等边三角形的边长为a，则面积S＝＝，故B错误；C、周长＝2倍的长+2倍的宽，故C错误；D、长方形的面积＝长×宽，故D正确．故选：D．5．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（）A．BC：EF＝1：1B．BC：AB＝1：2C．AD：CF＝2：3D．BE：CF＝2：3【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝，∴＝，∴BC：AB＝1：2；故选：B．6．（4分）如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（）A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm【解答】解：已知圆内接半径r为4cm，则OB＝4cm，∴BD＝OB•sin30°＝4×＝2（cm）．则BC＝2×2＝4（cm）．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：ma2﹣mb2＝m（a+b）（a﹣b）．【解答】解：ma2﹣mb2，＝m（a2﹣b2），＝m（a+b）（a﹣b）．8．（4分）方程＝x的根是x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为x＝2．9．（4分）不等式组的解集是﹣1＜x＜2．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣1，则不等式组的解集是：﹣1＜x＜2．故答案是：﹣1＜x＜2．10．（4分）如果关于x的方程x2+x+a﹣＝0有两个相等的实数根，那么a的值等于2．【解答】解：∵关于的方程x2+x+a﹣＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴12﹣4（a﹣）＝0，∴a＝2．故答案为：2．11．（4分）函数y＝的定义域是x≠0．【解答】解：由题意得，4x≠0，解得x≠0．故答案为：x≠0．12．（4分）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是2400米．【解答】解：根据题意，飞机到控制点的距离是＝2400（米）．故答案是：2400．13．（4分）一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次摸出小球的数字的和为素数的有2种情况，∴两次摸出小球的数字的和为素数的概率是：＝．故答案为：．14．（4分）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么＝﹣．（用表示）【解答】解：∵点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．15．（4分）如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是22．【解答】解：这组数据一共有30个，中位数是第15和第16个数据平均数，由图可知，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22，故答案为：22．16．（4分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，如果当0＜x1＜x2，可得y1＜y2，那么k＜．（填“＞”、“＝”、“”＜）【解答】解：∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝，y2＝，∵y1＜y2，∴＜，而0＜x1＜x2，∴k＜0．故答案为＜．17．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE＝5，BF＝3，那么FG：EF的比值是．【解答】解：作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴GM＝GN，∴＝，∴＝＝；故答案为：．18．（4分）如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为（，2）．【解答】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2＝BE2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴BE＝ED＝，AE＝AD﹣ED＝，∴点E坐标（，2）．故答案为（，2）．二、解答题：（本大题共7题，满分78）19．（10分）计算：．【解答】解：＝﹣9+2﹣+9﹣＝﹣9+2﹣＝﹣9+2﹣＝1﹣2．20．（10分）解方程组：．【解答】解：，由②可得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，即x﹣y＝0或x﹣2y＝0，可得x＝y或x＝2y，将x＝y代入①，得：2y＝5，y＝，故；将x＝2y代入①，得：3y＝5，y＝，则x＝，故；综上，或．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2＝AD•AB，求∠APD的正弦值．【解答】解：∵AP2＝AD•AB，AB＝AC，∴AP2＝AD•AC，，∵∠P AD＝∠CAP，∴△ADP∽△APC，∴∠APD＝∠ACB＝∠ABC，作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝×24＝12，∴AE＝＝5∴sin∠APD＝sin∠ABC＝，22．（10分）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？【解答】解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则王师傅的平均速度为（x﹣20）千米/时．根据题意，得：﹣＝0.5，解得：x1＝100，x2＝﹣80，经检验，x1＝100，x2＝﹣80都是所列方程的根，但x2＝﹣80不符合题意，舍去．则x＝100，李师傅的最大时速是：100×（1+15%）＝115千米/时＜120千米/时．答：李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法．23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD 平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE＝AB•EF．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABFD是菱形；（2）连接AF，OF，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠CEF＝∠BAC＝90°，∵四边形ABFD是菱形，∴BD垂直平分AF，∵AB⊥AC，∴∠OAF+∠AOB＝∠ABD+∠AOB＝90°，∴∠OAF＝∠ABD，∵BD垂直平分AF，∴AO＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠FOE＝2∠F AO＝2∠ABD＝∠ABC，∴△ABC∽△EOF，∴，∴AC•OE＝AB•EF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y＝有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵将x＝4代入y＝得：y＝2，∴B（4，2）．∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6，∴A（0，﹣6）．∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝+﹣6．（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1．∴点B关于x＝﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+b．∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣6，∴直线AC的解析式为y＝﹣6．（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2），∴BC＝10．∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2），∴AC＝＝10．∴AC＝BC．∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形．②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，A与D1关于x＝﹣1对称，∴D1（﹣2，﹣6）．③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．∵CB∥AM，∴∠BCA＝∠CAM．在△AMC和△CBF中，，∴△AMC≌△CBF．∴CF＝AM＝6．∴AF＝4．∵梯形ABD2C是等腰梯形，∴CE＝AF＝4．∴D2B＝EF＝2．∵BD2∥AC，∴∠D2BH＝∠BCA．∵∠BCA＝∠CAM，∴∠D2BH＝∠CAM．又∵∠M＝∠D2HB，∴BHD2∽△AMC．∴．∵BD2＝2，∴BH＝，HD2＝，∴D2（，）．综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣6）或D2（，）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝14，tan A＝，点D是边AC上一点，AD＝8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF＝x，CG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．【解答】解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1，点E即为所求作．在Rt△EHA中，AH＝AD＝4，tan A＝，∴EH＝AH•tan A＝4×＝3，AE＝＝5．∴圆E的半径长为5；（2）当点G的边BC上时，如图2所示．∵∠C＝90°，FG⊥EF，EH⊥AC，∴∠C＝∠EHF＝90°，∠CFG＝∠FEH＝90°﹣∠EFH，∴△GCF∽△FHE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+6x﹣（4≤x＜14）；（3）①当点G在BC上时，Ⅰ．当∠FGE＝∠CGF时，过点E作EN⊥BC于N，如图2，∵∠C＝∠GFE＝90°，∴△GCF∽△GFE，∴＝．∵△GCF∽△FHE，∴＝，∴＝，∴FC＝FH＝CH＝（14﹣4）＝5，∴x＝AF＝5+4＝9，∴y＝CG＝，∴r G＝GC＝，r E＝5．∴GN＝﹣3＝，EN＝CH＝10，∴EG＝＝，∴r G﹣r E＜GE＜r G+r E，∴⊙E与⊙G相交；Ⅱ．当∠FGE＝∠CFG时，如图3，则有GE∥AC，∵∠C＝∠AHE＝90°，∴CG∥EH，∴四边形CGEH是矩形，∴r G＝CG＝EH＝3，GE＝CH＝10，∴GE＞r E+r G，∴⊙E与⊙G外离；②当点G在BC延长线上时，设GE交AC于M，如图4，∵∠EHF＝∠GCF＝90°，∠GFC＝∠HEF＝90°﹣∠HFE，∴△EHF∽△FCG，∴＝，∴＝，∴y＝（x﹣4）（x﹣14）．∵∠FGE＝∠CFG，∠FGE+∠MEF＝90°，∠GFM+∠MFE＝90°，∴MG＝MF，∠MEF＝∠MFE，∴ME＝MF，∴MG＝ME．在△GCM和△EHM中，∴△GCM≌△EHM，∴CG＝HE＝3，CM＝MH＝5，∴r G＝3，EG＝2GM＝2，∴GE＞r G+r E，∴⊙E与⊙G外离．综上所述：当△EFG与△FCG相似时，⊙E与⊙G相交或外离．第21页（共21页）。

2016年普陀区高考数学二模试卷含答案2016.04一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分； 1.、若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A I _______2.、若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为____ 3、（理）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα________ （文）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα________4.、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f _______5.、在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为_________6、若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为_______ 7、（理）设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_______（文）设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为_______8、（理）在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为______ （文）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为________9、（理）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE _________（文）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是__________（结果用最简分数表示） 10、若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x ________ 11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为_______2cm （损耗忽略不计）12.、如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P Λ，记i i AP AB M ⋅=2（10,,2,1Λ=i ），则=+++1021M M M Λ________13、设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________14.、已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1Λ中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21Λ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤Λ211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i Λ），则称数组()k j j j Λ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k n C ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C ______ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15、若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16、过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在 17、若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的( )条件（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要18、对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（ ）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）（文）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点；证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（理）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π （文）已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值；21、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫ ⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x ；（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围；22、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M ；（1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k ，求22OP ON +的值； 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）； （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b Λ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++Λ21；2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}1 2. ⎪⎭⎫⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 18013． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高 底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分 由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC 所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分 【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与 底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分 在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=BD ,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分 所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分 由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A (8)分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，B bA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分 21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分 展开并整理得，05002≤-x x ……5分 解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分 即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立； 当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数x x x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分 故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x m kx y ……5分 消去y 得()()0451054222=-+++m kmx x k……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分 且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分 点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分 由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分 于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分 设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分 同理2ON ()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分 （2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分 故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分 于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b Λ=-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分 k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分 （3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=---Λ……12分 ()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=--Λ…………14分m c c c +++Λ21()[]m mm m m m C C C C m 132111--+-+-=Λ…………16分 故m c c c +++Λ21m1=.……18分。

闵行区2015-2016学年第二学期九年级质量调研考试2016.4数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果单项式22n a b c是六次单项式，那么n的值取（A）6；（B）5；（C）4；（D）3．2（A；（B（C1；（D1．3．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（A）3y x=；（B）3y x=-；（C）3yx=；（D）3yx=-．4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（A）平均数；（B）中位数；（C）众数；（D）方差．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（A）正五边形；（B）等腰梯形；（C）平行四边形；（D）圆．6．下列四个命题，其中真命题有（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为sin20a⋅o．（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：32a a -= ▲ ． 92=的解是 ▲ ． 10．不等式组30,43x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程20x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．12．将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为 ▲ ．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边 形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊 的等对角线四边形的名称 ▲ ．14．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，且BC = 3AD ，点E 是边DC 的中点．设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，那么 AE =uu u r ▲ （用a r 、b r的式子表示）．15．布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是 ▲ ．16．9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ▲ .17．点P 为⊙O 内一点，过点P 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OP的长等于 ▲ cm ．18．如图，已知在△ABC 中，AB = AC ，1tan 3B ∠=，将△ABC 翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为 ▲ ． ABD C（第14题图）EABC（第18题图）（第16题图） 乘公车 y % 步行 x %骑车 25%私家车 15%学生出行方式扇形统计图师生出行方式条形统计图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）110212(cos60)32--++-o．20．（本题满分10分）解方程：222421242xx x x x x-+=+--．21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC中，∠ABC = 30º，BC = 8，sin A∠=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i =1∶512，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53º时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8≈o，cos530.6≈o，tan53 1.33≈o，cot530.75≈o）．BCD（第21题图）BDC（第22题图）F23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作 AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于 点G ，交边AB 于点H ．联结AF ，CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =⋅． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于 点A （-1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线l ． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M 的坐标；（2）如果直线y kx b =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直 线l 的对称点为N ，试证明四边形CDAN（3）点P 在直线l 上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切， 求点P 的坐标．（第24题图）（第23题图）AB CDE FGOH25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB = AC = 6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD = 2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE = AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF = x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（第25题图3)普陀区2015-2016学年度第二学期初三质量调研数学试卷 2016年4月13日（时间：100分钟，满分析150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（ ）（A ）8.0016⨯610； （B ）8.0016710⨯； （C ）8100016.8⨯； （D ）9100016.8⨯2、下列计算结果正确的是（ ）（A ）824a a a =⋅; （B ）()624a a =; （C ）()222b a ab =; （D ）()222b a b a -=-.3、下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（ ）（A ）折线图； （B ）扇形图； （C ）统形图； （D ）频数分布直方图。

上海市2016年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【考点】倒数．【解析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，故选：D．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab【考点】同类项．【解析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【解析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次【考点】加权平均数．【解析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20=（4+6+40+30）÷2080÷20=4（次）．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=， =，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【解析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【解析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a= a2．【考点】同底数幂的除法．【专题】计算题．【解析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．函数y=的定义域是x≠2 ．【考点】函数自变量的取值范围．【解析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．方程=2的解是x=5 ．【考点】无理方程．【解析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，则x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2 ．【考点】代数式求值．【专题】计算题；实数．【解析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．不等式组的解集是x＜1 ．【考点】解一元一次不等式组．【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，则不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【考点】根的判别式；解一元一次方程．【解析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x 的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0 ．【考点】反比例函数的性质．【解析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【考点】概率公式．【专题】计算题．【解析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【考点】三角形中位线定理．【解析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000 ．【考点】条形统计图；扇形统计图．【解析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【解析】分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30， tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m ），故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．如图，矩形ABCD 中，BC=2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A ′、C ′处．如果点A ′、C ′、B 在同一条直线上，那么tan ∠ABA ′的值为．【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．【解析】设AB=x ，根据平行线的性质列出比例式求出x 的值，根据正切的定义求出tan ∠BA ′C ，根据∠ABA ′=∠BA ′C 解答即可． 【解答】解：设AB=x ，则CD=x ，A ′C=x+2， ∵AD ∥BC ， ∴=，即=，解得，x 1=﹣1，x 2=﹣﹣1（舍去），∵AB ∥CD ，∴∠ABA ′=∠BA ′C ， tan ∠BA ′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【解析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】本题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法则，难度不大．20．解方程：﹣=1．【考点】解分式方程．【解析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求yB关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【考点】一次函数的应用．【解析】（1）设设yB 关于x的函数解析式为yB=kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；（2）设yA 关于x的解析式为yA=k1x．将（3，180）代入可求得yA关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得yA ，yB的值，最后求得yA与yB的差即可．【解答】解：（1）设yB 关于x的函数解析式为yB=kx+b（k≠0）．将点（1，0）、（3，180）代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以yB 关于x的函数解析式为yB=90x﹣90（1≤x≤6）．（2）设yA 关于x的解析式为yA=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以yA=60x．当x=5时，yA=60×5=300（千克）；x=6时，yB=90×6﹣90=450（千克）．450﹣300=150（千克）．答：若果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．【解析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．（2）由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）． 连接AC ，∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5）， 又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18．（3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ． ∵S △ABC =×AB ×CH=10，AB=5，∴CH=2，在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan ∠CBH==．∵在RT △BOE 中，∠BOE=90°，tan ∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC ， ∴，得EO=，∴点E 的坐标为（0，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且∠AGE=∠DAB ．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】综合题．【解析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（9＜x＜）．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．上海市2016年中考数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=， =，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a= ．8．函数y=的定义域是．9．方程=2的解是．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．不等式组的解集是．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x 的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．20．解方程：﹣=1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，段OG表示A种机器人的搬运量yA解答下列问题：关于x的函数解析式；（1）求yB（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．。

2016年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．3．若sinα=且α是第二象限角，则=．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．7．设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为．8．在极坐标系中，O为极点，若A（1，），B（2，），则△AOB的面积为．9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则Eξ=．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为cm2（损耗忽略不计）．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，C1B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2，如果平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）．20．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．2016年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={1}，故答案为：{1}．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．【考点】反函数．【分析】由，可得，因此，解出即可．【解答】解：∵，∴有，则，必有x﹣1＞0，∴2（x﹣1）＜1，解得1＜x．故答案为：．3．若sinα=且α是第二象限角，则=2．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【分析】由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，∴tanα==﹣，即3tan2﹣8tan﹣3=0，解得：tan=﹣（不合题意，舍去．因为α是第二象限角，是第一象限或第三象限角，tan＞0）或tan=3，则tan（）===．则=2．故答案为：2．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，又因为f（x+2）=﹣f（x），所以有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，根据周期性可得出f=f（0）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f=f（0）=0，故答案为0．5．在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为28．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：由二项式定理得，令（x3）8﹣r•（x﹣1）r=1，即24﹣4r=0，r=6，所以常数项为，故答案为：28．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．．【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调增区间求得g（x）的单调递增区间．【解答】解：对于函数，当时，函数g（x）单调递增，求得，故答案为：．7．设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为8x2﹣4y2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由sec2θ﹣tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2﹣y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【解答】解：曲线（θ为参数），即有，由sec2θ﹣tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2﹣y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代入曲线方程，可得2x02﹣y02=1，即为2（2x）2﹣（2y）2=1，即为8x2﹣4y2=1．故答案为：8x2﹣4y2=1．8．在极坐标系中，O为极点，若A（1，），B（2，），则△AOB的面积为1．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由=，可得OA⊥OB．即可得出△AOB的面积．【解答】解：∵=，∴OA⊥OB．∴S△AOB===1．故答案为：1．9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则Eξ=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：由题意得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴Eξ==．故答案为：．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=4．【考点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算性质，可得（x+1）（x﹣3）=5，解得答案．【解答】解：因为f（x）=log5x，所以f（x+1）+f（x﹣3）=log5x+1+log5x﹣3=log5（x+1）（x﹣3）=1，即（x+1）（x﹣3）=5，所以x=4或x=﹣2（舍去），故答案为：4．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为9πcm2（损耗忽略不计）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】根据糖浆的体积不变性求出每个棒棒糖的半径，从而求出棒棒糖的面积．【解答】解：圆柱形容器的体积为，设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为，解得，∴，故答案为：9π．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故答案为：180．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=21﹣x+a，依题意，得方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）∴当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，设x＜1，则x﹣1＜0，f（x）=f（x﹣1）=21﹣x+a；即x＜1，f（x）=21﹣x﹣a，∵f（x）=x有且仅有两个实数根，∴方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象如右图：∴f（x）=x有且仅有两个实数根，只要直线y=x﹣a介于图中蓝色直线下方即可．依f（x）=21﹣x可求出A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，2），∵A，B两点均为虚点，∴﹣2＜a．故答案为：（﹣2，+∞）．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有个，若选{2，4，6}页满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故=4+1+5=10，故答案为：10．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），若l无斜率，则l方程为x=2，显然不符合题意．若l有斜率，设直线l的方程为：y=k（x﹣2），联立方程组，消元得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．故选B．17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|，充分性不成立；反之成立．【解答】解：设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=，故充分性不成立；由，则x2+y2≤1，所以|x|≤1，|y|＜1，即必要性成立．故答案为：B．18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由题意知，从而求得．【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1），即有，令，则﹣α＜k＜α，若，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，所以﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，则有，故选C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，C1B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2，如果平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角的大小．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，∴BC是BC1在平面ABCD上的射影，∴∠C1BC是直线C1B与底面ABCD所成的角，∵C1B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2，∴∠C1BC=arctan2，在Rt△C1BC中，C1C=BC•tan∠B1BC=2，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，∵D1D⊥平面ABCD，∴==（0，0，2）是平面ABCD的一个法向量，B（1，1，0），D1（0，0，1），C1（0，1，2），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣1，0，2），设=（x，y，z）是平面BD1C1的一个法向量，∴，取z=1，得=（2，0，1），设平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．20．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+）+，利用x∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐角，可知A=，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=，继而可求得sinB及cosB的值，利用两角差的余弦可得cos（A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）===…．∵，∴，．∴．…．（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，又A为锐角，故A=，又b=2，c=3，∴a2=4+9﹣2×2×3×cos=7，解得a=．…．由，得，又b＜a，从而B＜A，cosB=．∴…21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10（a﹣）x≤10（1+0.2x%），整理可得a≤++1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x=400时，函数取得最小值．【解答】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作（1）由题意得：10（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0＜x≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a﹣）x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1+x）万元，则10（a﹣）x≤10（1+0.2x%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因为0＜x≤400，∴++1≥++1=5.1，所以a≤5.1，又a＞0，所以0＜a≤5.1，即a的取值范围为（0，5.1]．22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得x的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点M，可得△=0，化简整理，解方程可得M的坐标；（2）设直线l1：x+ky=0，运用（1）求得M到直线l1的距离公式，再由基本不等式可得最大值，即可得证；（3）直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得交点N，求得|ON|，同样将直线OP：x+ky=0代入椭圆方程求得P的坐标，可得|OP|，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（4+5k2）x2+10ktx+5t2﹣20=0，直线l与Γ只有一个公共点M，可得△=0，即有100k2t2﹣4（4+5k2）（5t2﹣20）=0，化简可得t2=4+5k2，由k=1可得t=±3，由点M在第二象限，可得M（﹣，），即为（﹣，）；（2）证明：设直线l1：x+ky=0，由（1）可得M（﹣，），t2=4+5k2，则点M到直线l1的距离d===≤==﹣2，当且仅当5k2=时，取得等号；（3）由题意可得直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（20+16k2）x2=100，即有x2=，y2=，即有|ON|2=，将直线OP的方程x+ky=0，代入椭圆方程可得，y2=，x2=，即有|OP|2=，则|ON|2+|OP|2==9．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过S n=a n a n+1，利用a n+1=S n+1﹣S n整理得a n+2﹣a n=2，进而可知数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=，进而可知b n b n+1=•，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过=及a n=n分别计算出、、、的表达式，进而累乘化简即得结论．【解答】（1）证明：∵S n=a n a n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=a n+1a n+2﹣a n a n+1，整理得：a n+2﹣a n=2，又∵a1=1，a2==2，∴数列{a n}的通项公式a n=n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n==2n﹣2（n+1）=，∴b n b n+1=•=•，∴b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1=（++…+）=••=•（1﹣），又∵（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，即•=，解得：k=2；（3）解：∵c1=1，=，a n=n，∴=，∴=，=，=，…，=，∴当n≥2时，c m=••…••c1=••…•••1=（﹣1）m﹣1•=（﹣1）m﹣1•，显然当m=1时满足上式，即c m=（﹣1）m﹣1•，∴c1+c2+…+c m=．2016年8月27日。