高中数学 柯西不等式与排序不等式练习试题 新人教A版选修45(1)

二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。

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3。

3排序不等式同步检测一、选择题 1。

已知两组数，，其中,，,，，，，,,，将重新排列记为则的最大值和最小值分别是（ )A.132，6B.304,212C.22,6D.21，36 答案：B 解析：解答:因为112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-,所以的最大值为2374869101211304⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，最小值为2117108694123212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B分析：本题主要考查了排序不等式,解决问题的关键是根据排序不等式112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.2. 若,,其中，都是正数,则A 与B 的大小关系为（ ) A 。

A ＞B B 。

A ＜B C. D.答案：C解析：解答：依序列的各项都是正数，不妨设,则，为序列的一个排列。

依排序不等式，得，即。

分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.3. 已知a ，b ,c ＞0,则的正负情况是( )A 。

三 排序不等式,[学生用书P49])[A 基础达标]1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选A.设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0， 由排序不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立．2．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n 分钟，第三人投p 分钟．某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？( )A ．A 第一，B 第二，C 第三B ．B 第一，A 第二，C 第三 C ．C 第一，B 第二，A 第三D ．A 第一，C 第二，B 第三解析：选A.因为m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，且由排序不等式知顺序和为最大值，所以最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高．所以，三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三．3．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞BB ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ≤B 解析：选C.因为序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n }的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.故选C.4．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min ，8 min ，6 min ，10 min ，5 min ，每台机床停产1 min 损失5元，经合理安排损失最少为( )A．420元B．400元C．450元D．570元解析：选A.停产总时间是5t1＋4t2＋3t3＋2t4＋t5.由排序不等式得，当t1＜t2＜t3＜t4＜t5时，总时间取最小值．所以，总时间最小值为5×4＋4×5＋3×6＋2×8＋10＝84，即损失最少为84×5＝420(元)．5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：选B.设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3.根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．答案：≥7．已知在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c.若M＝a cos C＋b cos B＋c cos A，N＝a cos B＋b cos C＋c cos A，则M与N的大小关系是________．解析：因为锐角三角形ABC中，a＜b＜c，所以A＜B＜C＜90°，所以cos A＞cos B＞cos C，由排序不等式可知M＞N.答案：M＞N8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．解析：两组数2件、4件、5件与1元、2元、3元的反序和S 1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)． 顺序和S 2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．根据排序原理可知至少花19元，最多花25元．答案：19 259．已知a ，b ，c 为正数，用排序不等式证明：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )．证明：设正数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2，由排序不等式得， a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≤a 3＋b 3＋c 3，a 2c ＋b 2a ＋c 2b ≤a 3＋b 3＋c 3，两式相加，得：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )． 10．已知x ，y ，z 都是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值． 解：不妨设x ≥y ≥z ＞0，则1z ≥1y ≥1x＞0，且x 2≥y 2≥z 2＞0，由排序不等式，得 y 2z ＋x 2y ＋z 2x ≥1z ·z 2＋1y ·y 2＋1x·x 2＝x ＋y ＋z . 又x ＋y ＋z ＝1，所以x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立． 则x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1. [B 能力提升]1．在锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为________．解析：不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有 Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )≥R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )]＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c 2(R 为锐角三角形ABC 外接圆的半径)．答案：P ≤Q2．一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝n a 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________． 解析：令b i ＝a i G n (i ＝1，2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x n x 1. 由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n ＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a n G n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ， 即A n ≥G n .答案：A n ≥G n3．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .证明：(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n .由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋xn －1·x ＋…＋1·x n ， 所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理得 1·x ＋x ·x 2＋…＋xn －1·x n ＋x n ·1≥ 1·x n ＋x ·xn －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1. 所以x ＋x 3＋…＋x 2n －1≥nx n .②①＋②，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ，同理可得结论．综合(1)与(2)，所以当x ＞0时，1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n.4．设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值． 解：令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）， 则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋ab c （a ＋b ）·ab . 由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc . 所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋ab c （a ＋b ）·bc ＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋b c （a ＋b ）.① 又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋ab c （a ＋b ）·ac ＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋a c （a ＋b ），② ①、②两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc ＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.。

第三讲柯西不等式与排序不等式检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为()A.2B.4C.8D.162设x1,x2,…,x n取不同的正整数,则m的最小值是A.1B.2C.1,有3已知3x2+2y2≤ ,则3x+2y的取值范围是()A.[0C.[|3x+2y|≤所以 ≤ x+2y≤4已知x,y,z是正实数,且则的最小值是A.5B.6C.8D.9x≥=9,当且仅当即x=3,y=6,z=9时,等号成立.5设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排列,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是()A.(0,30]B.(20,30]C.[20,30]D.[20,30),得a1+2a2+3a3+4a4≤ 2+22+32+42=30,a1+2a2+3a3+4a4≥ ×4+2×3+3×2+4×1=20.故a1+2a2+3a3+4a4∈[20,30].6若x+y+z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.6B.12C.24D.362+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)≥ x+y+z)2当且仅当x=y=z=2时,等号成立.7设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则的最大值是A=a+b+4c=(12+12+12)≥故 ≤ 当且仅当a时,等号成立.8若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为()A.9B.10C.14D.152=(3x+6y+5z)2≤[ x)2+([12+当且仅当x 时,等号成立.故所求的最大值为9.9若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则 的最小值是A10设c1,c2,…,c n是a1,a2,…,a n的某一排列(a1,a2,…,a n均为正数),则的最小值是A.n B≤a1≤a2≤…≤a n,则≥…≥是的一个排列,再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解.所以当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11函数y的最小值是,得y≥≥即时,等号成立.+12如图,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和空白部分的矩形的面积之和.,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,答案为≥.13已知0<x<1,0<y<1,则函数f(x)--的最小值是14下列命题中正确命题的序号为.①log a b+log b c+log c a≥ 成立,当且仅当a,b,c∈(1,+∞).≥ 成立,当且仅当a≠0.③若a>b>0,则a-的最小值为④a2+b2+c2≤ab+bc+ca.,当a,b,c∈(0,1)时,log a b+log b c+log c a≥ 也成立; 中,a,-≠0),故正确;③中的命题显然正确;④由排序不等式可知,应为a2+b2+c2≥ab+bc+ca.15已知正实数x1,x2,…,x n满足x1+x2+…+x n=P,P为定值,则F-的最小值为0<x1≤x2≤…≤x n,则≥…≥且0≤…≤为序列的一个排列,根据排序不等式,得F-≥=x1+x2+…+x n=P(定值),即F-的最小值为P.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)设x1,x2,…,x n都是正数,求证…,构造两组数的积的形式,利用柯西不等式证明.(x1+x2+…+x n…=[+…≥…=n2,…17(8分)设a,b,c是正实数,求证,得[(b+c)+(c+a)+(a+b)]≥ a+b+c)2.故当且仅当a=b=c时,等号成立.18(9分)设c1,c2,…,c n为正实数,且为数组a1,a2,…,a n的某一排列,求证≥n.0<a1≤a2≤…≤a n,则≥…≥因为是的一个排列,故由排序原理,反序和≤乱序和,得a1+a n≤a1+a n即≥n.19(10分)已知a,b,c,d为不全相等的正数,求证,有≥于是①等号成立⇔⇔⇔a=b=c=d.因题设a,b,c,d不全相等,于是①式中等号不成立,即20(10分)设x>0,求证:1+x+x2+…+x2n≥ n+1)x n.x>0,但是对于x≥ ,x<1并不确定,因此,需要分类讨论.当x≥ 时, ≤x≤x2≤…≤x n,由排序不等式,知11+x x+x2x2+…+x n x n≥x n1+x n-1x+…+1x n,即1+x2+x4+…+x2n≥ n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为1,x,x2,…,x n的一个排序,于是由排序不等式,得1x+x x2+…+x n-1x n+1x n≥ x n+x x n-1+…+x n-1x+x n1,即x+x3+…+x2n-1≥nx n.①+,得1+x+x2+…+x2n≥ n+1)x n.(2)当0<x<1时,1>x>x2>…>x n,同理可得1+x+x2+…+x2n≥ n+1)x n.综合(1)与(2),可知当x>0时,1+x+x2+…+x2n≥ n+1)x n.。

3.1 二维形式的柯西不等式课后导练基础达标1已知a,b,m,n∈R +,且m+n=1,设T=nb ma +,Q=b n a m +,则( ) A.T>Q B.T≥QC.T<QD.T≤Q解析:T=nb ma +=b n a m b n a m n m nb ma +=+≥++2)())((=Q. 答案:B2设a,b,c,d,n,m∈R +,且P=cd ab +,Q=nd m b nc ma ++,则P,Q 之间的大小关系是…( )A.P≥QB.P≤QC.P=QD.P,Q 大小关系不确定解析:Q=nd m b nc ma +•+≥cd ab cd ab +=+2)(=P. 答案:B 3a>b>c,则c b b a -+-11与ca -4的大小关系是( ) A.cb b a -+-11>ca -4 B.cb b a -+-11≥ca -4 C.cb b a -+-11<ca -4 D.cb b a -+-11≤c a -4 解析:∵a>b>c,∴a -b,a-c,b-c>0.由于(cb b a -+-11)(a-c) =［(b a -1)2+(cb -1)2］［(b a -)2+(c b -)2］ ≥(1+1)2=4, ∴(cb b a -+-11)(a-c)≥4. ∴c b b a -+-11≥c a -4. 答案:B4用柯西不等式证明(2b a +)2≤222b a +.证明:∵(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2,即2(a 2+b 2)≥(a+b)2,两边同除以4,即得(2b a +)2≤222b a +.50<x<1,求证:x b x a -+122≥(a+b)2.证明:∵x+(1-x)=1, ∴x b x a -+122=［x+(1-x)］(x b x a -+122)≥(a+b)2.综合应用6已知x,y,a,b 为正数,且a+b=10,y bx a+=1,x+y 的最小值为18,求a,b.解析:∵x+y=(x+y)(y bx a+)≥(b a +)2 =a+b+ab 2=18,又a+b=10,因此a=2,b=8或者a=8,b=2.7x,y,a,b∈R +,x 2+y 2=1,a 2+b 2=1,求证:|ax+by|≤1.证明:1=(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax+by)2,∴|ax+by|≤1.8已知a,b,c,d,x,y 均为正数,且x 2=a 2+b 2,y 2=c 2+d 2,求证:xy≥))((bc ad bd ac ++. 证明:x 2y 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,∴xy≥ac+bd.①又x 2y 2=(a 2+b 2)(d 2+c 2)≥(ad+bc)2,∴xy≥ad+bc.②①×②得x 2y 2≥(ac+bd)(ad+bc),即xy≥))((bc ad bd ac ++.9设a,b∈R +,且a+b=1,求证:(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225(用柯西不等式证明).证明:(12+12)［(a+a 1)2+(b+b 1)2］≥［(a+a 1)+(b+b 1)］2=［1+(a 1+b 1)］2 =(1+ab 1)2≥25(∵ab≤41), ∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225. 拓展探究10求使直线xcos θ+ysin θ=2和椭圆x 2+3y 2=6有公共点的θ的取值范围(0≤θ≤π).解析:由柯西不等式22=(xcos θ+ysin θ)2=(x·cosθ+3y·31sin θ)2≤(x 2+3y 2)(cos 2θ+31sin 2θ)=6cos 2θ+2sin 2θ.解得cos 2θ≥21,即cos θ≥22或cos θ≤22-.因为0≤θ≤π,所以0≤θ≤4π或43π≤θ≤π.备选习题11a,b,c∈R +,且acos 2θ+bsin 2θ<c,求证:a cos 2θ+b sin 2θ<c .证明:a cos 2θ+b sin 2θ =a cosθ·cosθ+b sinθ·sinθ ≤c b a <++)sin cos )(sin (cos 2222θθθθ.12已知x,y∈R ,且3x 2+2y 2≤6,求证:|2x+y|≤11.证明:(2x+y)2=(32·3x+21·2y)2 ≤(34+21)(3x 2+2y 2) ≤611×6=11, ∴|2x+y|≤11.13设α∈(0,2π),求证:(1+αn 2sin 1)(1+αn 2cos 1)≥(1+2n )2. 证明:∵α∈(0,2π),故sin 2n α≠0,cos 2n α≠0,sin2α>0,由柯西不等式(1+αn 2sin 1)(1+αn 2cos 1) ≥(1+ααn n cos sin 1•)2 =(1+α2sin 2n n)2≥(1+2n )2.14双曲线9x 2-16y 2=r 2(r>0)与直线x+y=2有公共点,求r 的取值范围. 解析:要使直线与曲线有公共点,由柯西不等式x 2=(2-y)2=［r 2·r+(-41)·4y］2 ≤(24r +161)(r 2+16y 2) =(24r +161)·9x 2.消去非零x,整理得r 2≤7242.由r>0,那么0<r≤7724.15求经过x 2+y 2=r 2上一点M(x 0,y 0)的切线方程.解析:由M(x 0,y 0)在圆上,得x 02+y 02=r 2,由柯西不等式r 4=(x 2+y 2)(x 02+y 02)≥(x 0x+y 0y)2.所以x 0x+y 0y=±r 2.因为点M(x 0,y 0)满足x 0x+y 0y=r 2,所以x 0x+y 0y=r 2为要求的切线方程.16已知a 2+b 2=2,则asin θ+bcos θ的最大值是( ) A.1 B.2 C.23 D.2解析:(sin 2θ+cos 2θ)(a 2+b 2)≥(asinθ+bcos θ)2,∴asinθ+bcos θ≤2.答案:D。

3.2 一般形式的柯西不等式课后训练1．已知x 2＋y 2＋z 2＝1，则x ＋2y ＋2z 的最大值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y )2的最小值是( )． A ．16 B ．13C ．6D ．3 3．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________．4．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．5．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)222211136sin sin sin R A B C ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋. 6．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值． 7．设a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，求证：21112231111()n n n a a n a a a a a a ⎛⎫≥⎪⎝⎭＋＋－＋＋＋－－－.8．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1已知函数f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋23a b c ()＋＋(a ，b ，c ∈R )的最小值为m .若a －b ＋2c ＝3，求m 的最小值．参考答案1. 答案：C解析：由柯西不等式得(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9，所以－3≤x ＋2y ＋2z ≤3.当且仅当22y z x ＝＝时，右边等号成立． 所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3. 2. 答案：B解析：由柯西不等式，得 (12＋12＋12)[x 2＋y 2＋(1－x －y )2]≥[x ＋y ＋(1－x －y )]2， 即x 2＋y 2＋(1－x －y )2≥13， 当且仅当x ＝y ＝1－x －y ，即x ＝y ＝13时，x 2＋y 2＋(1－x －y )2取得最小值13.3. 答案：－6解析：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)·[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2，∴(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36. 当且仅当122x y z k -＝＝＝，2±3k ＝时，上式取得等号，当23k -＝时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.4. 答案：9解析：2x ＋2y ＋z ＋8＝2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9. 考虑以下两组向量：u ＝(2,2,1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，得(u ·v )2≤|u |2·|v |2；即[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2≤[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2]·(22＋22＋12)， 当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时，等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥2999(-)＝. 5. 证明：∵2sin sin sin a b c R A B C＝＝＝， ∴222222111()sin sin sin a b c A B C ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋ 2236 sin sin sin a b c R A B C ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋＝. ∴原不等式成立．6. 解：由柯西不等式，得(2b 2＋3c 2＋6d 2)111236⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2.即12b ＝，13c ＝，16d ＝时，a max ＝2；b ＝1，23c ＝，13d ＝时，a min ＝1． 7. 证明：∵a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，∴a 1－a 2＞0，a 2－a 3＞0，…，a n －a n ＋1＞0，据柯西不等式有：(a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a n －a n ＋1)·12231111n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋－－－≥(22na n⎤＋－＝.∴原不等式成立．8. 解：由柯西不等式，得22(111＝≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝3[4(a ＋b ＋c)＋3]＝21． 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． . 9. 解：因为f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋23a b c ()＋＋＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋a 2＋b 2＋c 2＋23a b c ()＋＋＝233a b c x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋－＋a 2＋b 2＋c 2， 所以3a b c x ＋＋＝时，f (x )取最小值a 2＋b 2＋c 2， 即m ＝a 2＋b 2＋c 2.因为a －b ＋2c ＝3，由柯西不等式，得 [12＋(－1)2＋22]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a －b ＋2c )2＝9，所以m ＝a 2＋b 2＋c 2≥9362＝，当且仅当112a b c -＝＝，即12a ＝，12b -＝，c ＝1时，等号成立． 所以m 的最小值为32.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式综合检测 新人教A 版选修4-5(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy >0，则(x 2＋4y 2)(y 2＋1x2)的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0【解析】 [x 2＋(2y )2][(1x)2＋y 2]≥(x ·1x ＋2y·y )2＝9.【答案】 B2．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为( )A ．[0，455]B ．[－165，165]C ．[0，165]D ．[－455，455]【解析】 ∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 即4(16－e 2)≥(8－e )2， 64－4e 2≥64－16e ＋e 2， 即5e 2－16e ≤0， ∴e (5e －16)≤0， 故0≤e ≤165.【答案】 C3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元D ．340元【解析】 由排序原理，反序和最小． ∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元). 【答案】 C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)(1a 2＋1b 2＋1c2)最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18【解析】 由(a 2＋b 2＋c 2)(1a 2＋1b 2＋1c2)≥(a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c)2＝9，∴所求最小值为9. 【答案】 B5．设a ，b ，c 均为小于0，且a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( )A ．0B ．1C ．3D ．333【解析】 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， 所以ab ＋bc ＋ca ≤3. 【答案】 C6．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．21 B ．121 C ．16D ．116【解析】 ∵1＝x ＋2y ＋4z ≤ x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16， ∴x 2＋y 2＋z 2≥121，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.【答案】 B7．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B ． 2 C ．1D ．2【解析】 f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3，∴f (x )的最大值为 3. 【答案】 A8．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M >NC ．M ≤ND ．M <N【解析】 由(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 所以M ≥N ，当a ＝b ＝c ＝d 时等号成立， 故应选A. 【答案】 A9．已知半圆的直径AB ＝2R ，P 是弧AB 上一点，则2|PA |＋3|PB |的最大值是( )A.6R B ．13R C ．213RD ．413R【解析】 由2|PA |＋3|PB | ≤22＋32|PA |2＋|PB |2＝13|AB |2＝13·2R . 【答案】 C10．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P 、Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q【解析】 ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )≥∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . 【答案】 B11．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( )A ．>B ．≥C ．<D ．≤【解析】 不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式： 顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 【答案】 B12．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n的最小值是( )A ．nB ．1nC.nD ．2n【解析】 不妨设0≤a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n ，1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解． 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n . 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2013·湖北高考)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.【解析】 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.【答案】314714．已知实数m ，n ＞0，则a 2m ＋b 2n ________a ＋b2m ＋n.(填≥、＞、≤、＜)【解析】 因为m ，n ＞0，利用柯西不等式，得(m ＋n )(a 2m ＋b 2n )≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥a ＋b 2m ＋n.【答案】 ≥15．函数y ＝(1＋1sin α)(1＋1cos α)(0＜α＜π2)的最小值是________．【解析】 由柯西不等式，得y ＝[12＋(1sin α)2][12＋(1cos α)2]≥(1×1＋1sin α·1cos α)2＝(1＋2sin 2α)2≥(1＋2)2＝3＋2 2. 当且仅当1cos α＝1sin α，即α＝π4时等号成立．【答案】 3＋2 2 16.图1如图1所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．【解析】 由题图可知，阴影面积＝a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积＝a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.【答案】 ≥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设x 2＋2y 2＝1，求u (x ，y )＝x ＋2y 的最值． 【解】 由柯西不等式， 有|u (x ，y )|＝|1·x ＋2·2y | ≤1＋2·x 2＋2y 2＝ 3. 得u max ＝3，u min ＝－ 3. 分别在(33，33)，(－33，－33)时取得最大值和最小值． 18．(本小题满分12分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.求证x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13. 【证明】 因为x >0，y >0，z >0，所以由柯西不等式得： [(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )](x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y)≥(x ＋y ＋z )2，又因为x ＋y ＋z＝1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2z ＋2y≥x ＋y ＋z 2y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y ＝13.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边依次为a ，b ，c ，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.【证明】 考察两个数组a ，b ，c 和A ，B ，C . 不妨设a ≥b ≥c ， 则有A ≥B ≥C .于是， 由排序不等式可得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ， aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB .(顺序和≥乱序和)将以上三式的两边分别相加，得 3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C ) ＝(a ＋b ＋c )π， 所以aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 大于0，且a cos 2θ＋b sin 2θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.【证明】 由柯西不等式， 得(a cos 2θ＋b sin 2θ)2≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2](cos 2θ＋sin 2θ) ＝a cos 2θ＋b sin 2θ. 又a cos 2θ＋b sin 2θ<c ， ∴(a cos 2θ＋b sin 2θ)2<c . 因此，a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.21．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】 构造两组数a ，b ，c ；1a，1b，1c，于是由柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2][(1a)2＋(1b)2＋(1c)2]≥(a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c)2，即(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥32.因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c≥9.22．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明： (1)a a b b ＞a b b a(a ≠b )； (2)a 2a b 2b c 2c≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.【证明】 (1)不妨设a ＞b ＞0， 则lg a ＞lg b.从而a lg a ＋b lg b ＞a lg b ＋b lg a ， ∴lg a a＋lg b b＞lg b a＋lg a b. 即lg a a b b＞lg b a a b， 故a a b b＞b a a b .(2)不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c.∴a lg a＋b lg b＋c lg c≥b lg a＋c lg b＋a lg c.a lg a＋b lg b＋c lg c≥c lg a＋a lg b＋b lg c. ∴2a lg a＋2b lg b＋2c lg c≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c.∴lg(a2a·b2b·c2c)≥lg (a b＋c·b a＋c·c a＋b)．故a2a b2b c2c≥a b＋c b c＋a c a＋b.。

三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。

高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。