九年级数学下册：相似三角形

九年级数学下册：相似三角形

专题一相似形中的开放题

1．如图，在正方形网格中，点A﹨B﹨C﹨D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=时，以点A﹨D﹨E为顶点的三角形与△ABC相似．

1．已知：如图，△ABC中，点D﹨E分别在边AB﹨AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC﹨BE，∠BDE+∠BCE=180°.

(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；

(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似

的理由.

专题二相似形中的实际应用题

3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.

专题三相似形中的探究规律题

4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30

cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1﹨a2﹨a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是

( )

A．24 B．25 C．26 D．27

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．

（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；

（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；

（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；

（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．

专题四相似形中的阅读理解题

6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义﹨判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：

(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；

(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的

弧长为；

(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现

要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.

图1 图2

专题五相似形中的操作题

7．宽与长的比是

21

5

的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调﹨匀称的美感．

现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：

第一步：作一个正方形ABCD；

第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；

第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；

第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．

8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．

（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时F C交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；

（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B﹨D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．

探究：FD+DG= DB，请给予证明．

专题六相似形中的综合题

9．正方形ABCD的边长为4，M﹨N分别是BC﹨CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．

10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，2

1AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE ﹨AD ﹨DC ．

（1）求证：D 是 ⌒AE 的中点；

（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；

（3）若2

1=∆∆OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.

【知识要点】

1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.

2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.

3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.

8．相似三角形对应高的比等于相似比.

9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.

【温馨提示】

1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.

2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.

3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察﹨分析问题的习惯.

【方法技巧】