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人教版九年级下册数学《相似三角形》相似精品PPT教学课件

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相似三角形完整版PPT课件

相似三角形完整版PPT课件
相似三角形在几何变换中的应用 在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。

九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件

九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件

3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。

人教版九年级数学下册《相似三角形的判定》相似PPT教学课件

人教版九年级数学下册《相似三角形的判定》相似PPT教学课件
判定定理3
两角分别相等的两个三角形相似
.
作业布置
1、全效 2、
学以致用
在一次数学活动课上，为了测量河宽AB.
学以致用
在一次数学活动课上，为了测量河宽AB,小明采用了如下方法（如图） ：从A处沿与AB垂直的直线方向走45米到达C处，插一根旗杆，然后沿 同方向继续走15米到达D处，再右转90°走到E处，使B，C，E三点恰好 在一条直线上.量得DE=20米，这样就可以求出河宽AB.请你说说理由， 并算出结果.
基本模型
模型典例
C
模型典例
D
模型典例 B
课堂小结Hale Waihona Puke A′B′ A C′B
C
定义法 三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似.
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或延长线）相 交，所构成的三角形与原三角形相似.
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
复习回顾
A′
相似三角形的判定
A
B′
C′ B
C
，所构成的三角形与原三角形相似.
合作交流
在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，求证
△ABC∽△A′B′C′.
A
A′
B
C
B′
C′
判定定理
两角分别相等的两个三角形相似.
A
A′
B
C
B′
C′
几何语言： ∵∠A=∠A′, ∠B=∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′.
典例精析
例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°, A ∠E=80 °, ∠F=60 °．求证：△ABC∽△DEF.

《相似三角形》相似图形PPT课件

《相似三角形》相似图形PPT课件

定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例

人教九年级数学下册《相似三角形的判定》相似PPT精品课件(第1课时)

人教九年级数学下册《相似三角形的判定》相似PPT精品课件(第1课时)
中学数学精品课件
第二十七章 相似
相似三角形的判定
第1课时
学习目标
1.了解相似三角形的定义及相关概念． 2.理解和掌握平行线分线段成比例的基本事实及其在三角形 中的应用． 3.理解和掌握相似三角形的判定定理“平行于三角形一边的 直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”．
复习导入
1．相似多边形的主要特征是什么？ 相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 2．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中， 如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， 且 AB B．C CA k
AB BC CA
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比．
复习导入
反之，如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
且
AB AB
BC BC
CA CA
．
3．问题：如果两个相似三角形的相似比k=1，那么这两
个三角形有怎样的关系？
3题图
4题图
课堂练习
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE=10，BC=14，
5
24
则△ADE和△ABC的相似比是 7 ；若AE=12，则CE= 5 ．
课堂练习
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC， DB=1 cm，AE=4 cm，BC=5 cm，求DE的长．
课堂练习
． 解：∵DE∥BC，
2．平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线
段成比例． 3．相似三角形的判定定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相

人教版人教版九年级下相似三角形的判定精品课件PPT

人教版人教版九年级下相似三角形的判定精品课件PPT
的相似比为 1 . k
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
如果∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F， ABACBCk
DE DF EF
即对应角相等对应边的比相等我们说△ABC与△DEF相似，
记作 △ABC∽△DEF， △ABC和△DEF的相似比为k，
DB
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.
（2） △ADE∽△ABC
AE DE,即 50 DE.
AC BC 5030 70 所以,DE 507043.75(cm).
5030
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
线段有什么关系？
通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
ab
A B
E F l1
l2
AD EH等等 由此可得到： BD FH
D
H l3
（2）
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形.
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
△AOB∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD
A E C
B O

数学人教版九年级下册初中数学教学：相似三角形的判定精品PPT


A
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
A′
B′
C′
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
已知:如图△ABC和△A′B′C′中A′B′:AB
=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
如图,已知: AB BC AC， 试说明∠BAD=∠CAE.
AD DE AE
证明：∵ AB = BC = AC AD DE AE
A
∴ΔABC∽ΔADE
D
∴∠BAC=∠DAE
B
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE.
E C
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边 的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎 样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
A A′

《相似三角形》完整版教学课件


易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例

《相似三角形》相似PPT课件2-人教版九年级数学下册PPT课件


D
A
A
F
C
EE
F
C B
E
E
B
2．已知:D为BC上一点, ∠B= ∠C= ∠EDF=60°， BE=6 ， CD=3 ， CF=4 ，
则AF=___7____
A
E F
B
D
C
如图, 已知抛物线与x轴交于A、B
X=4
两点, 与y轴交于C点，且A(2，0)， y C(0，3)
（1）求此抛物线的解析式; （2）抛物线上有一点P, 满足 ∠PBC=90°, 求点P的坐标;
问:是否存在这样的m, 使得⊿BPQ与⊿BDA相似? 如存在, 请求出m的值; 若不存在, 请说明理由。
（1）∵⊿BDA∽⊿BAC
yA
∴∠CAD＝∠ABC
3
∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4
4
B(-3，0) O
D
∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3×
3 =
4
9 4
C(1，0)x ∴OD=OC+CD=1+ 9 = 13
3
tan∠ABC=
4
∴D( 13,0) 4
44
用一用
y
PP
B(-3,0) Q O Q
tan∠ABC=
A
D
C(1,0) x
3 4
(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽
⊿BAD BP BQ
则 BA BD
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
二十七章相似
相似三角形
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法:
1．定义:三角对应相等, 三边对应成比例的两个 三角形相似。 2．平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的 延长线)，所构成的三角形与原三角形相似． 3．三边对应成比例的两个三角形相似。 4．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

人教版九年级数学下册 《相似三角形》相似PPT课件

第十页，共十七页。
【解析】∵12=12×6·AE，∴AE=4. 设矩形的高为a，则4-a4=x6,a=4-23x， ∴y=x·a=-23x2+4x，
∴当x=-42×-23=3时，
y最大值=6，填3，6.
［预测变形２］一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图38-4所 示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
那么这两个三角形相似;
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似;
（5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么 这两个直角三角形相似.
注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似.
第五页，共十七页。
性质： （1）相似三角形的对应角相等பைடு நூலகம்对应边成比例；
为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3, 求AF的长.
【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由△ADF∽△DEC,得 ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易求出FA.
第七页，共十七页。
∴AF= 23.
第八页，共十七页。
【点悟】判定两三角形相似，若出现一对角相等时，
则考虑还能否找到另一对角相等，或夹这个角的两边
对应成比例.
类型之二相似三角形的性质的运用
［2011·预测题］如图38-2，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与CD的延长线 相交于P，PF⊥BC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=5. 【解析】本题利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比来列式计算. ∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC.又PF⊥BC, ∴PEPF=ADBC， 即PF-3PF=25,解得PF=5.
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［预测变形３］电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD， AB∥CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB 的距离是（C）
A.56 m B.67 m C.65 m D.103 m
【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25
,∴x=65,选C.
2020/11/22
类型之二相似三角形的性质的运用
［2011·预测题］如图38-2，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与
CD的延长线相交于P，PF⊥BC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=5.
【解析】本题利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比来列式计
算.
∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC.又PF⊥BC,
∴PEPF=ADBC，
（5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么 这两个直角三角形相似.
注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似.
2020/11/22
5
性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等应角相等或对应线段成比例时，
要注意对应关系。
2020/11/22
6
类型之一相似三角形的判定
［2010·珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
2020/11/22
3
注意：相似比为1的两个多边形全等. 性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等;
（2）相似多边形周长的比等于相似比; （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.
5.相似三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
求AF的长.
【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由 △ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易 求出FA.
2020/11/22
7
解： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°. ∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.
形MPQN，设MN为x，矩形MPQN的面积为y（y ＞0）,当x＝3时，
202面0/1积1/2y2最大，y最大值＝6.
10
【解析】∵12=12×6·AE，∴AE=4. 设矩形的高为a，则4-a4=x6,a=4-23x， ∴y=x·a=-23x2+4x， ∴当x=-42×-23=3时， y最大值=6，填3，6.
2020/11/22
1
1.相似图形
定义：具有相同形状的图形称为相似图形.
2.比例线段
定义：在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两 条线段的比，即ab=cd（或a∶b=c∶d），那么这四条线段a、b、c、 d叫做成比例线段，简称比例线段.
注意：（1）线段a、b、c、d成比例是有顺序的，表示ab=cd（或 a∶b=c∶d）；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4.
又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD.
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2 =（33）2+32=6.
∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴336=AF4，
202∴0/A11F/2=2 23.
8
【点悟】判定两三角形相似，若出现一对角相等时， 则考虑还能否找到另一对角相等，或夹这个角的两边 对应成比例.
12
［预测变形４］如图38-5所示，某校计划将一块 形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造． 已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米.学校计划将它分割成 △AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分.其中矩形EFGH的一边 EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在 △AHG上种草，每平方米投资6元； 在△BHE、△FCG上都种花，每平 方米投资10元；在矩形EFGH上兴 建爱心鱼池，每平方米投资4元.
［预测变形２］一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为
22.5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，
如图38-4所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形
纸条是（C）
20A20./1第1/242张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
11
【解析】设第n个矩形是正方形， 则n个矩形的高为3n， ∴22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C.
20即20/P11F/2-23PF=25,解得PF=5.
9
预测理由相似三角形的应用广泛，它在投影、 圆的有关计算证明等方面占有重要位置，通过它 的运用能反映识图能力和逻辑推理能力，是中考必考内容.
［预测变形1］如图38-3，锐角△ABC中，BC＝6,S△ABC=12，两
动点M、N分别在边AB、AC上滑动且MN∥BC，以MN为边向下作矩
2020/11/22
2
3.比例线段的性质
性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特 别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.
（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd.
4.相似多边形
定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角 相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.
(1)当FG长为多少米时，种草的面
判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，
202所0/1构1/2成2 的三角形与原三角形相似;
4
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似;
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似;
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似;