2019年高考数学(艺术生百日冲刺)专题11直线与圆的方程测试题

直线与圆的方程检测卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点在直线上，则直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C2．已知直线l：在轴和轴上的截距相等，则的值是A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1【答案】C【解析】当时，直线方程为，显然不符合题意，当时，令时，得到直线在轴上的截距是，令时，得到直线在轴上的截距为，根据题意得，解得或，故选C.【名师点睛】本题主要考查了直线方程的应用及直线在坐标轴上的截距的应用，其中正确理解直线在坐标轴的截距的概念，利用直线方程求得直线的截距是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分类讨论的数学思想.3．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是A．－5 B．－4C．－6 D．【答案】A【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．若3π2π2α<<, A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】令0x =，得sin 0y α=<，令0y =，得cos 0x α=>，直线过()()0,sin cos ,0αα，两点，因而直线不过第二象限.本题选择B 选项.5．已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12l l ∥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】2m =-时，可得12:680,:310,l x l x --=-+=所以12l l ∥；12l l ∥时，可得()()()()422410m m m m -+++-=，解得2m =或2m =-，2m ∴=-是12l l ∥的充分不必要条件，故选B.6．若圆C 与y 轴相切于点()0,1P ，与x 轴的正半轴交于,A B 两点，且2AB =，则圆C 的标准方程是A ．(()2212x y +++= B ．()(2212x y +++=C ．(()2212x y +-=D ．()(2212x y -+=【答案】C【解析】设AB 中点为D ，则1AD CD ==，∴)1r AC C==，故选C ．7．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．若过点()0,1A -的直线l 与圆()2234x y +-=的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为A ．[]0,4B ．[]0,3 C ．[]0,2D ．[]0,1【答案】A【解析】由已知，点()0,1A -在圆()2234x y +-=外，当直线l 经过圆心()0,3时，圆心到直线l 的距离最小为0，圆心到点()0,1A -的距离，是圆心到直线l 的最大距离，此时4d ==，故选A.9．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．49 B ．109C ．1D ．3【答案】C【名师点睛】解答本题的关键是准确理解题设中恰有三条切线这一信息，并进一步等价转化为“在2249a b +=，即224199a b +=的前提下，求2211a b +的最小值问题”.求解时充分借助题设条件，巧妙地将2249a b +=化为224199a b +=，再运用基本不等式从而使得问题的求解过程简捷、巧妙. 10．直线2(0)x y m m +=>与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，若||2||OA OB AB +>，则实数m 的取值范围是 A ．（，2）B ．（2，）C ．（，5）D ．（2，）【答案】B【解析】设AB 中点为D ，则OD AB ⊥，∵2OA OB AB +>2x y m +=（0m >）与22:5O x y += 交于不同的两点A B 、，∴25OD < B.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．求经过圆的圆心，且与直线平行的直线的一般式方程为________________. 【答案】【名师点睛】本题主要考查了直线的位置关系的应用，以及圆的标准方程的应用，其中解答中根据两直线的位置关系，合理设出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．已知直线:20l x y +-=和圆22:12120C x y x y m +--+=相切,则m 的值为___________.【答案】22【解析】由题设知圆的圆心坐标与半径分别为()6,6,C r =，则圆心()6,6C 到直线20x y +-=的距离d ===，解之得22m =，应填22.13．如果圆()()228x a y a -+-=上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是__________．【答案】[3,1][1,3]-- 【解析】圆心到原点的距离为，圆()()228x a y a -+-=上总存在到原点的距离为的点，则3a ≤≤≤≤，则或.14．设直线1y kx =+与圆2220x y x my ++-=相交于,A B 两点，若点,A B 关于直线:0l x y +=对称，则AB =__________．【解析】因为点,A B 关于直线:0l x y +=对称,所以直线1y kx =+的斜率1k =,即1y x =+,圆心(−1,2m)在直线:0l x y +=上,所以2m =.所以圆心为(−1,1),圆心到直线1y x =+的距离为2d =,【名师点睛】（1）圆上两点关于直线对称，则直线过圆心；（2）两点关于直线对称，两点所在的直线与该直线垂直，且两点的中点在该直线上.三、解答题（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=;（2）当点N 的坐标为()4,0时，能使得ANM BNM ∠=∠成立.【解析】（1）设圆心()5,0()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）．所以圆C 的标准方程为224x y +=．16．斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.（1）求的值； （2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22y kx m x y=+⎧⎨=⎩得，x 2－2kx －2m ＝0， ∆＝4k 2＋8m >0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，因为AB 的中点在x ＝1上，所以x1＋x2＝2．即2k＝2，所以k＝1．。

高中数学必修2——直线与圆复习知识点一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（ ） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（ ）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（ ）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（ ）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。

答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。

答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。

答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。

解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。

将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。

解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。

2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。

解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。

将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。

解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。

四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。

解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

直线和圆的方程一、选择题1 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD．1)2()1(22=-++y x2 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π3 直线0=++c by ax 同时要经过第一第二 第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4 已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为 45，则直线2l 的方程是（ ）A ．1-=x yB ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6 直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52D ．29 点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．25 10 下列命题中，正确的是( )A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11 由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ( )A ．2B ．19C ．1D ．412 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113 已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( )A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16 由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是( )A ．4πB ．πC ．43π D ．23π 17 动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( )A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆19 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是20 过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是21 直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22 三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是三、解答题24 若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程25 求到两个定点)0,1(),0,2(B A -的距离之比等于2的点的轨迹方程26 求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'A 的坐标已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程---直线和圆的方程答案一、二、19 02=--y x20 053=--y x 21 32和- 2212234<a三、24 设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8660420416024F E D F E F D F D 所以圆的方程是086622=+--+y x y x25 设),(y x M 为所求轨迹上任一点，则有2=MBMA042)1()2(222222=+-⇒=+-++∴y x x y x y x26 设),('b a A ，则有)54,513( 5451301222321232'-∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---+⋅-=⋅-+A b a b a a b27 设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或。

直线与圆的方程检测题1.过点P （0,1）与圆22230x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 （ ）A. 0x =B. 1y =C. 10x y -+=D. 10x y +-= 2.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 （ ）A 023=-+y x B.043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a 的值为 （ ） A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-14.过点M(1,5)-作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线,则切线方程为（ ） A ．1x =-B ．512550x y +-=C ．1512550x x y =-+-=或D ．15550x x y =-+-=或125.以N （3,-5）为圆心，并且与直线720x y -+=相切的圆的方程为（ ） A.22(3)(5)32x y -++= B. 22(3)(5)32x y ++-= C. 22(3)(5)25x y -++= D. 22(3)(5)23x y -++=6.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线0234=--y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A.()6,4B.[)6,4C. (]6,4D.[]6,47.斜率为3且与圆2210x y +=相切的直线方程为____________. 8.已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为___________.9.两圆相交于两点)3,1(P 和)1,(-m Q ，两圆圆心都在直线0=+-c y x 上，且c m ,均为实数，则=+c m _______。

10.已知实数,x y 满足250x y --=，则22x y +的最小值为________.11.分别求出下列条件确定的圆的方程：（1）圆心为M （3，-5），且经过点P （7，-2） （2）圆心在x 轴上，半径长是5，且与直线x-6=0相切.12已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B两点．当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； 当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长．13.2y x=上，圆被直线0x y-=截得的弦长为14.已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．15.已知方程22240x y x y m+--+=.（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y+-=相交于M N、两点，且OM ON⊥(O为坐标原点)求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.试卷答案1.D2.D3.D4.C5.A6.A7.103=+-yx或0103=--yx 8.29.22(2)(2)2x y-+-=10.5 11.12解：（1）已知圆C：()2219x y-+=的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为2(1)y x=-，即220x y--=．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为12(2)2y x-=--，即260x y+-=．（3）当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为22y x-=-，即0x y-=，圆心C到直线l的距离为12，圆的半径为3，弦AB的长为34．13.14.解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P1{|||||}2M MA MB==．由两点距离公式，点M适合的条件可表示为22221(2)(8)2x y x y-+=-+平方后再整理，得2216x y+=．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以122xx+=，12yy+=．所以有122x x=-，12y y=①由（1）题知，M是圆2216x y+=上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：221116x y+=②，将①代入②整理，得22(1)4x y-+=．所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．15.（3）设圆心为(),a b 则：121248,,2525x x y y a b ++====半径45r = 圆的方程为2248805525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

第十五单元 直线和圆的方程考点一 求圆的方程1.(2016年浙江卷)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a 2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,即x 2+y 2+x+2y+52=0,配方得(x +12)2+(y+1)2=-54<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标是(-2,-4),半径是5.【答案】(-2,-4) 52.(2014年山东卷)圆心在直线x-2y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2√3,则圆C 的标准方程为 .【解析】因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2b ,b ). 又圆C 与y 轴的正半轴相切,所以b>0,圆的半径为2b.由勾股定理可得b 2+(√3)2=4b 2,解得b=±1.又因为b>0,所以b=1,所以圆C 的圆心坐标为(2,1),半径为2, 所以圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【答案】(x-2)2+(y-1)2=43.(2015年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .【解析】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0).由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,则有{16+0+4D +0+F =0,0+4+0+2E +F =0,0+4+0-2E +F =0,解得{D =-3,E =0,F =-4,故所求圆的方程为x 2+y 2-3x-4=0,标准方程为(x -32)2+y 2=254.【答案】(x -32)2+y 2=254考点二 有关距离的计算4.(2015年全国Ⅱ卷)已知三点A (1,0),B (0,√3),C (2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ).A.53B.√213C.2√53D.43【解析】由已知可得|AB|=|AC|=|BC|=2,所以△ABC 是等边三角形,所以其外接圆圆心即为三角形的重心,其坐标为(1+0+23,0+√3+√33),即(1,2√33),故圆心到原点的距离为√1+(2√33)2=√213.【答案】B5.(2016年上海卷)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离为 .【解析】d=12√a 2+b =√2+1=2√55. 【答案】2√556.(2016年全国Ⅱ卷)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ).A.-43B .-34C.√3D.2【解析】圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,由圆心到直线ax+y-1=0的距离为1可知|a+4-1|√a 2+1=1,解得a=-43,故选A .【答案】A考点三 直线与圆的位置关系7.(2014年安徽卷)过点P (-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ).A.(0,π6]B.(0,π3]C.[0,π6]D.[0,π3]【解析】设直线l :y+1=k (x+√3),即kx-y+√3k-1=0,由题意知,圆心O 到直线l 的距离d=|k ·0-0+√3k -1|√k +1≤1,解得0≤k ≤√3,则直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3],选D .【答案】D8.(2016年山东卷)已知圆M :x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N :(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ).A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】∵x 2+y 2-2ay=0(a>0),∴x 2+(y-a )2=a 2(a>0),∴圆心M (0,a ),r 1=a.依题意,有a√2=√a 2-2,解得a=2.∴圆M 的方程为x 2+y 2-4y=0,即x 2+(y-2)2=4,圆心M (0,2),半径r 1=2.又圆N :(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N (1,1),半径r 2=1,∴|MN|=√(0-1)2+(2-1)2=√2. ∵r 1-r 2=1,r 1+r 2=3,1<|MN|<3, ∴两圆相交.【答案】B9.(2014年湖南卷)若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0外切,则m=( ).A.21B.19C.9D.-11【解析】圆C 1的圆心是原点(0,0),半径r 1=1. 圆C 2:(x-3)2+(y-4)2=25-m ,圆心C 2(3,4),半径r 2=√25-m .由两圆相外切,得|C 1C 2|=r 1+r 2,即5=1+√25-m ,所以m=9.故选C . 【答案】C10.(2015年山东卷)过点P (1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .【解析】如图所示,由题意可知OA ⊥AP ,OB ⊥BP ,OP=√1+3=2,又OA=OB=1,可以求得AP=BP=√3,∠APB=60°,故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√3×cos 60°=32. 【答案】32考点四 直线和圆的综合应用11.(2014年福建卷)已知直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程是( ).A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】由直线l 与直线x+y+1=0垂直,可设直线l 的方程为x-y+n=0.又直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则n=3,所以直线l 的方程为x-y+3=0,故选D.【答案】D12.(2014年浙江卷)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ).A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a ,r 2=2-a ,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为|-1+1+2|2=√2. 由22+(√2)2=2-a ,得a=-4,故选B.【答案】B13.(2015年山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ).A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34【解析】由已知,得点(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k ,则反射光线所在直线的方程为y+3=k (x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=√k +1=1,解得k=-43或k=-34,故选D .【答案】D14.(2016年全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .【解析】圆C :x 2+y 2-2ay-2=0化为标准方程是C :x 2+(y-a )2=a 2+2,所以圆心C (0,a ),半径r=√a 2+2.|AB|=2√3,点C 到直线y=x+2a 即x-y+2a=0的距离d=√2,由勾股定理得(2√32)2+(√2)2=a 2+2,解得a 2=2,所以r=2,所以圆C 的面积为π×22=4π.【答案】4π15.(2014年全国Ⅱ卷)设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是 .【解析】由题意可知M 在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x 2+y 2=1相切于点P (0,1).当x 0=0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求;当x 0≠0时,过点M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x 0=±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[-1,1].【答案】[-1,1]高频考点:求直线的方程,求圆的方程,判断两条直线的位置关系,判断直线与圆的位置关系.命题特点:本部分内容是解析几何的基础知识,需要掌握求直线与圆的方程的基本方法、熟悉距离公式以及会判断直线与圆的位置关系,需要掌握求切线方程的基本方法以及会运用弦长公式:这些内容在题型考查中既可以作为一个考点单独在选择题、填空题中考查,也可以在解答题中与圆锥曲线一起综合考查.§15.1 直线方程与两条直线的位置关系一 直线的倾斜角1.定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角的范围为[0,π).二 直线的斜率1.定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=y 2-y 1x 2-x 1=y 1-y2x 1-x 2.三 直线方程的五种形式点斜式: .斜截式: .两点式:y -y 1y2-y 1=x -x 1x 2-x 1. 截距式:x a +yb =1.一般式: .四 两条直线平行与垂直的判定1.两条不重合的直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则(1)l 1∥l 2⇔k 1=k 2;(2)l1⊥l2⇔.2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0,则(1)A1B2-A2B1≠0⇔l1与l2相交;(2)A1B2-A2B1=0⇔l1与l2平行或重合;(3)⇔l1与l2垂直.五距离1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.2.两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)之间的距离d=.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()(3)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(),且线段AB的中点在直线l上.() (5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-1k直线√3x-y+a=0的倾斜角为().A.30°B.60°C.150°D.120°过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0已知两条直线l 1:x+y-1=0,l 2:3x+ay+2=0且l 1⊥l 2,则a 等于( ).A.-13B .13C.-3D.3已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 .若A (1,2),B (-2,3),C (4,y )在同一条直线上,则y 的值是 .知识清单三、y-y 0=k (x-x 0) y=kx+b Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)四、1.(2)k 1·k 2=-1 2.(3)A 1A 2+B 1B 2=0 五、1.00√A +B 2.|C 1-C 2|√A +B基础训练1.【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.【解析】∵直线的斜率为√3,∴倾斜角为60°. 【答案】B3.【解析】由题意知所求直线方程为x-2y+c=0,因为该直线过点(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0. 【答案】A4.【解析】∵l 1⊥l 2,∴3+a=0,∴a=-3. 【答案】C5.【解析】由题意知36=4m,∴m=8,∴所求距离为√3+4=2.【答案】26.【解析】∵A (1,2),B (-2,3),∴过A ,B 两点的直线方程是y-2=-13(x-1).∵点(4,y )在此直线上,∴y -2=-13×(4-1),∴y=1. 【答案】1题型一 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x sin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ).A.[0,π)B.[0,π4]∪[3π4,π) C.[0,π4]D.[0,π4]∪(π2,π)(2)若直线l :y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ). A.[π6,π3)B.(π6,π2)C.(π3,π2)D.[π6,π2]【解析】(1)因为直线x sin α+y+2=0的斜率k=-sin α,-1≤sin α≤1,所以-1≤k ≤1.设直线x sin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π).(2)如图,直线l :y=kx-√3,过定点P (0,-√3), 又A (3,0),所以k PA =√33,故直线PA 的倾斜角为π6,所以满足条件的直线l 的倾斜角的取值范围是(π6,π2). 【答案】(1)B (2)B已知斜率求倾斜角的范围,可借助k=tan α的图象,利用正切函数k=tan α的单调性求解. 【变式训练1】(1)若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b 的值为 .(2)曲线y=x 3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为 .【解析】(1)由题意知过B (a ,0),C (0,b )两点的直线为x a +y b =1.因为点A 在直线BC 上,所以2a +2b =1,即1a +1b =12.(2)设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)).因为y'=3x 2-1≥-1,所以tan θ≥-1.结合正切函数的图象可知,θ的取值范围为[0,π2)∪[3π4,π). 【答案】(1)12 (2)[0,π2)∪[3π4,π)题型二 两条直线的位置关系【例2】(1)(2017吉安一中期中)“a=-2”是“直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)两条平行直线2x-y-2=0和4x-2y+3=0之间的距离是 .【解析】(1)直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行的充要条件为-(a+1)a=(-1)×2且a 2≠34,即a=-2或a=1,因此“a=-2”是“直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要条件.故选A.(2)直线方程2x-y-2=0即4x-2y-4=0,利用两条平行直线距离公式得其距离d=4+(-2)=7√510.【答案】(1)A (2)7√510(1)利用两条直线的平行与垂直关系的判断公式求解;【变式训练2】(1)直线l 0:x-y+1=0,直线l 1:ax-2y+1=0与l 0平行,且直线l 2:x+by+3=0与l 0垂直,则a+b=( ). A.3 B.2 C.1 D.-1(2)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ).A.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】(1)因为l 0∥l 1,所以1a =12,解得a=2.因为l 0⊥l 2,所以-1b=-1,解得b=1,所以a+b=3.(2)设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有|0+0+c|2+1=√5,解得c=±5,所以所求切线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选D. 【答案】(1)A (2)D题型三 求直线的方程【例3】根据下列条件,分别求满足条件的直线的一般式方程:(1)过点(5,10),且原点到该直线的距离为5; (2)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2);(3)经过两条直线l 1:x-2y+4=0和l 2:x+y-2=0的交点P ,且与直线l 3:3x-4y+5=0垂直. 【解析】(1)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x=5. 当直线的斜率存在时,设其方程为y-10=k (x-5),即kx-y+(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式得|10-5k|1+k =5,解得k=34.此时直线的方程为3x-4y+25=0.综上所述,所求直线的方程为x=5或3x-4y+25=0.(2)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0. 因为l 经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,解得m=-11. 所以所求直线的方程为3x+4y-11=0.(3)由方程组{x -2y +4=0,x +y -2=0,得{x =0,y =2,即交点为P (0,2).设所求直线为l ,因为l ⊥l 3,直线l 3的斜率为34,所以直线l 的斜率k 1=-43,所以直线l 的方程为y-2=-43x ,即4x+3y-6=0.【变式训练3】(1)过点A (2,3),且将圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线的方程为 .(2)从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的方向射到y轴上,则经y轴反射后的光线所在的直线的方程为.【解析】(1)由题意知圆心为C(1,2),依题意知,点A(2,3),C(1,2)在所求直线上.由两点式得y-23-2=x-12-1,即x-y+1=0.(2)由题意得,入射光线的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0,与y轴的交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),∴反射光线所在的直线过(0,2),(-2,3).由直线方程的两点式可得反射光线的方程为y-23-2=x-0-2-0,即x+2y-4=0.【答案】(1)x-y+1=0(2)x+2y-4=0方法对称问题的解题技巧涉及对称问题,主要有以下几种情况:1.若点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点是Q(x'0,y'0),则线段PQ的中点在直线l上且直线PQ⊥l,由此可得方程组{A·x'0+x02+B·y'0+y02+C=0,y0-y'0x0-x'0·(-AB)=-1,解方程组得到x'0,y'0的值,从而求得对称点的坐标.2.若直线l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线为l',由于直线l'必与直线l:Ax+By+C=0平行,故可设直线l'的方程为Ax+By+C0=0.利用距离公式并结合图形可求得直线l'的方程.3.若直线l:Ax+By+C=0关于直线l0:A0x+B0y+C0=0对称的直线为l',则在直线l:Ax+By+C=0上取两点,求出这两点关于直线l0对称的两点的坐标,再由两点式便可得直线l'的方程.【突破训练】已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;(3)直线l关于点(1,2)的对称直线方程.【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵k PP'·k l=-1,∴y'-yx'-x×3=-1.①又∵PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3×x'+x2-y'+y2+3=0.②由①②得{x'=-4x+3y-95,③y'=3x+4y+35.④把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,∴点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设其关于点(1,2)的对称点为M'(x',y'),∴{x'+02=1,y'+32=2,解得{x'=2,y'=1,∴M'(2,1).又l关于点(1,2)的对称直线平行于l,∴所求对称直线的斜率k=3,∴对称直线的方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.1.(2017北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>π3”是“k>√3”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当π2<α<π时,k<0;当k>√3时,π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>√3”的必要不充分条件.故选B.【答案】B2.(2017沧州市一中月考)若直线l1:ax+y-1=0与l2:3x+(a+2)y+1=0平行,则a的值为().C.0或-12D.1或-3【解析】由题意可得a (a+2)=3,解得a=1或a=-3.当a=-3时两条直线重合,故应舍去.所以选A. 【答案】A3.(2017襄阳四中月考)方程(1+4k )x-(2-3k )y+(2-14k )=0表示的直线必经过点( ).A.(2,2)B.(-2,2)C.(-6,2)D.(345,225) 【解析】原方程可化为x-2y+2+k (4x+3y-14)=0,由{x -2y +2=0,4x +3y -14=0,解得{x =2,y =2,所以直线过定点(2,2).【答案】A4.(2017广州模拟)已知直线l 1:2ax+(a+1)y+1=0,l 2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l 1⊥l 2,则a=( ).A.2或12B.13或-1 C.13D.-1【解析】由题意知2a (a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=13或a=-1.故选B. 【答案】B5.(2017广州综合测试)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( ).A.{-43,23}B.{43,-23}C.{-43,23,43}D.{-43,-23,23}【解析】三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若直线2x-3y+1=0平行直线mx-y-1=0,则m=23;若直线4x+3y+5=0平行直线mx-y-1=0,则m=-43;若三条直线相交于同一点,则m=-23,故选D .【答案】D6.(2017沙市中学月考)若三条直线y=2x ,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m ,n )到原点的距离的最小值为( ).A.√5B.√6C.2√3D.2√5【解析】直线y=2x ,x+y=3的交点为(1,2),代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0.√m 2+n 2表示点(m ,n )与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离d=5√5=√5,∴√m 2+n 2的最小值为√5.7.(2017云南师大附中月考)已知倾斜角为θ的直线l 与直线m :x-2y+3=0垂直,则tan 2θ= .【解析】∵直线l 与m 垂直,∴12·tan θ=-1⇒tan θ=-2,∴tan 2θ=2tanθ1-tan 2θ=2×(-2)1-4=43. 【答案】438.(2017河南豫东、豫北十校联考)△ABC 的三个顶点坐标分别为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),则边BC 的垂直平分线的直线方程为 .【解析】设BC 的中点的坐标为(x ,y ), 则x=2-22=0,y=1+32=2,即(0,2). ∵直线BC 的斜率k 1=-12,∴BC 的垂直平分线的直线斜率k 2=2, ∴所求的直线方程为2x-y+2=0.【答案】2x-y+2=09.(2016深圳市调研)若a=log π21,b=log π32,c=log π54,则( ).A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】因为log πx x -1=log πx -0x -1表示函数y=log πx 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率.所以令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DA >k DB >k DC ,即c<b<a.故选B .10.(2017大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=().A.345B.365C.283D.323【解析】由题意可得,对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线.由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1),斜率为-12,故对称轴所在的直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得{n-3m-7×2=-1,2×m+72-n+32-3=0,解得{m=35,n=315,所以m+n=345,故选A.【答案】A11.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p和q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个;②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有两个;③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有四个.上述命题中,正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】①正确,此点为点O;②正确,注意到p,q为常数,由p,q中必有一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有两个点,这两个点分别在两条直线上,且到另一条直线的距离为q(或p),两点关于点O对称;③正确,四个交点分别为与直线l1相距p的两条平行线和与直线l2相距q的两条平行线的交点.【答案】D12.(2017汕头潮南实验学校月考)若直线m被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2√2,则m的倾斜角可以是.(写出所有正确答案的序号)①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°.【解析】两条平行直线间的距离为d=|3-1|1+1=√2,由图(图略)知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.13.(2017鸡泽一中月考)定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l :y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离,则实数a= .【解析】曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离为0-(-4)2-√2=√2, 则曲线C 1与直线l 不能相交, 即x 2+a>x ,∴x 2+a-x>0.设C 1:y=x 2+a 上点为(x 0,y 0),则点(x 0,y 0)到直线l 的距离d=00√2=002√2=(x -12)2+a -14√2≥4√2=√2,所以a=94.【答案】9414.(2017天河中学检测)设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0.证明: (1)l 1与l 2相交;(2)l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.【解析】(1)假设l 1与l 2不相交,则l 1与l 2平行,有k 1=k 2.代入k 1k 2+2=0,得k 12+2=0,此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而k 1≠k 2,即l 1与l 2相交. (2)由方程组{y =k 1x +1,y =k 2x -1,解得交点P 的坐标(x ,y )为{x =2k 2-k 1,y =k 2+k 1k 2-k 1. 而2x 2+y 2=2(2k 2-k 1)2+(k 2+k 1k 2-k 1)2 =8+k 22+k 12+2k 1k 2k 22+k 12-2k 1k 2=k 12+k 22+4k 12+k 22+4=1.此即表明交点P (x ,y )在椭圆2x 2+y 2=1上.§15.2圆的方程一圆的方程1.圆的标准方程(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为,半径为r的圆的标准方程.(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为.2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为,半径为.二点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),①(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆上;②(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆外;③(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆内.☞左学右考方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ).A.14<m<1 B.m<14或m>1C.m<14D.m>1若点(2a ,a+1)在圆x 2+(y-1)2=5的内部,则a 的取值范围是( ).A.-1<a<1B.0<a<1C.-1<a<15D.-15<a<1已知点A (2,0),B (0,2),则以线段AB 为直径的圆的方程是 .知识清单一、1.(1)(a ,b ) (2)x 2+y 2=r 22.(-D 2,-E2) √D 2+E 2-4F 2二、①= ②> ③< 基础训练1.【解析】由题意知,(4m )2+(-2)2-4×5m=16m 2-20m+4>0,解得m<14或m>1.【答案】B2.【解析】由题意知(2a )2+a 2<5,即5a 2<5,解得-1<a<1. 【答案】A3.【解析】AB 的中点为(2+02,0+22),即(1,1).∴圆心为(1,1).∵|AB|=2√2,∴圆的半径为√2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 【答案】(x-1)2+(y-1)2=2题型一 求圆的方程【例1】求下列各圆的方程:(1)已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(2)经过点A(5,2),点B(3,2),且圆心在直线2x-y-3=0上;(3)经过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).【解析】(1)过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).所以半径r=√(3-1)2+(-2+4)2=2√2,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则{(5-a)2+(2-b)2=r2,(3-a)2+(2-b)2=r2,2a-b-3=0,得{a=4,b=5,r2=10.故圆C的方程为(x-4)2+(y-5)2=10. (3)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2),所以{1+144+D+12E+F=0, 49+100+7D+10E+F=0, 81+4-9D+2E+F=0,解得{D=-2, E=-4, F=-95.所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.求圆的方程的三种方法:【变式训练1】(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为().A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 .【解析】(1)到直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组{3x -4y +5=0,y =-x -4,解得{x =-3,y =-1.两条平行直线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M 的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.选C.(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上, 设C (a ,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a 5=4√55, 解得a=2,所以圆C 的半径r=|CM|=√4+5=3,所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.【答案】(1)C (2)(x-2)2+y 2=9题型二 与圆有关的最值或范围问题【例2】(1)已知直线l :x-y+4=0与圆C :(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C 上各点到l 的距离的最小值为 .(2)已知A (-2,0),B (0,2),实数k 是常数,M ,N 是圆x 2+y 2+kx=0上不同的两点,P 是圆x 2+y 2+kx=0上的动点.若M ,N 关于直线x-y-1=0对称,则△PAB 面积的最大值是( ).A.3B.3√2C.3-√2D.3+√2【解析】(1)圆C :(x-1)2+(y-1)2=2的圆心是(1,1),半径r=√2,圆心到直线l :x-y+4=0的距离d=√2=2√2,圆上的点到直线的距离最小值为d-r=√2.(2)因为M ,N 关于直线x-y-1=0对称,所以圆心(-k 2,0)在直线x-y-1=0上,即-k 2-1=0,解得k=-2,所以圆的方程为x 2+y 2-2x=0,即圆心为(1,0),半径为r=1.要使△PAB 面积的值最大,即此时点P 到直线的距离为圆心(1,0)到直线AB 的距离与圆半径之和.因为圆心(1,0)到直线AB 的距离为3√22,|AB|=2√2,所以△PAB 面积的最大值为S=12×2√2×(3√22+1)=3+√2.故选D .【答案】(1)√2 (2)D【变式训练2】(1)设点P 和点Q 分别在x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上,则点P ,点Q 之间的最大距离为( ).A.5√2B.√46+√2C.7+√2D.6√2(2)过点M (1,2)的直线l 与圆:(x-3)2+(y-4)2=25交于A ,B 两点,设C 为圆的圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程是 . 【解析】(1)依题意点P ,点Q 之间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径√2.设Q (x ,y ),则圆心(0,6)与点Q 的距离d=√x 2+(y -6)2=√-9y 2-12y +46 =√-9(y +23)2+50≤5√2,所以点P ,点Q 之间的最大距离为6√2.故选D.(2)要使∠ACB 最小,由圆心角定理可知,需|AB |最短.由勾股定理可知,当圆心到直线l 的距离最大时,|AB|最短,即线段CM 垂直于直线l.因为线段CM 的斜率k=4-23-1=1,所以所求的直线斜率为-1,由点斜式可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【答案】(1)D (2)x+y-3=0题型三 与圆有关的轨迹方程【例3】已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积. 【解析】(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C (0,4),半径为4. 设M (x ,y ),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ), 由圆的几何性质,CM ⊥MP ,所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以x (2-x )+(y-4)(2-y )=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2.因为点P 在圆C 的内部,所以直线l 一定与圆心C 相交,所以上式方程满足题意. 所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,√2为半径的圆.因为|OP|=|OM|,设线段PM 中点为点D ,所以OD ⊥PM.又点P 在圆N 上,从而ND ⊥PM ,所以ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到直线l 的距离为4√105, 故|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.与圆有关的轨迹问题可用下面的方法解决:(1)直接法.直接根据题目提供的条件列出方程.(2)几何法.利用圆的几何性质列方【变式训练3】已知一个圆经过点A (3,1),B (-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上. (1)求此圆的方程;(2)若点D 为所求圆上任意一点,且点C (3,0),求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 【解析】(1)因为A (3,1),B (-1,3),所以k AB =3-1-1-3=-12,线段AB 的中点坐标为(1,2),从而线段AB 的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.由方程组{2x -y =0,3x -y -2=0,解得{x =2,y =4,所以圆心N (2,4),半径r=|NA|=√(2-3)2+(4-1)2=√10,故所求圆N 的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.(2)设M (x ,y ),D (x 1,y 1),则由C (3,0)及M 为线段CD 的中点得{x =x 1+32,y =y 1+02,解得{x 1=2x -3,y 1=2y.又点D 在圆N 上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,化简得(x -52)2+(y-2)2=52.故所求的轨迹方程为(x -52)2+(y-2)2=52.方法 数形结合思想在解决关于圆的方程的问题中的应用研究与圆有关的最值问题时,可借助图形,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如μ=y -bx -a 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a )2+(y-b )2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【突破训练】在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .【解析】设P (x ,y ),由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20和x 2+y 2=50,得2x-y+5≤0. 由{2x -y +5=0,x 2+y 2=50, 解得{x =-5,y =-5或{x =1,y =7.如图,由2x-y+5≤0,得点P 在圆左边弧CD ⏜上, 所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2,1]. 【答案】[-5√2,1]1.(2017包头市期中)若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( ).A.-2或2B.12或32C.2或0D.-2或0【解析】由圆心(1,2)到直线的距离公式得√2=√22,解得a=0或a=2.故选C.【答案】C2.(2017广西名校一模)过点A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】AB的垂直平分线为直线y=x,其与直线x+y-2=0的交点是(1,1),即为圆的圆心,故半径r=2.【答案】C3.(2017新泰一中月考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是().A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】设圆上任意一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则{x=4+x02,y=-2+y02,解得{x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【答案】A4.(2015年全国Ⅱ卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M,N两点,则|MN|=().A.2√6B.8C.4√6D.10【解析】由题意得k AB=3-21-4=-13,k CB=2+74-1=3,所以k AB k CB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,则外接圆的圆心为AC的中点(1,-2),半径为5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,则有y=±2√6-2,所以|MN|=4√6,故选C.【答案】C5.(2017汕头模拟)已知圆x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值是.【解析】由D2+E2-4F>0,即8(m-1)2-4(2m2-6m+4)>0,解得m>1.因为圆过坐标原点,所以2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1.因此m=2.【答案】26.(2017温州一模)已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是.【解析】设点M的坐标为(x,y),利用动点满足的几何关系列式得√(x-8)2+y2=2√(x-2)2+y2,化简得x2+y2=16.【答案】x2+y2=167.(2015年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.【解析】mx-y-2m-1=0可化为m(x-2)-(y+1)=0,则动直线恒过定点M(2,-1),故满足题意的圆与直线切于点M时,半径最大,从而r=√(2-1)2+(-1-0)2=√2,故标准方程为(x-1)2+y2=2.【答案】(x-1)2+y2=28.(2017丽水联考)点A(2,0)是圆x2+y2=4上一点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.9.(2017长春市质量监测一)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有两个,则b的取值范围是().A.(-√2,0)∪(0,√2)B.(-3√2,3√2)C.(-3√2,-√2)∪(√2,3√2)D.(-3√2,-√2]∪(√2,3√2]【解析】由已知得圆的半径为2,可知圆心到直线的距离属于(1,3)时,满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1,根据点到直线的距离公式可得1<|1-1+b|2<3,因此b∈(-3√2,-√2)∪(√2,3√2).故选C.【答案】C10.(2017福州三中测试卷)下面四个命题:①直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3);②圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+√2=0的距离都等于1;③若函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象可以近似地看作直线,且a<c<b,则f(c)≈f(a)+c-ab-a[f(b)-f(a)];④当m∈(-√33,√33)时,曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点.其中正确的是().A .①②③ B.①③④ C .①②④ D .①②③④【解析】易知①是正确的;②圆心(0,0)到直线的距离d=1,又半径为2,故②正确;③斜率k ≈f(b)-f(a)b -a,直线近似为f (x )-f (a )=f(b)-f(a)b -a(x-a ),把(c ,f (c ))代入解得f (c )≈f (a )+c -ab -a ·[f(b)-f(a)],故③正确;④当m=0时,C 2:y=0与C 1:x 2+y 2-2x=0只有两个交点,故④错误.【答案】A11.(2016如东高中期中)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-2,0),点B 是圆C :(x-2)2+y 2=4上的点,点M 为AB 中点,若直线l :y=kx-√5k 上存在点P ,使得∠OPM=30°,则实数k 的取值范围为 .【解析】因为点M 为AB 的中点,所以OM=12CB=1,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆.当PM 为单位圆切线时,∠OPM 取最大值,即∠OPM ≥30°,从而OP=1sin ∠OPM≤2,因此原点到直线l :y=kx-√5k 距离不大于2,即|-√5k|k +1≤2⇒-2≤k ≤2.【答案】-2≤k ≤212.(2017黄冈二模)已知点B (4,0),直线kx+y+3=0过定点A ,若点P 是圆x 2+y 2-2y=0上的动点,则△ABP 面积的最小值为 .【解析】由已知得点A 的坐标为(0,-3),如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ,这时点P 与直线AB 距离最小,即△ABP 的面积最小.直线AB 的方程为x 4+y -3=1,即3x-4y-12=0,圆心C 到直线AB 的距离为d=√3+(-4)=165,故△ABP的面积的最小值为12×5×(165-1)=112. 【答案】11213.(2017绵阳质检)已知圆C 过点P (1,1),且与圆M :(x+2)2+(y+2)2=r 2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C 的方程;(2)设Q 为圆C 上的一个动点,求PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.【解析】(1)设圆心C (a ,b ),则{a -22+b -22+2=0,b+2a+2=1,解得{a =0,b =0,则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2(r>0),将点P 的坐标代入得r 2=2,故圆C 的方程为x 2+y 2=2.(2)设Q 的坐标为(x ,y ),则x 2+y 2=2,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x 2+y 2+x+y-4=x+y-2.因为(x+y )2=x 2+y 2+2xy ≤2(x 2+y 2)=4,当x=y=±1时,等号成立,所以-2≤x+y ≤2.所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为-4.14.(2015年广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆心C 1的坐标.(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由x 2+y 2-6x+5=0得(x-3)2+y 2=4,所以圆心C 1的坐标为(3,0). (2)设M 的坐标为(x ,y ),因为点M 为弦AB 的中点,即C 1M ⊥AB , 所以k C 1M ·k AB =-1,即y x -3·yx=-1, 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x -32)2+y 2=94,从原点作圆C 1的切线时,得交点的横坐标为53,当点M 与圆心C 1重合时,点M 的横坐标取得最大值3,所以点M 的横坐标范围为53<x ≤3.即轨迹C 的方程为(x -32)2+y 2=94(53<x ≤3).(3)由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,r=32为半径的部分圆弧EF (如图,不包括E ,F 两端点),且E (53,2√53), F (53,-2√53),又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C相切时,由|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0-(-2√53)4-53=-2√57,结合上图可知,当k ∈{-34,34}∪[-2√57,2√57]时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.§15.3 直线与圆、圆与圆的位置关系一 直线与圆的位置关系与判断方法方法过程 依据结论代数法联立方程组消去x (或y )得一元二次方程,计算Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 几何法计算圆心到直线的距离d ,比较d 与半径r 的关系d<r d=rd>r二 圆与圆的位置关系。