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浅谈自己对数学史和数学的认识1，我对数学的发展史的认识数学，根据现代的很多地方的高校的数学教材的定义：“数学是研究数量、结构、变化以与空间模型等概念的一门学科。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状与运动的观察中产生。
数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以与从合适选定的公理与定义中建立起严谨推导出的真理。
〞想想，数学这门来自生活，科学进而影响我们的生活，并且从一个人一开始就伴随我们一生的学科，它对个人，社会的重要性便可想而知。
美国著名文学家克莱因在他的《西方文化中的数学》中曾经说过：“数学是一种精神，一种理性的精神。
正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
〞我想这句话在对我们有这相当答的启示作用，数学本来是一门很抽象的学科，他说研究的东西就是抽象现实中的物理，化学，生物等各方面的问题，然后建立相关的解决模型，以这样的方式来改变我们的生活和历史的进程；并且以它需要的精神：严谨和理性来处理世间的好多的问题都成了历史的绝唱：像阿基米德的测试密度的模型，伽利略的日心说，甚至曹冲称象......哪一件事情没有涉与到数学知识的运用？就是因为这门学科的无比重要性，从人类文明的开始，就开始简单的研究这门科学，并且用它解决一些简单的生活问题，像人类刚开始自己的文明的时候用石子计数，用手指来数自己的羊，这些东西看起来是非常简单的事情，但是这样的东西对我们一无所知的祖先而言却是一个非常大的进步，这意味着我们的祖先开始自己的抽象的思维，用无关的东西来记录已有东西的数量。
步入奴隶社会后人类开始有自己的语言，这时候数学有了跟进一步的发展：古埃与，古巴比伦，中国等文明源地开始有自己的语言，数字。
这就是代表数学跟进一步的开始抽象了。
普通人对数学的认知数学是一门研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科，它通过逻辑推理和严密的符号语言来描述和解决问题。
普通人对数学的认知与个人的学习经历、兴趣和能力水平有关，因此会有一定的差异。
对于大多数普通人来说，数学通常从基础的算术开始，包括加法、减法、乘法和除法等基本的运算。
这些技巧对日常生活非常重要，用于处理各种实际问题，比如购物计算、时间管理、预算规划等。
此外，比例关系也是数学的一部分，它涉及到比较、比较大小以及各种应用，如百分比、利率、汇率等。
几何是数学的一个重要分支，它研究物体的形状、大小和相对位置。
对于普通人来说，了解一些基本的几何概念，比如点、线、面、角等，可以帮助他们理解并描述日常生活中的物体和空间关系，比如测量房间的面积、理解地图上的方向等。
然而，当涉及到更深入和抽象的数学概念时，一些普通人可能会觉得困难和陌生。
代数是数学中的重要分支，它研究数和符号之间的关系。
通过代数，人们可以通过符号表达和解决各种问题，例如方程、不等式和函数等。
微积分是另一个重要的数学分支，它研究变化和极限的概念。
微积分的应用广泛，涉及到物理学、经济学、工程学等领域。
概率统计是数学中重要的应用分支，它研究随机事件和数据分析。
概率统计帮助我们了解事件发生的可能性，从而做出合理的决策。
在日常生活中，人们可以利用统计方法来分析和解释数据，例如市场调查、投资决策、医学研究等。
总的来说，数学在现代社会中发挥着重要作用。
它是科学、技术、工程和数学领域的基础，也是许多行业和职业所必需的技能。
掌握一定的数学知识和技巧可以帮助人们更好地理解和应用于现实生活中的问题，促进思维的发展和解决问题的能力。
论现代数学的特点和意义数学是科学的核心，也是人类文明的重要组成部分。
近些年来，随着现代技术的发展，数学也呈现出了明显的发展特点。
本文将分析现代数学的特点和意义，并探讨现代数学对人类社会的贡献。
现代数学的特点抽象性现代数学的特点之一就是抽象性。
相比于古代数学重视的是具体的测量、计算和应用，现代数学更关注数学对象的抽象性。
通过抽象出不同的数学概念与方法，数学家们能够更好地理解和应用数学。
抽象性使得现代数学更加普适，而不仅限于具体的应用。
高度概括性现代数学在概括性方面表现出色。
一个数学概念通过抽象化之后，往往可以涵盖大量具体的对象和例子。
比如，一个数学家所研究的某个概念能够涵盖无穷多个情形，从而使得数学家们可以更加全面地理解该概念。
这种高度概括性不仅方便了数学家的工作，也对数学的应用产生了巨大的推动作用。
非线性性现代数学中，非线性是一个普遍存在的特点。
这意味着数学家在研究一个问题时经常需要使用非线性的方法来进行分析。
非线性是现代数学理论中一种十分重要的思想模式，进一步推动了数学研究的深入发展。
领域交叉性现代数学中各个领域之间的交叉日益增多。
各个领域之间的交叉研究，不仅扩大了数学的范围，也推动了其他领域的发展。
比如，数值分析和计算方法可以应用到物理、化学等其他领域中，从而使得这些领域变得更加完善。
现代数学的意义对自然界的深刻认识现代数学在自然科学中的应用越来越广泛。
通过数学模型的建立和分析，科学家们能够更好地解释自然现象，也能够预测未来的现象。
数学对自然现象的描述和研究使得我们对自然界有了更深层次的认识。
推动物理学和计算科学的发展现代数学在物理学和计算科学中具有重要的作用。
通过数学方法，科学家们可以更好地理解和分析物理现象，也能够有效地进行计算和模拟。
数学对物理学和计算科学的发展起到了重要的推动作用。
构建各种科学的理论框架现代数学理论的发展也作为了其他科学理论框架的重要组成部分。
比如，现代统计学的理论就是基于概率论和数理统计等数学方法之上构建起来的。
你对数学的认识数学是一门研究数量、结构、空间和变化的学科，它是一种用逻辑推理和抽象思维来描述和解决问题的工具。
数学的基础可以追溯到古代文明，而现代数学则是在不断发展和演变中的。
数学的应用范围广泛，涉及到自然科学、社会科学、工程技术等各个领域。
数学的核心思想是逻辑推理。
数学家通过建立假设、推导出结论，并用严密的证明方法来确认这些结论的正确性。
数学的证明过程要求严谨、准确，不容忽略任何细节。
通过逻辑推理，数学家能够从已知的事实或定理出发，得出新的结论，不断拓展数学的边界。
数学的研究对象包括数和符号、形状和结构、变化和关系等。
数学家通过对这些对象的研究，发现了许多规律和定律。
数学的重要性在于它能够提供一种精确的语言和工具，用来描述和解决现实世界中的问题。
无论是物理学、化学、经济学还是计算机科学，都离不开数学的支持和应用。
数学的应用范围广泛，从基本的数学运算到高级的数学模型，都可以在日常生活中找到。
例如，我们在购物时需要计算价格和找零，这就涉及到基本的算术运算；在旅行时，我们需要计算行程和时间，这就涉及到数学中的比例和速度；在金融领域，数学被用来进行投资和风险评估；在工程和科学领域，数学被用来建立模型和解决复杂的问题。
数学的学习不仅仅是为了应对日常生活中的实际问题，更重要的是培养思维能力和解决问题的能力。
数学的思维方式强调逻辑推理和抽象思维，培养学生的思考能力和创造力。
通过数学的学习，我们可以学会分析问题、提炼问题的本质、运用合适的方法解决问题。
数学是一门精确严谨的学科，它要求学生具备良好的逻辑思维和抽象能力。
数学的学习需要掌握一定的基础知识和技巧，但更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。
数学的学习过程中，我们需要不断思考和实践，通过解决问题来加深对数学的理解。
数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
数学的学习不仅仅是为了考试成绩，更重要的是培养学生的思维能力和解决问题的能力。
通过数学的学习，我们可以培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，提高自己的综合素质。
浅谈对现代数学的理解浅淡对现代数学的理解摘要：数学作为⼀门基础学科，是各学科领域进⾏科学研究⼯作不可或缺的知识。
随着⼯程技术⽇新⽉异的发展，对数学的要求愈来愈⾼，现代数学的观点、⽅法已渗透到⼯程技术的各个领域，要求⼯程技术⼈员不仅具备经典的数学知识和处理问题的⽅法，还要求了解现代数学的内容和⽅法。
通过课程学习，⼤致了解现代数学基础的知识体系，发展历史。
本⽂在课程学习基础上总结了现代数学思想⽅法的发展过程、研究现状以及未来发展趋势。
关键词：现代数学；特点；趋势1 现代数学是的发展历史纵观数学的历史发展，可以清楚的划分为初等数学、⾼等数学和现代数学三个阶段。
从古代到⼗七世纪初为初等数学阶段；从⼗七世纪初到⼗九世纪末为⾼等数学阶段；从⼗九世纪末开始，数学进⼊了现代数学阶段。
按照传统的、经典的说法，数学是研究“显⽰世界的数量关系和空间形式”的科学[1,2]，或者简单地说，是研究数和形的科学。
然⽽作为数学对象的数和形，在三个阶段⾥是很不相同的。
在初等数学阶段，“数”是常量，“形”是孤⽴的、简单的⼏何形体。
初等数学分别研究常量见的代数运算和⼏何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和⼏何两⼤领域。
⾼等数学以笛卡尔(R. Descartes)建⽴解析⼏何（1637）为起点，17世纪89年代微积分的建⽴是这⼀阶段最显赫的成就和标志。
在⾼等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲⾯，⾼等数学研究它们之间各种函数和变换关系。
这时数和形紧密的联系在起来，但⼤体上还是个成系统的。
由于发轫与微积分的⽅向数学的兴起和发展，数学形成为代数、⼏何和分析三⼤领域。
现代数学阶段以康托尔（G. Cantor）建⽴集合论（1874）为起点。
正如数学家陈省⾝所说：“康托尔的集合论，独创新意，⾼瞻远瞩，为数学⽴了基础。
”[3]29世纪以后，⽤公理化体系和结构观点来通观数学，成为现代数学的明显标志，现代数学阶段的研究对象是⼀般的集合、各种空间和流形。
论现代数学的特点和意义作者：汪琼华来源：《科学大众·教师版》2015年第11期摘要：现如今，信息技术在各个领域得到广泛应用，而我们往往看不到其背后的现代数学所发挥的重要作用。
现代数学具有高度的抽象和统一、重视逻辑和结构、与其他自然学科相互渗透以及与计算机科学技术的紧密联系等显著特点，正是现代数学的这些特点，奠定了现代数学在科学研究以及现实生活应用中的不可动摇、坚不可摧的重要地位。
关键词：现代数学；特点；意义；计算机技术中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1006-3315（2015）11-005-0011.引言近年来，信息技术迅猛发展，并在医疗领域、金融领域、经济领域和航空领域等广泛应用，而在信息技术不断发展的进程中，现代数学发挥了重要的引领作用。
数学既是一个概念，更是一个不断发展的学科，数学经过日积月累的发展，最终形成现代数学。
现代数学可谓是特点颇多，开辟了数学发展的新阶段，数学中的集合、空间等都通过现代数学融合在一起。
广大教育工作者和高中生更应正视和重视现代数学的特点并理解其意义，让现代数学更好地为人类服务。
2.现代数学的特点每一门科学都有其固有而显著的特点，现代数学也不例外。
随着数学的日益发展，其固有的特点也会有所变化和发展，而现代数学正是数学不断发展的新阶段，它也必然会在数学原本的特点——抽象性、精确可靠性、广泛应用性等基础之上有所发展变化，而且在这些固有的、不断发展的特点之间又是存在着紧密联系的。
2.1高度的抽象和统一所谓的抽象和统一性，就是把不同的对象中本质的、共同的东西抽象出来，成为更高一层次的对象，并对之进行研究，从而使原本很多不同的对象得到了统一，以求得本质的共同的规律。
换言之，数学正是有了抽象的特点，我们才能统一许多不同的对象，与此同时，我们也能够不断地扩大范围，所以，为了统一，我们必须对不同对象进行抽象，它们是一个完整概念的两个方面。
现代数学的抽象性和统一性主要体现在其研究对象、研究内容和研究方法上，具体表现在以下三个方面：第一，现代数学的抽象只保留研究对象的空间形式或者数量关系，而不针对其具体内容；第二，虽然各个学科都具有其抽象特点，但是，数学这一学科相对于其他自然或者社会学科而言，其抽象化进程是大大加快的，其深刻程度是明显领先的，是经过了一系列的发展逐渐形成的；第三，相对于自然科学或者社会科学而言，数学的抽象不仅体现在其概念上，还体现在数学方法方面。
对现代数学教育技术及其应用的思考现代数学教育技术的应用是指将现代科技手段与数学教育相结合，利用科技的力量提高数学教学的效果和效率。
随着信息技术的快速发展，现代数学教育技术已经深入到数学教学的方方面面，为学生提供了更加灵活、个性化的学习环境，并促进了其数学思维能力和创新能力的培养。
下面我将对现代数学教育技术及其应用进行一些思考。
现代数学教育技术的应用可以通过多媒体教学和网络教学来提供更加直观、生动、有趣的学习材料和教学资源。
通过多媒体教学，可以利用图像、声音、动画等多种媒体形式，使抽象的数学概念变得具体可见。
通过网络教学，可以打破时间和空间的限制，学生可以随时随地进行学习，实现异地同步教学和交流。
这样可以激发学生学习兴趣，提高他们的学习积极性和主动性。
现代数学教育技术的应用还可以通过智能化辅助教学来提高教学效果。
智能化辅助教学是指利用人工智能、大数据、虚拟现实等技术的手段，为学生提供个性化、差异化的学习服务和指导。
通过对学生的学习行为和智力水平进行分析和评估，可以为他们量身定制学习计划和教学内容，针对性地提供学习指导和反馈。
这样可以更好地满足学生的学习需求，提高他们的学习效果和学习效率。
现代数学教育技术的应用还可以通过计算机辅助实验和模拟来增强学生的实践能力。
数学是一门实践性很强的学科，通过计算机辅助实验和模拟，可以为学生提供丰富的实践机会，让他们在实践中理解和掌握数学概念和方法。
通过模拟和实验，学生可以观察数学问题的发展和变化过程，发现问题的规律和特点，并通过模拟实验来验证和推导数学定理。
这样可以锻炼学生的实践能力和发现问题的能力，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
现代数学教育技术的应用还可以通过在线学习平台和移动学习应用来推动教育的全球化和个性化。
通过在线学习平台，学生可以接触到来自全球各地的优秀教育资源和教学内容，拥有更多选择和可能。
通过移动学习应用，学生可以随时随地进行学习，自主安排学习时间和学习方式，实现学习的个性化和自主化。
浅析数学对各个领域的作用和意义数学是一门研究数量、结构、变化以及空间模型等众多领域知识的学科，借助抽象化以及逻辑推理，从计数、计算、度量到对事物形态以及运动规律的观察中产生的，数学是研究数与形的学科。
随着数学学科研究的进一步深入，数学的研究范围进一步扩大，数学在社会中发挥的作用也越来越大，数学具有广泛性、客观性、精确性、抽象性、严格性等特征，是人类生存和发展中不可获取的重要知识内容。
2. 数学的作用和意义2.1在现实生活中的应用数学是人类生活中的重要学科，我们在日常的生活中无不感受到数学带来的便利，从人类产生起，就已经开始逐渐用数学的思维来探索世界，建立部落，进行分工，古人很早就学会了用石头或者其他物件来代表捕猎的数量，在后续的社会发展，房屋建筑、手工制作、农田耕种中，数学思维和知识也发挥了关键作用，随着社会生活水平的不断提升，数学学科知识的不断完善，数学思维更是直接的进入人们的生活、工作和学习中，掌握有效的数学知识，对于进一步提升自身的生存能力，促进社会发展具有重要作用。
利用数学思维，我们开始了更有品质、更有秩序的生活，并能够借助数学，让生活不断获得发展，一切都井然有序。
2.2在自然科学中的作用数学是自然科学的基础，因为数学是一种逻辑思维、抽象思维，是一种科学，一种真理，自然科学也是离不开数学的，有了数学的思维和计算、分析方式支持，自然科学在进行学科知识分析，技术研究等方面，都能够应用有效的方法来实现。
借助数学学科知识，计算机科技出现了，计算机的发明和使用，就是对于数学的充分应用，其中的计算逻辑、软件编程等等，都是数学知识应用的体现。
数学知识似乎是无边无际的，因为随着的研究的深入，数学知识也是在不断开创新领域。
自然科学也是无边无际的，还有很多未知的领域在等着人类去探索，这样的探索过程中，少不了要用到数学知识来支持。
实际上，很多学科都是多门学科的综合，并不是独立存在的。
数学学科是渗透到各门学科中的，而各门学科中在数学学科中也有一定的体现。
第四章现代数学的发展趋势一、现代数学的发展趋势内容概括与古典数学相比,现代数学的发展从思想方法的角度看具有一些新的特征,本章内容通过数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些方面来认识和理解现代数学的发展趋势.下面从以下几个方面来分析：● 数学的统一性● 数学应用的广泛性● 计算机与数学发展1．数学的统一性所谓统一性,就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致.客观世界具有统一性,数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性.数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.● 数学的统一性发展的三个阶段1数学从经验积累到严格的演绎体系建立,其特征逐步明显,在中世纪时,从研究对象和方法来看,初等数学有了一定的统一性.特别是17世纪解析几何的诞生,使数学中的代数与几何统一起来,说明统一性是数学的特征.生了变革,结果是数学分支愈来愈多,数学表现的更加多样化.因此,需要重新认识数学的统一性.为此,数学家们作了很多努力,到20世纪30年代,法国的布尔巴基Bourbaki学派提出,利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构.他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展,“数学好比一座大城市.城市中心有些巨大的建筑物,就好比是一个个已经建成的数学理论体系.城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展,他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支.与此同时,市中心又在时时重建,每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局,在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时,将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方,…….”2布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构即代数结构、序结构和拓扑结构,然后根据不同的条件,由这三个基本结构交叉产生新的结构,如分析结构、布尔代数结构等等.他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类,用数学结构能统一整个数学,各个数学分支只是数学结构由简单到复杂,由一般向特殊发展的产物.数学的不同分支是由这些不同的结构组成的,而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体.因此可以说,布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性.320世纪下半叶,数学已经发展成一个庞大的理论体系,数学分工愈来愈细,分支愈来愈多,分支之间的联系愈来愈不明显,但是,数学学科的统一化趋势也在不断加强,主要体现在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合,导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起：例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破和发展都有密切的联系.2．数学应用的广泛性随着科学发展,学科之间的相互渗透已是一种普遍现象,而其中数学的渗透又特别明显.这种渗透不能简单地理解为把数学作为一种科学研究的工具和技术,而是新的研究领域和交叉学科建立的动力.数学已成为其他学科理论的一个重要组成部分,这是数学应用日益广泛的体现.这种体现具体讲就是数学化.现代科学发展的一个显着特点是,自然科学、技术科学以及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中,它们都在朝着愈来愈精确的方向发展.电子计算机的发展和应用,为各门科学的数学化提供了可能性,因而加速了各门科学数学化的趋势.我们可以分成几个方面来分析：● 自然科学的数学化数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学.它的理论深刻地反映和刻画了现实世界的空间形式和数量关系.随着社会进一步的发展,愈来愈需要对自然现象和客观物质作定量研究.“数”与“形”在现实世界中无处不在,客观世界的任何一种物质的几何形态都具有空间形式,其运动的路线是曲线,而曲线是由一些数量的某种关系来刻画.这就决定了数学及其方法可以运用于任何一门自然科学,数学是自然科学的基础.1以物理学为例：物理学应用数学的历史较长,18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期.19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学,并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支.20世纪以后,随着物理科学的发展,数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒子等方面取得了一个又一个的突破,极大地丰富了数学物理的内容,同时,也反过来刺激了数学自身的进步.例1 在20世纪初,狭义相对论和广义相对论的创立过程中,数学都起到了作用.1907年,德国数学家闵可夫斯基H. Minkowski,1864-1909提出了”闵可夫斯基空间”三维空间+时间的四维时空,闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的数学模型.有了闵可夫斯基时空模型后,爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论.1912年夏,他已经概括出新的引力理论的基本物理原理,但为了实现广义相对论的目标,还必须有理论的数学结构,爱因斯坦为此花费了三年时间,最后在数学家格罗斯曼M.Grossmann帮助下掌握了发展相对论引力学说所必须的数学工具----以黎曼几何为基础的绝对微分学,即爱因斯坦后来所称的张量分析.在1915年11月25日发表的一篇论文中,爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程：就是黎曼度规张量.爱因斯坦指出：“由于这组方程,广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成”根据爱因斯坦的理论,时空整体是不均匀的,只是在微小的区域内可以近似地看作均匀.在数学上,广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间,非均匀时空连续区域可借助于现成的黎曼度量：来描述.这样,广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义,成为历史上数学应用最伟大的例子之一.自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究.定性研究揭示研究对象是否具有某种特征,定量研究揭示研究对象具有某种特征的数量状态.精确的定量研究使人们能够对客观事物的认识从现象上升到本质,从而可能有精确的科学预见功能.数学是实现定量研究的必要条件.所以,一门科学只有当它与数学充分地融合,才可能精确地揭示客观事物的状态和变化规律,才会显示其真正的价值.因此,自然科学研究必然要经过定量研究过程,所以科学研究的一般过程是从定性研究出发,然后再研究其量的规律性,进行定量研究,并进一步把定性研究和定量研究相结合.科学的数学化是有一个发展过程,它是从低级运动形态发展到高级运动形态,以简单运动形态到复杂运动形态.与此相应的,是从物理学、力学、天文学开始,发展到化学、生物学和工程技术科学.2以生物学为例与物理和天文等学科相比, 生物学中应用相当迟缓. 将数学方法引进生物学的研究大约始于20世纪初. 英国统计学家皮尔逊K.Pearson, 1857-1936首先将统计学应用于遗传学和进化论, 并于1902年创办了生物统计学Biometrika杂志, 统计方法在生物学中的应用变的日益广泛.意大利生物学家达松纳D’Ancona在研究地中海各种鱼群的变化及其彼此影响时,发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量在全部渔获量中的比例成倍增长.他感到困惑的是作为鱼饵的小鱼也应该多起来,并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的.什么原因使得鲨鱼的增长要比小鱼的增长更快呢达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜,于是他请教意大利数学家伏尔泰拉V. Volterra.1926年, 伏尔泰拉提出着名的伏尔泰拉方程：方程中x表示食饵,即被食小鱼,y表示捕食者,即食肉大鱼鲨鱼.用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时,捕食者鲨鱼增加,被食者被食小鱼减少；当捕鱼量增加时,捕食者减少,被食者增加.这给生物学一个满意的答复.这一现象现在称为伏尔泰拉原理,已在许多生物学领域中应用.如使用农药杀虫剂,若把害虫及其天敌一起毒杀,则由于杀死害虫数量猛增,根据伏尔泰拉原理,却会使捕食害虫的天敌下降更快,引起不利后果.用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果,这就是描述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利Hodgkin-Huxley方程1952年和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫Hartline-Ratliff方程1958年,它们都是复杂的非线性方程组,引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣.这两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学奖.3以医学为例数学家冯诺依曼说过：“在现代实验科学中,能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法,已越来越成为该科学成功与否的重要标志”随着电子计算机的发展和应用,人们已经能处理越来越复杂的现象,比如,复杂程度远远超过物理现象、化学现象、生物现象.数学已成为自然科学的强有力的工具.现代科学技术发展的一个重要趋势之一,是各门科学的数学化.这种数学化已获得了丰硕的成果.● 社会科学的数学化20世纪数学发展的另一个特点就是数学广泛应用于社会科学之中,即社会科学数学化的趋势增长.所谓社会科学数学化,就是指数学向社会科学的渗透,也就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律.由于社会现象的随机因素较多,情况较复杂,因此在数学化过程中所需的变量参数也较多,因此造成社会科学数学化的难度比较大,社会科学数学化的进程也就较晚.但是,随着各门科学和数学本身的进步,影响各种社会现象的因素将逐渐被数学所阐明,因此运用数学的可能性就愈来愈大.从整个科学发展趋势来看,社会科学的数学化也是必然的趋势,其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一,社会管理需要精确化的定量依据,这是促使社会科学数学化的最根本的因素.第二,社会科学的各分支逐步走向成熟,社会科学理论体系的发展也需要精确化.第三,随着数学的进一步发展,它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支.如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等,都为社会科学数学化提供了有力的武器.这些新的数学分支使社会科学数学化成为可能.第四,电子计算机的发展与应用,使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理.例1 社会科学的数学化,最早是经济学.在经济学中开始引用数学方法,如果从古尔诺Cournot在1883年发表财富理论的数学原理之研究一书算起,已有100多年的历史了.现代数学揭示了经济学中新的经济规律,促进了经济知识的完善化.例如,在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、线性规划等数学方法,来研究消费理论、生产理论、投资理论、收入理论等.数学与经济学相结合产生了数学经济学.20世纪50年代以后,数学方法在西方经济学中占据了重要地位,以致大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作.前苏联数学家康托洛维奇А.В.Канторович, 1912-1986和美籍荷兰经济学家库普曼斯T20世纪50年代以来,数量经济学由于公理化方法的引入而取得了重大进展.1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛G.Debreu发表了<价格理论>,对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述.从此,公里化方法成为现代经济学研究的基本方法.一般经济均衡价格的存在问题是经济界长期关注但悬而未决的问题.粗略地讲,这问题是问：是否存在一个价格体系,使得消费需求与生产供给相等.这样的价格体系就叫均衡价格体系.早在1874年,法国经济学家L.Walras就已经将这个问题归结为由供给等于需求所决定的方程组的求解.这样导出的一般是一组复杂的非线性方程,虽经过许多数学家和经济学家的努力,问题始终没有解决.直到1954年,德布洛和美国经济学家阿罗K.Arrow第一次利用凸集理论,不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明.德布洛的<价格理论>又使这一理论体系公理化.阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝尔经济学奖.例2 数学与语言相互渗透,产生了数理语言学这门新的交叉学科.它用数学方法来研究语言结构和语法形式属性.随着现代科学技术的发展和电子计算机的推广应用,使人脑与电脑通力协作,使数学与语言融为一体,产生计算机语言.例3 数学向文学研究领域的渗透,使人们发现数学与文学之间存在联系,像英国数学家西尔维斯特Sylvester撰写的诗的格律一文,就应用了数学方法对莎士比亚的十四行诗进行了分析.1980年,美藉华人陈炳藻先生运用了数学与计算机相结合的手段发表了从词汇上统计,论〈红楼梦〉的作者问题.还有复旦大学教授李贤平先生对此亦作出了贡献.例4 数学向社会学领域的渗透,产生了一门新兴的定量社会学,它应用协同学的理论和数学方法研究社会学问题,使社会学开始走上定量化的道路.20世纪60年代前苏联科学家用定量方法来研究历史问题,从而产生了计量历史学.运用计量方法可以把抽象的东西变得具体化,使微观和宏观研究更好地结合起来,使微观研究更好地成为宏观研究的基础.社会科学的数学化已为人们所广泛接受,社会科学的数学化是数学与社会科学相互作用、相互渗透的进程.一方面,它把数学运用于各门社会科学,从而极大地提高社会科学研究的质量和效率,使社会科学更加完善和更具有说服力.另一方面,它使社会科学与数学相结合产生新的交叉学科,从而进一步促进数学的发展.3．计算机与数学发展电子计算机是20世纪最伟大的技术成就之一.这个最初为了代替人类计算的机器使得人类面临着一场新的科学技术革命.在数学方面,计算机至少有三种新的用途,第一,用来证明一些数学命题,而通常证明这类命题,需要进行异常巨大的计算与演绎工作.第二,用来预测某些数学问题的可能结果.第三,用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法.计算机的发展促进了数学的变革与发展,而数学的突破提升了计算机的层次,有人说“计算机是数学的创造物,又是数学的创造者.”总之,计算机给数学家们提供了一种有效的实验工具.计算机的发展为数学开辟了一个新的天地,对于数学的发展具有决定性的影响.计算机与数学的联系可以从以下几个方面来理解.● 数学机械化1数学机械化的产生与发展数学的脑力劳动有两种主要形式：定理证明和数值计算.人们一直希望能为脑力劳动找到一种替代方法,即脑力劳动怎么机械化的问题.20世纪40年代,出现了计算机以后由此产生一门新的学门,叫做人工智能.人工智能考虑诸如,机器翻译,机器推理,机器下棋,机器看病等等,它的目的就是利用计算机来代替或减轻某种形式的脑力劳动.“不论是机器代替体力劳动,或是计算机代替某种脑力劳动,其所以成为可能,关键在于所需代替的劳动已经‘机械化’,也就是说已实现了刻板化或规格化.”数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中,每前进一步之后,都有确定的、必然选择的下一步,这样沿着一条有规律的、刻板的道路,一直达到结论.“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想,一是公理化思想,另一是机械化思想.”因此脑力劳动机械化的尝试,可以追述到几千年以前.比如,中国的九章算术中就有了对开平方和开立方机械化过程的详细说明.但是从19世纪开始发生的一些事件对当代数学机械化的形成与发展具有决定性意义.1854年,英国数学家乔治·布尔George Boole把逻辑简化成的一种代数,用一些符号把逻辑推理形式化,发表了逻辑的数学分析和思维规律的研究,从而创立了布尔代数.这种代数把逻辑推理简化成极其容易操作,因而可以减轻脑力劳动.这可以看作数学机械化的起步.19世纪末,德国数学家希尔伯特创立并且发展数理逻辑以来,脑力劳动机械化的设想才有了明确的数学形式.众所周知,在初等几何中,不同的定理,常常需要用不同的方法来证明.因此用计算机来证明几何定理首先需要解决“一理一证”的问题.1950年,波兰数学家塔斯基Tarski证明了在初等几何和初等代数这一范围内的定理证明可以机械化,并且提出了一个算法.这在理论上非常成功,它把一类初等代数和初等几何的定理证明,完全交给机器去做,是真正意义上的脑力劳动机械化.但是这个算法非常繁琐,并且有许多定理的证明都不成功.1959年,美籍华人王浩教授设计了一个机械化方法,只需9分钟计算时间,用计算机证明了两位英国数学哲学家罗素和怀特海Alfred North Whitehead于1913年出版的数学原理中的几百条定理.1976年,美国伊利诺斯Illinois大学的阿佩尔K. Appel和哈肯W. Kaken用计算机运行了1200小时证明了数学家们100多年来所没有解决的四色猜想——任何一幅地图着色,只要四种颜色就可以使所有相邻地区的颜色不相同.要实现几何定理证明机械化的必然条件是有一种方法可以证明一类定理.从“一理一证”到“一类一证”,是数学的认识和实践的飞跃.1977年,数学家吴文俊在定理证明机械化研究上取得初步成果.他独立证明了初等几何泛指不具有微分运算的几何,如欧氏几何、非欧几何、仿射几何、投影几何、代数几何等等主要一类定理的证明可以机械化,并且提出了切实可行的机械化方法,国际上称“吴方法”.吴先生提出的机械证明方法与塔斯基的工作互相交而不包含,效率高,可以在普通计算机上实现,现在已经证出欧几里得几何中已知的全部定理.同时“吴方法”还可用于几何定理的自动发现和未知关系的自动推导.吴文俊先生的开创性成果,打破了国际自动推理界在几何定理自动证明研究中长期徘徊不前的局面.吴先生还把他的方法拓展到微分情形,建立了微分几何定理机器证明和微分代数方程组求解的机械化理论和方法.2数学机械化的意义I数学机械化与公理化一样,对于数学的发展具有巨大的现实意义.数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向,甚至成为数学的主流.这是因为,抽象的数学概念和结论,往往难于掌握和运用.当把抽象的概念变成具体可算的过程,将易于接受和适宜应用.运用机械化思想考察数学,将引导数学家重新认识数学对象,建立新的模式,从而发现新的结论.吴文俊先生强调：数学机械化方法的应用,是数学机械化研究的生命线.在他的指导和带动下,数学机械化方法已在一些交叉研究领域获得初步应用,如理论物理、计算机科学、信息科学、自动推理、工程几何、机械机构学等等.数学机械化研究不断开拓更多的应用方面.如今,计算机科学被认为是算法的科学.以算法为核心的机械化思想,既传统又前瞻,数学机械化的思想随着计算机科学的进一步发展必然会渗透到数学的各个角落.II数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义.吴文俊认为“公理化的思想导源于古希腊,机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学.”他分析了中国传统数学的光辉成就在数学科学进步历程中的地位和作用,指出数学机械化思想是我国古代数学的精髓,它与源于古希腊的公理化思想,对于数学的发展都发挥了巨大作用.● 计算数学的发展计算数学,也叫做数值计算方法或数值分析,是一门研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的学科,其主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决,具体有代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法,函数的数值逼近问题,矩阵特征值的求法,最优化计算问题,概率统计计算问题等等,还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题.计算是与生活联系最直接、最密切的一环.在数学发展史中,计算占非常重要的地位,它是古代数学的最重要的组成部分.因此计算数学的历史至少可追述到我国魏晋时代的数学家刘徽的“割圆术”.随着15世纪欧洲资本主义工商业兴起,科学技术有了新发展.以解析几何与微积分为标志的近代数学发展,计算数学也有相应的发展.牛顿、瑞士数学家欧拉Euler等发展了一般插值方法与差分方法,德国数学家高斯和俄国数学家切比雪夫Chebyshev发展了最优逼近的方法与理论.在高次代数方程方面发展了牛顿迭代解法.在线性代数方面发展了高斯消元法以及各种迭代法.微积分发展的同时,也出现微分方程的离散化与数值解法.但是这些发展都受到具体计算速度的限制.随着科学技术发展,人们面临需要处理的数据量更大.计算机的出现为大规模的数据处理创造了条件,人们也开始真正认识到计算数学的重要性.集中而系统地研究适用于。
现代数学发展及研究数学发展的意义学习和研究数学的发展，就是要从数学的发展历史中获得借鉴，汲取教益，从而促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。
吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的收益”。
一、现代数学的产生现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学的主体部分。
19世纪前半叶，数学上出现了两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的，但也是正确的几何——非欧几何。
罗巴契夫斯基提出的非欧几何改变了人们认为欧氏几何唯一的存在是天经地义的观点。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨、研究，可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1843年，哈密顿发现了一种乘法交换率不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的研究，引进了群的概念。
近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。
群论之后，多种代数系统（环、域、布尔代数、线性空间等）被建立。
这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵等等，并逐渐转向代数系统结构本身的研究。
拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。
浅谈我对我国小学数学教育的看法面向２１世纪，社会走向现代化，需要教育现代化与之相适应。
所谓教育现代化或现代教育是指以现代生产和现代化生活方式为基础，以现代科学技术和现代文化为背景，以培养全面发展的现代人为目的的教育。
现代教育植根于现代社会的现实，又面向未来急剧的变化和发展。
现代教育的特征具有多方面性和多层面性，而其最重要的特征是充分展现人的主体性，追求人的全面发展。
当前我国提出的素质教育，就是现代教育的直接体现。
我国小学教育如何摆脱“应试教育”的枷锁而实施素质教育呢？更具体地说，各门学科的教学如何真正实施素质教育？这是我国广大教育工作者关注的热点问题。
本文仅就我国小学数学改革与现代化问题提出几点思考。
一、重新认识数学和数学教育数学是科学技术的基础。
一个国家繁荣的关键在于发展高新技术和有效的经济管理。
这一结论已被发达国家的历史所证实。
随着时代的进步，本世纪数学得到了前所未有的发展，尤其是数学、数学等学科之间的相互渗透，大量应用数学科学的出现，计算机的应用形成了数学技术。
今天的数学不再是20年前的“数学”。
现代数学深刻融合了算术、代数、几何等传统领域的成果，以及统计学、运筹学、计算机科学等应用领域的新方法。
在信息时代，数学已成为广泛使用的强大工具；数学作为一门思维能力很强的学科，是发展人的思维、提高人的智力的有力手段；数学作为一种文化，也是培养和提高人们文化科学素质的重要组成部分。
因此，在充分发挥数学在社会主义现代化建设中作用的同时，要进一步明确数学在基础教育中的地位，加快数学教育改革。
二、我国小学数学教育现状小学教育是九年义务教育的第一阶段。
这是向孩子们提供世界车轮画廊图片的第一个周期。
它是促进人的身心全面发展的基础工程。
1992年以来，随着《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》的颁布和九年义务教育教材的试行，小学数学教育改革取得了很大进展，主要体现在：教育指导思想逐步明确，开始重视素质教育；简化了一些教学内容（如计算和应用问题，降低了一些要求）；更新了教学方法和手段；整个教学过程有三个变化：一是从教到学，二是从只注重学习结果到既注重学习结果又注重学习过程，三是从只研究教学方法到研究学习方法。
浅谈对数学教育的一些看法九十年代以来，对于数学教育改革进行了较多地讨论。
如果我们能认真转变观念，积极地进行调查、研究和讨论；客观正确地总结历史经验、认识数学及其应用的现在和将来，从中得出一些基本看法，并且逐步地加以实践。
那将是一件不仅对数学发展、而且对提高全民族的科学文化素养和我国的现代化事业有重大意义的历史进程。
本文就是想以一种积极参加讨论的姿态，谈一些个人看法和大家切磋。
1. 从效果看，我们的数学教育有她很大的成绩。
主要是学生获得较好的数学基本训练，特别是计算的熟练和逻辑的严密性比较好。
这可以从国际的IEAP 调查得到肯定，也可以从中国留学生在国外的考试成绩间接印证。
这一点受到美国教育界的重视，最近美国卡内基教学促进基金会派了以该基金会现任任主席李.舒尔曼（L.S. Shulman）、包括美国数学协会（MAA）现任主席托马斯.班乔夫（T.F.Banchoff）和美国教育研究协会（AERA）主席艾伦。
熊菲尔德（A. Schoenfeld）的高级代表团来我国进行数学教育经验的交流活动。
在他们举行的答谢宴会上，舒尔曼明确地表达了他们来学习中国数学教学经验的目的。
因此我们在这方面应该有恰当的自信。
这种成绩的获得主要由于我国数学教学有注意数学的严格性、逻辑推理以及注意解题技巧的传统。
在这个体统的影响下，广大的优秀教师让学生做相当数量的习题，并且引导学生总结自己的思考过程，让学生更好地理解和掌握了数学。
此外，还有一些教师让学习较好的学生或者对数学有兴趣的学生自己，除了做一般的适量习题外，再做一些需要费力思索和发挥想象力的难题也是相当有意义的。
因为这样有利于培养学生的创新能力、毅力和习惯。
我们知道习题只给了条件和结论，甚至只给了条件和问题，要求学生将解决问题的过程给与再创造，而较难的习题经常需要学生经过一段时间的反复思索。
这种再创造过程自然可以培养创新能力；而一段时间的反复思索则可以锻炼学生的坚持性，也就是培养了创造毅力；经常做一些这样的题目不就养成了习惯吗？这一点在一些有所成就的数学家、甚至科学家中是得到印证的。
对数学的认识论文数学是人类文化的一个重要的组成部分，它在人类文明与社会进步中起着重要的作用。
但是我们对于数学的真正认识又有多少呢？下文是店铺为大家整理的关于对数学的认识论文的范文，欢迎大家阅读参考!对数学的认识论文篇1浅谈数学与应用数学摘要：新课程改革注重知识的发生、发展过程，培养学生用数学的观点观察社会、思考问题，增强应用数学的意识，重视联系实际和数学应用意识。
教师应加强数学应用教学，多让学生自主学习，重视课外实践，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实际应用能力。
关键词：数学应用生活经验学以致用新课程改革注重知识的发生、发展过程，培养学生用数学的观点观察社会、思考问题，增强应用数学的意识，真正让学生体会到“学以致用”。
近年来，我坚持以新课程标准为指导思想，重视实践，加强对学生数学应用能力的培养，做了一些探索，在此谈谈对这一问题的一点思考。
一、理论基础1.数学的发展就是数学应用的历史。
从数学的早期发展来看，数学起源于人类实际生活的需要，人类在简单的物品交换和重新分配中，产生了数的概念。
在古埃及流传下来的最早的数学著作《莱茵德纸草书》和《莫斯科纸草书》中，包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关;中国现存的最早的数学著作《周髀算经》中，主要成就是勾股定理及其在天文测量上的应用。
到了近现代，特别是现代，一方面，数学的核心研究变得越来越抽象;另一方面，数学的应用也变得越来越广泛。
数学除了在物理、化学、生物等自然科学大量应用，还在经济学、社会学领域大展身手，在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力――存款、利息、股票、投资、保险、成本、利润、折扣、分期付款，以至文艺创作、心理分析、社会改革、哲学思辨等。
可以说，数学是人类活动最基本、最重要的工具之一。
2.新课程改革对加强数学应用的体现。
现代数学的一些概念现代数学是一门关于抽象概念和结构的学科，它研究的对象是抽象的数学概念和数学结构，而不是具体数的计算。
现代数学的发展可以追溯到19世纪中叶以来，当时数学家们开始思考一些基本的抽象概念和结构，并将它们作为数学的基础进行研究。
现代数学中的一些重要概念包括集合论、群论、环论、域论、拓扑学、微积分、代数学、几何学等。
下面我将对其中的一些概念进行简要的介绍。
首先是集合论。
集合论是数学的基础，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系。
集合论的基本概念包括集合、子集、并集、交集等。
集合论的发展对于其他数学分支的建立和发展有着重要的影响。
另一个重要的概念是群论。
群论是研究代数结构的一种数学分支，它研究的是具有代数运算的集合。
群由一个集合和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
群论不仅在代数学中有重要应用，而且在物理学等自然科学中也有广泛的应用。
环论和域论是群论的推广，它们研究的是具有更多性质的代数结构。
环由一个集合和两个二元运算组成，满足封闭性、结合律和分配律等性质。
域是一个具有乘法逆元的环。
环论和域论在代数学和密码学等领域有重要的应用。
拓扑学是研究空间和连续性的数学分支，它研究的是空间中点之间的距离和连接。
拓扑学的基本概念包括拓扑空间、开集、闭集、连通性等。
拓扑学在几何学、分析学、动力系统等领域有广泛的应用。
微积分是研究变化速率和积分的数学分支，它由微分学和积分学组成。
微分学研究函数的导数和微分方程，积分学研究函数的积分和定积分。
微积分在物理学、工程学和经济学等领域有重要的应用。
代数学是研究代数系统的一门数学分支，它包括线性代数、抽象代数和代数几何等。
线性代数研究向量空间和线性变换，抽象代数研究抽象的代数结构，代数几何研究代数方程的几何性质。
代数学在数论、密码学和编码理论等领域有重要的应用。
几何学是研究空间和形状的数学分支，它包括平面几何、立体几何、非欧几何和微分几何等。
平面几何研究平面上的形状和变换，立体几何研究立体的形状和容积，非欧几何研究非欧空间的性质，微分几何研究流形上的微分结构。
数学学习体会
数学一直被视为最难学科之一，许多学生都觉得它太难了，而且没有任何实际用途。
然而，我在高中时对数学的热爱之情越来越强烈，在大学里我选择了数学作为我的主修科目。
以下是我数学学习的体会。
首先，数学是一种自我挑战。
学习数学不像其他学科那样“灌输”知识，它要求我们理解、推理和解决问题，这就需要我们不断地探索这个领域。
当你掌握了一些基本的概念和方法后，你就可以开始尝试一些不同的挑战，比如试图证明一个公式或理论。
这种探索的过程是令人兴奋和耐人寻味的。
其次，数学是一种美。
数学不仅仅是一些无聊的公式和计算，它还有诸如对称性、美学和模式之类的美妙特性。
这些特性能够在我们的心灵中引发共鸣并激发我们的想象力，让我们超越“实用性”而感受到数学的无限魅力。
另外，数学是一种“语言”。
数学有着它自己的方式来描述我们周围的世界，这种语言非常准确并且可以跨越不同的文化和语言界限。
因此，数学的学习不仅可以帮助我们理解和探索自然界，也可以帮助我们更好地与世界沟通。
最后，数学是一种思维方法。
学习数学可以锻炼我们的逻辑思
考和解决问题的能力，这些技能在我们的日常生活和职业生涯中
非常重要。
数学能够培养我们有条理、准确、逻辑和批判性地思维。
总之，数学对于我的学术和个人成长都起到了非常积极的影响。
它让我学会了如何自我挑战、欣赏美、使用更精准的语言和发展
有条理的思考方式。
我认为，通过持续的努力和热情，每个人都
可以体验到数学所带来的乐趣和收益。
浅淡对现代数学的理解摘要：数学作为一门基础学科，是各学科领域进行科学研究工作不可或缺的知识。
随着工程技术日新月异的发展，对数学的要求愈来愈高，现代数学的观点、方法已渗透到工程技术的各个领域，要求工程技术人员不仅具备经典的数学知识和处理问题的方法，还要求了解现代数学的内容和方法。
通过课程学习，大致了解现代数学基础的知识体系，发展历史。
本文在课程学习基础上总结了现代数学思想方法的发展过程、研究现状以及未来发展趋势。
关键词：现代数学；特点；趋势1 现代数学是的发展历史纵观数学的历史发展，可以清楚的划分为初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。
从古代到十七世纪初为初等数学阶段；从十七世纪初到十九世纪末为高等数学阶段；从十九世纪末开始，数学进入了现代数学阶段。
按照传统的、经典的说法，数学是研究“显示世界的数量关系和空间形式”的科学[1,2]，或者简单地说，是研究数和形的科学。
然而作为数学对象的数和形，在三个阶段里是很不相同的。
在初等数学阶段，“数”是常量，“形”是孤立的、简单的几何形体。
初等数学分别研究常量见的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域。
高等数学以笛卡尔(R. Descartes)建立解析几何（1637）为起点，17世纪89年代微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。
在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系。
这时数和形紧密的联系在起来，但大体上还是个成系统的。
由于发轫与微积分的方向数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域。
现代数学阶段以康托尔（G. Cantor）建立集合论（1874）为起点。
正如数学家陈省身所说：“康托尔的集合论，独创新意，高瞻远瞩，为数学立了基础。
”[3]29世纪以后，用公理化体系和结构观点来通观数学，成为现代数学的明显标志，现代数学阶段的研究对象是一般的集合、各种空间和流形。
它们都能用集合和映射的概念统一起来，已很难区分哪些是属于数的范畴，哪些属于形的范畴了。
二．现代数学思想现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的。
1. 高度的抽象和统一抽象性是数学这门科学的一个最基本、最显著的特点。
而现代数学更加充分、更加积极主动的发挥着这一特点。
现代数学的研究对象、研究内容和研究方法，都呈现出高度的抽象和统一。
所谓抽象和统一，就是把不同对象中共同的、本质的东西抽象出来，作为高一层次的对象加以研究，从而把原来许多不同的对象统一起来，求得共同的本质的规律。
一个最简单的例子就是各种算术应用问题可以用代数统一起来，掌握算术的最好的方法就是学会代数。
抽象和统一是一个完整概念的两个方面。
为了统一必须抽象，有了抽象就能统一，并且还扩大了范围。
集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。
把一般的集合作为现代数学的研究对象，这就能把数学的个不同领域统一起来，并极大地扩大了数学的范围。
例如流形是三位空间中的曲线、曲面和区域的抽象概括，流形不仅把它们统一起来，并且推广到高维空间中。
在以前的数学发展中，抽象化的进度是比较缓慢的。
只是在它对原来层次的研究已充分详尽地展开，客观上实有必要时才进入更高层次的研究。
现代数学的发展状况则完全不同，抽象化的进入大大加快了。
正如数学家L. Loomis所说：“现代数学的特点之一，就是当一种新的数学对象刚刚定义和讨论不多时，就立即考查全体这样对象的集合。
”[4]向高一层次作抽象正是研究原来层次对象的一个重要方法。
现代数学是高度的抽象和统一，这“高度”二字的含义是指他不断地和积极主动地想更高层次做抽象，数学家们自觉地、运用自如地发挥着抽象化的特点和威力。
以代数学科的发展为例：算术的发展有好几千年，进入以解一次、二次方程为主的小代数发展也近千年，19世纪初发展以方程论（包括高次方程和线性方程组）为中心的大代数；19世纪以来约百年之久发展了研究矩阵、置换群、数域等具体的代数结构的高等代数；20世纪20年代开始发展用统一观点、从公理出发研究各种代数系统（如群、环、域、模等）的抽象代数（也称近似代数）；20世纪40年代以后又出现了以一般代数系统为研究对象的泛代数。
这里从算术——小代数——大代数——高等代数——近世代数——泛代数每一个比一个层次更高、更抽象，抽象化的进度越来越快。
再如，从微积分建立以来，人们长期研究的都是一维、二维和三维欧氏空间的微积分，研究得很充分。
因为现实空间都是三维的，加上时间变量才有四维时空的概念。
后来多参数、多变量的问题需要研究更高维数，才有必要研究一般的n维欧氏空间，以后又由于物理问题的需要，在1900年前后提出了无限维空间，即Hilbert空间的研究；不久在1906年Frechet提出一般的距离空间，并在其中讨论极限、连续等；很快到了1914年Hausdoff又提出拓扑空间，并在其中讨论极限、连续等。
这里从低维欧氏空间——n维欧氏空间——Hilbert空间——距离空间——拓扑空间，也是一个比一个层次更高、更抽象，抽象化进度越来越快。
二高一层次的研究直接有助于低一层次研究的深入。
有了高度的抽象和统一，才能更深入地揭示本质的数学规律和得到更广泛的应用。
此外，人们为了能把一代代积累起来、并且迅速递增的数学知识，加以整理和流传下去，也必须努力把它们加以简化和统一。
中首先要求数学语言和符号的简化，用一些简单基本的词汇、符号，尽量包含更多的信息，刻画复杂的数学规律。
现在全世界研究基本形成了一套数学符号系统，它们简明、抽象、准确、有效，知识现代数学发展的必要条件之一。
现代数学的高度抽象和统一，更能显示数学的美。
以广义Stocks公式为例，写它只用九个字符：dV Vωω∂=⎰⎰，它却把微积分中的牛顿—莱布尼茨公式，格林公式，Stocks 公式和奥-高公式，这一系列基本公式都作为简单特例而统一起来了。
广义Stocks公式内容极为丰富，它适用于任何高维的空间和一般的流形，二它的形式又特别简单。
现代数学的简洁、统一、对称、和谐的美，在它的身上得到了充分的体现。
2. 注重公理化体系的建立和结构的分析希腊数学家欧几里德在其《几何原本》中首创的公理化方法为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。
所谓公理化方法，就是以尽可能少的原始概念和不加证明的公理作为基础，用逻辑推理来建立演绎的科学理论。
“几何原本”的公理化体系有不完善的地方，1899年Hilbert的“几何基础”出版。
Hilbert为几何建立了严密的公理化体系，并由此创导了现代公理化方法。
Hilbett 的现代公理化方法的重大贡献有两个，一个是原始概念本身应是不加定义的，Hilbert 明确指出欧几里得关于点、线、面的定义并不重要.“我们必定可以用桌子、椅子、啤酒瓶来代替点线面”[5]，这样就使公理化体系达到了更高的抽象、扩大了它的应用范围。
另一个是 Hilbert 明确提出了公理系统的三个基本要求，即相容性，独立性和完备性。
20世纪以来数学家们以Hilbert 的几何公理化系统为楷模，努力为各个数学分支建立公理化体系。
公理化方法，不仅能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，并能促进新数学理论的建立和发展。
一个突出的例子就是在欧氏几何的公理系统中，只要换一条平行公理，就导致肺欧几何的建立。
非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑[6]，而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理的不同，这就充分显示出公理化方法的威力。
形成于20世纪30年代的法国数学家团体——布尔巴基学派，以康托尔的几何论为出发点，系统地运用Hilbert 的公理化思想方法，提出用结构的观点统观数学。
他们用全局观点分析和比较了各个数学分支的公理体系结构，并按照结构的不同和内在联系对数学加以分类和重建，力图将整个数学大厦组建成一个渊源统一、脉络清晰、枝繁叶茂、井然有序的理论体系。
他们认为，“数学。
至少纯数学是研究抽象结构的理论。
”[7]这一观点对现代数学的发展有着深刻的影响。
早在16世纪，为解二次方程就引进了i =虚数。
直到19世纪，人们认识到复数i x y +可与平面上的点(,)x y 对应起来，两者间有相同的结构，从而复数的研究有了世纪意义而获得了飞速的发展和应用。
没有复数，就没有电学，就没有近代文明。
这个例子充分显示了吧一个陌生的对象纳入一个已知的结构之中，知识多么地重要，会产生多么巨大惊人的效益。
所谓“数学结构”是指遵从一些公理的几何和映射所组成的系统。
布尔巴基学派提出了数学中的三种基本结构，即序结构、代数结构金额拓扑结构。
以后数学家们认为测度结构也是一种基本结构。
对这些基本结构作各种交错复合，可派生出许许多多不同的数学结构。
例如，序结构中有偏序、全序等，代数结构中有群、域、线性空间等，拓扑结构中有距离空间、拓扑空间等。
而全序域、拓扑群、距离线性空间都是两个基本结构的复合，有序距离线性空间则是三种基本结构的复合。
“结构”也是数学家的工具。
[8]按照结构分析来划分和概括数学个分支的研究领域，不但使数学形成统一的整体，而且能清楚地看出各个不同分支的相互联系。
结构的观点有助于数学理论和解决数学问题；我们一旦认识到所研究的对象满足某种结构，就立刻可以运用那种结构领域内的概念和定理，从而可以节省四维劳动，布尔巴基学派在代数几何，代数拓扑、泛函分析、广义函数、李群等现代数学领域中做出了辉煌的贡献，这和他们掌握“结构”的思想，充分运用这个现代数学工具是分不开的。
数学是扎根于客观现实世界的，数学结构也必须是客观世界现实存在的结构的抽象概括。
上述四种基本结构的每一个都是实数系统的某个侧面的抽象。
序结构是从数的大小顺序抽象出来的，代数结构是从算术运算规律抽象出来，拓扑结构是距离、邻域概念的抽象，测度结构是长度、面积、体积概念的抽象，它使形式脱离空间，使关系脱离数量，把纯形式与纯关系都用“结构”一词概括，结构就成了数学研究的对象[9]。
数学世界是很庞大、多样的，由以上四种基本结构和由它们派生出来的各个数学结构，当然不能把现有一切数学分支都概括进去。
这有待于未概括进去的那些数学分支的发展成熟和建立公理化体系，还有待于从反映现实世界的数学模型中抽象出新的基本结构，布尔巴基学派自己就宣称“无论在数量方面，还是本质方面，结构都不是始终不变的…，数学的进一步发展将导致基本结构的数量的增长。
”[8]“数学的重点在发现那些有广泛应用的以及反映了世界的深层内涵的结构。
”[10]3. 注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域现代数学的一个显著特征就是其不同分支间的相互渗透和联系[11]。
其结果有的使原来的学科面貌完全改观，有的相互结合发展成新的数学分支。
