第21章平行六面体的性质及应用

高中数学立体几何教案
教学内容：平行六面体
教学目标：
1. 了解平行六面体的定义和性质。

2. 掌握平行六面体的体积和表面积的计算方法。

3. 能够运用平行六面体的性质解决相关问题。

教学重点、难点：
重点：平行六面体的定义和性质、体积和表面积计算方法。

难点：运用平行六面体的性质解决相关问题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过思考问题引入平行六面体的概念：什么是平行六面体？平行六面体有什么性质？平行六面体的体积和表面积如何计算？
二、讲解与示例（15分钟）
1. 讲解平行六面体的定义和性质，包括底面、侧面、顶面等概念。

2. 讲解平行六面体的体积计算公式：V = 底面积 × 高度。

3. 讲解平行六面体的表面积计算公式：S = 2 × 底面积 + 侧面积。

4. 举例说明如何计算平行六面体的体积和表面积。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 给学生出一些计算平行六面体的体积和表面积的练习题，让学生在课堂上完成并相互讨论。

2. 引导学生设计一些实际生活中的问题，让他们运用平行六面体的性质解决问题，并与同学分享解决方法。

四、总结与作业布置（5分钟）
总结平行六面体的性质、体积和表面积的计算方法，强化学生对知识点的掌握。

布置作业：完成课后练习题，巩固所学知识。

教学反思：
教师应根据学生的实际水平和反应情况，灵活调整教学方法，合理安排教学过程，保证教学效果。

同时，要充分激发学生的学习兴趣，引导他们主动参与课堂活动，提高他们的学习积极性。

空间向量平行六面体【摘要】空间向量平行六面体是一种具有特定结构和性质的几何体，其定义和特点使得其在数学和工程领域有着广泛的应用。

本文通过探讨空间向量平行六面体的性质、体积计算、表面积计算、角度关系和对角线长度关系等方面，深入了解了这一几何体的特性和规律。

空间向量平行六面体的重要性在于其能够帮助我们理解空间中的几何关系，其未来发展也将进一步拓展其应用领域。

空间向量平行六面体不仅在理论研究中有着重要意义，而且在实际生活和工作中也具有实际应用的价值。

【关键词】空间向量平行六面体、定义、特点、应用、性质、体积计算、表面积计算、角度关系、对角线长度关系、重要性、未来发展、意义1. 引言1.1 空间向量平行六面体的定义空间向量平行六面体是指由六个平行四边形所围成的立体图形，在三维空间中具有特定形状和性质的几何体。

这种立体图形是由三个不共面的非零向量所确定的，这三个向量分别为各个相邻面的对角向量。

空间向量平行六面体的定义可以简单理解为，它是由三个平行四边形和它们的两两对角线所构成的六个面所组成的。

在空间向量平行六面体中，每个相对的平行四边形都有相同的面积，且相邻平行四边形之间的夹角是直角。

空间向量平行六面体的相对面是平行的，且平行四边形的对角线也是相等的。

这些特点使得空间向量平行六面体具有一些独特的性质和规律。

空间向量平行六面体是一种具有特定形状和性质的几何体，它在立体几何中具有重要的地位和应用。

通过研究空间向量平行六面体的定义和性质，我们可以更好地理解三维空间中的几何关系，为解决实际问题提供更多的数学工具和方法。

1.2 空间向量平行六面体的特点1. 几何形状独特：空间向量平行六面体是由六个平行四边形构成的特殊几何体，其特殊的结构和形状在几何学中占据重要地位。

2. 对称性强：空间向量平行六面体具有很强的对称性，其任意两个对面平行四边形是完全相似的，这种对称性使得对这种几何体的研究更加方便和简单。

3. 面积关系明显：在空间向量平行六面体中，平行四边形的面积关系十分明显，对体积和表面积的计算有很大帮助。

立体几何中的平行四边形与平行六面体平行四边形和平行六面体是立体几何中两个重要的概念，它们在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将探讨这两个概念的定义、特性以及它们在几何学和实际生活中的应用。

1. 平行四边形的定义与特性平行四边形是指有四个边两两平行的四边形。

具体而言，对于一个四边形ABCD，如果AB∥CD且AD∥BC，则该四边形为平行四边形。

平行四边形具有以下特性：a) 相对边相等：平行四边形的对边长度相等，即AB = CD，AD = BC。

b) 相对角相等：平行四边形的对角线之间的夹角相等，即∠A =∠C，∠B = ∠D。

c) 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC。

2. 平行六面体的定义与特性平行六面体是指有六个相对面两两平行的立体。

具体而言，对于一个平行六面体ABCDEF，如果AB∥EF，AD∥CE，AF∥CD，则该立体为平行六面体。

平行六面体具有以下特性：a) 六个面都是平行四边形：每个面都是一个平行四边形。

b) 六个面两两平行：平行六面体的任意两个面都是平行的。

c) 对角线互相平分：平行六面体的对角线互相平分。

3. 平行四边形与平行六面体在几何学中的应用平行四边形和平行六面体在几何学中具有重要的应用，特别是在计算面积和体积方面。

a) 平行四边形的应用：- 计算面积：平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算，即S = 底边 ×高。

- 计算周长：平行四边形的周长可以通过底边长度和对边长度的和来计算，即P = 2 × (底边 + 对边)。

b) 平行六面体的应用：- 计算体积：平行六面体的体积可以通过底面积和高度的乘积来计算，即V = 底面积 ×高度。

- 计算表面积：平行六面体的表面积可以通过各个面的面积之和来计算，即S = 2 × (底面积 + 侧面积 + 顶面积)。

4. 平行四边形与平行六面体在实际生活中的应用平行四边形和平行六面体在实际生活中也有广泛的应用，例如：a) 建筑设计：平行四边形和平行六面体的概念可以帮助建筑师设计建筑物的平面和立体结构，确保结构的稳定性和美观度。

第二十一章平行六面体的性质及应用【基础知识】平行六面体是平行四边形的一个三维类比模型，平行四边形的一系列有趣性质可推证到平行六面体中去．平行四边形与三角形有着极为密切的关系，因而平行六面体与四面体也有着极为密切的关系，这些构成了平行六面体一系列既有趣又有重要应用的性质．性质1平行六面体的四条对角线相交于一点，且在这一点互相平分，并称该点为中心．推论称侧面对角线的交点为侧面中心，则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心，且在这一点互相平分．（见例5）性质2平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和．推论1平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有（体）对角线平方和的两倍．推论2平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共面的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一．推论3平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和．性质3平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍．性质4平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被这三角形截面分成三等分．性质5平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍．推论平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和．性质6设平行六面体的全面积为S ，四条对角线长为1AC l 、1A C l 、1BD l 、1BD l 、1B D l ，则111122222AC A C BD B DS l l l l +++≤． 性质7通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分．推论1以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的六分之一．推论2以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一．性质8平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积． 推论设共一顶点的三条棱长为a 、b 、c ，每两条棱的夹角为α、β、γ，则体积V 为V abc ==若记()12θαβγ=++，则2V =． 性质9()11113/22222124AC A C BD BDV l l l l +++≤；3/26S V ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．推论l 表面积一定的平行六面体中，以正方体之体积为最大．推论2在各个侧面面积为定值的平行六面体中，以长方体之体积为最大．性质11由平行六面体的各顶点，至不截此体的一平面所引诸垂线段之和，等于由其对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍．性质10在平行六面体1111ABCD A B C D -中，截面分别与AB 、AD 、1AA 、1AC 交于0B 、0C 、0A 、0D 各点，则11000AC AA AB AD AC AB AD AA =++． 下面介绍平行六面体与四面体的密切关系． 1．对应关系作四面体的外接平行六面体，且使四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线．此时，四面体与其外接平行六面体是一一对应的．特别地，一个正四面体对应着一个正方体，一个等腰四面体（三对对棱分别相等的四面体）对应着一个长方体，一个两对对棱分别相等的四面体对应着一个直平行六面体，一个对棱均互相垂直的四面体（直角四面体或正三棱锥四面体）对应着一个菱形六面体等等．当四面体的共一顶点的三棱成为平行六面体的共顶点的三棱时，一个四面体对应着四个外接平行六面体，特别地，一个正四面体对应着一个一顶点面角均为60︒的菱形六面体，一个等腰四面体对应着两个一顶点面角之和为180︒的平行六面体等等． 2．隐显关系从本世纪初开始，人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体，事实证明发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多，有些提法并不复杂的问题解答起来非常费劲，甚至未能解决．下面的例题将启示我们：四面体某些数量关系的发现及几何特征的显露，借助于其外接平行六面体的性质的运用是一种方便的重要途径．因此，可以说四面体的一些性质可以利其外接平行六面体来显现，平行六面体隐含了四面体的一些重要性质． 【典型例题与基本方法】例1在四面体ABCD 中，AB m =，CD n =，AD p =，BC q =，AC u =，BD u =．若AB 与CD 所成的角为θ，则()()2222cos 2p q u v mn+--=．证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-，使四面体的棱都成为平行六面体的侧面对角线．A'B'C 'D '图21-1DA C显然，AB 与CD 所成的角θ就是A B ''与CD 所成的角，于是 ()()2222221/21/24cos 112222m n B D m n B D mn m n θ'+-⎡⎤⎡⎤'+-⎣⎦⎣⎦==⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222242222A D B D B D A D B D mn mn'''''+--==()()22222222222222p q u v A D D D D D B D mn mn+--''''---==． 例2若四面体的六条棱长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，体积为V ，则有333333a b c d e f +++++≥(Weisenbock 不等式的一种三维推广)．证明如图211-，将四面体ABCD 补成平行六面体，则3ABCD V V =平行六面体．设平行六面体共顶点A 的三条棱长为l 、m 、n ，由前面的性质2的推论1，即有()2222222224a b c d e f l m n +++++=++．又由V l m n ⋅⋅平行六面体≤及幂平均值不等式，有113333332222223266a b c d e f a b c d e f ⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．于是()322224212ABCD l m nV ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦①()32222222112a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦()312233333331612a b c d e f ⎧⎫⎪⎪⎡⎤+++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤②)333333a b c d e f =+++++．故333333a b c d e f +++++≥．其中等号当且仅当①、②中满足l 、m 、n 互相垂直且l m n ==，即平行六面体为正方体，亦即a b c d e f =====时成立．类似上例，并运用前面的性质5的推论，可证明Weisenbock 不等式的另一种三维推广：若四面体各顶点A 、B 、C 、D 所对的面的面积分别为A S 、B S 、C S 、D S ，体积为V ，则33332A B C D S S S S +++ 例3空间四平面互相平行，相邻两面间距离都是h ．今有一正四面体，它的四个顶点分别在这四个面上．求正四面体的棱长．解设正四面体ABCD 的外接正方体为'AC BD A CB D '''-．又设过棱D D '及B C '中点F 的截面为3α，过棱C C '及A D '中点E 的截面为2α，过棱A A '，过棱B B '且与3α、2α平行的平面分别为1α、4α，这样这四个平面即为两相邻距离都相等的互相平行的四平面．又设过A B ''的中点O '与CE 垂直的直线为l ，l 与4α、3α、2α、1α的交点分别为B ''、D ''、C ''、A ''，如图21-2(b)，则4α、3α、2α、1α两相邻平面间距离为B D ''''、D C ''''、C A ''''．DEGO 'B"A"C "D "A'B'C 'D (b)(a)D图21-2CF当A C h ''''=时，可求得A E '=，从而A B ''=．这就是我们所要求的正四面体的棱长． 例4四面体ABCD 中，若AB CD ⊥，AC BD ⊥，则AD BC ⊥．（1957年天津市、1979年上海市中学竞赛题）证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-．由平行六面体每一侧面两对角线所夹的角（锐角）的余弦值等于这侧面两相邻棱的平方差的绝对值除以这两条侧面对角线长的乘积，即()22cos A D DB A B CD A B CD''-'=''⋅．由AB CD ⊥，则()cos cos()0AB CD A B CD ''==，从而A D DB ''=，即侧面A DB C ''为菱形，同理，由AC BD ⊥．有侧面A CC A ''为菱形，从而侧面A DD A ''也为菱形，故AD BC ⊥． 例5求证四面体的三双对棱中点连线必交于一点，且互相平分．证明如图213-，设E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是四面体ABCD 的六条棱的中点．作四面体的外接平行六面体1A C ，则E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是其六侧面对角线的交点．图21-3G N EH OCDBAC 1A 1D 1B 1MF在11AAC C 中，连EF ，则11EF AA CC ∥∥，且过六面体对角线1A C 的中点O ，同时被O 平分．因六面体的四条对角线共点O ，于是同理可证GH 、MN 过O ，且被O 平分．例6立方体八个顶点中有四个恰是正四面体的顶点．求出立方体的表面积与四面体的表面积之比．（1980年美国中学生竞赛AHSME 第16题） 解设立方体表面积为S ，四面体表面积为0S ，由平行六面体所有三角形截面（三角形的边由六面体侧面对角线组成）面积的平方和等于所有侧面面积的平方和，有2206/4264S S ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0/S S =【解题思维策略分析】1．善于将四面体问题转化为平行六面体问题例7若A 、B 、C 、D 表示空间四点，AB 表示A 、B 两点间的距离，AC 表示A 、C 两点间的距离，⋯．证明：222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．（第4届美国中学生竞赛题） 证明以空间四边形的边为侧面对角线构造平行六面体，由平行六面体所有侧面对角线的平方和等于所有棱的平方和的两倍及图213-，有222222222111444AC BD AD BC AB CD AD AA A B +++++=++()22242AD AB CD =++故222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．当A 、B 、C 、D 共面时，10AD =，上式取等号．此时，可看作是压扁了的四面体．例8在四面体ABCD 中，BDC ∠是直角，由D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足H 是ABC △的垂心，证明：()()22226AB BC CA AD BD CD ++++≤．（IMO 12-试题）证明如图214-，平行六面体1111AC BD B D AC -为四面体ABCD 的外接平行六面体．由题设，D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足是ABC △的垂心，知这个四面体的对棱互相垂直，又BDC ∠是直角，即知四面体ABCD 的三面角D ABC -是直三面角，故此平行六面体为长方体．CDBAC 1A 1D 1B 1图21-4H由()2222AD BD CD ++()()()222222AD BD BD CD CD AD =+++++222AB BC AC =++．故()()22222263AD BD CD AB BC AC ++=++222222AB BC CA AB BC BC CA AB CA +++⋅+⋅+⋅≥ ()2AB BC CA =++．例9若a 、b 、c 是四面体共顶点的三条棱的长，α、β、γ，是这三条棱组成的面角，ω是这三个面角和的一半，则四面体的体积为：13V abc =四面体证明如图21-4，设DA a =，DB b =，DC c =，BDC α∠=，ADC β∠=， ADB γ∠=．由平行六面体的体积公式()V abc S A =⋅平行六面体，其中()S A= 有16V V =四面体平行六面体1=3abc 2．善于构造平行六面体解答有关问题例10已知a 、b 、c +∈R ，且2221a b c ++=3a b c ++>．证明由2221a b c ++=3a b c ++>．参见图212- (a)，构作长方体AB '．设对角线1AB '=，AD a '=，AC b '=，AA c '=，则A B ''B C ''=，B D ''．在A AB ''△中，A A A B B A ''''+>，即1c >．同理，1b >1a >．以上三式相加，即证．例11锐角α．β、γ满足222sin sin sin 1αβγ++=，求证：π3π24αβγ<++<． 证明构造长方体D AC B DA CB ''''-，参见图212- (a)，使其长、宽、高分别为sin D A α'=，sin AC β'=，sin C C γ'=，则1AB D C ''===，D B A α''∠=，C B A β''∠=，C D C γ''∠=，且AB BA '>．sin sin sin D A D AD B A D BA B A BA α'''''∴=∠=<=∠'， sin sin sin AC AC C B A C BA B A BAβ'''''=∠=<=∠'．从而D BA α'<∠，C BA β'<∠． 1π2D BA C BA αβ''∴+<∠+∠=．同理，π2βγ+<，π2αγ+<，即3π4αβγ++<． 设B A '与D C '相交于O ，则知2D OA α'∠=，2AOC β'∠=，2C OC γ'∠=． 由于三面角的任意两个面角的和大于第三个面角，则 22D OA AOC D OC αβ'''+=∠+∠>∠． ()2πD OC C OC αβγ''∴++=∠+∠=．故π3π24αβγ<++<． 3．注意特殊平面体的性质的运用例12正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求正方体底面ABCD 内切圆周上的点与过顶点1A 、C 和1B 的圆周上的点之间的最小距离．（第19届全苏奥林匹克题）图21-5C1A B解如图215-，考察两个圆周分别在以正方体的对称中心为球心的两个同心球面上，即与正方体各棱都）上，这两个球面上的点之间的最小距离是它们的半径之差12d =．如果两圆周上各有一点恰好在球心O 发出的同一射线上，那么d 即为最小值．考察在以O 为位似比的变换下，小球面变为大球面，而小球面上的圆周的象集为大球面上的圆周．注意到ABCD 的内切圆1O 与线段BD 的交点E 和F 在该位似变换下的象在平面1AB C 的两侧（因11145O OF BB O ∠=︒>∠，故射线OF 不与平面1AB C 相交），因此，1O 的象集（圆周）将与过顶点A ，C 和1B 的圆周相交．设一交点为N ，而N 的原象为M，那么M ，N 之间的距离就是考察的两圆周上的点之间的距离的最小值，其值为12d =．【模拟实战】习题A1．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是面ABCD 的中心，1O 是面11ADD A 的中心．求异面直线1D O 与1BO 所成角的余弦值．2．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于口α，求α的值．3．能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面是否为正五边形？4．设一个平面截棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1C ，交1A D 1中点于E ，1A A 距A 较近的一个三等分点于F ，AB 于G ，BC于H ．求截面1C EFGH 的周长．5．已知一个平面截棱长为1的正方体所得截面是—个六边形．证明：此六边形周长≥． 6．正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于多少？7．已知111ABC A B C -是直三棱柱，90BAC ∠=︒，点1D ，1F 分别是11A B ，11B C 的中点．若1AB CA AA ==，求1BD 与1CF 所夹角的余弦值．8．已知ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且2GC =．求点B 到面EFG 的距离．9．在四面体SABC 中，已知SA BC a ==，SC AB b ==，SB AC c ==，求此四面体的体积． 10．在四面体1234A A A A 中，相应对棱中点的三条连线分别为1m ，2m ，3m ，顶点i A 所对侧面的重心为i G ，其四面体体积记为V ，则 （Ⅰ）1233m m m V ⋅⋅≥；（Ⅱ）421412716i j i i i j i A A AG =-∑∑≤≤≤≥（Ⅲ）421i i i AG =∑ 11．已知α，β，γ是锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=．求证：（Ⅰ）tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （Ⅱ）3ππ4αβγ<++<． 12．已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．习题B1．有一立方体，中心和边长为a b c <<的长方体的对称中心重合，诸界面与长方体各界面平行，求立方体的棱长，使得它与长方体的并的体积减去它与长方体的交的体积的差最小．（1979年捷克竞赛题） 2．证明：在棱长为a 的立方体内部可以作两个棱长为a 的正四面体，使得它们没有公共点．（1983年民主德国竞赛题）。

空间几何中的平行六面体与棱台平行六面体和棱台是空间几何中两种常见的立体图形，它们具有各自独特的性质和特点。

本文将从定义、性质以及应用等方面对平行六面体和棱台进行详细介绍。

一、平行六面体的定义和性质平行六面体是由六个平行的矩形面包围而成的立体图形。

它有8个顶点、12条棱和6个面，其中每个面都是矩形。

平行六面体的性质如下：1. 相对面积相等：平行六面体的相对面积相等，即对面的矩形面积相等。

2. 相对棱平行：平行六面体对面的棱是平行的。

3. 相对棱等长：平行六面体对面的棱长度相等。

4. 对角线平行：连接平行六面体相对顶点的对角线是平行的。

平行六面体广泛应用于建筑、工程和几何学等领域。

它的稳定性和结构特点使得它成为建筑和桥梁设计中的重要元素。

二、棱台的定义和性质棱台是由一个平面上的多边形（底面）和与底面的边平行的所有线段（侧棱）组成的立体图形。

棱台有两个底面，一个是上底面，另一个是下底面；侧棱连接两个底面的对应顶点，并且都平行于底面。

棱台的性质如下：1. 两底面全等：棱台的上底面和下底面是全等的多边形。

2. 侧面全平行：上底面和下底面的对应侧面都是平行的。

3. 高度垂直于底面：棱台的高度是从上底面到下底面的垂线段。

4. 体积计算：棱台的体积可以通过底面积乘以高度来计算。

棱台在几何学中有广泛的应用。

它常常用于研究房屋、塔楼等建筑的结构设计，也可以用来计算某些物体的体积和质量等。

三、平行六面体与棱台的关系平行六面体和棱台之间存在紧密的关系。

实际上，平行六面体可以看作是一个顶面为矩形、底面为平行四边形的棱台。

具体而言，如果将棱台的上底面和下底面换成矩形，且两底面对应边平行，则得到一个平行六面体。

而将平行六面体的其中两个相邻面扩展成平行四边形，则可以得到一个棱台。

这种对应关系使得平行六面体和棱台在某些计算中可以互相转化。

例如，若已知平行六面体的高度和底面积，可以通过转化为棱台来计算体积。

四、结语空间几何中的平行六面体和棱台是重要的几何概念，它们各自具有独特的特点。

第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A1．连1AD ，AC ，设E 为OA 的中点，则11O E D O ∥，于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角，且1112O E D O =．不妨设正方体棱长为1，则11BO D O ==，1O E =，BE =．在△1BO E 中15cos 6BO E =∠为所求． 2．问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置．由条件，设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，AC ，AD 与所给平面的夹角相同，可知所给平面与面BCD 平行．进一步，面BCD与此正方体的12条棱的夹角都相同，因而，只需求出棱AD 与面BCD 所成的角．为此，过A 作AH ⊥面BCD ，H 为在面BCD 上的射影，连DH ，就有ADH α=∠．注意到△BCD 为正三角形，可证H 为△BCD 的外心，重心．设正方体棱长为a ，则2sin 603DH CD =⋅⋅︒，而90AHD =︒∠，于是cos cos DH ADH AD α===∠，故α=． 3．可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形．设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点，使得112IB BB =，E 为11A D 的中点，F 为1A A 上的点，113AF A F =，则由△EAF ∽△11C B I ，知1EF C I ∥，从而1C ，E ，F ，I 共面．设此截面交AB 于G ，交BC于H ，连GH ，则截面1C EFGH 为凸五边形．用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形．若截面可以为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面，过相对的两个面的截线平行，而正五边形中没有平行的边．结论获证．4．由第3题，知截面交棱1BB 的延长线于I ，则112BI BB =，可证12AG AF GB BI ==，11113BH BI B C B I ==，于是23BG =，14BH =，从而可求得GH =1C H =，512FG =，EF =1C E =512+． 5．将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开，从正方形PQQ P ''出发，依次为PP Q Q ''，Q QRR ''，Q R S P ''''，R S SR ''，S SPP ''，PSRQ ．从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥，而AA '=6．作出正方体AS BC A SB C ''''-，则图中三棱锥S ABC -符合题设条件．连S C '''，则EF SS '∥，EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角，而45S SA '=︒∠，故异面直线EF 与SA 成45︒的角．7．将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -．分别取BP ，1CF 的中点E ，H ，连1EF ，CE ，EH ，则1BD EF ∥，故1EF H ∠为1BD 与1CF 所成的角．设正方体棱长为2，则11EF BD ==1F H =且1EH CF ⊥，故111cos F H EF H EF =∠为所求．8．以正方体ABCD 为底面，GC 为棱，补作长方体ABCD A B GD '''-．由BD ∥面EFG ，则B 到面EFG 的距离等于直线BD 到面EFG 的距离，即ABCD 的中心O 到面EFG 的距离． 过O 作OK GH ⊥于K （H 为EF 与AC 的交点），则OK ⊥面EFG ，线段OK 是点O 到面EFG 的距离．由题设有2GC =，CH =OH =GH ==OK OHGC GH=，故OH GC OK GH ⋅==． 9．作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为外接平行六面体的侧面对角线，由于四面体三对对棱相等，则此平行六面体为长方体．设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则由222222222x x z a y z b y x y c z ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪=⎪⎩而V xyz =长方体，13V V =四面体长方体，故V =四面体10．（Ⅰ）作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线．设长度分别为1m ，2m 的线段成α角，长度为i m 的线段所在直线与过相应对棱的两平行平面成i β角，则123V m m =⋅⋅ 33sin sin m αβ⋅⋅，故123333sin sin Vm m m V αβ⋅⋅=⋅≥．（Ⅱ）由四面体重心定义，知G 将1m ，2m ，3m 互相平分．设棱i j A A 的中点为ij B ，由三角形中线长公式，有()22222222211241132121424132111111()224484AG A B A B m A A A A A A A A m =+-=+---． 同理，2222222232131242111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 2222223343242312111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 2222224114313422111()()484A G A A A A A A A A m =+---． 于是 422222212233441211()2ii AG A A A A A A A A m ==+++-∑．同理，422222213344221311()2ii AG A A A A A A A A m ==+++-∑， 422222214422331111()2i i AGA A A A A A A A m ==+++-∑． 故 42221231143()i i j i i j G A A A m m m =<=-++∑∑≤≤，而222123m m m ++≥34ii iAG AG =，由此即证．（Ⅲ）由斯特瓦尔特定理，有22221112134234122339AG A A A B A B =+- 222222212141334232434121112111332249224A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=++--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()2222221213142324341139A A A A A A A A A A A A =++-++． 同理，()()222222222324213431411139A G A A A A A A A A A A A A =++-++， ()()2222222333431324142121139A G A A A A A A A A A A A A =++-++， ()()2222222444142431213231139A G A A A A A A A A A A A A =++-++．于是，2141414224399i i i j i j i ji j i j i j AG A A A A A A <<<=-=∑∑∑∑≤≤≤≤≤≤． 11．作长方体1111ABCD A B C D -，使1ABD α=∠，11B BD β=∠，1CBD γ=∠．令AB a =，BC b =，1B B c =．（Ⅰ）由1tan AD AB α=111tan B D B B β==，221tan D C a c BC bγ+==，有tan tan tan αβγ⋅⋅=． （Ⅱ）在三面角1B AD C -中，有π2ABC αγ+>=∠．同理ππ22αββγ+>+>，故3π4αβγ<++． 在三面角1O ACD -中，112πAOD COD AOC ++<∠∠∠，即2222παβγ++<，故παβγ++<．由此结论获证．注：若令1π2αα=-，1π2ββ=-，1π2γγ=-，则知1α，1β，1γ均为锐角，且222111sin sin sin 1αβγ++=，有111π3π24αβγ<++<． 12．设2cos a α=，2cos b β=，2cos c γ=，且α，β，γ为锐角．作长方体1111ABCD A B C D -，使1ABD α=∠，11B BD β=∠，1CBD γ=∠．令AB x =，BC y =，1B B z =，1BD l =，则cos x l α=，cos z l β=，cos ylγ=． 由α，β，γ均为锐角，则cos 0α>，cos 0β>，cos 0γ>，于是cos cos cos αβγ+=++=x y zl++==注：由上可知α，β，γ均为锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=，则有0cos cos cos αβγ<++习题B1．因x 表示立方体的棱长，则题中所说的体积差为 32233,0,(),0,()(),,,.abc x x a abc x a x ax x b f x x ab c x abx b x c x abc c x ⎧-<⎪+--<⎪=⎨+--<⎪⎪-<⎩当≤时当≤时当≤时当时注意到当0x >时，函数()f x 是连续的，且它的系数为 22223,0,34,0,()32,,3,x x a x ax x b f x x ab b x c x x c ⎧-<<⎪-<<⎪'=⎨-<<⎪⎪>⎩当时当时当时当时.因此，当0x a <<时，函数()f x 是递减的．当x b >时，则是逆增的，而在区间(,)a b 上，因为2234340x ax b ab -<-≤，所以如果43b a <，则()f x 是递减的；如果43ab >，则()f x 在43a x =处有极小值．于是，函数()f x 的最小值要么在x b =处取到（当43ab ≤时），要么在43a x =处取到（当43a b >时），从而所求的min x 为4,3a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．2．过给定的立方体12341234A A A A A A A A ''''-的中心O 作垂直于对角线13A A '的平面，它分别过棱14A A ''，22A A '，34A A 的中点1B ，2B ，3B ．又点1B ，2B ，3B 到顶点1A 与3A '的距离相等，都是，且123B O B O B O ==，122311B B B B B B ===>，所以正棱锥1123A B B B 及3123A B B B '13AO A O '==，而其底面123B B B '''△与△123B B B 关于中心O 是位似的．最后，所求的正四面体分别在1123A B B B '''与3123A B B B ''''1<，从而其棱长即为a ．。