4.5.1
相似三角形性质及其应用
课型：新授课
备课人：
教材分析：
《相似三角形的性质及其应用》在初中几何中《相似三角形》的这章重点内容之一。而
且这是学生学完相似三角形定义及其判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性， 以完成
对相似三角形的全面研究。相似三角形的性质也是全等三角形性质的拓展，
也是研究相似多
边形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还 是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。 教学目标
1、 掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、 会运用上述两个性质解决简单的几何问题。
3、 了解三角形重心和的概念和重心分每一条中线成 1:2的两条线段的性质。
4、 思想方法：类比思想和转化思想
重点：相似三角形性质的基本性质 ：对应角相等，对应边成比例的应用。 难点：例2证明需要添加辅助线，是本节教学难点。 学情分析：
学生已经学习过相似三角形的定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三
角形；已经掌握相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；还掌握 了判定相似三角形的方法：
1、预备定理；
2、两个角对应相等的两个三角形相似；
3、两边
对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 4、三边对应成比例的两个三角形相似。相似
三角形的性质应用非常广泛， 学生也经历过很多用到相似三角形性质的应用，且判定方法也
掌握比较熟练。 教学过程： 一、复习导入
如图，△ A ' 1
又??? A ' D'为/B'
A ' C '的角平分线，??? /B' A ' D' =— /
B ' A ' C'
2
1
??? AD 为 ZBAC 的角平分线，?
/BAD* ZBAC ?/B ' A' D =/BAD
2
? △ A ' B ' D' ◎△ ABD(ASA),： A' D' =AD
教师：我们发现什么结论呢？
学生：全等三角形的对应角的角平分线相等。
(说明：本节课的导入以全等三角形的角度切入，学生在八年级已经将全等三角形的定义， 性质及其判定方法熟练掌握，
而相似三角形为全等三角形的拓展，
在知识的构架基础上思维
连贯，为后面相似三角形的性质及其应用做好铺垫。 )
二、探索新知
教师：现在老师将全等三角形的
条件弱化，将全等三角形变成相似三角形，则对应角的角平
/B ' A C =/BAC,A' B ' =AB
B' C'也厶ABC A D'、AD 分别是对应角平分线，问 A D'、AD 的数量 = /B , 关系？
C
学生 2：v^ A ' B' C's △ ABC ?- /B' =/B , ZB ' A ' C' =/BAC, （复习相似三角形性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例
----
1
又??? A D'为/B '
A C 的角平分线，??? Z
B ' A D 二一/B'
A C '
2
?
△ A B ' D's △ ABD,：
k
AD AB
（复习相似三角形判定方法 1：有两个角相等的三角形相似 。） 教师：这位同学相似三角形的性质和判定方法掌握不错，思维清晰。
（教师及时评价学生，肯定学生。）
教师：通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应角的角平分线有何结论？ 学生：两个相似三角形的角对应角的角平分线之比等于相似比。
（说明：相似三角形的性质应用非常广泛， 本题为相似三角形对应角相等和对应边成比例这 两个基本性质的应用有新的用意， 本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应角平分 线与对应边成比例。） 三、合作学习，应用新知
教师：如果老师将例1的对应角的角平分线改成： 变式一：对应边上的高线，结论会是什么? 变式二：对应边上的中线，结论又会是什么？
（以六人为一小组， 进行合作学习，时间五分钟，在讨论过程中，个别有困难的小组予以思路 点拨，后让学生进行展示。）
教师：（予以点评），通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应边上的高线有何结论? 学生：两个相似三角形的角对应边上的高线之比等于相似比。
分线还会相等吗? 学生 教师 学生 不相等。
那么它们有什么数量关系?
成比例。 （同时教师切入第二张 PPT )
A'B' 的比。
如图,
△ A ' B ' C 's^ ABC ，相似比
_ J k
AB
■ k ，求则对应角平分线 A ' D '与AD
教师： 少？又是怎样得到。请同学们思考。
（B 考1分钟D 后请同学回答同时写解题过程板书。 思
A'B'
概念板书）
1
T AD 为 ZBAC 的 角平分线，? /BADd ZBAC ?/B' A ' D' =/BAD 2
A'D ' A'B'
A '
'CC 与厶ABC 的相似比为
如果△ A
D '与AD 的比为多
A ' k,
D
A ' D '与
（本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应边上的高线与对应边成比例。）
A
C'
变式二： 如图，△ A ' B ' C 's^ ABC ,相似比舘二k
，求则对应边上的中线 A ' D '与
AD 的比。
A 'D ' A'R '
小组4上台展示：讲解解题思路，得出结论：
= A-R -= k AD AR
教师：（予以点评），通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应边上的中线有何结论? 学生：两个相似三角形的角对应边上的高中线之比等于相似比。
（本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应边上的中线与对应边成比例。）
A E
四、应用相似，新知再探 ?卩''■■
教师：在右图△ ARC 中添加第二条中线 BE ,交AD..于点P （得到例2的条件），问DP 与AP 的 比值为多少？
PE 与RP 的比值为多歩-？（提问后切入例—2,PPT,并给学生1分钟思考的时间， 期间观察学生的表情，判断学生
的思考结果，若难度较大，引导学生提点学生，例如
AD 和
BE ARC 的中线，即可得到两个中点，你能联想到什么知识点？你会构造什么？）
一分钟后；
请学生5板演，并讲解。 学生5:连接DE,
??? AD,REARC 的两条中线， 1 e ??? DE// AR,DE=—AR.
2
? ZPED= Z ARP,ZEDP= /RAP ???△ PED
PRA
教师点评
（本题的由来，承上题中的右图由原三角形中的一条中线再增加一条中线得出例
2的条件,
自认为过度比较自然，而且安排本题的目的是引出三角形重心的概念一级重心的常用性质， 本题又有起下的作用。且本题的难点在于需要添加辅助线，让学生思考如何添加，有根据哪 些条件推出。添加的辅助线又是△ ARC 的中位线，利用他的性质又可以推出三角形相似，
本质还是先判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质而得出。）
F,我们知道三角形的中线是相交于同一个点的， 所
为多少？
FP 1
学生：
匚匚=丄
CP 2 R
C
教师：我们发现三角形三条中线的交点将中线分成了
1:2两部分，这个交点是如此的特殊它
有个名字叫做重心，那么大家能归纳出重心的定义吗？ 学生：三角形三条中线的交点叫做重心。（ 教师黑板书写三角形重心定义。 ）
动手实验，让学生动手实验，了解平衡鸟
能保持平衡鸟的原理，进一步理解重心的意 义，以及作用，教师讲解重心物理教师讲解
教师：在右图△ ARC 中添加第三条中线 以第三条中线经过点 P,则FP A
C
数学上的重心与物理上的重心的概念的区别, 以及何时数学和物理上重心统一。再引导学生回到三角形重心的应用。
学而用之改变条件，举一反三如图，在△ ABC中，点E、D分别是AC、BC的中点,
BE、CF相交于点F, EF=1,BE的长为 _______________
变式一：EF=1,BE的长为_____________
（本题为重心的应用，学生可以根据中点中线判
定出点F ABC的重心，根据比值可以求出
BE的长。）
变式二：EG // BC,交AD于点G,求AG与GF的比.
（本题在第一小题的基础上添加EG // BC ,难度增大，
通过增加条件让学生了解题目生成过程。本题仍然为重心的应用，根
据重心的性质可以判断出FG与AF比
值1:2, EF与BF的比值为1:2，再根据EG / BC，判断出△
BAF FGE,得出FG与AF的比值为1:2，所以
得出AG与FG的比值为3:1.本题是相似三角形与重心性质的应用，
比较综合，在学生讲解时可以进行适当的提醒以及帮助.）变式三：
若/ BAC=9? ,AB=AC= 2 ,求重心到斜边的距离。
（本题在第一小题的基础上添加AB=AC / BAC=90?,
将厶ABC改变为等腰直角三角形，求重心到斜边的距离，即求点F
到BC边的距离即求DF的长，本题不仅涉及重心的性质还涉及等腰三角形的性质，应让学生进行充分思考。教师必要时给予提醒.）
教师：我们发现一个图形, 的结论。
五、知识回顾，课堂小结
教师：今天我们在研究相似三角形的应用及其性质，发现有些结论有些相
似，不妨我们一起来比较一下?
B D C
A
E
G
E
A
A.三条中线的交点 B
.三条角平分线的交点
质再继续探究。)
教师：再让我们来回顾相三角形的性质是? 学生：相似三角形对应角相等，相似三角形对应边 教师：我们还学习重心，那么它的概念是什么？ 学生：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 教师：重心的性质又是什么？ 学生：三角形的重心分每一条中线成
1:2的两条线段。
教师：大家今天的表现非常积极，让黄老师刮目相看，希望大家在今后的学习和生活中找到 自己的重心，把握好自己的人生方向，明天会更更美好。
六、作业布置：完成本课的分层作业。
分层作业详列:
A 组
A.对应边的比是1 : 2 B .对应角的比是 1 : 2 C .对应中线的比是 1 : 2
3.三角形的重心是三角形的
(
小结：全等 三角形的周 长相等，面 积相等，那 么相似三角 形的周长, 面积又有什 么关系呢？ 这是我们下 节课要一起 来探究的。
(启发学生 再利用相似
三角形的性
对应角 相等 相等
对应边 相等 成比例
对应角的角平分线 相等 比值等于相似比
对应边上的高 相等 比值等于相似比
对应边上的中线
相等
比值等于相似比
1 ?如果两个相似三角形的相似比是 1 : 2，那么它们的对应中线比是
(
A. 1 : 2
B . 1 : 4
C . 1 : 3
D. 2 : 1
2.已知两个相似三角形的相似比是
1 : 2，则下列判断中，错误的是
(
C.三边垂直平分线的交点
D .三条高所在直线的交点
5、已知三角形ABC的边BC=8，高AD=16，矩形PQMN的四个顶点在三角形的边上，设QM为x,矩形PQMN的面积为S,求:
(1)S关于的函数关系式及自变量的取值范围
(2)当自变量取何值时，矩形面积最大？最大为多少
？
七、板书设计
八、课后反思
本课的教学一气呵成，比较顺利。再在论证的过程中又发现实际对应边上的高线, 中线，对应角的角平分线也会等于相似比。在一个三角形一条中线的基础上再添加一条中线，得出重心的定义，并且得到三角形重心的性质。在重心的练习设计上改变条件，培养学生拓展衍生的数学思维，而且学生对于问题的提出的生成形成过程有一定的了解。这个是课堂中延伸出来的推论。在课后又有拓展，发现规律，比较顺畅！