奥数解题方法之分析法

[全]小学奥数18个解题方法解析（含例题）解题方法1--分类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。

例1：可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。

一共有线段4+3+2+1=10（条）。

还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。

（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。

例2：有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。

如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。

设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。

1、11 ；一种2、11 ；2、10；二种3、11；3、10；3、9 ；三种4、11；4、10；4、9；4、8 ；四种5、11；5、10；5、9；5、8；5、7 ；五种6、11；6、10；6、9；6、8；6、7；6、6；六种7、11；7、10；7、9；7、8；7、7；五种8、11；8、10；8、9；8、8；四种9、11；9、10；9、9；三种10、11；10、10；二种11、11；一种总计：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。

第八讲用分析法和综合法解决问题一、知识概述分析法就是从问题入手，根据数量关系，找出解决问题所需要的条件。

综合法是由已知条件出发转向问题的分析方法。

它们是两种相反的思维方式，我们解决问题时可以将两种方法综合利用。

二、例题讲解例1、甲乙两个工程队共同修建一条800的公路，需要10天完成。

甲队每天修50米，乙队每天修多少米？思路点拔：利用分析法分析。

列式800÷10﹣50=30（米）利用综合法分析列式800÷10﹣50=30（米）练习：1、食堂买进一批大米，每天吃150斤，吃了5天后还剩下100斤，问原来买进大米多少斤？2、师徒二人加工一批零件，师父每小时加工60个，徒弟每小时少加工15个，3小时后完成了这批零件，问这批零件有多少个？例2、师徒两人合做600个零件，师父每小时做80个，徒弟每小时做60个，两人加工2小时后，还剩下多少个没有做？思路点拔：用综合法分析这道题：600-（80+60）×2=320（个）利用分析法分析600-（80+60）×2=320（个）练习：3、甲乙两车从相距1000千米的两地相向而行，甲每小时行驶120千米，乙每小时行驶100千米，经过3小时后，两车还相距多少千米？4、 妈妈带了300元去买衣服，上衣花了150元，裤子花了120元，妈妈还剩下多少钱？例3、 修路队要修一条长2000米的路，已经修了5天，每天修200米，剩下的如果每天修250米，还需要几天修完？思路点拔：利用综合法分析﹙2000-200×5﹚÷250 =1000÷250=4(天)利用分析法分析（2000-200×5）÷250=1000÷250=4（天）练习：5、妈妈带了100元去买水果，她先买了8斤苹果，苹果每斤7元，后来她有买了梨，梨每斤4元，妈妈还可以买几斤梨？6、师徒二人加工1020个零件，师徒二人一起加工3小时，师父每小时加工100个，徒弟每小时加工80个，剩下的由徒弟独自完成，徒弟还需要多长时间才能完成？例4、甲车间有25个人，平均每人每天生产20个零件，乙车间有30人，平均每人每天生产18个零件，如果装一台机器需要20个零件，那么甲乙两车间的个人每天生产的零件可以装几台机器？思路点拔：利用综合法分析问题（25×20+30×18）÷20 =（500+540）÷20=1040÷20=52（台）利用分析法分析（25×20＋30×18）÷20=（500+540）÷20=1040÷20=52（台）练习：7、一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套，提高工作效率后，还要多少天才能完成任务？8、妈妈去买水果，她买了3千克的苹果，每千克8元，又买了6千克的梨，每千克6元。

线段图解题主要容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。

重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。

意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。

相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。

一、线段图解题方法和技巧：什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。

1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；4、画多条线段时，一般先画最小的量。

5、虚实结合。

“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；二、常见的可以用线段图来表示的数量关系1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。

当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。

例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。

例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个乙的2个7个文具小明少几分？小强的得分：小明的得分：3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。

可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。

例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？甲的年龄：乙的年龄：注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。

数学奥赛中数论问题的解题方法1 引言在历年的国内外数学奥林匹克中，几乎每年都离不开数论问题。

分析历年奥林匹克数学竞赛试题易知，奥林匹克数学中的数论问题主要有：（1）整除性问题；（2）数性的判断；（3）余数问题；（4）整数的分解与分析；（5）不定方程问题；（6）与高斯函数[x]有关的问题。

本文对奥林匹克数学中的数论问题的常用解题方法做进一步的分析总结。

2 常用的部分解题方法2．1 奇偶分析法奇偶数的性质：（1）两个奇数的和与差为偶数，而积为奇数；（2）两个偶数的和、差、积为偶数；奇数与偶数的和、差为奇数，而积为偶数；（3）如果为整数，为奇数，则的奇偶性与相反；如果为整数，为偶数，则的奇偶性与相同。

例设n是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得n- 是k的正整数倍，则称n为一个“千禧数”。

试确定1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数，并说明理由。

解设是“千禧数”，则存在正整数，使得，即；显然与的奇偶性不同，且 ,,所以有大于1的奇因子,从而有大于1的奇因子。

反过来,若有大于1的奇因子,则可设 ,其中 , 的奇偶性不同,且 ,则且，其中为正整数。

综上,只有当有大于1的奇因子时,是“千禧数”而在1,2,3,…2000中，只有1，，…，不是“千禧数”，故有“千禧数”2000-11=1989个。

评析：奇偶分析法是从未知数，系数的奇偶性入手讨论未知数的可能取值情况，以达到缩小考察范围，得出相应的结果。

在解决与正整数有关的问题（如数性有关的问题）能灵活运用奇偶分析的方法，往往有“四两拔千斤”的效果。

2．2 分类讨论依据数学研究对象的本质属性的相同点和差异点，将数学对象进行分类，然后对划分的每类分别进行研究和求解的方法，叫分类讨论的方法。

分类讨论必须遵循的原则：（1）分类讨论的对象必须是确定的；（2）每次分类的标准必须是同一的；（3）分类必须不重复，不遗漏；（4）连续多次分类，按层次逐级进行，不得越级。

例解方程解将方程变形为 ,由不等式 ,可得由此又可以得到 (1)因为当时,所以此时方程无解(因方程的解必须满足(1))又因为当时,所以此时方程也无解。