函数极限的定义与基本性质

函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。

如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。

2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。

3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。

即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。

二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。

即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。

2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。

即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。

3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。

即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。

4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。

即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。

三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。

函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。

换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。

这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。

2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。

左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。

当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。

3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。

具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。

类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。

4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。

比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。

因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。

二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。

第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在 点 处没有定义，但当 不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数 在点 的某个去心邻域 内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数 ，就说当时函数的极限为 ，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义 （ 语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 只要当 满足 时 ，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如 设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。

函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。

在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。

如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。

这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。

根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。

2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。

3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。

函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。

二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。

例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。

2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。

例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。

3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。

夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。