2023年大连市高三双基测试数学注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷━．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}5 B.{}3,5 C.{}1,3,5 D.{}2,4【答案】C 【解析】【分析】逐一验证集合{}1,2,3,4,5A =中的元素是否也属于集合12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5A =，12x B xZ ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭可得1x =时，11012Z B -=∈⇒∈；2x =时，211222Z B -=∉⇒∉；3x =时，31132Z B -=∈⇒∈；4x =时，413422Z B -=∉⇒∉；5x =时，51252Z B -=∈⇒∈；综上，集合,A B 的公共元素为1,3,5，所以A B = {}1,3,5，故选：C.2.i 是虚数单位，若复数543i z =+，则z 的共轭复数z =（）A.43i 55+ B.43i 55- C.43i 55-+ D.43i 55--【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算可化简得到z ，由共轭复数定义可得结果.【详解】()()()543i 543i 43i 43i 43i 43i 555z --====-++- ，43i 55z ∴=+.故选：A.3.已知命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+<，则p ⌝是（）A.0x ∃∈R ，20010x x -+≥ B.0x ∀∈R ，20010x x -+<C.x ∀∈R ，210x x -+≥ D.x ∀∈R ，210x x -+>【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定可知p 为：x ∀∈R ，20010x x -+≥.故选：C.4.开普勒（Johannes Kepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（）A.0.66aB.0.70aC.0.76aD.0.96a【答案】C 【解析】【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，根据题意可得1123a a =，进而结合332.512 2.1>>，即可得出结果.【详解】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，由开普勒定律得3312212a a t t =.因为1223t t =，所以33149a a =，即13a a =.因为函数3y x =在(),-∞+∞上单调递增，且12592611281000>>，且3312592612.5, 2.181000==，所以332.512 2.1>>，因此112 2.50.700.933a a a a <=<<，故选：C.5.若二项式()6210ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A.10B.15C.25D.30【答案】B 【解析】【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解1a =，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.【详解】令1x =，则所有的项的系数和为()6164a +=，由于0a >，所以1a =，621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6263166C C r r r r rr T x x x ---+==，故当630r -=时，即2r =，此时展开式中的常数项为26C 15=,故选：B6.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得21cos 2cos sin 2ααα-=-，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.【详解】由2π1cos cos 222αα⎛⎫++=-⎪⎝⎭得22221cos 2cos sin 1cos 2cos sin 2cos sin 2αααααααα--=-⇒=-+，进而得212tan 11tan 2αα-=-+，化简得：2tan 4tan 30αα-+=，所以tan 3α=或tan 1α=，由于ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 1α>，故tan 3α=，故选：C7.已知()4324ln 32ea -=，1e b =，c =，则（）A.a c b<< B.c<a<b C.a b c<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，其中0x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出()4ln 32e a f -=、()e b f =、()2c f =，比较4ln 32e -、2、e 的大小关系，结合函数()f x 在(]0,e 上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞.因为()()4ln3244ln32324ln 324ln 32e e e a f ----==，()e e 1b f ==，()e log 4ln 42ln 2ln 224442c f ======，因为24ln 3242e e e 12648-⎛⎫==< ⎪⎝⎭，则4ln 32e 2e -<<，则()()()4ln 32e 2ef f f -<<，故a c b <<.故选：A.8.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A.21-B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.将函数()()cos 2πf x x =-图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C.()g x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()g x 的图象与函数πsin 26⎛⎫=-- ⎪⎝⎭y x 的图象重合【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可得()πcos 23g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；根据余弦型函数最小正周期可知A 错误；利用代入检验法可知B 错误；根据余弦型函数单调区间的求法可知C 正确；利用诱导公式化简()g x 解析式可得()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知D 错误.【详解】由题意知：()πππcos 2πcos 2633g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，()g x 的最小正周期2ππ2T ==，A 正确；对于B ，当7π12x =时，π7ππ3π23632x +=+=，此时()3πcos02g x =-=，7π,012⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心，B 正确；对于C ，令()ππ2π22π3k x k k -+≤+≤∈Z ，解得：()2ππππ36k x k k -+≤≤-+∈Z ，即()π5πππ36k x k k +≤≤+∈Z ，()g x ∴的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，C正确；对于D ，()π2ππππcos 2πcos 2cos 2sin 233266g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴与πsin 26⎛⎫=--⎪⎝⎭y x 图象不重合，D 错误.故选：ABC.10.下列结论正确的有（）A.若随机变量()2~1,N ξσ，()40.77P ξ≤=，则()20.23P ξ≤-=B.若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3119D X -=C.已知回归直线方程为10.8y bx=+ ，且4x =，50y =，则9.8b = D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC 【解析】【分析】根据正态分布对称性知A 正确，计算()()32920D X D X +==，B 错误，将()x y代入回归直线，计算得到C 正确，讨论三种情况得到可能数据的和为12，D 错误，得到答案.【详解】对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确；对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b= ，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确.故选AC.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，11,CC BB 的中点，则（）A .直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点1A 与点D 到平面AEF 的距离相等【答案】BCD 【解析】【分析】根据棱柱的结构特征，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法即可判断A ，根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，如图所示：E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则()0,0,0D ，()10,0,1D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于A,()10,0,1DD = ，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1102DD AF ⋅=≠ ，故A 错误；对于B ：连接1AD ,1D F ，1//AD EF ，A ∴,1D ,E ,F 四点共面，由于11//A D GF ,11=A D GF ,所以四边形11A D FG 为平行四边形，故11//AG D F ，又1AG ⊂/平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ，1//A G ∴平面AEF ，故B 正确，对于C ，连接1AD ，1FD ，1//AD EF ，∴四边形1AD FE 为平面AEF截正方体所得的截面，1AD ==2EF =，12D F AE ===，∴四边形1AD FE324=，则四边形1AD FE的面积为192248⎫⨯+⨯=⎪⎪⎭，故C 正确；对于D,连接1A D 交1AD 于点O ，故O 是1A D 的中点，且O 是线段1A D 与平面1AD FE 的交点，因此点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等，故D 正确．故选：BCD ．12.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，直线AB的斜率为k ，且0k >，C ，A 两点在x 轴上方，则（）A.3OC OD ⋅=-B.四边形ABCD 面积最小值为64C.1114AB CD += D.若16AF BF ⋅=，则直线CD 的斜率为【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长||AB ，同理可得||CD 的值，由均值不等式可得四边形的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【详解】由抛物线的方程可得焦点(1F ，0)，由题意可得直线AB ，CD 的斜率存在且不为0，设直线CD 的方程为：1(0)x my m =+<，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y my --=，显然0∆>，124y y m +=，124y y =-，21212()242x x m y y m +=++=+，21212()116y y x x ==，所以12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=-，所以A 正确；由于21244CD x x p m =++=+,1AB CDk k =-,所以将CD 中的m 换成1m -代入CD 中得2144AB m=+,()()22222411114182823222ACBDm S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形，当且仅当1m =-时等号成立，所以四边形的最小面积为32，所以B 不正确；设3(A x ,3)y ，4(B x ,4)y ，若||||16AF BF ⋅=，即343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=，整理可得4343()116x x x x +++=，即21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得213m =，即33m =±，而直线CD 的斜率10k m =<，所以直线CD的斜率为D 正确；可得弦长()2||41CD m =+,21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++，所以C 正确；故选：ACD第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.设向量()(),2,2,1a m b == ，且222||a b a b +=+ ,则m =_________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.【详解】由()(),2,2,1a m b == 得()2,3a b m +=+ ，根据222||a b a b +=+ 得()2222925m m ++=++，解得1m =-，故答案为：1-14.若直线3y ax =-为函数()1ln f x x x=-图像的一条切线，则a 的值是________．【答案】2【解析】【分析】根据切点求解函数()f x 的切线方程，列方程组得02000112,ln 13a x x x x +=--=-，进而可求解0x ，即可得a .【详解】设()1ln f x x x =-的切点为00(,)x y ，其中0001ln y x x =-，由()211f x x x'=+得切线的斜率为()020011k f x x x '==+，所以切线方程为：()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，直线3y ax =-是()f x 的切线，所以2000112ln 13a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，记()2ln 2,g x x x =-+则()2120g x x x'=+>，所以()g x 在定义域内单调递增，而()10g =，所以方程2ln 20x x-+=的根为1x =，因此01x =，进而得200112a x x =+=，故答案为：215.已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y 轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到,a c 的关系，即可求解离心率.【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==，()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y S S S S F F y F F PF F P =++⇒⋅=++ ，()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒=，故答案为：1216.已知菱形ABCD 边长为6，2π3ADC ∠=，E 为对角线AC 上一点，3AE =ABD △沿BD 翻折到A BD ' 的位置，E 移动到E '且二面角A BD A '--的大小为π3，则三棱锥A BCD -'的外接球的半径为______；过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为__________．【答案】①.21②.9π【解析】【分析】设AC BD O = ，证明出BD ⊥平面A CO ¢，分析可知π3AOA '∠=，以点O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ，根据题意可得出关于x 、y 、z 的方程组，可求得球心M 的坐标，即可求出球M 的半径长，求出ME '，可求得截面圆半径的最小值，再利用圆的面积公式可求得截面圆面积的最小值.【详解】设AC BD O = ，翻折前，在菱形ABCD 中，则AC BD ⊥，即AO BD ⊥，CO BD ⊥，翻折后，则有A O BD '⊥，所以，二面角A BD A '--的平面角为π3AOA '∠=，在菱形ABCD 中，2π3ADC ∠=，则π3BAD ∠=，又因为6AB AD ==，所以，ABD △是边长为6的等边三角形，同理可知，BCD △是边长为6的等边三角形，因为A O BD '⊥，CO BD ⊥，A O CO O '⋂=，A O '、CO ⊂平面A CO ¢，BD ∴⊥平面A CO ¢，以点O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()0,3,0B、()C 、()0,3,0D -、339,0,22A ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭、()E '，设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ，由MB MDMB MC MB MA ⎧='⎪=⎨⎪=⎩可得()()()(()222222222222222222333339322x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎪+-+=+++⎪⎪⎪+-+=-++⎨⎪⎪⎛⎛⎫+-+=+++-⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩，解得03x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，三棱锥A BCD -'的球心为)M，球M的半径为MB =.ME '=，设球心M 到截面α的距离为d ，平面α截球M 的截面圆的半径为r，则d ME '≤=，3r ∴=≥=，过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为2π39π⨯=.；9π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明x 证明过程或演算步骤）17.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①248S S S 、、成等比数列，②251072a a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件①②分别列出关于首项1a 与公差d 的方程，解出d 的值，即可计算出数列{}n a 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{}n b 的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n 项和n T ．【小问1详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，方案一：选择条件①41121816,43442822,8S a d a S a d d d S a +=+==+⨯=+，根据248S S S 、、成等比数列得2428S S S =,代入得()()()1121462828a d d a a d +=++，又11a =，化简整理，可得220d d -=，由于0d >，所以2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n ∈N ．方案二：选择条件②由251072a a a -=，可得()()211149(6)2a d a d a d ++-+=，又11a =，解得2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n ∈N 【小问2详解】由（1）可得111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭21nn =+．18.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-．（1）求B 的值；（2）若ABC，2b =，求ABC 周长．【答案】（1）π3B =（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得ac 的值，再利用余弦定理可求得a c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：由()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，所以，222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a c b B ac +-==，()0,πB ∈ ，因此，π3B =.【小问2详解】解：因为1sin 24ABC S ac B ac === ，4ac ∴=，由余弦定理可得()()22222222cos 3124b a c ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-=+-=，4a c ∴+=，因此，ABC 的周长为6a b c ++=.19.如图多面体ABCDEF ，正方形ABCD 的边长为4，AF ⊥平面ABCD ，2AF =，//AF DE ，DE AF <．（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若二面角B CF E --的大小为α，且310cos 10α=，求DE 长．【答案】（1）证明见解析（2）1DE =【解析】【分析】（1）利用线面平行和面面平行的判定可证得平面//CDE 平面ABF ，由面面平行的性质可证得结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()02DE t t =<<，利用二面角的向量求法可构造方程求得t 的值，即为DE 的长.【小问1详解】//AF DE ，//AB CD ，DE ⊄平面ABF ，CD ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，//DE ∴平面ABF ，//CD 平面ABF ，CD DE D = ，,CD DE ⊂平面CDE ，∴平面//CDE 平面ABF ，CE ⊂ 平面CDE ，//CE ∴平面ABF .【小问2详解】以A 为坐标原点，,,AB AD AF正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设()02DE t t =<<，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()0,0,2F ，()0,4,E t ，()0,4,0BC ∴= ，()4,4,2CF =-- ，()4,0,CE t =-，设平面BCF 的法向量(),,n x y z =，则404420BC n y CF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令1x =，解得：0y =，2z =，()1,0,2n ∴= ；设平面CEF 的法向量(),,m a b c =，则442040CF m a b c CE m a tc ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4c =，解得：a t =，2b t =-，(),2,4m t t ∴=- ；cos cos ,10m n m n m n α⋅∴=<>==⋅ ，解得：1t =或134t =（舍），1DE =∴.20.某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有()*N ,2k k k ∈≥份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k 次；方案二：混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份样本的阳性样本，则对k 份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k 份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为()01p p <<．（1）若()*N ,2k k k ∈≥份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X ，求X 分布列及数学期望；（2）①若5,k p =>性；②若p =，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k 的最大值．参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln7 1.9,ln10 2.3,ln11 2.4=====【答案】（1）见解析（2）①见解析，②k 的最大值为11【解析】【分析】（1）X 的可能值为1和1k +，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解,（2）①结合期望公式，求出方案二的期望，再结合作差法，即可求解．②结合期望公式，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解．【小问1详解】X 的可能值为1和1k +，(1)k P X p ==，(1)1k P X k p =+=-，所以随机变量X 的分布列为：所以()1(1)[1]1【小问2详解】①设方案二总费用为Y ，方案一总费用为Z ，则1620Y X =+，所以方案二总费用的数学期望为：()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+，又5k =，所以55()16[65]2080116E Y p p =-+=-+，又方案一的总费用为51680Z =⨯=，所以()55()80801168036Z E Y p p --+=--=，当p >50.451p <<，508036p <-，，所以()>Z E Y ，所以该单位选择方案二合理．②由①方案二总费用的数学期望()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+，当p =79()1612016(e )4k k E Y k k k k -⎡⎤=+-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又方案一的总费用为16Z k =，令()<E Y Z 得：7916e 164kk k k -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，所以79e4kk ->，即79ln e ln 4k k -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以9ln ln 074k k -->，设9()ln ln [2,)74x f x x x =--∈+∞，所以117(),[2,)77-=-=∈+∞'x f x x x x，令()0f x '>得27x <，()0f x '<得7x >，所以()f x 在区间[2，7)上单调递增，在区间(7,)+∞上单调递减，()max ()7f x f =ln712(ln3ln2)0.10=---=>，888(8)3ln22(ln3ln2)5ln22ln3 1.30777f =---=--=->，999(9)2ln32(ln3ln2)2ln2 1.40777f =---=-=->，1010(10)ln102(ln3ln2) 1.5077f =---=->，1111(11)ln112(ln3ln2) 1.6077f =---=->，121212(12)ln122(ln3ln2)4ln2ln3 1.70777f =---=--=-<，所以k 的最大值为11．21.已知双曲线222:1x Q y a-=的离心率为，经过坐标原点O 的直线l 与双曲线Q 交于A ，B 两点，点()11,A x y 位于第一象限，()22,C x y 是双曲线Q 右支上一点，AB AC ⊥，设113,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求双曲线Q 的标准方程；（2）求证：C ，D ，B 三点共线；（3）若ABC 面积为487，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析（3）13y x =【解析】【分析】（1）根据离心率即可求解2a =，（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，（3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于k 的方程，【小问1详解】由双曲线222:1x Q y a -=，所以152e a ==，解得2a =，所以双曲线Q 的标准方程为2214x y -=【小问2详解】由()11,A x y 得()11,B x y --,又()22,C x y ，所以()11,OA x y =,()2121,AC x x y y =--，由OA AC ⊥得()()1211210x x x y y y -+-=①，由于()11,A x y ，()22,C x y 在双曲线上，所以222212121,144x x y y -=-=，相减得()221222121212121244y y x x x xy y y y x x -+-=+⇒=--②由①②得1211214x x x y y y =-++③，()2121111,,2,,2BC x x y y BD x y ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭ 由于110,0x y >>，所以()21212121111121222y y x x y y x x x x y y ++++-=+-，将③代入得()()212121112111112012224y y x x y y x x y y x y y y ⎛⎫+-+++-=⎪⎝- ⎭+=，所以//BC BD，因此C ，D ，B 三点共线【小问3详解】设直线l 的方程为()0y kx k =>，联立直线l 与双曲线的方程为：()222214414y kx k x x y =⎧⎪⇒-=⎨-=⎪⎩，故2114002k k ->⇒<<，所以212414x k =-，直线AC 的方程为()111y y x x k -=--，联立()21121111222148144014y y x x x x k x y x y k k k k x y ⎧-=--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-++-+-=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-=⎪⎩，所以()111228,04x ky x x k ++=-∆>-由于//AD y 轴，10y >，所以152AD y =，所以()()()()211111111121122281551010224444ABC x y ky x ky x ky S y x x y y k k k+++=⨯+=⨯=⨯=⨯--- ，由于11y kx =，212414x k =-代入得()()()()3232323211122224221440101010401414444174417ABC k k k kx k x k k x k k k k S k k k k k k k ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭-=====----+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令10k t k+=>，则240484257ABC t S t ==- ，化简得224351500t t --=，由于0t >，所以103t =，因此1103k k +=，解得3k =或13k =由于102k <<，所以13k =，故直线l 方程为13y x =【点睛】方法点睛：解析几何中的弦长以及面积问题以及最值是常见的类型，对于这类问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.已知函数()()()22111ln ln ,e 22ex f x x x kx k g x x f x =++-=--，（1）若–1k ≤时，求证：函数()f x ）只有一个零点；（2）对12x x ∀≠时，总有()()12122g x g x x x ->-恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1e k ≤-【解析】【分析】（1）求导，利用导数确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求解，（2）将问题等价转化为()2g x x -在定义域内单调递增，构造函数()()2F x g x x =-，只需要证明()0F x '≥，进而分离参数，问题转化成21()=e e ln 12x x p x x x----，只()k p x ≤恒成立，利用导数求解最值即可.【小问1详解】由()21ln ln 2f x x x kx k =++-得()ln 1x f x k x x'=++，记()()()2ln 1ln ,x x h x f x k h x x x x -''==++=，则当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，因此()h x 在01x <<单调递增，在1x >单调递减，故()()11h x h k ≤=+，当1k ≤-时，10k +≤，所以()0h x ≤，因此()0f x '≤，所以()f x 在定义域()0,∞+单调递减，而()10f =，因此函数()f x ）只有一个零点【小问2详解】不妨设12x x <，则由()()12122g x g x x x ->-得()()()()()12121122222g x g x x x g x x g x x <-<-⇒--，故函数()2g x x -在定义域内单调递增，记()()2F x g x x =-，则()0F x '≥，即()()()22112e 2ln 12e e 0e x x F x x k x xg x f x '''=-=-------=≥-，所以21n 2e e l 1x x k x x----≥，记21()=e e ln 12x x p x x x----，只需要()k p x ≤恒成立即可，22222ln ln 2e ()=2e x xx x x x p x x =+'+，记()()22ln ,=2e 0x q x x x x +>，()()21=41e 0x q x x x x'++>，所以()q x 在()0,∞+单调递增，()2221e 112e 0,2e 12e 10e q q -⎛⎫=>=-<-< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00q x =，即022002n 0e l x x x +=，所以0200000l 11ln 2n 1e x x x x x x ==-，由于01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()01ln 0,1x ∈，令()e x t x x =，由于当0x >时，0,e 0x x >>，且函数,e x y x y ==均为单调递增的函数，所以()ex t x x =由020001ln 12e x x x x =得()0012ln t x t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0012ln x x =，即0201e x x =，当00x x <<时，()0p x '<，()p x 单调递减，当0x x >时，()0p x '>，()p x 单调递增，所以()()()0002min 0000112ln 111e 122e e ex x x x x x p x p x ---==---==---，故1ek ≤-【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.。
