4抛物线的参数方程

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

双曲线相关公式总结大全双曲线是一种数学曲线,与椭圆和抛物线类似,双曲线也是由参数方程描述的。

以下是双曲线的一些常见公式和参数方程:1. 椭圆参数方程:a =b * sqrt(5),c = b * sqrt(5), e = c / sqrt(a^2 + b^2)2. 抛物线参数方程:a =b * sqrt(3),c = b * sqrt(3), e = c / sqrt(a^2 + b^2)3. 双曲线的一般参数方程:x = a * sin(t), y = b * cos(t), t = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)4. 双曲线的切线公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。

5. 双曲线的离心率公式:e = c / a,其中a, b是双曲线的参数。

6. 双曲线的向量参数方程:x = a * cos(t), y = b * sin(t), v = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)7. 双曲线的切线向量公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。

这些公式只是双曲线的一小部分,实际上还有许多其他的公式和参数方程可以用来描述双曲线。

了解这些公式可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和应用。

拓展:1. 双曲线的对称性:双曲线有两个对称轴,即x轴和y轴。

在对称轴的两侧,双曲线具有相同的形状。

2. 双曲线的渐近线:双曲线的渐近线是双曲线上的一条直线,它的斜率等于双曲线的离心率。

3. 双曲线的极值:双曲线有许多可能的极值,包括最大值和最小值。

极值点通常也是双曲线的对称轴的交点。

4. 双曲线的离心率公式的应用:在工程和科学领域,双曲线的离心率公式可以用来计算双曲线的极值、形状、对称性等。

双曲线是一种非常重要的数学曲线,它的参数方程和性质可以用来描述许多物理和工程问题。

了解双曲线的公式和参数方程,可以帮助我们更好地理解和应用双曲线。

6. 抛物线的参数方程学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：一、课前准备：阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：（1）223x ty t t =-⎧⎨=+-⎩（t 为参数），答： ； （2）224x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），答： .2.将下列普通方程化为参数方程： （1）22x y =，其中1x t t=-（t 为参数），答： ；（2）234y x =，其中x t =（0t ≥为参数），答： . 二、新课导学： （一）新知：抛物线的参数方程的推导过程：如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22ππ-内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程.根据三角函数的定义得，tan yxα=，即tan y x α=，联立22y px =，得22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞ ，则222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数 ），当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为22y px =的参数方程.注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线22x py =的参数方程.【解析】（2）可选择M 到准线的距离t 为参数，22y px =的参数方程是怎样的？ 【解析】（二）典型例题： 【例1】A 、B 是抛物线22y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于M ，求点M 的轨迹方程.【解析】方法一 ：设(,)M x y ，211(2,2)A t t ，222(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠⋅≠且.由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅= ，221212(2)20t t t t +=，121t t =-………① 又OM AB ⊥ ，所以0OM AB ⋅=， 2221212()2()0x t t t t -+-=.所以12()0x t t y ++=，12(0)yt t x x+=-≠……………②又211(2,2)AM x t y t =-- ，222(2,2)MB t x t y =-- 且A ，M ，B 共线.∴221212(2)(2)(2)(2)x t t y y t t x --=--，即1212()20y t t t t x +--=……③由①，②代入③，得到 2220(0)x y x x +-=≠，这就是所求M 点的轨迹方程.方法二：设2111(,)(0)2y A y y ≠，2222(,)(0)2y B y y ≠，因为OA OB ⊥，所以221212022y y y y ⋅+=，124y y =-， 直线AB 的方程为：211122()2y y y x y y -=-+，即122(2)y x y y =-+， 所以直线AB 过定点(2,0)C p又OM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以OC 为直径的圆，则M 的轨迹方程为 222()(0)x p y p y -+=≠.动动手：已知O 是坐标原点，A 、B 是抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，求AB M 中点的轨迹方程．【解析】三、总结提升：1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t 对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.2.抛物线22(0)y px p =>上任意一点可以设为2(2,2)M pt pt .3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：1. 若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2. 抛物线22x my m=⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(2,0)-3. 已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12t t 和，120t t +=且，那么MN = （ ）A ．1p tB ．12p tC ．14p tD ．18p t4. 若曲线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于原点的不同的两点1M 、2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，求12M M 所在直线的斜率.【解析】5. A 、B 是抛物线22y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，点A 、B 在什么位置时，AOB ∆的面积最小？最小值是多少？ 【解析】。

一、抛物线的参数方程抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式．下面仅介绍22(0)x py p =>及22(0)y px p =>两种情形．（1）对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． （2）同理，以圩抛物线22(0)y px p =>，其参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，可得22112OP OPpt k t pt t k ==⇒=，t 的几何意义是过抛物线的顶点O 的动弦OP 的斜率的倒数．二、应用举例例1 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513，求P 的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． 228(4)2p AB p p p ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴5135132p ==．2p =∴．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t⊥⇒=-， 据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． 设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，t得P点的轨迹方程为22(4)=-．x y。

抛物线射程公式斜抛运动轨迹方程式：y=xtanθ-gx^2/2(vcosθ)^2。

1、抛物线方程公式一般式:ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0）顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

2、抛物线标准方程右开口抛物线：y^2=2px左开口抛物线:y^2= -2px上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）[p为焦准距（p>0）]3、抛物线四种方程的异同共同点：①原点在抛物线上，离心率e均为1；②对称轴为坐标轴；③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点：①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y 轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

抛物线顶点坐标公式y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式是（-b/2a，（4ac-b²）/4a)y=ax²+bx的顶点坐标是（-b/2a，-b²/4a)抛物线标准方程右开口抛物线：y^2=2px左开口抛物线:y^2= -2px上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）[p为焦准距（p>0）]特点在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；抛物线面积弧长公式。

抛物线的四种参数方程抛物线是一种常见的曲线，它在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。

在数学中，抛物线可以用四种参数方程来表示，分别是标准参数方程、顶点参数方程、焦点参数方程和直线参数方程。

1. 标准参数方程标准参数方程是最常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = ty = t^2其中，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝上的抛物线，其顶点位于原点。

2. 顶点参数方程顶点参数方程是另一种常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + a*ty = k + a*t^2其中，h、k和a是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h, k)处。

3. 焦点参数方程焦点参数方程是一种比较特殊的抛物线参数方程，它的形式为：x = a/(2*p)*(t^2)y = a/(2*p)*(t)其中，a和p是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝右的抛物线，其焦点位于(p, 0)处。

4. 直线参数方程直线参数方程是一种比较少用的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + t*cos(theta)y = k + t*sin(theta) + a*t^2其中，h、k、a和theta是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h,k)处，开口方向由theta决定。

总之，抛物线的四种参数方程各有特点，可以根据具体情况选择使用。

在实际应用中，我们可以根据需要来选择合适的参数方程，以便更好地描述和分析抛物线的性质和特点。

第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。

抛物线的性质与方程解析抛物线是数学中一种常见的曲线，具有许多独特的性质和方程解析。

本文将重点探讨抛物线的性质以及如何通过方程解析抛物线的特征。

一、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其焦点轴的对称性是其最基本的性质。

抛物线上任意一点与焦点的距离相等于该点到焦点轴的垂直距离。

这种对称性使得抛物线在很多实际问题中具有重要应用，如天文学、物理学等。

2. 焦点和直线的关系：抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

焦点是抛物线的一个重要属性，影响着抛物线的形状和位置。

3. 切线和法线：抛物线上的任意一点的切线与该点到焦点的连线垂直相交于准线。

这个性质使得我们可以利用切线和法线求解抛物线的各种问题。

二、抛物线的方程解析抛物线可以通过不同的方程来表示，以下是几种常见的形式：1. 顶点形式：设抛物线的顶点为(Vx, Vy)，则抛物线的顶点形式方程可以表示为： y = a(x - Vx)² + Vy。

其中，a为控制抛物线开口方向和大小的参数。

2. 标准形式：标准形式方程是最简单、最常用的表示抛物线的形式。

标准形式方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，分别控制抛物线的形状、位置和与x轴的交点。

3. 参数方程：通过参数方程可以描述抛物线上各个点的坐标。

常见的参数方程有：x = at²，y = 2at。

这种表示方式更适用于描述抛物线的轨迹和运动。

4. 对称方程：对称方程利用焦点和准线来表示抛物线。

一个常见的对称方程为：(x - p)² = 4a(y - q)，其中(p, q)表示焦点的坐标，a为常数。

通过这些方程解析，我们可以更好地理解抛物线的特征和性质。

在实际问题中，根据抛物线的方程，我们可以进行求解、推导和应用。

三、抛物线的应用抛物线的性质和方程解析在许多领域中得到广泛应用，下面简单介绍几个应用场景。

1. 抛物物体运动轨迹分析：抛物线可以描述空中抛射物的运动轨迹，如抛出的石子、发射的炮弹等。

抛物线的定义与基本性质抛物线是一种常见的曲线。

它是平面上所有与给定焦点和直线距离的平方成正比的点的轨迹。

在抛物线的定义和基本性质方面，我们可以从以下几个方面进行探讨。

一、抛物线的定义考虑一条平面上的直线 L 和一个点 F，在直线 L 上取一点 M，使 M 到 F 的距离等于 M 到 L 的距离的平方的 k 倍。

则点 M 所有可能出现的位置就形成了抛物线。

二、焦点和准线在抛物线中，点 F 被称为焦点，直线 L 被称为准线。

抛物线的准线是其对称轴。

在抛物线中，有一个重要性质，即焦点到任意一点的距离与该点到准线的距离的平方成比例。

这是抛物线定义的本质。

三、基本性质1. 抛物线是对称的既可以通过坐标系中的 y 轴和准线反射得到，也可以通过空间中的抛物面上的一个平面截面得到。

2. 焦点与准线的性质所有通过焦点 F 的直线，与抛物线相交的点 M，该点到焦点 F 的距离等于点 M 到准线的距离。

3. 抛物线的方程设抛物线的焦点为 F，准线为 x 轴，顶点为 V（h，k）。

则抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中 a 不为 0。

当抛物线在顶点处经过 x 轴时，顶点为 y 轴，关于 y 轴对称。

4. 抛物线的参数方程如果采用参数方程描述抛物线，那么它就是 x = 2pt，y = pt²，其中 p 是焦点到准线的距离，t 是参数。

5. 抛物线的重要性质（1）抛物线的导数在焦点处为 0.（2）抛物线的割线都与焦准线平行。

（3）抛物线的切线垂直于焦准线且过焦点。

（4）如果切线截点 P 与焦点的距离为 p，则焦准距 PF=2FP 。

以上就是关于抛物线的定义和基本性质的一些讨论。

抛物线是一种非常重要的曲线，出现在很多领域中。

掌握抛物线的基本定义和性质对于解决相关问题具有重要意义。

抛物线的四种参数表达式抛物线是数学中一个非常重要且常见的曲线形状，可以通过不同的参数来表达。

在本文中，我将介绍四种常见的参数表达式，以帮助你更好地理解抛物线的特点和性质。

1. 标准形式抛物线的标准形式方程为：y = ax^2 + bx + c。

其中a、b和c是常数，决定了抛物线的形状和位置。

a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）和开口的大小，b控制了抛物线在x轴上的平移，c决定了抛物线顶点的纵坐标。

2. 顶点形式抛物线的顶点形式方程为：y = a(x - h)^2 + k。

其中(h, k)表示抛物线的顶点坐标。

通过顶点(h, k)的平移和a的值来确定抛物线的位置和形状。

3. 推广顶点形式推广顶点形式方程为：y = a(x - h)^m + k。

这种形式允许抛物线的幂次不再是2，而是任意的m。

这使得我们能够绘制更多种类的抛物线，如抛物线的高次方程。

4. 参数方程形式抛物线的参数方程形式为：x = at^2 + bt + c，y = dt^2 + et + f。

在参数方程中，t是参数，通过调整a、b、c、d、e和f的值，我们可以得到不同形状和位置的抛物线。

参数方程能够更灵活地描述抛物线，我们可以通过改变参数t的取值范围，绘制出从左向右或从右向左开口的抛物线。

总结回顾：通过以上四种参数表达式，我们可以以不同的方式描述抛物线的形状和位置。

标准形式方程提供了简洁且直观的方式来表示抛物线，顶点形式方程则将重点放在顶点的坐标上，推广顶点形式方程扩展了抛物线的幂次范围，而参数方程可以更具灵活性地绘制不同特定的抛物线。

对于每一种参数表达式，了解它们的特点和使用方法对于进一步理解和应用抛物线是很重要的。

不同的参数表达式可以适用于不同的问题和场景，所以根据实际情况选择最合适的参数表达式来表达抛物线是非常重要的。

在我的理解中，抛物线是一种非常有用和重要的数学曲线。

它的形状和特点在各个领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学、计算机图形学等。

抛物线的四种参数方程1. 什么是抛物线？抛物线是一种二次函数图形，其形状类似于开口向上或向下的弯曲曲线。

它是二维平面上的一个几何图形，由定义其形状的方程描述。

2. 抛物线的一般方程抛物线的一般方程是：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是常数，x和y是坐标。

a决定了抛物线的开口方向和弯曲程度，b 决定了抛物线在x方向上的平移，c决定了抛物线在y轴上的平移。

3. 抛物线的四种参数方程除了一般方程之外，抛物线还可以用四种参数方程来描述。

这些参数方程分别是：方程一：x = ty = at^2 + bt + c方程二：x = -ty = at^2 - bt + c方程三：x = 2aty = at^2 + c方程四：x = -2aty = at^2 + c这四种参数方程可以从一般方程中导出，通过对x和y进行参数化处理得到。

4. 参数方程的优势为什么要用参数方程来描述抛物线呢？参数方程在一些情况下更加直观且便于理解和计算。

它们可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和图形特点。

例如，在物理学中，质点在矢量形式的加速度的作用下运动时，常常采用参数方程来描述其运动轨迹，而抛物线正是质点在重力加速度下的典型运动轨迹之一。

5. 参数方程的推导和使用这里以方程一为例来介绍参数方程的推导和使用。

给定一般方程：y = ax^2 + bx + c令 t = x，则可以得到参数方程：x = ty = at^2 + bt + c在这个参数方程中，t相当于参数，可以取任意实数值。

通过取不同的t值，就可以得到抛物线上的不同点。

例如，当t=0时，x=0，y=c，即抛物线的顶点坐标为(0, c)；当t=1时，x=1，y=a+b+c，即抛物线上的另一个点为(1, a+b+c)。

参数方程可以方便地描述抛物线上的每个点。

当我们需要计算抛物线上某一点的坐标时，只需要给定对应的t值，代入参数方程即可得到结果。

6. 参数方程的应用参数方程在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。