广东省各地中考数学压轴题集锦

广东省汕头市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析广东省汕头市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020潮南.中考模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x +bx +c 经过点A （3，0）和点B （2，3），过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ， 且tan ∠CAO ＝．（1） 求这条抛物线的表达式及对称轴；（2） 连接AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当S ＝S 时，求点D 的坐标．~~第2题~~(2020龙湖.中考模拟) 如图，抛物线与轴交于A 、B 两点，与 轴交于点C ，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，－2），连接BC 、AD ．（1） 将矩形OBHC 绕点B 按逆时针旋转90°后，再沿轴对折到矩形GBFE （点C 与点E 对应，点O 与点G 对应），求点E 的坐标；（2） 设过点E 的直线交AB 于点P ，交CD 于点Q ．①当四边形PQCB 为平行四边形时，求点P 的坐标；②是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ADCB 的面积为1∶3两部分？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．~~第3题~~(2020澄海.中考模拟) 如图，已知在矩形ABCD 中，AD=10cm ，AB=4cm ，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为 （s ） ．连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、DF ．2△DBC △ADC（1） 求正方形PCEF的面积（用含 的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF 的面积为25 cm 时的值；（2） 设△DEF 的面积为（cm），求与之间的函数关系式，并求当 为何值时？△DEF 的面积取得最小值，这个最小值是多少？（3）求当 为何值时？△DEF 为等腰三角形．~~第4题~~(2020濠江.中考模拟) 如图，抛物线 与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点．（1） 求A ，B ，C 的坐标．（2） 如图2，连接BC ，AC ，在第三象限的抛物线上有一点D ，使∠DCA ＝∠BCO ，求点D 的坐标．（3） 在直线BC 上是否存在一点M 和平面内一点N ，使以N 、M 、B 、A 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第5题~~(2020潮阳.中考模拟) 如图，一次函数y=﹣4x ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别交于A、C 两点，抛物线y=的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B 。

广东中考数学试卷2023压轴题2023年广东中考数学试卷压轴题一、选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. 3C. √5D. 42. 已知正方形ABCD的边长为2cm，点E是边AB的中点，连接DE并延长交边BC于点F，若EF的长度为3cm，则三角形DEF的面积为多少？A. 1.5 cm²B. 2 cm²C. 2.5 cm²D. 3 cm²3. 若a:b = 3:4，b:c = 5:6，c:d = 7:8，则a:d的值为多少？A. 15:28B. 21:32C. 35:48D. 45:564. 已知函数y = 2x² + 3x + 1，求函数的对称轴方程。

A. x = -3/4B. x = -3/2C. x = -1/2D. x = -1/45. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)和点B(7, 2)的中点坐标为：A. (5, 3)B. (5, 6)C. (6, 3)D. (6, 6)二、填空题6. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了5小时后，行驶的距离为______公里。

7. 若a:b = 2:3，b:c = 4:5，c:d = 6:7，则a:d的值为______。

8. 若函数y = ax² + bx + c的图像与x轴有两个交点，则a、b、c的关系式为______。

9. 若平行四边形的一条边长为6cm，高为4cm，则其面积为______平方厘米。

10. 若正方形的周长为20cm，则其面积为______平方厘米。

三、解答题11. 已知函数y = x² - 4x + 3，求函数的零点及对称轴方程。

解：首先，我们令y = 0，得到方程x² - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或配方法，可以得到(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。

因此，函数的零点为x = 1和x = 3。

对称轴方程的求解：对于一般形式的二次函数y = ax² + bx + c，其对称轴方程为x = -b/2a。

2024广东中考数学压轴题一、在直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)，且与y 轴交于点C(0,3)。

下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 抛物线的对称轴是直线x = -1（答案：D）二、已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2 + b2 + c2 = 10a + 6b + 8c - 50。

则下列判断三角形ABC的形状中，正确的是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案：D）三、函数y = (x - 1)/(x + 2)中，当x的值增大时，y的值会：A. 一直增大B. 一直减小C. 在某个区间内增大，在另一个区间内减小D. 保持不变（答案：C）四、已知四边形ABCD是平行四边形，且AB = 6，BC = 8，对角线AC与BD相交于点O，则下列关于O点到AB和BC的距离d1和d2的说法正确的是：A. d1 + d2 = 14B. d1 × d2 = 24C. d1/d2 = AB/BCD. d12 + d22 = AB2 + BC2（答案：B）五、圆O的半径为5，点P在圆O外，且OP = 8。

过点P作圆O的两条切线，分别与圆O 相切于点A和B。

则弦AB的长度为：A. 6B. 4√3C. 5√2D. 2√15（答案：A）六、在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3。

若点C表示的数为x，且满足AC + BC = 8，则x的值为：A. -3或4B. -4或3C. -3或-1D. 2或-5（答案：B）七、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)。

下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 函数的顶点在x轴上（答案：A）八、正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且AE = 1。

1．如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线1交x 轴于点B 。

P 为线段上一动点，作直线⊥，交直线1于点C 。

过P 点作直线平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线1于点N 。

（1）当点C 在第一象限时，求证：△≌△；（2）当点C 在第一象限时，设长为m ，四边形的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段上移动时，点C 也随之在直线1上移动，△是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。

说明：●考查字母运算能力 ● 分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ●2.关于x 的二次函数y ＝2＋(k 2-4)x ＋22以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．(1)求此抛物线的解析式(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作垂直x 轴于点B，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作垂直x 轴于点C, 得到矩形．设矩形的周长为C ，点A 的横坐标为x ，试求C 关于x 的函数关系式；(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．x 第1题图 第2题图说明：●考查字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性3.如图所示, 在平面直角坐标系中, 矩形的边长、分别为12、6, 点A、C 分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线2经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿边以1的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿边以2的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如第3题图果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.说明：●图形必须准确，存在性问题如果不会做，可通过画图判断（答存在得分的机会大得多）4．已知二次函数2＋＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.（3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？说明：●考查画图能力和字母运算能力 ●分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ● 方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性5．如图示已知点M 的坐标为（4，0），以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象（2）过C 点作⊙M 的切线，求直线的解析式．说明：●图形必须准确，画切线后巧妙解法是利用两直线平行，K 相等 ●易错点为漏解（过圆外一点作圆的切线有两条） ● 两直线垂直，K 互为负倒数可以使用6.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆的面积;第5题图（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式；（3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式；（4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？说明：●考查画图能力和字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，在设未知数或用字母表示未知量时，要充分发挥“勾股、相似、锐角三角函数”的作用，挖掘题目中的特殊角（特殊比值）来巧妙运算7.在△中，∠Ａ＝90°，＝４，3，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作∥交于点N. 以为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形，令. 当x为何值时，⊙O与直线相切？8.如图，直线334y x=+和x轴y轴分别交与点B、A，点C是的中点，过点C向左方作射线⊥y轴，点D是线段上一动点，不和B重合，⊥于点P，⊥于点E，连接。

广东09压轴题127．（广东省）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM ＝x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ，并求此时x 的值．128．（广东省广州市）如图，二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．M B CND A129．（广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由．130．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连结P A，若P A＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？备用图131．（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．132．（广东省珠海市）已知抛物线y ＝x2－32mx 与x 轴相交于点A 、B ，抛物线的顶点为C ．（1）试用含m 的代数式表示AB 的长度； （2）当△ABC 为等边三角形时，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，如何平移抛物线，使AC ＝213AB ？133．（广东省佛山市）如图1，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB ＝4，BC ＝4，CC 1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）求点B 1到最短路径的距离． A Bxy O 图1C A B x y O PD E图2 C A BPxy O D E 图3 C 备用图 图1134．（广东省茂名市）已知：如图，直线l ：y ＝31x ＋b ，经过点M (0，41)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…，B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)，…，A n +1(x n +1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）． （1）求b 的值；（2）求经过点A 1、B 1、A 2的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当d （0＜d ＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．135．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△P AD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．136．（广东省肇庆市）如图，⊙O 的直径AB ＝2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD ＝x ，BC ＝y ． （1）求证：AM ∥BN ；（2）求y 关于x 的关系式；（3）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S≥2．137．（广东省清远市）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 上一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，在△AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A 1，△A 1MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？138．（广东省梅州市）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ． （1）当E 是CD 的中点时：①tan ∠EAB 的值为______________； ②证明：FG 是⊙O 的切线；（2）试探究：BE 能否与⊙O 相切？若能，求出此时DE 的长； 若不能，请说明理由．NB C N M A139．（广东省梅州市）如图，已知直线L过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．1。

广东省卷压轴题汇总选择题（2009·广东）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）（2010广东5） 左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（ ）（2015·广东）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．C ．D ． A ． B ．（2016·广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④（2018·广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．填空题（2009）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．……（1）（2）（3）第10题图（2010广东10）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到新正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…， 则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为 ．（2011广东10）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_________________．（2012•广东）如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 _________ （结果保留π）．题10图（1）A 1BCD AFEBCD A FEB CD A FEB 1C 1F 1 D 1 E 1 A 1B 1C 1F 1 D 1 E 1 A 2B 2C 2F 2 D 2E 2 题10图（2）题10图（3）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________ （结果保留π）．（2014•广东）如图，ABC∠=︒，∆绕点A顺时针旋转45︒得到△AB C''，若90BAC==，则图中阴影部分的面积等于．AB AC（2015.广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．（2016·广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= ．（2017·广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．（2018·广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为．解答题（2009.广东）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．DM AB C第22题图N（2010广东20）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．∆是等腰三角形；（1）求证：EGB∆绕点F逆时针旋转最小____度时，四边形ACDE成为以（2）若纸片DEF不动，问ABCED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．（2011广东22）如图，抛物线1417452++-=x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接C M ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.（2012•广东21）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．（2012•广东22）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．（2013•广东24）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．（2013•广东25）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA 方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= _________ 度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．（2014•广东24）如图，O是ABC⊥于点D，∆的外接圆，AC是直径，过点O作OD AB延长DO交O于点P，过点P作PE AC⊥于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．π（1）若60AC=，求劣弧PC的长；（结果保留)POC∠=︒，12（2）求证：OD OE=；（3）求证：PF是O的切线．（2014•广东25）如图，在ABC=，8=．点AD cmBC cm⊥于点D，10∆中，AB AC=，AD BCP从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(0)t>．（1）当2t=时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF∆的面积最大时，求∆的面积存在最大值，当PEF 线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（2015•广东24）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．（2015•广东25）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A →D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N 点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）（2016·广东24）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．（2016·广东25）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．（2017·广东24）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）（2017·广东25）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C 的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．（2018·广东24）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．（2018·广东24）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC= °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N 沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y 取得最大值？最大值为多少？。

专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路:一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型:(1)一线三等角模型锐角一线三等角(2)手拉手模型(3)半角模型(4)倍长中线模型模型(6)雨伞等模型(5)平行线中等模型2.三角形与相似之四大相似模型:(1)A字模型(3)手拉手模型(2)8字模型(4)一线三等角模型B 二、四边形线段最值问题囹 1 C B D 02B （1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）• B（2）费马点模型：将边以A 为顶点逆时针旋转60。

，得到AQE,连接P0则^APQ 为等边三角形,PA=PQ O1. （2023-r 东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE,①若= 过C 作CFLBE 交BE 于点、F ,求证：AABE^AFCB ；②若S 矩形倔8 = 2。

时，则BECF=(2)如图，在菱形ABCD 中，cosA = |,过。

作CE1AB 交A8的延长线于点E,过E 作EF _LAD 交AD 于点、F ,若S 菱形*d =24时，求EF BC 的值.(3)如图，在平行四边形ABCD 中，匕4 = 60。

，AB = 6, AD=5,点E 在CD 上，且CE = 2,点F 为BC 上一点，连接时，过E 作EGLEF 交平行四边形ABCD 的边于点G,若EF ・EG = 70时，请直接写出AG 的长.D,E E a C C A B AB备用图2.（2022广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCQ中，0BAD=120°,AB=6,连接8Q.⑴求BQ的长；⑵点E为线段BQ上一动点（不与点B,。

重合），点E在边AQ上，且BE二也DF,①当CE±AB时，求四边形的面积；②当四边形的面积取得最小值时，CE+右CT的值是否也最小？如果是，求CE+也CF的最小值；如果不是，请说明理由.题型一特殊平行四边形中全等相似计算1.（2024-P东汕头•一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接8E,①若BE=BC,过。

2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1．等边三角形ABC内接于⊙O，点D在弧AC上，连接AD、CD、BD．（1）如图1，求证BD平分∠ADC；
（2）如图2，若∠DBC＝15°，求证：AD：AC=√2：√3；
（3）如图3，若AC、BD交于点E，连接OE，且OE＝2√7，若BD＝3CD，求AD的长．
2．（1）初步思考：
如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN=1
2PC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
PD+1
2PC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一
个动点，求PD−1
2PC的最大值．。

专题04 几何压轴题1．（2021•广州）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB =，点E 为边AB 上一个动点，延长BA 到点F ，使AF AE =，且CF 、DE 相交于点G ．（1）当点E 运动到AB 中点时，证明：四边形DFEC 是平行四边形；（2）当2CG =时，求AE 的长；（3）当点E 从点A 开始向右运动到点B 时，求点G 运动路径的长度．【答案】（1）见解析；（2）34；（3）273【详解】（1）连接DF ，CE ，如图所示：，E 为AB 中点，12AE AF AB ∴==， EF AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，//EF CD ∴，EF AB CD ==，∴四边形DFEC 是平行四边形．（2）作CH BH ⊥，设AE FA m ==，如图所示，，四边形ABCD 是菱形，//CD EF ∴，CDG FEG ∴∆∆∽， ∴CD EF CG FG =， 2FG m ∴=， 在Rt CBH ∆中，60CBH ∠=︒，2BC =， sin 60CH BC ︒=，3CH =， cos60BH BC︒=，1BH =， 在Rt CFH ∆中，22CF m =+，3CH =，3FH m =+，222CF CH FH =+，即(22)2(3)2(3)2m m +=++，整理得：32280m m +-=，解得：143m =，22m =-（舍去）， ∴43AE =． （3）G 点轨迹为线段AG ，证明：如图，（此图仅作为证明AG 轨迹用），延长线段AG 交CD 于H ，作HM AB ⊥于M ，作DN AB ⊥于N ，四边形ABCD 是菱形，//BF CD ∴，DHG EGA ∴∆∆∽，HGC AGF ∆∆∽，∴AE AG DH HG =，AF AG HC HG =， ∴AE AF DH CH=， AE AF =，1DH CH ∴==，在Rt ADN ∆中，2AD =，60DAB ∠=︒．sin 60DN AD ∴︒=，3DN =．cos60AN AD ︒=，1AN =， 在Rt AHM ∆中，3HM DN ==，2AM AN NM AN DH =+=+=，3tan 2HAM ∠=， G 点轨迹为线段AG ．G ∴点轨迹是线段AG ．如图所示，作GH AB ⊥，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2AB =，//CD BF ∴，2BD =，CDG FBG ∴∆∆∽，∴CD DG BF BG=，即2BG DG =， 2BG DG BD +==，43BG ∴=， 在Rt GHB ∆中，43BG =，60DBA ∠=︒， sin 60GH BG ︒=，233GH =， cos60BH BG ︒=，23BH =， 在Rt AHG ∆中，24233AH =-=，233GH =， 423282()2()2339AG =+=， 273AG ∴=． G ∴点路径长度为273． 2．（2019•广州）如图，等边ABC ∆中，6AB =，点D 在BC 上，4BD =，点E 为边AC 上一动点（不与点C 重合），CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆．（1）当点F 在AC 上时，求证：//DF AB ；（2）设ACD ∆的面积为1S ，ABF ∆的面积为2S ，记12S S S =-，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B ，F ，E 三点共线时．求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）713- 【详解】（1）ABC ∆是等边三角形 60A B C ∴∠=∠=∠=︒ 由折叠可知：DF DC =，且点F 在AC 上60DFC C ∴∠=∠=︒DFC A ∴∠=∠//DF AB ∴；（2）存在，过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，6AB BC ==，4BD =，2CD ∴=2DF ∴=，∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，且在ABC ∆内部，∴当点F 在DM 上时，ABF S ∆最小，4BD =，DM AB ⊥，60ABC ∠=︒23MD ∴=ABF S ∆∴的最小值16(232)6362=⨯⨯-=- ()12336363362S ∴=⨯⨯--=-+最大值 （3）如图，过点D 作DG EF ⊥于点G ，过点E 作EH CD ⊥于点H ，CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆2DF DC ∴==，60EFD C ∠=∠=︒GD EF ⊥，60EFD ∠=︒1FG ∴=，33DG FG == 222BD BG DG =+， 2163(1)BF ∴=++，131BF ∴=-13BG ∴=EH BC ⊥，60C ∠=︒2EC CH ∴=，332EH HC EC == GBD EBH ∠=∠，90BGD BHE ∠=∠=︒BGD BHE ∴∆∆∽∴DG EH BG BH= ∴3321362EC EC =- 131EC ∴=-713AE AC EC ∴=-=-3．（2021•广州模拟）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =．（1）求A C ∠+∠的度数；（2）连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若1AB =，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AE BE CE =+，求点E 运动路径的长度．π【答案】（1）︒270；（2）见解析；（3）3【详解】（1）如图1中，在四边形ABCD中，360D∠=︒，30∠=︒，BA B C D∠+∠+∠+∠=︒，60∴∠+∠=︒-︒-︒=︒．3606030270A C（2）如图2中，结论：222=+．DB DA DC理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ∆．∠=∠=︒，60ABC DBQ∴∠=∠，ABD CBQ=，=，DB BQAB BCABD CBQ SAS∴∆≅∆，()∴=，A BCQ∠=∠，AD CQ∠+∠=∠+∠=︒，A BCD BCQ BCD270∴∠=︒，DCQ90222∴=+，DQ DC CQ=，DQ DB=，CQ DA222∴=+．DB DA DC（3）如图3中，连接AC，将ACE∆，连接RE．∆绕点A顺时针旋转60︒得到ABR则AER ∆是等边三角形，222EA EB EC =+，EA RE =，EC RB =，222RE RB EB ∴=+，90EBR ∴∠=︒，150RAE RBE ∴∠+∠=︒，210ARB AEB AEC AEB ∴∠+∠=∠+∠=︒，150BEC ∴∠=︒，∴点E 的运动轨迹在O 为圆心的圆上，在O 上取一点K ，连接KB ，KC ，OB ，OC ， 180K BEC ∠+∠=︒，30K ∴∠=︒，60BOC ∠=︒，OB OC =，OBC ∴∆是等边三角形，1OB OC BC ∴===，∴点E 的运动路径6011803ππ==． 4．（2021•天河区一模）如图，ABC ∆中，120BAC ∠︒，AB AC =，点A 关于直线BC 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）求证：四边形ABDC 是菱形；（2）延长CA 到E ，使得AB BE =．求证：22BC AC CE AC -⋅=；（3）在（2）小题条件下，可知E ，B ，D ，C 四点在同一个圆上，设其半径为a （定值），若BC kAB =，问k 取何值时，BE CE ⋅的值最大？【答案】见解析；【详解】（1）证明：如图1，连接AD ，交BC 于O ，A ，D 关于直线BC 对称，AD BC ∴⊥，OA OD =，AB AC =，OB OC ∴=，∴四边形ABDC 是菱形；（2）证明：解法一：如图2，延长AE 到F ，使EF BE =，连接BF ，AB BE =，AB BD CD AC BE EF ∴=====，BE CE EF CE CF ∴+=+=，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，同理得EBF F ∠=∠，BAE BEA ∠=∠，BAE ABC ACB ∠=∠+∠，BEA EBF F ∠=∠+∠，ABC ACB EBF F ∴∠=∠=∠=∠，ABC BFC ∴∆∆∽， ∴BC AC CF BC =， 2()()BC AC CF AC CE EF AC CE AC ∴=⋅=⋅+=⋅+，即22BC AC CE AC -⋅=；解法二：如图3，过点B 作BP CE ⊥于P ，AB BE =，AP EP ∴=，且AB AC BE ==，Rt BPC ∆中，222BC BP CP =+，在Rt BPA ∆中，222BA BP AP =+，2222222222()()BC AC BC AB BP CP BP AP CP AP ∴-=-=+-+=-，22()()()CP AP CP AP CP AP CP EP AC CE AC -=+-=+⋅=⋅，22BC AC CE AC ∴-=⋅，即22BC AC CE AC -⋅=；（3）解：如图4，连接AD 交BC 于M ，作CD 的垂直平分线交DA 的延长线于G ，连接CG ，由题意得：CG DG a ==，设DM x =，则GM a x =-，120BAC ∠︒，∴当120BAC ∠=︒时，如图5，ABD ∆和ADC ∆是等边三角形，AB AD AC ∴==，∴当点A 为圆心，即点A 与G 重合，此时1cos602x CD a =⋅︒=， 02a x ∴<， 四边形ABCD 是菱形，BC AD ∴⊥，2BC CM =，由勾股定理得：2222()2CM a a x x ax =--=-+，22222CD x x ax ax =-+=，222448BC CM x ax ∴==-+，222BE CD ax ==，由22BC AC CE AC -⋅=，得2222222239482464()44BE CE BC AC BC BE x ax ax x ax x a a ⋅=-=-=-+-=-+=--+， 02a x<， ∴当12x a =时，BE CE ⋅有最大值，此时223BC a =，222AB BE a ==， 故223BC AB =，所以3BC AB =，故3k =时，BE CE ⋅的值最大．5．（2021•越秀区一模）如图，在四边形ABCD 中，90A ADC ∠=∠=︒，10AB AD ==，15CD =，点E ，F 分别为线段AB ，CD 上的动点，连接EF ，过点D 作DG ⊥直线EF ，垂足为G ．点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，当点E 运动到点A 时，E ，F 同时停止运动，设点E 的运动时间为t 秒．（1）求BC 的长；（2）当GE GD =时，求AE 的长；（3）当t 为何值时，CG 取最小值？请说明理由．【答案】（1）55；（2）52；（3）见解析【详解】（1）如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则四边形ADHB 是矩形，10AB =，15CD =，5CH ∴=，又10BH AD ==， 222210555BC BH CH ∴=+=+=； （2）过点G 作MN AB ⊥，如图2，//AB CD ，MN CD ∴⊥，DG EF ⊥，EG DG =，()EMG GND AAS ∴∆≅∆，MG DN ∴=，设DN a =，GN b =，则MG a =，ME b =，点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，2BE t ∴=，102AE t =-，3DF t =，153CF t =-，AM DN =，AD MN =，10a b ∴+=，102a b t -=-，解得10a t =-，b t =，DG EF ⊥，GN DF ⊥，DGN GFN ∴∆∆∽，∴GN NF DN GN=， 2GN DN NF ∴=⋅，2210GN t NF DN t ∴==-， 又DF DN NF =+， 231010t t t t ∴=-+-， 解得55t =±，又03t ，55t ∴=-，10225AE t ∴=-=．（3）如图3，连接BD ，交EF 于点K ，//BE DF ，BEK DFK ∴∆∆∽，∴2233BK BE t DK DF t ===， 又10AB AD ==， 2102BD AB ∴==，3625DK BD ∴==， 取DK 的中点，连接OG ，DG EF ⊥，DGK ∴∆为直角三角形，1322OG DK ∴==， ∴点G 在以O 为圆心，32r =的圆弧上运动，连接OC ，OG ，由图可知CG OC OG -，当点G 在线段OC 上时取等号，AD AB =，90A ∠=︒，45ADB ∴∠=︒，45ODC ∴∠=︒，过点O 作OH DC ⊥于点H ， 又32OD =，15CD =， 3OH DH ∴==， 12CH ∴=， 22317OC OH CH ∴=+=，则CG 的最小值为3(172)-，当O ，G ，C 三点共线时，过点O 作直线OR DG ⊥交CD 于点S ， OD OG =，R ∴为DG 的中点，又DG GF ⊥，//OS GF ∴，∴点S 是DF 的中点，OC SC OG SF=， 32DS SF t ∴==，3152SC t =-， ∴31531723322t t -=， 23443t -∴=， 即当23443t -=时，CG 取得最小值为31732-． 6．（2021•天河区二模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，点E 是边AB 上的一点，点F 是边BC 延长线上的一点，且2AE CF =．连接AC ，交EF 于点O ，过E 作EP AC ⊥，垂足为P ．（1）求证：DAE DCF ∆∆∽；（2）求证：OP 长为定值；（3）记AC 与DE 的交点为Q ，当14PQ OP =时，直接写出此时AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6525- 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，4AB CD ==，90DAE DCB ∠=∠=︒， 90DCF ∴∠=︒， DAE DCF ∴∠=∠，2AE CF =，8AD BC ==，∴2AE AD CF CD==， DAE DCF ∴∆∆∽；（2）证明：如图1，过点E 作//EG BC ，交AC 于点G ，90AEG B ∴∠=∠=︒，AGE ACB ∠=∠，EOG FOC ∆∆∽，在Rt ABC ∆中，4AB =，8BC =，224845AC ∴=+=，EP AC ⊥，90AEP BAC ∴∠+∠=︒，90CAD BAC ∠+∠=︒，AEP CAD ∴∠=∠，1tan tan tan tan 2CAD ACB AGE AEP ∴∠=∠=∠=∠=，即12CD AE AP PE AD EG EP PG ====， 2EG AE ∴=，2AE CF =，4EG CF ∴=，设(0)AP m m =>，(0)OC n n =>，则2PE m =，4PG m =，EOG FOC ∆∆∽，∴4EG OG CF OC==， 44OG OC n ∴==，4445AC AP PG OG OC m m n n ∴=+++=+++=，455m n ∴+=，165445OP PG OG m n ∴=+=+=， 所以OP 是一个定值；（3）如图2，11165454455PQ OP ==⨯=，由（2）知：(0)AP m m =>，5AE m =，//AE CD ，AEQ CDQ ∴∆∆∽，∴AE AQ CD CQ=， ∴4555445455m m m +=--，解得：6525m =±， 054m <<，4505m ∴<<， 6525AP ∴=-． 7．（2021•白云区一模）不在射线DA 上的点P 是边长为2的正方形ABCD 外一点(P 在AB 左侧），且满足45APB ∠=︒，以AP ，AD 为邻边作APQD ．（1）如图，若点P 在射线CB 上，请用尺规补全图形；（2）若点P 不在射线CB 上，求PAQ ∠的度数；（3）设AQ 与PD 交点为O ，当APO ∆的面积最大时，求tan ADO ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）︒45；（3）123+ 【详解】（1）如图1，以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线CB 于点P ，连接BD ，//AD PB ，AD AB PB ==，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴点Q 与点B 重合．（2）如图2，连接QA ，QC ，QB ，BD ，四边形APQD 是平行四边形，AP DQ ∴=，//PQ AD ，//AP QD ，180PAD ADQ ∴∠+∠=︒，90PAB ADQ ∴∠=︒-∠，90PAB ADQ QDC ∴∠=︒-∠=∠，又AP QD =，AB CD =，()PAB QDC SAS ∴∆≅∆，45APB DQC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45ABD DBC ∴∠=∠=︒，45CQD CBD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点C ，点D ，点Q 四点共圆，90BCD BQD ∴∠=∠=︒，90BQD BAD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点D ，点A ，点Q 四点共圆，45AQD ABD ∴∠=∠=︒，//AP QD ，45PAQ AQD ∴∠=∠=︒；（3）四边形APQD 是平行四边形， 14APO APQD S S ∆∴=， ∴当APQD 的面积最大时，APO ∆的面积取最大值，APQD S AD =⨯点P 到AD 的距离，∴当点P 到AD 的距离最大时，APQD 的面积最大，如图3，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABE ，以E 为圆心，AE 为半径作ABP ∆的外接圆，延长CB 交E 于H ，过点E 作FE BH ⊥，交E 于P ，交DA 的延长线于F ，此时点P 到AD 的距离最大，EA EB =，90AEB ∠=︒，2AB =，45EAB ∴∠=︒，2AE =，45EAF ∴∠=︒，EF AF ⊥，45EAF FEA ∴∠=∠=︒，1AF EF ∴==，12PF ∴=+，()212APQD S AD PF ∴=⋅=⨯+最大，12142APQD APO S S ∆+∴==最大， 12tan 3FP ADO DF +∴∠==． 8．（2021•番禺区一模）如图，ABC ∆中，120A ∠=︒，AB AC =，过点A 作AO AC ⊥交BC 于点O ．（1）求证：13BO BC =； （2）设AB k =．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA =．连接DP ，求CPD S ∆．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ 在点Q 运动过程中，求2AQ OQ +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①2318CPD S k ∆=，②k 【详解】（1）证明：120A ∠=︒，AB AC =，30B C ∴∠=∠=︒，AO AC ⊥，90OAC ∴∠=︒，30BAO ∠=︒，BO AO ∴=，12AO CO =， 12BO CO ∴=， 13BO BC ∴=； （2）①如图：AB k =，AC k ∴=，Rt AOC ∆中，tanOA C AC =， 33OA k OB ∴==， 30C ∠=︒，2323OC OA k ∴==， 33CP OC OP OC OA k ∴=-=-=， 2CD DA =，3k DA ∴=，23DC k =， Rt AOD ∆中，33tan 333kAD AOD OA k ∠===， 30AOD ∴∠=︒，18060AOC OAC C ∠=︒-∠-∠=︒，30AOD DOP ∴∠=∠=︒，又OA OP =，OD OD =，()AOD POD SAS ∴∆≅∆，90DPO OAD ∴∠=∠=︒，DA DP =，3k DP ∴=， 213218CPD S CP DP k ∆∴=⋅=； ②以A 为顶点，AB 为一边，在ABC ∆外部作30BAN ∠=︒，过Q 作QN AN ⊥于N ，过O 作OM AN ⊥于M ，连接OQ ，如图：在Rt AQN ∆中，30BAN ∠=︒，12NQ AQ ∴=， 122()2AQ OQ AQ OQ +=+， 2AQ OQ ∴+最小，即是12AQ OQ +最小，故NQ OQ +最小，此时ON AN ⊥，Q 与Q '重合，N 与M 重合，OM 长度即是12AQ OQ +的最小值， 而由①知：33OA k =，60OAM OAB BAM ∠=∠+∠=︒， Rt AOM ∆中，sin OM OAM OA ∠=， sin 6033OMk ∴︒=，2k OM ∴=， ∴12AQ OQ +的最小值为2k ， 2AQ OQ ∴+的最小值是k ．9．（2021•花都区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，16BC cm =．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接AE ，动点M ，N 分别从点A ，C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿AE 、CB 向终点E ，B 运动，是否存在某一时刻t 秒(010)t <<，使MNC ∆的面积S 有最大值？若存在，求S 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）如图，直线DE 即为所求作．（2）过点M 作MH EC ⊥于H ． DE 垂直平分线段AB ，EA EB ∴=，设EA EB x ==cm ，则(16)EC x cm =-，在Rt ACE ∆中，222AE AC EC =+，2228(16)x x ∴=+-，解得10x =，//MH AC ， ∴EM MH EA AC =， ∴10108t MH -=， 4(10)5MH t ∴=-， 2214225(10)2()1025552MNC S t t t t t ∆∴=⨯⨯-=-+=--+， 502-<， 52t ∴=时，MNC ∆的面积最大，最大值为10． 10．（2021•越秀区校级二模）已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 是AB 的中点，P 是平面上的一点，且1DP =，连接CP（1）如图，当点P 在线段BD 上时，求CP 的长；（2）当BPC ∆是等腰三角形时，求CP 的长；（3）将点B 绕点P 顺时针旋转90︒得到点B '，连接AB '，求AB '的最大值．【答案】（1）3；（2）①13，②42+ 【详解】（1）如图1中，连接CD ．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=，AD DB =，1222CD AB ∴==，CD AB ⊥， 在Rt CDP ∆中，223PC PD CD =+=．（2）如图2中，1DP =，∴点P 在以点D 为圆心的D 上．①当PB PC =时，CD DB =，P ∴、D 都在线段BC 的垂直平分线上，设直线DP 交BC 于E ．90PEC ∴∠=︒，2BE CE ==，90CDB ∠=︒， 122DE BC CE ∴===， 在Rt PCE ∆中，22PC EC PE =+，当P 在线段PD 上时，1PE DE DP =-=，22125PC =+=，当P 在线段ED 的延长线上时，3PE ED DP =+=，223213PC =+=．②当PC BC =时，221PC CD PD BC +=+<，PC BC ∴≠，此种情形不存在；③当PB BC =时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接BB '．由旋转可知：PB PB ='，90BPB ∠'=︒，45PBB ∴∠'=︒，2BB PB ∴'=，∴2BB PB'=， AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，ABC PBB ∴∠=∠'，ABB CBP ∴∠'=∠， 4224BA BC ==， ∴BA BB BC PB '=， ∴BA BC BB PB ='， ABB CBP ∴∆'∆∽，∴2AB BA CP BC'==， 221PC CD DP +=+，∴点P 落在CD 的延长线与D 的交点处，PC 的值最大，2(221)42AB ∴'+=+．AB ∴'的最大值为42+．11．（2021•黄埔区二模）如图1，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，延长OD 到点G ，延长OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =，以OG ，OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）探究AG 与DE 的位置关系与数量关系，并证明；（2）固定正方形ABCD ，以点O 为旋转中心，将图1中的方形OEFG 逆时针转(0180)n n ︒<<得到正方形111OE F G ，如图2．①在旋转过程中，当190OAG ∠=︒时，求n 的值；②在旋转过程中，设点1E 到直线1AG 的距离为d ，着正方形ABCD 的边长为1，请直接写出d 的最大值与最小值，不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30n =；②见解析【详解】（1）AG DE ⊥，.AG DE =证明：如图1，延长ED 交AG 于点H ，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，OA OC OD ∴==，OA OD ⊥，90AOG DOE ∴∠=∠=︒，2OG OD =，2OE OC =，OG OE ∴=，在AOG ∆和DOE ∆中，OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOG DOE SAS ∴∆≅∆，AG DE ∴=，AGO DEO ∠=∠，90AGO GAO ∠+∠=︒，90GAO DEO ∴∠+∠=︒，90AHE ∴∠=︒，AG DE ∴⊥，故AG DE ⊥，AG DE =；（2）①在旋转过程中，190OAG ∠=︒有两种情况：（Ⅰ）n 由0增大到90过程中，当190OAG ∠=︒时，11122OA OD OG OG ===， ∴在1Rt OAG ∆中，11sin 2OA AG O OG ∠=='， 130AG O ∴∠=︒，OA OD ⊥，1OA AG ⊥，1//OD AG ∴，1130DOG AG O ∴∠=∠=︒，即30n =；（Ⅱ）n 由90增大到180过程中，当190OAG ∠=︒时，同理可求130BOG ∠=︒，118030150DOG ∴∠=︒-︒=︒，150n ∴=；综上所述，当190OAG ∠=︒时，30n =或150．②如图3，d 的最大值为116262222E H DE DH +=+=+=，如图4，d 的最小值为116262222E H DE DH -=-=-=． 理由如下：如图3、图4所示，连接11E G ，设直线1E D 交直线1AG 于H ，作正方形ABCD 的外接圆O ，仿照（1）的证明，可证得DE AG ⊥，即在旋转过程中，1190E HG ∠=︒保持不变，所以1d E H =． 在旋转过程中，1E H 的位置有以下两种情况：第一种情况，当1E H 在1OE G ∠内时，11145E G H OG A ∠=︒+∠，如图3所示，第二种情况：当1E H 在11OE G ∠外时，11145E G H OG A ∠=︒-∠，如图3所示， 1222OG OD BD AB ====，112E G ∴=．在Rt △11E HG 中，11111sin 2E H d E G H E G ∠==， 112sin d E G H ∴=∠， 所以，当11E G H ∠最大时，最大；当最小时，最小； 设点到的距离为，则， 由上式可知，当取最大值时，取最大值．在旋转过程中，当与相切，即时，取最大值．此时，取最大值，从而取最大值或最小值．由①可知，当时，，在（1）中，已证得，且，四边形为正方形，， ， 的最大值为， 的最小值为 d 11E G H ∠d O 1AG m 1sin 2m OG A OG ∠=m 1OG A ∠1E D O 190OAG ∠=︒m 1OG A ∠11E G H ∠190OAG ∠=︒130OG A ∠=︒11AOG DOE ∆≅∆90AHD ∠=︒∴AODH 22DH AO ∴==221126(2)()22DE AG ∴==-=d ∴116262E H DE DH +=+=d 116262E H DE DH -=-=12．（2021•从化区一模）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与点和点重合），连接，过点作交射线于点，连接，已知，，设的长为．（1）线段的最小值为 ． （2）如图，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度；（3）当点在运动的过程中：①试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由；②当为何值时，是等腰三角形？ABCD P AC C A PB P PF PB ⊥DA F BF 33AD =3CD =CP x PB P AC AP BF G FP H GH P FBP ∠FBP ∠x AFP ∆【答案】（1）；（2（3）见解析 【详解】（1）四边形是矩形，，，，，，，当时，最小，此时为斜边上的高，，即， ，； （2）如图：运动到的中点，，，中，， ， 是等边三角形，，又，，，，是的垂直平分线，3323GH ∴=ABCD 33AD =3CD =3AB CD ∴==33BC AD ==90ABC D ∠=∠=︒226AC AB BC ∴=+=BP AC ⊥BP BP Rt ABC ∆AC 1122ABC S AB BC AC BP ∆∴=⋅=⋅3336BP ⨯=⨯332BP ∴=P AC 6AC =3AP AB ∴==Rt ABC ∆tan 3BC BAC AB∠==60BAC ∴∠=︒ABP ∴∆3AB BP ∴==90BAF BPF ∠=∠=︒BF BF =()BAF BPF HL ∴∆≅∆AF PF ∴=BF ∴AP是中点，是中点，， 是等边三角形，是中点，， 在中，， 得， ， ； （3）①不会发生变化，，理由如下：过作于，交于，如图：，四边形是矩形，，，中，， ，中，， ，， ，， ，， 而，，G ∴AP H PF 12GH AF ∴=ABP ∆G AP 1302PBF PBA ∴∠=∠=︒Rt PBF ∆tan PF PBF BP ∠=tan303PF ∴︒=3PF 3AF ∴=32GH ∴=FBP ∠30FBP ∠=︒P MN AD ⊥M BC N MN AD ⊥ABCD MN BC ∴⊥3MN AB ==Rt ABC ∆3tan AB ACB BC ∠==30ACB ∴∠=︒Rt CPN ∆CP x =1sin302PN CP x ∴=⋅︒=3cos30CN CP x =⋅︒3332BN BC CN x ∴=-=-132PM MN PN x =-=-90BPF ∠=︒90FPM BPN PBN ∴∠=︒-∠=∠90PMF BNP ∠=∠=︒PMF BNP ∴∆∆∽， 在中，， ， ；②当在右侧时，过作于，交于，如图：由①知：，，，，， ， ， ， 中， 而，是等腰三角形，分三种情况：（一，则，解得（舍去）， （二，则，解得（大于6，舍去）或（此时，舍去），（三，则，解得或与重合，舍去）， 当在左侧时，如图： ∴13323332x PF PM BP BN x -===-Rt BPF ∆tan PF FBP BP∠=3tan 3FBP ∴∠=30FBP ∴∠=︒F A P MN AD ⊥M BC N PMF BNP ∆∆∽33PF BP =12PN x =333BN =132PM x =-∴3FM PN =36FM x ∴=23333AF AM FM BN FM x ∴=-=-=-Rt PFM ∆22222311()(3)39623PF FM PM x x x x =+=+-=-+6AP AC CP x =-=-AFP ∆)AP AF =263333x x -==33x =-)AP PF =216393x x x -=-+9x =92x =0AF =)AF PF =2213333933x x x -=-+3x =6(x P =A F A此时， 同理可得，综上所述，是等腰三角形，或．13．（2020•武汉模拟）在中，，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，若，求证：平分；（2）如图2，若，①求的值； ②连接，当的面积为．【答案】（1）见解析；（2）①773，② 【详解】（1）证明：连接， 由题意知，，，是等边三角形，，又，，，，平分；（2）解：①连接，作等边三角形的外接圆，23333AF FM AM x =-=-33x =AFP ∆3x =33x =ABC ∆120ABC ∠=︒AC C 60︒CD BD AB BC =BD ABC ∠2AB BC =BD AC AD 3ABC S ∆=ABCD 93AD 60ACD ∠=︒CA CD =ACD ∴∆CD AD ∴=AB CB =BD BD =()ABD CBD SSS ∴∆≅∆CBD ABD ∴∠=∠BD ∴ABC ∠AD ACD O，，，点在上，，，，在上截取，使，则为等边三角形，，，又，，，，设，则，，过点作于，在中，，， ， ， 在中， ， ，；②如图3，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 设，，，则由①知，，，在与中，，60ADC ∠=︒120ABC ∠=︒180ADC ABC ∴∠+∠=︒∴B O AD CD =∴AD CD =60CBD CAD ∴∠=∠=︒BD BM BM BC =BCM ∆60CMB ∴∠=︒120CMD CBA ∴∠=︒=∠CB CM =BAC BDC ∠=∠()CBA CMD AAS ∴∆≅∆MD AB ∴=1BC BM ==2AB MD ==3BD ∴=C CN BD ⊥N Rt BCN ∆60CBN ∠=︒30BCN ∴∠=︒1122BN BC ∴==33CN =52ND BD BN ∴=-=Rt CND ∆222235()()722CD CN DN =+=+=7AC ∴=∴377BD AC ==B D AC H Q 1CB =2AB =CH x =7AC =7AH x =-Rt BCH ∆Rt BAH ∆2222BC CH AB AH -=-即，解得，，，在中，，，为与的公共底，，，，，故答案为：．22212(7)x x-=--277x=2227211()77BH∴=-=Rt ADQ∆33217DQ AD==∴2127721BHDQ==AC ABC∆ACD∆∴27ABCACDS BHS DQ∆∆==32ABCS∆=734ACDS∆∴=37393244ABCDS∴=+=四边形93414．（2021•越秀区校级二模）如图1，已知正方形的边长为，点在边上，，连接，点、分别为、边上的点，且．（1）求点到的距离；（2）如图2，连接，当、、三点共线时，求的面积；（3）如图3，过点作于点，过点作于点，求的最小值．【答案】（1）1；（2）518；（3）见解析 【详解】（1）如图1中，过点作于．ABCD 42E BC 2BE =BD F G BD CD FG EF ⊥E BD AF A F G FDG ∆E EM BD ⊥M G GN BD ⊥N MN E EH BF ⊥H四边形是正方形，，，． 点到的距离为1．（2）如图2中，过点作的垂线分别交，于点，．，，共线，，，．设，且，，，， ，，即，ABCD 45DBC ∴∠=︒EH BD ⊥2sin 45212EHBE ∴=⋅︒=⨯=∴E BD F AD AD BC M N A F G 90EFG ∠=︒90AFE ∴∠=︒45ADF ∠=︒∴MF MD a ==AD MN =AM FN ∴=NFE AFM AFM MAF ∠+∠=∠+∠NFE MAF ∴∠=∠()AMF FNE AAS ∴∆≅∆MF EN ∴=32a a =-， ，， ， ．（3）如图3中，设，． 四边形是正方形，，，，，，，，， ，，，， ，，， 322a ∴=//FM DG ∴FM AM DG AD =∴32522242DG =1225DG ∴=112232182525DFG S ∆∴=⨯⨯=2CG y =MF x =ABCD 45CBD CDB ∴∠=∠=︒42CB CD ==28BD BC ∴==22DG y =EM BD ⊥GN BD ⊥90EMF EFG GNF ∴∠=∠=∠=︒4DN NG y ∴==-2BE =1BM EM ∴==7(4)3FN x y x y ∴=---=-+9090MFE GFN GFN FGN ∠+∠=︒∠+∠=︒MFE FGN ∴∠=∠EMF FNG ∴∆∆∽∴EM MF FN GN=， 整理得，△，，解得或，的最小值为，的最小值，观察图象可知，当的值最小时，的值最小，的最小值． 15．（2021•越秀区模拟）如图，四边形为矩形，，，点为边上一动点，过点作交直线于点，连接，．（1）若四边形为菱形，求的长；（2）若的面积为，求的面积； （3）当长为多少时，四边形周长有最小值？并求该最小值．【答案】（1）23；（2）42；（3）见解析 【详解】（1）四边形为菱形，，设, 四边形是矩形，, ,, , ； （2）四边形为矩形，∴134x x y y=-+-2(3)40x y x y -++-=02(3)4(4)0y y ∴+--425y -542y --y ∴25CG ∴852=-CG MN MN 81(942)422=---=ABCD 2AD =2CD =E AD E EF AC ⊥BC F CE AF AECF AE ABF ∆24CDE ∆AE AECF AECF AE EC ∴=AE EC x ==ABCD 90D ∴∠=︒222EC DE CD ∴=+222(2)(2)x x ∴=-+32x ∴=32AE ∴=ABCD，，， ， ，即：， ， ， 在中，， ，， 是的垂直平分线，，由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作交的延长线于点，四边形为矩形，，，四边形是平行四边形，，，，，，在中，， , ，2AB CD ∴==2BC AD ==90B D ∠=∠=︒ABF ∆2∴122AB BF ⨯⨯1222BF =12BF ∴=13222CF BC BF ∴=-=-=Rt ABF ∆222213(2)()22AF AB BF =++AF CF ∴=EF AC ⊥EF ∴AC AE CE ∴=32AE CE ==AF CE ∴=Rt CDE Rt ABF(HL)∴∆≅∆24CDE ABF S S ∆∆∴==C //CM EF AD M ABCD //AD BC ∴90ADC ABC BAC ∠=∠=∠=︒∴CFEM EM CF ∴=CM EF =EF AC ⊥CM AC ∴⊥90ACM ∴∠=︒Rt ACD ∆22222(2)6AC AD CD ++tan CD CM CAD AD AC ∠==∴263CM ∴=， , ，即，，延长至，使，过点作于点，连接，过点作交于点， 在中，，四边形是矩形，，，，，四边形是平行四边形，，， 四边形周长，当、、三点共线时，最小，即四边形周长最小， 此时，，，△，， ，此时，，四边形周长最小值为，故当时，四边形周长最小值为6． 3EF CM ∴==cos ADACCAD AC AM ∠==22(6)32AC AM AD ∴===3AE EM +=3AE CF ∴+=CD C '2DC CD '==C E 'F FG AD ⊥G BG E //EH BG BC H Rt EFG ∆2222(3)(2)1EG EF FG =-=-=ABFG AF BG ∴=FBG FAG ∠=∠//BG EH //EG BH ∴BGEH EH BG AF ∴==CHE FBG ∠=∠AECF 3AE AF CF CE AE EM BG CE AM EH C E C E EH =+++=+++=++'=+'+∴C 'E H C E EH '+AECF C ED CHE FBG FAG ∠'=∠=∠=∠90C DE FGA ∠'=∠=︒C D FG '=∴()C DE FGA AAS '≅∆111()(21)222DE AG AD EG ∴==-=-=13222AE AD DE ∴=-=-=222213()(2)22CE DE CD =+=+=∴AECF 33262+⨯=32AE =AECF16．（2021•花都区三模）为等腰三角形，，点为所在平面内一点．（1）若，①如图1，当点在边上，，求证：； ②如图2，当点在外，，，，连接，求的长；（2）如图3，当点在外，且，以为腰作等腰三角形，，，直线交于点，求证：点是中点．【答案】（1）①见解析；②132；（2）见解析 【详解】证明：（1）①，， ，，， ，， ；②如图2，以，为边作等边，等边，以，为边作等边，等边，连接，过点作，交的延长线于， ABC ∆AB AC =D ABC ∆120BAC ∠=︒D BC BD AD =2DC BD =DABC ∆120ADB ∠=︒2AD =4BD =CD CD D ABC ∆90ADB ∠=︒AD ADE ∆DAE BAC ∠=∠AD AE =DE BC F F BC 120BAC ∠=︒AB AC =30ABC ACB ∴∠=∠=︒BD AD =30ABD BAD ∴∠=∠=︒90DAC ∴∠=︒2CD AD ∴=2CD BD ∴=AB AC ABH ∆ACH ∆AD BD ADE ∆BDG ∆GH E EN DG ⊥GD N和都是等边三角形，，，，，，，，，点，点，点三点共线，，和都是等边三角形，，，，，，，，，，，， ， ， ．（2）连接，如图3所示：，，，， ，， 、、、四点共圆，，，BDG ∆ABH ∆4BD BG DG ∴===AB BH =60DBG ABH BGD ∠=∠=︒=∠ABD GBH ∴∠=∠()ADB HGB SAS ∴∆≅∆2AD GH ∴==120ADB BGH ∠=∠=︒180DGB BGH ∴∠+∠=︒∴G H D 426DH ∴=+=ADE ∆ACH ∆AC AH ∴=2AE AD DE ∠===60DAE CAH EDA ∠=∠=∠=︒DAC EAH ∴∠=∠()DAC EAH SAS ∴∆≅∆DC EH ∴=60BDG EDN ∠=∠=︒EN DG ⊥30DEN ∴∠=︒112ND DE ∴==33NE DN =7HN DH DN ∴=+=22349213EH EN NH ∴=+=+=213CD EH ∴==AF DAE BAC ∠=∠AD AE =AB AC =∴AD AE AB AC=ADE ABC ∴∆∆∽ADE ABC ∴∠=∠A ∴D B F 1801809090BFA ADB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒AF BC ∴⊥，，点是中点．17．（2021•越秀区校级四模）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（Ⅰ）这样的点唯一吗？（Ⅱ）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．①求线段长的最小值；②若，求线段的长．【答案】（1）①2，②；（2）见解析；（3；②【详解】（1）解：①设为圆心，连接，，，，又，是等边三角形，，即半径为2，故答案为：2；AB AC=BF CF∴=∴F BC2BC=30BAC∠=︒AAA BCB C⋯1)ABC∆A'30BAC∠'>︒ABCD 2AB=3BC=P CD4tan3DPC∠=PB23PCD PADS S∆∆=PD32+975-3272244PD DF PF∴=+=+=O BO CO30BCA∠=︒60BOC∴∠=︒OB OC=OBC∴∆2OB OC BC∴===②以为底边，，当点到的距离最大时，的面积最大，如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，，，，，的最大面积为， 故答案为：；（2）证明：如图，延长，交圆于点，连接，点在圆上，，，，，即；（3）解：①如图，当点在上，且时， ，，， ，为定值， 连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆， ABC ∆BC 2BC =∴A BC ABC ∆O BC E EO D BC A D ABC ∆1BE CE ∴==2DO BO ==223OE BO BE ∴=-=32DE ∴=+ABC ∴∆12(32)322⨯⨯+32+BA 'D CD D BDC BAC ∴∠=∠BAC BDC ACD ∠'=∠+∠'BAC BDC ∴∠'>∠BAC BAC ∴∠'>∠30BAC ∠'>︒P BC 32PC =90PCD ∠=︒2AB CD ==3AD BC ==4tan 3CD DPC PC ∴∠==PD Q PD Q 12PD当点在优弧上时，，连接，与圆交于， 此时即为的最小值，过点作，垂足为，点是中点，点为中点，即，，， ， ， 圆的半径为， ，即；②，，， ， 中边上的高中边上的高，即点到的距离和点到的距离相等，点在的平分线上， 如图，过点作，垂足为，平分，， 为等腰直角三角形，又，，∴P CPD 4tan 3DPC ∠=BQ Q P 'BP 'BP Q QE BE ⊥E Q PD ∴E PC 112QE CD ==1324PE CE PC ===39344BE BC CE ∴=-=-=22974BQ BE QE ∴=+=2252PD CD PC =+=∴Q 155224⨯=975975444BP BQ P Q -∴'=-'=-=BP 975-3AD =2CD =23PCD PAD S S ∆∆=∴23CD AD =PAD ∴∆AD PCD =∆CD P AD P CD ∴P ADC ∠C CF PD ⊥F PD ADC ∠45ADP CDP ∴∠=∠=︒CDF ∴∆2CD =2CF DF ∴==， ， ． 18．（2020•广州一模）如图①，在四边形中，于点，，点为中点，为线段上的点，且（1）求证：平分；（2）若，连接，当四边形为平行四边形时，求线段的长；（3）若点为的中点，连接、（如图②，求证：．【答案】（1）见解析；（2）510；（3）见解析 【详解】（1）证明：如图①，，， 是的中点，，在中，，在中，， ，，是等腰直角三角形，，，，即平分； （2）解：设， 四边形是平行四边形， ，4tan 3CF DPC PF ∠==324PF ∴=3272244PD DF PF ∴=+=+=ABCD AC BD ⊥E AB AC BD ==M BC N AM MB MN =BN ABE ∠1BD =DN DNBC BC F AB FN FM )MFN BDC ∠=∠AB AC =ABC ACB ∴∠=∠M BC AM BC ∴⊥Rt ABM ∆90MAB ABC ∠+∠=︒Rt CBE ∆90EBC ACB ∠+∠=︒MAB EBC ∴∠=∠MB MN =MBN ∴∆45MNB MBN ∴∠=∠=︒45EBC NBE MAB ABN MNB ∠+∠=∠+∠=∠=︒NBE ABN ∴∠=∠BN ABE ∠BM CM MN a ===DNBC 2DN BC a ∴==在和中，，，，在中，由，可得：，解得：（负值舍去）， ； （3）解：是的中点，在中，，，，，，即， ，．19．（2020•荔湾区一模）如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接． （1）若将沿折叠，点落在矩形的对角线上点处，试求的长；（2）点运动到某一时刻，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点分别落在点，处，若，，三点恰好在同一直线上，且，试求此时的长；（3）当点运动到边的中点处时，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点重合于点处，请直接写出到的距离．ABN ∆DBN ∆AB DB NBE ABN BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABN DBN SAS ∴∆≅∆2AN DN a ∴==Rt ABM ∆222AM MB AB +=22(2)1a a a ++=1010a =±1025BC a ∴==F AB ∴Rt MAB ∆MF AF BF ==MAB FMN ∴∠=∠MAB CBD ∠=∠FMN CBD ∴∠=∠12MF MN AB BC ==MF MN BD BC=MFN BDC ∴∆∆∽MFN BDC ∴∠=∠ABCD 4AB =3BC =P AB DP DAP ∆DP A A 'AP P P PE BC E DAP ∆PBE ∆DP PE A B A 'B 'P A 'B '2A B ''=AP P AB P PG BC G DAP ∆PBG ∆DP PG A B F F BC【答案】（1）或；；（2）1或3；；（3）【详解】（1）四边形是矩形，，，，分两种情况：①当点落在对角线上时，如图1所示：设，在中，，，由折叠的性质得：，，，，，，在中，，即：，解得：， ； ②当点落在对角线上时，如图2所示： 由翻折性质可知：，，，， ，，， ， 综上所述：的长为或； （2）①如图3所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，解得：，；32941613ABCD 4AB CD ∴==3AD BC ==90ABC BCD CDA BAD ∠=∠=∠=∠=︒A BD AP x =Rt ADB ∆90BAD ∠=︒2222435BD AB AD ∴=+=+=AP PA x ='=3AD DA ='=90DA P BAD ∠'=∠=︒532BA BD DA ∴'=-'=-=90BA P ∠'=︒4BP AB AP x =-=-Rt BPA ∆'222BP PA BA ='+'222(4)2x x -=+32x =32AP ∴=A AC PD AC ⊥90PAC APD ∴∠+∠=︒90BAC BCA ∠+∠=︒APD BCA ∴∠=∠90DAP ABC ∠=∠=︒DAP ABC ∴∆∆∽∴AD AB AP BC=33944AD BC AP AB ⋅⨯∴===AP 3294AP x =4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=42x x ∴--=1x =1PA ∴=②如图4所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，，；综上所述，的长为1或3；（3）作于，如图5所示：则的长就是到的距离，由翻折的性质得：，，、、共线，设，则，，在中，，即：，解得， ， ，， ， ， ， 到的距离为．APx=4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=(4)2x x ∴--=3x ∴=3PA ∴=PA FH CD ⊥H CH F BC 3AD DF ==BG FG =G F D BG FG x ==3DG DF FG x =+=+3CG BC BG x =-=-Rt GCD ∆222DG CD CG =+222(3)4(3)x x +=+-43x =413333DG ∴=+=//FH CG ∴DH DF CD DG=∴31343DH =3613DH ∴=361641313CH ∴=-=F ∴BC 161320．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）求平行四边形的面积；（2）当点、、三点共线时，设与相交于点，求线段的长；（3）求线段的长度的最小值．ABCD 13AD =25AB =DAB α∠=5cos 13α=E CD EA E αEF CF ABCD C B F EF AB G BG CF【答案】（1）300；（2）；（3 【详解】解（1）如图1，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，，在中， ，且， ，， ； （2）如图2，延长至，作，，，过点作于点，由（1）知，，， 11722BG ∴=6613DK AB ⊥K EA E αEF AEF α∴∠=AE EF =Rt DAK ∆5cos cos 13AK DAK AD α∠===13AD =5AK ∴=222213512DK AD AK ∴=-=-=2512300ABCD S AB DK ∴=⨯=⨯=平行四边形CD H AHD α∠=AHD ADH α∠=∠=13AH AD ∴==A AM DH ⊥M 12AM =225DM AD AM ∴=-=10DH ∴=。

2020年（广东）中考数学压轴题专题训练1．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．2．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接BD，点E在⊙O上，连接BE交AD于点F，∠BDC+45°＝∠BFD，连接ED．（1）如图1，求证：∠EBD＝∠EDB；（2）如图2，点G是AB上一点，过点G作AB的垂线分别交BE和BD于点H和点K，若HK＝BG+AF，求证：AB＝KG；（3）如图3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接CN分别交BD和AD于点M和点P，连接OP，∠APO＝∠CPO，若MD＝8，MC＝3，求线段GB的长．3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，交⊙O于C、D两点，交AB点E、F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，GF＝GH．（1）求证：MG是⊙O的切线；（2）若弧AF＝弧CF，求证：HC＝AC；（3）在（2）的条件下，若tan G＝，AE＝6，求GM的值．4．如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC＝2，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点，（1）请计算△ABC的面积的最大值；（2）当点B在优弧上，∠BAC＞∠ACB时，∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，请计算AD的长；（3）在（2）条件下，请探究线段AB、BC、BD之间的数量关系．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝°；②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的弦，AD＝BC，AD与BC相交于点E．（1）求证：CB平分∠ACD；（2）过点B作BG⊥AC于G，交AD于点F．①猜想AC、AG、CD之间的数量关系，并且说明理由；②若S△ABG＝S△ACD，⊙O的半径为15，求DF的长．7．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D 三点的⊙O交AB于另一点E，连结AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连结EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．10．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接P A，PC，试问△P AC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．11．如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）求a与m的关系式；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+4ax+与x轴交于点A、B（A在B的左侧），过点A的直线y＝kx+3k交抛物线于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过点B作BD⊥BC，交直线AC于点D，若BC＝5BD，求k的值；（3）将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，平移后的直线交抛物线于E、F两点，求△AEF的面积的最小值．13．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH ⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．15．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．16．二次函数y＝x2﹣x﹣与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 为抛物线的顶点，连接BD．（1）如图1，点P为抛物线上的一点，且在线段BD的下方（包括线段的端点），连接P A，PC，AC．求△P AC的最大面积；（2）如图2，直线l1过点B、D．过点A作直线l2∥l1交y轴于点E，连接点A、E，得到△OAE，将△OAE绕着原点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△OA1E1，旋转过程中直线OE1与直线l1交于点M，直线A1E1与直线l1交于点N．当△E1MN为等腰三角形时，直接写出点E1的坐标并写出相应的α值．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q 是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．18．如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B 两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．20．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1≠x1≠x3），满足＝＝＝k，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x1，y1）N（x2，y2）（x1≠x2），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则k PQ＝＝1，即直线y＝x+2的斜率为1．（1）请你直接写出过E（2，3）、F（4，﹣2）两点的直线的斜率k EF＝．（2）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH 与直线GI的斜率之积．（3）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR 为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式．参考答案一．解答题（共20小题）1．（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），∴AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠BDC＝∠DBA，BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠BFD＝∠BDC+45°，∴∠ABF+90°＝∠DBA+45°，∴∠DBA﹣∠ABF＝45°，∴∠EBD＝45°，∴△BED是等腰直角三角形，∴∠EBD＝∠EDB；（2）证明：过点K作KS⊥BE，垂足为R，交AB于S，如图2所示：∵KG⊥AB，∴∠BGH＝∠KRH＝∠SRB＝∠KGS＝90°，∴∠SBR＝∠HKR，∵∠BED＝90°，∴∠RBK＝∠RKB＝45°，∴BR＝KR，在△SRB和△HRK中，，∴△SRB≌△HRK（ASA），∴SB＝HK，∵SB＝BG+SG，HK＝BG+AF，∴BG+SG＝BG+AF，∴SG＝AF，在△ABF和△GKS中，，∴△ABF≌△GKS（AAS），∴AB＝KG；（3）解：过点O分别作AD与CN的垂线，垂足分别为Q和T，连接OC，如图3所示：∵∠APO＝∠CPO，∴OQ＝OT，在Rt△OQD和Rt△OTC中，，∴Rt△OQD≌Rt△OTC（HL），∴DQ＝CT，∴AD＝CN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝CN＝BC，连接ON，在△NOC和△BOC中，，∴△NOC≌△BOC（SSS），∴∠BCO＝∠NCO，设∠OBC＝∠OCB＝∠NCO＝α，∴∠MOC＝2α，过点M作MW⊥OC于W，在OC上取一点L，使WL＝OW，连接ML，∴MO＝ML，∴∠MOL＝∠MLO＝2α，∴∠LCM＝∠LMC＝α，∴ML＝CL，设OM＝ML＝LC＝a，则OD＝a+8＝OC，∴OL＝8，OW＝WL＝4，∴CW＝4+a，由勾股定理得：OM2﹣OW2＝MW2＝MC2﹣CW2，即a2﹣42＝（3）2﹣（4+a）2，整理得：a2+4a﹣45＝0，解得：a1＝﹣9（不合题意舍去），a2＝5，∴OM＝5，∴MW＝3，WC＝9，∴OB＝OC＝OD＝13，BD＝26，∵∠GKB＝∠CBD＝∠ADB＝∠BCO＝∠MCW，tan∠MCW＝＝＝，∴tan∠GKB＝tan∠CBD＝tan∠ADB＝tan∠BCO＝tan∠MCW＝，设AB＝b，则AD＝3b，由勾股定理得：b2+（3b）2＝262，解得b＝，∴CD＝GK＝AB＝，在Rt△GKB中，tan∠GKB＝＝，∴GB＝GK＝×＝．3．（1）证明：连接OF．∴AB⊥CD，∴∠AEH＝90°，∴∠EAH+∠AHE＝90°，∵GF＝GH，∴∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OF A+∠GFH＝90°，∴OF⊥GM，∴MG是⊙O的切线．（2）证明：∵＝，∴OF垂直平分线段AC∵OF⊥MG，∴AC∥GM，∴∠CAH＝∠GFH，∵∠CHA＝∠GHF，∠HGF＝∠GFH，∴∠CAH＝∠CHA，∴CA＝CH．（3）解：∵AC∥GM，∴∠G＝∠ACH，∴tan∠CAH＝tan∠G＝＝，∵AE＝6，∴EC＝8，AC＝＝＝10，设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，∵CD＝2EC＝16，∴GD＝10+x﹣16＝x﹣6，∵GF2＝GD•GC，∴x2＝（x﹣6）（x+10），解得x＝15，∴EG＝CG﹣CE＝25﹣8＝17，∵tan∠G＝＝，∴EM＝，∴GM＝＝＝．4．解：（1）如图1中，当点B在优弧AC的中点时，△ABC的面积的最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．∵＝，∴BH⊥AC，∴AH＝HC＝，∴OH＝＝1，∴BH＝OB+OH＝2+1＝3，∴△ABC的最大面积＝×AC×BH＝×2×3＝3．（2）如图2中，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．由BD平分∠ABC可得，E为弧AC中点，∴OE⊥AC，∴AF＝CF＝∴OF＝＝＝1＝EF，∴DF垂直平分OE，又∵OD⊥BD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DF＝OE＝1，∴AD＝．（3）如图3，连结AE、CE，由已知得AE＝CE，∠AEC＝120〫，将△EAB绕点E顺时针旋转120〫得△ECF，∵∠BAE＝∠ECF，∠BAE+∠BCE＝180〫，∴∠ECF+∠BCE＝180〫，∴BF＝BC+CF，∵AB＝CF，∴BF＝AB+BC，∵BE＝FE，∠BEF＝∠AEC＝120〫，∴BF＝BE，∵OD⊥BD，∴BE＝2BD，∴BF＝2BD，∴BA+BC＝2BD．5．（1）证明：连接OA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，当AB＝4时，△AGE是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为4．6．（1）证明：如图1中，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∵AB＝AC，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠BCD，∴CB平分∠ACD．（2）①结论：AC﹣2AG＝CD．理由：如图2中，连接BD，在GC上取一点H，使得GH＝GA．∵BG⊥AH，GA＝GH，∴BA＝BH，∴∠BAH＝∠BHA，∵∠BAH+∠BDC＝180°，∠BHG+∠BHC＝180°，∴∠BDC＝∠BHC，∵∠BCH＝∠BCD，CB＝CB，∴△BCH≌△BCD（AAS），∴CD＝CH，∴AC﹣2AG＝AC﹣AH＝CH＝CD．②如图3中，过点G作GN⊥AB于G，过点D作DM⊥AC交AC的延长线于M，连接AO，延长AO交BC于J，连接OC．∵＝，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD，∴S△ACD＝S△BCD，∵△BCH≌△BCD，∴S△BCH＝S△BCD，∵AG＝GH，∴S△ABG＝S△BGH，∵S△ABG＝S△ACD，∴S△ABG＝S△BGH＝S△BCH，∴AG＝GH＝CH，设AG＝GH＝HC＝a，则AB＝AC＝3a，BG＝＝＝2a，∵BG⊥AC，∴•BG•AG＝•AB•GN，∴GN＝＝a，在Rt△BGC中，BC＝＝＝2a，∵AB＝AC，∴＝，∴AJ⊥BC，∴BJ＝JC＝a，∴AJ＝＝＝a，在Rt△OJC中，∵OC2＝OJ2+JC2，∴152＝（a﹣15）2+（a）2，∴a＝，∵S△ABG＝S△ACD，AB＝AC，GN⊥AB，DM∠AC，∴DM＝GN＝a＝，∵BC＝AD＝2a＝20，∴AM＝＝＝，∵FG∥DM，∴＝，∴＝，∴AF＝6，∴DF＝AD＝AF＝20﹣6＝14． 7．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DBQ＝45°，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．10．解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点P（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点P（，）；故点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．11．解：（1）将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣3am2＝3，解得：am2＝﹣1；（2）对于二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，则x＝m或﹣3m，∴函数的对称轴为：x＝﹣m，∵CD∥AB，∴点D、C的纵坐标相同，故点D（﹣2m，3），故点A、B的坐标分别为：（m，0）、（﹣3m，0），设点E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），分别过点D、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵AB平分∠DAE，∴∠DAM＝∠EAN，∴RtADM△∽Rt△ANE，∴，即，解得：y＝，故点E（x，），将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝＝﹣4m，则y＝＝﹣5，故点E（﹣4m，﹣5），故＝＝＝为定值；（3）存在，理由：函数的对称轴为x＝﹣m，当x＝﹣m时，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即点F（﹣m，4），由点F、C的坐标得，直线FC的表达式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3m，即点G（3m，0），GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，故AE2＝AD2+GF2，GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，点G的横坐标为3m．12．解：（1）∵直线y＝kx+3k过点A，∴y＝0时，0＝kx+3k，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝ax2+4ax+，得9a﹣12a+＝0，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CG⊥x轴于G，∴∠DFB＝∠CGO＝90°＝∠DBC，∴∠DBF+∠BDF＝90°，又∵∠DBF+∠CBG＝90°，∴∠BDF＝∠CBG，∴△BDF∽△CBG，∴，∵CB＝5BD，∴CG＝5BF，BG＝5DF，联立方程组，解得：，（舍去），∴点C（4k﹣1，4k2+2k），∴CG＝4k2+2k，OG＝4k﹣1，设BF＝m，则CG＝5m，DF＝2k﹣km，BG＝5（2k﹣km），∴，解得k＝﹣（舍去）或k＝0（舍去）或k＝1，∴k的值为1；（3）∵将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，∴平移后解析式为y＝kx+3k+4，∴kx+3k+4＝x2+x+，∴x E+x F＝4k﹣4，x E•x F＝﹣12k﹣13，∴|x F﹣x E|＝＝，∵△AEF的面积＝×4×，∴当k＝﹣时，△AEF的面积的最小值为16．13．解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．14．解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．15．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴a＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣．（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．∵S△BDC＝××9＝10，∴S△P AB＝10，∴×6×|y P|＝10y P＝±，当y＝时，＝x2﹣x﹣，解得x＝1±，∴P（，）或（，），当﹣＝x2﹣x﹣，方程无解，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）．（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，∵D（﹣5，3），B（4，0），∴tan∠DBA＝＝，∴∠DBA＝30°∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，∴HF＝，∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值为＝．16．解：（1）∵y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣2x﹣3）＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点D的坐标为（1，﹣2），令y＝0，则（x2﹣2x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣），∴AC是定值，要△ACP的面积最大，则点P到AC的距离最大，即当点P在点B位置时，点P到AC的距离最大，∴S△ACP最大＝S△ABC＝AB•OC＝（3+1）•＝3；（2）由（1）知，B（3，0），D（1，﹣2），∴直线l1的解析式为y＝x﹣3，∵l1∥l2，且l1过点A，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴E（0，），∴OE＝，在Rt△AOE中，OA＝1，∴tan∠AEO＝＝，∴∠AEO＝30°，∵l1∥l2，∴∠DBO＝60°，由旋转知，OE1＝OE＝，∠A1E1O＝∠AEO＝30°，∴∠ME1N＝30°如图，∵△E1MN为等腰三角形，∴①当E1N1＝M1N1时，∴∠E1M1N1＝∠A1E1O＝30°，∴α＝∠BOM＝60°﹣30°＝60°，过点E1作E1F⊥x轴于F，∴E1F＝OE1＝，∴OF＝E1F＝，∴E1（，），②当E2M2＝E2N2时，∠E2N2M2＝∠E2M2N2＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BOM2＝75°﹣60°＝15°，∴α＝105°，过点E2作E2H⊥x轴，在OH上取一点Q，使OQ＝E2Q，∴∠E2QH＝30°，设E2H＝a，则E2Q＝2a，HQ＝a，∴OQ＝E2Q＝2a，OH＝（2+）a，在Rt△OHE2中，根据勾股定理得，[（2+）a]2+a2＝3，∴a＝（舍去负值），∴E2（，﹣）．③当E3M3＝M3N3时，∠E3N3M3＝∠M3E3N3＝30，∴∠E3M3N3＝120°，∴∠BOM3＝60°，∴α＝150°，∵∠OBM3＝60°，∠E3N3M3＝30°，∴∠N3GB＝90°，∴OG＝，E3G＝，∴E3（，﹣）．17．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），∴点A（﹣12，0），如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），由中点公式得，点M（﹣4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），∵点D′M′都在函数上，∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，解得：a＝12，则k＝（12﹣8）×4＝16，故反比例函数的表达式为＝；（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；②当B′C′是矩形的对角线时，∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，∴，解得：，，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．18．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO＝S△ACE＝，∴AE＝DE，∴S△AOD＝2S△AOE＝3；（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，则EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位线，∴EF＝AH，∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，∴OF•EF＝OH•HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．19．解：（1）理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDH，∴，∴∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．20．解：（1）∵E（2，3）、F（4，﹣2），∴k EF＝＝﹣，故答案为﹣．（2）∵G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6），∴k GH＝＝，k GI＝＝﹣，∴k GH•k GI＝﹣1．（3）如图2中，过点K作KM⊥x轴于M，过点S作SN⊥x轴于N，连接KS交OR于J．∴S（6，8），∴ON＝6，SN＝8，∵四边形OKRS是正方形，∴OK＝OS，∠KPS＝∠KMO＝∠SNO＝90°，KJ＝JS，JR＝JO，∴∠KOM+∠SON＝90°，∠SON+∠OSN＝90°，∴∠KOM＝∠OSN，∴△OMK≌△SNO（AAS），∴KM＝ON＝6，OM＝SN＝8，∴K（﹣8，6），∵KJ＝JS，∴J（﹣1，7），∵JR＝OJ，∴R（﹣2，14），∵k OR＝＝﹣7，∵RT⊥OR，∴k RT＝﹣＝，设直线RT的解析式为y＝x+b．。