§1.4 顺序统计量的分布

, X n )T 的次序统计量，样本的极差定义为 R X ( n ) X (1) max X i min X i
1 i n 1 i n
xi min xi 其观测值为 r x( n ) x(1) max 1 i n 1 i n
4、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散 程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受 样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以 作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛. 例3(p32例1.20) 从总体中抽取容量为6的样本， 测得样本值为 32, 65, 28, 35, 30, 29 试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、 以及样本标准差。
1、样本中位数 定义 设(X (1) , X ( 2 ) ,
, X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
n为奇数， n为偶数，
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( ) 2 X 1 [ X n X n1 ], ( ) 2 (2) 2
说明 (1) 最大次序统计量X ( n )的分布密度为
f X( n ) ( x ) n[ F ( x )]n1 f ( x )
( 2) 最小次序统计量X (1)的分布密度为 f X(1) ( x ) n[1 F ( x )]
n 1
f ( x)
例1(p30例1.18) 设总体X 服从区间 [0,1] 上的均
证
根据分布函数的定义可得
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y ) P{ X (1) x, X ( n) y}
以下分两种情形讨论：
(1)当x y时，

求 F ( u, v ) ．对于任意 u, v ，有
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为

思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664

中心极限定理
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或 中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本 中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们 快速了解数据分布情况， 如数据的最大值、最小值 、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计 量常被用作描述变量或样 本的特性，如计算相关性 、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数 据进行排序和筛选，以便 更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函 数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率 数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通 过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分 布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数 据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群 点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。

c
s n
t1 (n 1)

200 12
1.796
103.686
拒绝域为
K0 {X 200 c 103.686}
由于 X 2000 9 c ，所以接受 H0 ，拒绝 H1 ，即认为该制造商的 产品与他所说的标准不相符合。
例题 5 某商场为了比较来自两个不同厂家的同一类商品的销量 有无显著差异，随机抽取了商场 9 周的该商品销量数据如下：
F (x))n1
f
(x)

n(
1/ 0,
2

x) n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
f(n)
(x)

n(F
( x)) n1
f
(x)

n(1/
2
x 0,


)n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
二、参数的点估计-极大似然估计法
例题 2 设总体 X ~ N[, 2 ]，其中 R, 0 是未知参数，X1, X 2 ,X n 为
SB rt ( X j X )2 98.0 ， j1
-----列间离差平方和
rs
SAB t
( X ij X j X i X )2 50.0 ， ----行列交互离差平方和
i1 j1
SE ST SA SB SAB 184.0 ，
从 X 中随机抽取的一个样本，x1, x2 ,, xn 是样本的一个观察值，求 参数 , 2 及 2 2 的极大似然估计。
解 总体 X 的密度函数为
f (x, , 2 )
1 2 Βιβλιοθήκη exp (x )2 2 2

1
显然有
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
称为最小次序统计量 它的值 x(1) 是样本 最小次序统计量， 其中 X (1) = min X i 称为最小次序统计量， 1≤i≤n 值中最小的一个； 称为最大次序统计量 最大次序统计量， 值中最小的一个；而 X (n) = max X i 称为最大次序统计量， 1≤i≤n 是样本值中最大的一个。 它的值 x(n) 是样本值中最大的一个。
米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 这件事情是否是一个玩笑？ 这件事情是否是一个玩笑？
8
思考2. 一位统计学家把一只脚放进 100℃ 的开水里， 思考 ℃ 的开水里， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的 意义上，我感觉很舒服。 意义上，我感觉很舒服。
16
乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 例 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到 工资1000元，据了解，公司共有21人，和自己 元 据了解，公司共有 人 工资 职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇 ？ 总经理 15,000 ；两个副总经理每人 8,000 ； , , 3 个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员 ； 每人 2000；10 个业务员每人 1000 。 ； 一共 21 人，每月支出工资 63,000。 , 。 平均值 3000，中位数 2000，众数 1000，极差 14,000 ， ， ， ,
2
定义
样本 X 1 , X 2 ,L , X n 按由小到大的顺序重排为
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )

Remark 2.2. Equality (2.8) is valid for any distribution function f .
Remark 2.3. If we have tables of the function Ix(k, n − k + 1), it is possible to obtain d.f. Fk:n(x) for arbitrary d.f. F.
Exercise 2.6. Find the joint distribution of two order statistics Xr,n and Xs,n.
Example 2.2. Let us try to find the joint distribution of all elements of the variational series X1,n, X2,n, . . . , Xn,n. It seems that the joint d.f.
Fk:n(x) = P{ at least k variables among X1, X2, . . . , Xn are less or equal x }
n
= ∑ P{ exactly m variables among X1, X2, . . . , Xn are less or equal x } m=k
−
n! 1)!(n
−
k)!
(F
(x))k−1
(1
−
F
(x))n−k
f (x),
where f is a population density function. The joint density function of order statistics

“你不必吃完整头牛，才知道肉是老的” ——西方谚语。
2020/3/25
12
经n次试验得到n个数据——样本容量为n；
X1, X 2 ,..., X n ——一组数据，一个（容量为n的） 样本（子样）；
样本所有可能取值的集合——样本空间（n维空 间的子集）；
数据可以是数值或属性（但要用数值表示）；
为什么要用数理统计？
实际中，数据量大（抽取的数据具有随机 性），试验具有破坏性（不可重复）。
2020/3/25
10
数理统计的研究范畴：应用广泛
传统上，有生物统计（遗传学、医药）、农业统计、 工业统计（民航统计）等；
现代，多元统计应用领域：通信、质量控制、气象、 地质勘探、市场预测与决策等。
数理统计的基本内容：数据采集（抽样理论、试验设计 等）与统计推断（估计、检验等）。
(3) 若总体X具有分布函数F(x),概率密度f(x), 则样本 (X1, X2 ,…, Xn )的分布函数及概率密度为:
n
F ( x1 , x2 , , xn ) F( xi ) i 1 n f ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi )
(4) 获得简单随机样本的抽样方i法1 称为简单随机抽样.
当 x 3时, F(x) P{X x} 1
2020/3/25
ห้องสมุดไป่ตู้
(C)中国民航大学 理学院 张春晓
26
§1.4 统计量及其分布
在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利 用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能 有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为 一堆“杂乱无章”的数据．
【例1.7】从某地区随机抽取50户农民，调查其人 均年收入情况，得到数据（单位:元）如下：

2
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n).
1 December 2013
总复习 数理统计
第20页
t分布的性质：
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t ( n), 其数学期望 与方差为：E ( t ) 0, D( t ) n ( n 2)
pF F ( n1 , n2 )
F ( n1 ,n2 )
( y )dy
1 F1 ( n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
1 December 2013
总复习 数理统计
第19页
3、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
(n) , 且X与Y相互
L( ) L( ; x1 ,, xn ) p( x1; ) p( x2 ; ) p( xn ; )
称为样本的似然函数。
1 December 2013
总复习 数理统计
第29页
ˆ ˆ 如果某统计量 ( x ,, x ) 满足 1 n ˆ L( ) max L( )
第9页
样本k阶原点矩 n 1 k Ak X i n i 1 样本k阶中心矩
1 k Bk ( X i X ) n i 1
1 December 2013
n
总复习 数理统计
第10页
定理
设总体X的均值为，方差为 2，X 1 , X 2 ,, X n 是 来自总体的一个样本，则样本均值X和样本方差S 2有
第23页
推论2 设 X1, X2,…, Xn 是来自 X ~ N (1,12 ) 2 的样本， 1 , Y2 ,Ym是来自Y ~ N ( 2 , 2 ), 且X与Y。 Y

n
i 1
统计量 （而称 S 2 统计量 统计量
Sn 2
1 i 叫样本方差 n i 1
2
n
2
1 n i n 1 i 1
叫修正的样本方差）；
1 n Ar (i ) r ，（r =1，2，…）叫样本的r阶原点矩； n i 1 1 n Br (i ) r ，（r =1，2，…）叫作样本的r阶中心矩。 n i 1
2
0.1.2大数定律 定义：若 1, 2 ,..., n ,...随机变量序列，如果存在常 数列 a1, a2 ,..., an ,... 使得对任意的 0 有
1 n lim P i an 1 n n i 1
成立，则称随机变量序列n 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 n 是n重贝努里试验 中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的 概率为p（0<p<1），则对任意的 0 ，有：
0.预备知识
0.1 大数定律与中心极限定理
阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。
0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 E 和方差 D ，则对任意 0，有
P E D
20
P U 105
k 1
k
Uk , k 1, 2,..., 20
§1基本概念 1.1总体与样本
总体：研究对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 i ， i=1，2，…，n，所组成的n维随机变量 1, 2 ,..., n 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是 n 个随机变量的值 （样本值）用小写字母 x1 , x2 ,.., xn 表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一 组确定的具体值。 定义：若随机变量 1 , 2 ,, n 相互独立且每个 i，i=1，2，…，n， 与总体 有相同的概率分布，则称随机变量 1 , 2 ,, n 为来自 总体 的容量为n的简单随机样本，称 i ，i=1，2，…，n为样 本的第i个分量。若 有分布密度 f x （或分布函数 F x ）则 f x ）的样本. 称1, 2 ,..., n 是来自总体 F x（或